Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma
|
|
- Sergio Montes Blázquez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde l vrible independiente es el eponente, ests funciones se le llmn funciones eponenciles y se definen sí Se no uno > 0 no cero no negtiv myor que cero diferente de que uno entonces es 0< < o < L figur. ilustr por medio de un intervlo rel los vlores que puede tomr 0 Figur. + + L función: f ( ) = definid f : se llm función eponencil con 0< <, < y ; demás f es biyectiv, Como podemos observr en l figur. puede tener dos posibiliddes por que pr nlizr un función eponencil se deben contemplr los dos csos por seprdo Cso I: < Se f( ) = Construymos su gráfic Pr esto construimos un tbl de vlores como est y Elegimos vlores pr es está: y luego buscmos sus imágenes; un form de llenr l tbl y
2 Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur. Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que <. Criterio f ( ) = con <. Dominio IR. Codominio IR + Crcterístics 4. Ámbito 0, + o se IR+. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje de l bsciss 7. Intersec l eje de ls ordends en el punto ( 0, ) 8. Es estrictmente creciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic, es decir que l función se cerc tnto como puede l eje negtivo pero sin llegr tocrlo, o se
3 Como estmos en el cso en que < podemos pensr que sin importr l bse de f mientrs cumpl que se myor que uno su grfic será como en l figur. por lo que podemos generlizr ls propieddes de l función nterior tods ls que cumpln con es condición Figur. Cso II: 0< < Se f( ) = Construymos su gráfic Al igul que en el cso nterior hremos un tbl de vlores similr l otr y Escogemos vlores pr y luego buscmos sus imágenes por medio del criterio de l función; un form de llenr l tbl es está: y Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur.4 Figur.4 Anlizndo el criterio y l gráfic de ést función y teniendo presente que estmos en el cso en que 0< <
4 Crcterístics. Criterio f ( ) = con 0< <. Dominio IR. Codominio IR + 4. Ámbito 0, + o se IR+. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje 7. Intersec l eje de ls y en el punto ( 0, ) 8. Es estrictmente decreciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic, es decir que l función se cerc tnto como puede l eje, pero + est vez hci el positivo sin llegr tocrlo; o se Figur. En el cso en que 0< < su grfic será similr l de l figur. est serí l form generl del tipo de función eponencil de bse entre cero y uno, l igul que el cso I ls propieddes de l función nterior ls tienen tods ls que cumpln con l condición este cso. NOTA: L intersección con el eje de ls ordends de l form ( 0,) si y solo si el eponente de l función es o pues como y sbemos pr encontrr el este punto decimos que es igul cero y por leyes de potenci todo número elevdo l cero es uno
5 EJERCICIO: Grfique ls siguientes funciones y observe que se cumplen ls propieddes nteriormente descrits. f( ) = (). Ecución Eponencil 4 f( ) = Es l ecución que tiene como eponente l vrible ejemplos de ecuciones eponenciles son: + = + = + = = No hy un regl común pr resolver este tipo de ecuciones, se puede resolver por propieddes y estudids o por logritmos (se estudirán más delnte). NOTA: Resolver un ecución es hllr el vlor o los vlores de l incógnit o incógnits que hcen ciert l iguldd, ests soluciones les llmmos ríces de l ecución Pr resolver ecuciones eponenciles utilizremos tres métodos dos en los que se trbjr en notción eponencil y el más poderoso que es en el que se con logritmos:. Pr el primer método es necesrio que l ecución se de igul bse pues f ( ) g( ) utilizremos l siguiente identidd = f( ) = g( ). Pr el segundo necesitmos introducir nuevs vribles pr poder trnsformr l ecuciones y utilizr el primer método pr resolverls Ecuciones del Primer tipo TEOREMA: Si > 0 y, l ecución MOSTRACIÓN: = f ( ) g( ) es equivlente l ecución f( ) = g( ) = = sí que podemos concluir que si tenemos = = NOTA: Al igul que con un número rel ls leyes de potenci son válids pr ls funciones eponenciles
6 EJEMPLOS: Resolvmos ls ecuciones:.. = 8 Hcemos uso del teorem = + 7 = 7 = = + Aplicmos el teorem = = Despejmos l vrible. = ( ) = 8 = = + 4 = = 4 Utilizmos ls leyes de potenci pr obtener l mism bse Utilizmos el teorem Despejmos = 8 8 ( ) ( ) = = 6 = 6 = ( ) + 0, i = ( ) + i = + i = i = 0 0 = = Obtenemos l mism bse por medio de ls leyes de potenci, utilizmos el teorem y despejmos Ecuciones del Segundo tipo
7 4. Tomndo u = se tiene Resolvmos solo l primer ecución equivlente Como pudimos ver en el ejemplo nterior solo resolvimos l ecución = porque es imposible resolver por métodos lgebricos conocidos l ecución = y que es imposible epresr el número dos como potenci de bse tres, pr esto usremos los logritmos. Logritmos Nótese que l función eponencil es biyectiv por lo tnto podemos firmr que eiste un invers l eponencil, pero cómo despejr en un ecución eponencil de l form y = pr obtener su invers?; los logritmos son l respuest est pregunt. L plbr Logritmo está formd por dos términos griegos que significn: Logos: rzonr o clculr y Aritmos: números En conjunto quiere decir número clculdo. Antes de ls clculdors los logritmos fueron de grn yud pr resolver cálculos ritméticos complejos; pero hoy el uso de los logritmos mnulmente csi h desprecido por el uso de ls moderns clculdors. Los logritmos se utilizn en químic, físic, biologí, ingenierí y otros cmpos. L función eponencil: f ( ) = con > 0, f: IR IR + es un función biyectiv por lo que tiene un invers definid de l siguiente mner: f - : IR + IR Los nombres de ls prtes del logritmo son ls siguientes:
8 Pr encontrr l función logrítmic prtir de l eponencil, despejmos el eponente de l ecución y = y con esto obtenemos el logritmo de bse y rgumento y. Formlmente un logritmo se define sí: Con, > 0 y. = y log y = L epresión nterior se lee: l y es igul es igul y si y solo si el logritmo en bse de El siguiente digrm eplic simbólicmente como se colocn los dtos pr psr de un representción de un número en su notción eponencil su notción logrítmic y vicevers: NOTACIÓN:. Cundo l bse del logritmo es diez y con rgumento un número en el dominio del logritmo se puede escribir como log0 pero por simplicidd de l notción se prefiere omitir l bse y escribir log, estos logritmos se les llm logritmos comunes o decimles.. L epresión l og b es equivlente log b log Debido que l función está definid pr todos los números reles positivos sin contr el cero y como uno pertenece este subconjunto de los reles podemos ver en notción de potenci que: 0 0 = log = 0 Así que si l bse del logritmo es uno en l notción en bse diez (NOTACIÓN.) tendrímos problems y que como en el ejemplo nterior el logritmo de uno es cero por lo que el denomindor serí cero y esto nos indefine el logritmo por eso su bse debe ser un número rel positivo distinto de cero.
9 El rgumento debe de ser un número rel positivo y que de no ser sí por se tendrí un problem con l definición del logritmo pues el rgumento no pertenecerí l dominio de l función. NOTACIÓN:. Cundo l bse del logritmo es el número irrcionl e donde e, el logritmo se llm nturl y como es de uso muy frecuente el logritmo en bse e de un número en el dominio del logritmo que se escribirí log e tmbién se puede escribir como ln EJEMPLOS: Encuentre l función invers de ls siguientes funciones: ) c) e) d) 4 b) 8 d) 4 f) 8 g) 0 SOLUCIÓN: Form eponencil Form logrítmic = 8 log 8 = 8 = 8 = log8 4 = = 4 = 4 9 = = i = = = = log 4 = log 4 = 4 log 9 = log 4 = 4 = 64 log4 64 = 0 = = Función logrítmic log 000 =
10 Grficr en un sistem de coordends rectngulres ls siguientes funciones: Cso I: < Se f ( ) = log Construymos su gráfic Pr construir un tbl de vlores debemos de sistirnos de l clculdor o de un tbl de logritmos; sin embrgo trbjemos con l siguiente tbl, l cul puede ser comprobd fácilmente con un clculdor: 0 0, 0, y No eiste , 0,48 Ahor procedemos relizr l construcción de su gráfic de l función ubicndo los pres ordendos en sistem crtesino. L gráfic termind deberí quedrnos como l figur. Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que < Crcterístics
11 . Criterio f ( ) = log con <. Dominio IR +. Codominio IR 4. Ámbito IR. Es cóncv hci bjo 6. No intersec l eje de ls ordends 7. Intersec l eje de ls bsciss en el punto (, 0 ) 8. Es estrictmente creciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic l eje y negtivo, pues no lleg tocrlo, o se y Tods ls gráfics de los logritmos de bse myor que uno tienen un form similr l de l figur. y cumplen ls once propieddes citds nteriormente Figur. Cso II: 0< < Se f ( ) = log Construymos su gráfic prtir de un tbl de vlores de vlores con yud de l clculdor: , y No eiste 0 - -,8 L gráfic termind deberí quedrnos como l figur.
12 Figur. Anlicemos hor el criterio y l gráfic de ést función; recordemos que estmos en el cso en que 0< <. Criterio f ( ) = log con 0< <. Dominio IR +. Codominio IR 4. Ámbito IR. Es cóncv hci rrib 6. No intersec l eje de ls ordends Crcterístics 7. Intersec l eje de ls bsciss en el punto (, 0 ) 8. Es estrictmente decreciente 9. Es biyectiv 0. Es continu. Es sintótic l eje y positivo, o se y +
13 Tods ls gráfics de los logritmos que tienen l bse entre cero y uno poseen un form similr l de l figur.4 y cumplen ls propieddes enuncids nteriormente Figur.4 Propieddes de los logritmos. Al igul que eisten ocho leyes de potenci es de esperrse eistn leyes pr los logritmos que nos permitn trbjr con ellos y fcilitr su mnipulción y cálculo de lgunos de ellos; continución se enuncirán ests leyes o propieddes:. log = 0. log =. log i y = log + log y 4. log log log y =. log log log y log y = = y n 6. log = ni log m n m m n 7. log = log = i log n 8. log = i log = Ls propieddes son válids pr todo y y que pertenezcn l subconjunto de los números reles positivos, m y n reles; con > 0 y y con ls siguientes restricciones en cso de indefinir el denomindor y 0, n 0. Cd un de ls leyes se puede demostrr utilizndo ls leyes de potenci y estudids Además de ests se gregn l propiedd de cmbio de bse: y l ley eponencil: log b log = donde es l nuev bse log b y log b b =
14 Dds ests propieddes podemos plicrl pr simplificr un solo logritmo vris epresiones pr fcilitr el cálculo de uno solo en lugr de clculr vrios por seprdo o podemos epresr un solo logritmo como vrios pr relizr otrs operciones; vemos como se usn. EJEMPLO : Aplicr ls propieddes de los logritmos pr seprr el siguiente logritmo. log y z y log z log log ( y z) log + log log log + log log ( y z) ( y z) EJEMPLO : Utilizndo ls leyes de los logritmos reduzc un solo logritmo.. log log y log z log log y log z i y z log log yz (log 4 log + log log y ) (log 4 log log log ) + 4 log + log y 4 log i y 4 log y 4 log y y
15 EJEMPLO : Determine los siguientes logritmos sin usr l clculdor o un tbl de logritmos:.. log log 4 log 4 6 log 6 + log 6 log 6 66 i log4 6 log log log 4 log 64 + log 8 log log 8 + log log log 8+ 4log log EJEMPLO 4: Simplificr ls siguientes epresiones:.. ln ln ln ln 8 8 ln 4 8 ln ( ) ln ( ) 4 ln ( ) ( )( ) log + log log ( + ) ( )( ) ( + ) ( ) log ( + ) ( + )( + ) log + log log log log ( + ) ( ) log + +
16 Ecución Eponencil y Logrítmic Recordemos l ecución = que no pudimos resolver nteriormente porque no sbímos como hcerlo, hor es muy sencillo resolverl pues bst con plicr l definición de logritmo pr sber que l iguldd = es verdder cundo = log De lo nterior se puede concluir que pr resolver ecuciones eponenciles podemos psr de un ecución eponencil un ecución logrítmic TEOREMA : Se un ecución de l form log b f ( ) = log b g( ) donde b > 0 y y ; son soluciones de est ecución quells que lo sen tmbién de l ecución f( ) = g( ) con f( ) > 0 y g( ) > 0 TEOREMA : Se un ecución de l form log P( ) f( ) = log P( ) g( ) ; son soluciones de est ecución quells que lo sen tmbién de l ecución f( ) = g( ), pero que demás stisfgn que f( ) > 0, g( ) > 0, P ( ) > 0 y P ( ) Estos teorems nos permiten encontrr ls ríces de un ecución logrítmic, eso sí tomndo en cuent ls restricciones dds, o se después de resolver l ecución podemos obtener posibles ríces pero debemos probrls pr confirmr que verddermente lo son pues muchs veces los vlores que obtenemos indefinen l logritmo pues l sustituirlos se obtienen vlores que no pertenecen l dominio del logritmo. EJERCICIOS: Resolver ls siguientes ecuciones. o ( ) ( ) log + log + = 6. ( ) = ( log log )
Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica
Función Cudrátic. Si f ( ), determine su form cnónic. Determine el ámbito de l función ( 4). Hlle l ecución de l prábol que tiene vértice V (,) y cort l eje y en el punto (0,5). 4. Grfique l función f
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesel blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES
el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,
Más detallesECUACIONES (4º ESO Op B)
ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +
Más detallesREPASO DE ECUACIONES (4º ESO)
TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución
Más detalles( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l
Más detallespág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.
LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión
Más detallesConjuntos numéricos. Intervalos. Operaciones en el conjunto de números reales.
Fich Técnic Conjuntos numéricos Intervlos Operciones en el conjunto de números reles Índice de tems: Conjuntos numéricos Intervlos Operciones y propieddes Módulo o vlor bsoluto de un número rel Conjuntos
Más detallesTEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es:
TEMA : ECUACIONES ECUACIONES DE º GRADO Ls ecuciones de º grdo son de l form +b+c=0 y su solución es: b b 4c Cundo b=o o c=0 son incomplets y se resuelven de l siguiente form. Cso b=0, por ejemplo: 6 7=0
Más detallesFunciones trascendentes
Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte
Más detallesLOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( )
LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-630) MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que
Más detallesEstudio de funciones exponenciales y logarítmicas
FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl CONCEPTOS BÁSICOS Se llm función rel de vrible rel culquier plicción f : D R con D Œ R, es decir, culquier
Más detallesUNIDAD 0.- Repaso (parte II)
UNIDAD 0. Repso (prte II). INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llm desiguldd tod relción entre epresiones numérics o lgebrics unids por uno de los cutro signos de desiguldd,
Más detallesTEMA 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas. Tema 5: Logaritmos y ecuaciones logarítmicas 1
TEMA : Logritmos y ecuciones rítmics Tem : Logritmos y ecuciones rítmics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Logritmos...- Logritmo de un número rel...- Logritmos decimles y neperinos..- Propieddes de los ritmos..-
Más detallesLOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( ) MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto.
LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-60) MATEMÁTICAS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que l vrible
Más detallesEXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN
EXPONENCIACIÓN Y LOGARITMACIÓN Se presentn dos funciones de grn importnci en l mtemátic, como son: l función eponencil y l función rítmic. Función eponencil Definición: Se un número rel positivo. L función
Más detallesNÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS.
Números Reles NÚMEROS REALES 1º Bchillerto CC. SS. Reles R Irrcionles I Enteros Rcionles Z Q Nturles Nturles N 1,,,... EnterosZ, 1, 0, 1,... Rcionles Q 7,, 6'... 5 N Irrcionles I π,, 7'114... Números Reles
Más detallesLA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo
Más detallesEcuaciones de 1 er y 2º grado
Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones
Más detallesFUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
Más detallesTEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.
TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones
Más detallespág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.
LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer trimestre 4º ESO 16 de octubre de 2012 Números reales. Potencias y radicales NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer Curso 01 / 1 Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles NOMBRE: 1) ) Representr en un mism rect rel: 1 9 1/ 0 1 Decir qué números representn b: 0 1
Más detalles1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II 1 1 LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor? En generl, pr tener un ide de l respuest
Más detallesMódulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes
Módulo 14 Multiplicción de expresiones lgebrics. Exponentes OBJETIVO: Identificr potenci, bse exponente de un expresión lgebric. Multiplicr dividir polinomios. Recordemos lguns definiciones básics. Un
Más detallesTEMA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD
MATEMATICAS TEMA CURSO 4/5 CONCEPTO DE LÍMITE: Límite de un función en un punto: TEMA : LÍMITES Y CONTINUIDAD El símbolo ( y se lee tiende hci ) y signific que elegimos vlores muy próimos l vlor, (tn próimos
Más detallesFUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detalles56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado
56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si
Más detalles2) (No para quienes tengan suspendida la 1ª evaluación) Resolver la ecuación siguiente:
) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: 6 ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución) Resolver l ecución siguiente: + + 6 ) (No pr quienes tengn suspendid l ª evlución)
Más detallesSe llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:
Más detallesTEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número
Más detallesMATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles.
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones
CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como
Más detallesTEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.
TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..
Más detalles3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS
Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES
Más detallesTema 11: Integrales denidas
Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES CCNN
NOCIONES BÁSICAS Ls mtrices precen como consecuenci de ordenr los números en form de fils y columns. Ls línes horizontles se llmn fils, mientrs que ls línes verticles se llmn columns. - fil - column Pr
Más detallesTema 1: Números reales.
Tem : Números reles. Ejercicio. Representr los siguientes conjuntos numéricos: ) Números myores que. b) x / x c) x / x x d) Números menores que excluyendo el 0. e) / x x / x x / x ) (, ) b) [,) 0 c) [,]
Más detallesMatemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales
Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse
Más detallesEjemplo: Para indicar el conjunto (que llamaremos M), formado por los números 4, 6 y 8, escribimos: M = { 4, 6, 8}
NÚMEROS REALES. BREVE REPASO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS En est unidd utilizremos ls notciones l terminologí de conjuntos. L ide de conjunto se emple mucho en mtemátic se trt de un concepto básico del que
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición
Más detallesTEMA 1: NÚMEROS REALES. 2. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:
I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrigo Deprtmento de Mtemátics Conjuntos numéricos. Relción entre ellos.. Complet: TEMA : NÚMEROS REALES Números reles. Indic el menor conjunto numérico l que pertenecen los siguientes
Más detallesEs una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:
Funciones eponenciles y ritmics Doc. Luis Hernndo Crmon R Funciones Eponenciles Ejemplos: f ( ) Es un función eponencil con bse. Vemos con l rpidez que crece: f () 8 f (0) 0 04 f (0) 0,07,74,84 Funciones
Más detallesCircunferencia y elipse
GAE-05_M1AAL5_circunferenci_elipse Circunferenci y elipse Por: Sndr Elvi Pérez Circunferenci Comienz por revisr l definición de circunferenci. Un circunferenci es un curv formd por puntos que equidistn
Más detallesLímite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1
Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor 0? En generl, pr tener un ide de l respuest
Más detallesDERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:
EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.
Más detallesIES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos
Más detallesManual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato
Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detallesIES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer emen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, eplicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid
Más detallesSigno 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±
CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes
Más detallesf) Log 12 1/1728 = -3 c) Log 1/3 1/81 =4 d) Log 2 8 = 3 e) Log = 7 g) Log = 3 h) Log 3 1/27 = -3
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II Logritmos Escrib en form logrítmic: ) 8 = 6 b)(1/) -1 = c) (1/)
Más detallesTEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN:
TEMA LOS NÚMEROS REALES. LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los números rcionles: Se crcterizn porque pueden epresrse: En form de frcción, es decir, como cociente de dos números enteros: Q,
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS
Más detallesCURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias
CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl
Más detallesACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
Más detalles3. Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 625 d) 0, 25 e) c) ( ) 4 8
POTENCIAS. Hll sin clculdor +.. Simplific utilizndo ls propieddes de ls potencis: b c ) 0 b c. Epres los siguientes rdicles medinte potencis de eponente frccionrio y simplific: ). Resuelve sin utilizr
Más detallesJunio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A
Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu
Más detallesUNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto
Más detallesO(0, 0) verifican que. Por tanto,
Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O
Más detallesD I F E R E N C I A L
D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil
Más detallesMatemáticas Bachillerato
Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Introducción Siempre que hy un proceso que evolucione de modo que el umento (o disminución) en un pequeño intervlo de tiempo, se proporcionl
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1
el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o
Más detallesMódulo 12 La División
Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción
Más detallesCUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...
Más detallesESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis
Más detallesTEMA 1. LOS NÚMEROS REALES
TEMA. LOS NÚMEROS REALES. Operciones con números nturles. Los números nturles son los que se utilizn pr contr 0,,,,,, Con los números nturles podemos relizr diferentes operciones, como - Sum + = 8 - Rest
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2012/13 Primer Examen 2ª evaluación 4º ESO 30 de enero de 2013 NOMBRE
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 NOMBRE ) Resolver: 7 ( punto) ) Resolver: + 9 + + (, puntos) ) Resolver: log + log 6 ( punto) 6 ) Resolver: (, puntos) 8 8 )
Más detallesConcepto de funcio n y funciones elementales
Concepto de uncio n unciones elementles Ls unciones describen enómenos cotidinos, económicos, psicológicos, cientíicos Tles unciones se obtienen eperimentlmente, medinte observción. Después, se idelizn
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores
Más detallesuna forma de resolver la integral, consiste en encontrar el desarrollo del
SSTITCION NIVERSIDAD FRANCISCO DE PALA SANTANDER FACLTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA INTEGRACIÓN POR SSTITCIÓN Nunc olvides que bst un person o un ide pr cmbir tu vid pr siempre
Más detallesDiremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso.
Límite de un unción en un punto Diremos que () b si podemos logrr que los vlores de ( ) sen tn próimos b como quermos, con tl de tomr vlores de tn próimos como se preciso. Podemos dr un deinición más orml
Más detallesMódulo 16 Simplificación de fracciones
Módulo 6 Simplificción de frcciones OBJETIVO: Mnejrá ls cutro operciones fundmentles con epresiones lgebrics frccionris, simplificrls hst trnsformrls en irreductibles y epresrá proposiciones en lenguje
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not
Más detallesTema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.
LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.
Más detalles10.- Teoremas de Adición.
Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.
Más detallesMatemática DETERMINANTES. Introducción:
Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por
Más detallesTEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8
Más detallesConceptos bá sicos. Sumá, restá y producto de polinomios
Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Conceptos bá sicos. Sumá, restá y producto de polinomios Un monomio en un vrible o indetermind es un n epresión de
Más detalles17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces.
Tem 1.- V de números 1.1.- Números pr contr. Un de ls primers ctividdes intelectules que reliz el ser humno es l de contr: el número de flechs, el número de ovejs, el número de enemigos, etc. En Mtemátics
Más detallesLÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE
Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos
Más detallesDefinición de la función logaritmo natural.
L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detallesFormalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr
Más detallespág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:
.- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim
Más detalles