Límite - Continuidad

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1 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP Límite Definición (informl) Límite - Continuidd L función f tiende hci el ite L cerc de, si se puede hcer que f() esté tn cerc como quermos de L hciendo que esté suficientemente cerc de, pero siendo distinto de Notción: f() = L Gráfic de f() L y ( ) Cundo los vlores de están muy cerc de tnto l derech como l izquierd de (sin importr cul es el vlor de f()); los vlores de f() se cercn L Límites lterles Ejemplo Gráfic de f() 4 3 En l función grficd rrib: Cundo los vlores de están muy cerc de pero l derech de ; los vlores de f() se cercn En cmbio, cundo los vlores de están muy cerc de pero l izquierd de ; los vlores de f() se cercn 3 L notción pr este cso es: f() = + f() = 3

2 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP En este cso en que son distintos los ites por derech y por izquierd, se dice que Ejemplo y 3π no eiste f() L función grficd g() está definid: { + si g() = 3π si = Eiste g()? Cundo los vlores de están muy cerc de pero l derech de ; los vlores de g() se cercn 3 Cundo los vlores de están muy cerc de pero l izquierd de ; los vlores de g() tmbién se cercn 3 L notción pr este cso es: + g() = 3 g() = 3 En este cso los ites por derech y por izquierd en son igules, entonces se dice que g() = 3 Observr que el vlor del ite en no depende del vlor de l función en ese punto; g() = 3π 3 Infinito Diremos que tiende ms infinito cundo se grnd indefinidmente y lo escribiremos: + Diremos que tiende menos infinito cundo tom vlores negtivos, que considerdos en vlor bsoluto, se grndn indefinidmente y lo escribiremos: Tiene sentido, tmbién, que el resultdo de un ite se + o Ejemplos: ) Dd l función g() = ) Cundo tom vlores muy grndes pero positivos, los vlores de g() se hcen muy pequeños y se cercn 0 En este cso se escribe: g() = 0 + b) Cundo tom vlores muy grndes pero negtivos, los vlores de g() tmbién se hcen muy pequeños y se cercn 0 En este cso se escribe: g() = 0

3 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 3 ) Si h() = + 3 ) Cundo tom vlores muy grndes tnto positivos como negtivos, los vlores de se hcen muy pequeños y se cercn 0 Luego los vlores de h() se cercn 3 Se escribe: h() = 3 y h() = 3 + b) Cundo tom vlores cercnos 0 pero l derech de 0 los vlores de se hcen muy grndes y positivos Entonces: h() = c) Cundo tom vlores cercnos 0 pero l izquierd de 0 los vlores de se hcen muy grndes y positivos Entonces: h() = Propieddes Si f(t) = L y g(t) = M, y k es un número rel entonces: (f + g)(t) = L + M kf(t) = k f(t) = kl 3 (fg)(t) = LM 4 Además, si M 0, entonces: ( f ) L (t) = g M Ejemplos: Si f() = y g() = 3 3 = 8 = 4 ) + 3 = + 3 = 4 ) 3 = 3 = 3 4 = 3 4 3) 3 = 4) /3 = + ( 8) = = ( 8) = 4 / 3 = 4 Ejemplos de cálculo de ites: + = + = 6 = 4 /( 8) = 3

4 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP L función f() = no está definid en = Pero cerc ( l derech o l izquierd de = ): f() = 4 ( + )( ) = + 6 ( + 3)( ) = Cundo tiende los vlores de f() se cercn = pues cundo se grnd, muy pequeño que se cerc 0 se hce un número positivo ( = ) 3 ( + 5 = ) = ( + 5 = 0 ) 3 Funciones Continus Si f es un función culquier, NO se cumple necesrimente que: f() = f() En efecto, esto puede dejr ser cierto de muchs mners: Por ejemplo, ) f puede no estr definid en, en cuyo cso l ecución no tiene sentido ) Tmbién puede no eistir f()

5 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 5 3) Finlmente, ún estndo definid f en y eistiendo f(), el ite puede no ser igul f() Prece nturl considerr como norml todo comportmiento de este tipo y distinguir quells funciones que no presenten ests peculiriddes A este tipo de funciones se ls denomin continus Intuitivmente, un función es continu si su gráfic no contiene interrupciones, ni sltos Definición: L función es continu en si f() = f() L definición de función se continu en el punto = requiere que se cumpln ls tres condiciones: f() está definid, es decir, está en el dominio de f Eiste f() 3 f() = f() Propieddes: Si f() y g() son continus en y k es un número rel, entonces kf() es continu en f() + g() es continu en 3 f()g() es continu en 4 Además, si g() 0, entonces f()/g() es continu en

6 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 6 3 Función continu en un intervlo: Si f es continu en pr todo de un intervlo (, b), entonces se dice que f es continu en (, b) Ejemplos: ) Ls funciones constntes f () = c son continus pr culquier vlor de rel ) Ls funciones f () = n (donde n es entero positivo) son continus pr culquier vlor de rel 3) Por ) y ) y ls propieddes de ls funciones continus, ls funciones polinómics de l form: f() = n n + n n son continus pr culquier vlor de rel 4) L función g() = es continu pr todos los reles menos pr el 0 3 El número 0 no pertenece l dominio de g, es decir, que no puede clculrse g(0) En el resto de los números reles g() está definid como un cociente entre un función constnte y un función polinómic, como ls dos son continus, se deduce que g() es continu (por propiedd 4 de ls funciones continus) { si t 0 5) w(t) = t + si t > 0 0 t L función w(t) es continu en todos los números reles slvo en t = 0: Pr los vlores de t < 0, está definid como un función constnte, luego es continu Pr los vlores de t > 0 es un función polinómic (en este cso es linel), luego es continu Pr t = 0: w(0) = (l función está definid en 0 w(t) = t 0 + t + = w(t) = = t 0 t 0 Por lo tnto: el w(t) no eiste y w(t) no es continu en 0 t 0 6) Ls funciones seno y coseno son continus en todos los números reles 7) L función tngente no puede ser continu en todos los puntos en los que no t 0 + está definid: ( 3π, π, π, 3π, 5π )

7 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 7 4 Cso en que un función puede definirse de modo que se continu en un punto Si un función f() no está definid en pero eiste f() entonces puede redefinirse pr que se continu Por ejemplo: 6 3 L función g() = no está definid en donde se nul el denomindor, 3 es decir en el punto = 4 Luego, no puede ser continu en dicho punto Pr ver si es posible redefinirl, debemos ver si eiste g(): g() = = (6 ) 4 3( 4) 4)(4 + ) ( 4 3( 4) (4 + ) = 4 3 = 4 (4 )(4 + ) 3( 4) = 3 3 L función redefinid en el punto = 4 es un nuev función g () que es continu en dicho punto: g () = si 4 si = 4 En generl: Si f() no está definid en = (es decir, no pertenece l dominio de f y por lo tnto no es continu en ), pero eiste f() = L; entonces puede redefinirse de modo que se continu en : f() si f () = L si = y L Gráfic de f() y L = Gráfic de f () 5 Bibliogrfí Libros que se encuentrn en l bibliotec de l fcultd de Ciencis Agrris y Forestles y trtn los tems de est guí: Stewrt J,CÁLCULO, CONCEPTOS Y CONTEXTOS Stewrt J, CÁLCULO DE UNA VARIABLE

8 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 8 Lrson, CÁLCULO Volumen I Leithold, CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA 3 Ejercicios Estudir si eiste t 0 f(t) y grficr: { { 0 si t 0 t si t 0 ) f(t) = b) f(t) = si t > 0 0 si t > 0 0 si t < 0 c) f(t) = si t = 0 t si t > 0 d) f(t) = { t si t 0 t si t > 0 Estudir si eisten los siguientes ites, en cd cso relizr un gráfico: ) f() { f() = si 3 si < b) z G(z) { G(z) = z 3 + si z z 4 si z > 3 Clculr los ites siguientes: ) t t + 4 t + 5 f() = b) { + 9 si si < { G(z) = z si z cos z si z < c) + d) e) y + 4y + 3 f) y 3 y + 3 g) h) i) y y 3 y j) z 4 z 6 z 3 6z + 8z k) h 0 4 Clculr, si eisten, los siguientes ites: + h h l) t + 4 ) t + t b) c) d) 3 4 e) f) t (t + ) 4 t 5 g) h) y 5 (y 5) t + t 4 4 i) 4 + t 9 3y j) k) t (t ) 3 y 3 y 6y + 9 l) t π/ tg t

9 Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP 9 5 Mostrr que ls siguientes funciones son discontinus en los puntos que se especificn: ) f() = 4 en = 4 b) g() = 5 5 en = 5 c) h() = { 0 si < + si si < e) u() = si = + 3 si > en = d) z() = cos cos () en = en = 3π/4 6 En los csos en que se posible en el ejercicio 5, redefinir decudmente l función pr que se continu 7 Estudir l continuidd de ls siguientes funciones en todo su dominio y grficrls: { ) f() = { si + si 0 b) f() = + si > 3 + si > 0 3 si c) f() = si < < + 4 si e) g() = si si > cos si π g) g() = sen si π < < π sen () si π d) f() = { si > si ( + 3) si f) h() = si < si > cos (π) si k() = sen (π) si < < 0 tg () si 0 8 Se deposit un cpitl de $0000 un plzo fijo de 30 dís un interés nul del 6 % Se renuev 8 veces, dejndo en cd oportunidd los intereses producidos Grficr l evolución del monto obtenido en función del tiempo 9 Si se deposit el mismo cpitl un plzo fijo de 45 dís un interés nul del 6 % Se renuev 5 veces, dejndo en cd oportunidd los intereses producidos Grficr l evolución del monto obtenido en función del tiempo Comprr estos resultdos con los del ejercicio nterior