LOGARITMOS. John Neper ( ) Henry Briggs ( )

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1 LOGARITMOS John Neper (550-67) Henry Briggs (56-630) MATEMÁTICAS CCSS I º Bchillerto Alfonso González IES Fernndo de Men Dpto. de Mtemátics

2 I) FUNCIÓN EXPONENCIAL de BASE f()= «Es quell función en l que l vrible independiente figur en un eponente, es decir, tod función del tipo f()=, donde R + -{}». Ejemplo : Construir un tbl de vlores propid y representr f()= y=2 Consecuencis: º) Signo de f(): 2º) Crecimiento: 3º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntots: 5º) lim 2 lim 2 = = Ejemplo 2: Ídem con f() = = 0,5 = = y = Consecuencis: º) Signo de f(): 2º) Crecimiento: 3º) Dom(f)= Im(f)= 4º) Asíntots: 5º) lim 2 = lim = 2 En l siguiente págin se eplic por qué se impone que R + - { } Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

3 Definición: Función eponencil de bse >0 ( ): R R + -{0} NOTA: Se consider >0 porque, en cso contrrio, obtendrímos un función poco "congruente"; por ejemplo, pr f()=(-2) : f ( 2) = ( 2) 2 = 4 > 0 Pero f ( 3) = ( 2) 3 = 8 < 0 /2 f ( / 2 ) = ( 2) = 2 = etc. Propieddes de l función eponencil: º) L función siempre ps por (0,) y (,) 2º) > CRECIENTE < DECRECIENTE 3º) Dom (f ) =R, es decir, «L función eponencil siempre está definid 2» 4º) Im(f ) =R + -{0}, o dicho de otr form, >0 R, es decir, «L función eponencil siempre es estrictmente positiv» 5º) > 0< < lim = 0+ lim = lim = lim = 0+ 6º) y=0 A.H., es decir, «L función eponencil siempre present el eje como A.H. 3» Todo lo visto hst hor se puede resumir en ls siguientes gráfics: y= y= y=0 A.H. > 0<< 2 Nótese que nos referimos ; por ejemplo, / no estrá definid en =0 3 De nuevo, nos referimos ; por ejemplo, / present l A.H. y= Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

4 Cso prticulr: Cundo l bse es e 2, (cte. de Euler 4 ), tenemos l función eponencil de bse e, utilizd muy frecuentemente. (Construiremos su gráfic en el ejercicio del finl del tem). II) FUNCIÓN LOGARÍTMICA de BASE f()=log L enorme complejidd de los cálculos que se presentron durnte el siglo XVI en los estudios stronómicos dio lugr numerosos intentos de simplificción, entre ellos l sustitución de multiplicciones por sums. Se debe l escocés John Npier (en ltín, Neper) l invención en quell époc de los logritmos, lo cul trjo consigo l función logrítmic. En cmbio, el reciente desrrollo de l electrónic h origindo que en l ctulidd prácticmente hy desprecido l importnci de su utilizción como técnic de cálculo, unque no como concepto mtemático. Definición: «L función logrítmic y=log (con >0 y ) es l invers de l función eponencil y=» Ejemplo 3: Utilizndo l tbl de l función y=2 (ejemplo ), obtener l tbl de y=log 2 y su gráfic FUNCIÓN INVERSA y=2 y y=log 2 FUNCIÓN INVERSA y 4 El número e, llmdo constnte de Euler -en honor l mtemático suizo Leonhrd Euler ( )-, surge como límite de l siguiente sucesión: n = + n n Por ejemplo, n= =2 n=00 00 n=2 2 =,5 2 =2,25 n= n=3 3 =,33 3 2,3704 n= n=4 4 =,25 4 n= n=5 5 n e 2, Se trt de un número irrcionl, es decir, const de cifrs decimles no periódics. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

5 Nótese en l tbl que: log 2 4=2 (pq 2 2 =4) Y, en generl: log 2 8=3 (pq 2 3 =8) log 2 6=4 (pq 2 4 =6) Definición: «El logritmo en bse de un número es el eponente l que hy que elevr l bse pr obtener dicho número» rgumento o ntilogritmo log N = = N bse logritmo Ejemplos: log 3 8= pq log 0 00= log 2 64= log 2 /2= log 9 3= log 3 (-9)= pq pq pq pq pq Nótese que en todo esto hy ciert nlogí con l conocid definición de n = como invers de n Ejemplo 4: Utilizndo l tbl de l función y = 2 (ejemplo 2), obtener l tbl de y=log / 2 y su gráfic. y = FUNCIÓN INVERSA y y=log /2 FUNCIÓN INVERSA y Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

6 CONCLUSIÓN: Propieddes de l función logrítmic: º) Dom(f ) =R + -{0}, o dicho de otr form, «No eiste el logritmo de un número negtivo 5» 2º) Im(f ) =R, por lo que podemos ñdir: «pero un logritmo puede ser negtivo» 3º) log = (porque =) «El logritmo de l bse siempre es» log = 0 (porque 0 =) «El logritmo de, se cul se l bse, siempre es 0» 4º) > log CRECIENTE 0< < log DECRECIENTE 5º) > lim log = lim log = + 0 < lim log = lim log = + 0 6º) =0 A.V., es decir, «L función logrítmic log siempre present el eje y como A.V. 6» Todo lo visto hst hor se puede resumir en ls siguientes gráfics: y=log =0 A.V. > 0<< (,) (,) (,0) (,0) y=log =0 A.V. Cso prticulr: LOGARITMOS NEPERIANOS 7 : Son los que utilizn como bse e 2, ; tienen un notción especil: log e =ln Ejercicio finl tem: 4 5 Nótese que, puesto que l función eponencil y l logrítmic son inverss, el dominio de un coincide con el recorrido de l otr, y vicevers. 6 2 Nótese que nos referimos log ; por ejemplo, log present únicmente A.V. en = y =2 7 Se llmn sí en honor John Neper (550-67), mtemático escocés que, como y se h dicho, ideó los logritmos pr simplificr cálculos. Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

7 Ls clculdors normlmente disponen de sends tecls log y ln pr clculr logritmos decimles o neperinos Cómo obtener logritmos en culquier bse?: log ln log DERIVE LOG(,0) LN() o LOG() LOG(,) GRAPH log() ln() logb(,) CALCULADORA log ln log : log NOTA: L últim fórmul, llmd del cmbio de bse, se eplicrá en el pdo. V III) CÁLCULO LOGARÍTMICO III.) Logritmo de un producto: log (p q) = log p + log q Es decir, «El logritmo de un producto es l sum de logritmos» conocemos p y q Dem: log p = = p y y ( ) y p q + = = log p q = + y = log p + log q (C.Q.D.) log q y q = = Observciones: ) Est fórmul es válid en culquier bse. 2) Est fórmul se puede generlizr 3 o más rgumentos: log (p q r ) = log p + log q + log r etc. 3) Est fórmul y ls siguientes que veremos continución- nos puede servir pr comprender cómo surgieron los logritmos en el siglo XVI como instrumento pr fcilitr los cálculos stronómicos con cntiddes elevdísims pr l époc (como y indicmos l comienzo del prtdo II). Vmos eplicrlo con un ejemplo: Supongmos que queremos hllr el vlor de N= (Recordr que, ntes de l prición de ls clculdors, operciones de este tipo ern muy lborioss) Tommos logritmos en mbos miembros: log log =logn Se disponí de tbls de logritmos muy complets, con ls que se podí reemplzr cd logritmo por su vlor (evidentemente, er más fácil sumr mno decimles que multiplicr números de muchs cifrs): 6,244 +6,2940 = log N Es decir: 2,5085 = logn A continución, se buscb en ls tbls el cso inverso, es decir, cuál es el número cuyo logritmo es 2,5085 (lo que se conoce como ntilogritmo 8 ): 8 En l clculdor, pr hllr un ntilogritmo, normlmente se utiliz l combinción SHIFT-log: log N =2,5085 N= SHIFT-log 2,5085 = Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

8 log N=2,5085 N= Hoy en dí todo esto se nos puede ntojr lgo lborioso, pero situémonos en quellos tiempos no muy remotos 9 -, sin ordendores ni clculdors III.2) Logritmo de un cociente: Dem: p log log p log q q = Es decir, «El logritmo de un cociente es l rest de logritmos» III.3) Logritmo de un potenci: n log p = n log p Es decir, «El logritmo de un potenci es el eponente por el logritmo de l bse» Dem: Vmos probrlo pr n N: n términos n términos n logp = log(p p p... p) = logp + logp logp = n logp (C.Q.D.) Observciones: ) En relidd est fórmul es válid n R 2) Cso prticulr: LOGARITMO DE UNA RAÍZ: log p = log p = logp (C.Q.D.) n n /n Es decir: «El logritmo de un ríz es el inverso del índice multiplicdo por el logritmo del rdicndo» Ejercicios finl tem: 5 l 2 IV) ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS «Un ecución eponencil es quell en l que l incógnit prece como eponente». Eisten vrios procedimientos pr su resolución, dependiendo del tipo de ecución; básicmente, se pueden resumir en tres: er cso: Alguns ecuciones eponenciles se resuelven consiguiendo un iguldd entre dos potencis de l mism bse, con lo cul los eponentes tendrán que ser igules. 42+ = 82 Ejemplo 5: 9 Por ejemplo, el uso generlizdo de ls clculdors se produjo en l décd de los 70 del siglo psdo Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

9 2 o cso: Cundo figurn sums y/o rests de epresiones eponenciles, lo que suele funcionr es plicr un cmbio de vrible del tipo =t (donde suele ser primo), con lo cul l ecución eponencil se trnsform en un ecución lgebric en t = 6642 Ejemplo 6: 3 er cso: En otros csos lo que suele funcionr es tomr logritmos decimles (o tmbién neperinos, según conveng ) en mbos miembros ( evidentemente, esto no funcion cundo l menos uno de los miembros es un sum!). Ejemplo 7: 2 = 3 2 NOTA: El sber cuál de los tres procedimientos plicr un ecución eponencil concret es un técnic que requiere práctic y sentido común; en lgunos csos sólo funcion uno de los tres métodos, mientrs que en otros es posible que se pued elegir entre dos de ellos, o culquier de los tres Pr dquirir dich técnic, resultrá útil el siguiente ejercicio: Ejercicios finl tem: 22 l 24 «Un ecución logrítmic es quell en l que l incógnit prece en el rgumento de un logritmo». Se resuelven siempre plicndo ls propieddes de los logritmos en orden inverso hst logrr un iguldd de logritmos de l mism bse, con lo cul sus rgumentos serán igules (esto se conoce como propiedd inyectiv): log = log y = y IMPORTANTE!: En este cso es fundmentl comprobr ls posibles soluciones obtenids sustituyéndols en l ecución del principio, y descrtr quells que conduzcn un logritmo con rgumento negtivo. Ejemplo 8: log = 2 log 4 Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl

10 Soluc : = Ejemplo 9: 4 log - = log 4+log (2) ( ) Ejercicio finl tem: (Problems de plicción) V) CAMBIO DE BASE Fórmul del cmbio de bse de sistem de logritmos: log = log log b b Dem: Puesto que el logritmo y l eponencil son funciones inverss, es evidente que: = log Tomndo log b en mbos miembros, y plicndo l fórmul del logritmo de un potenci, obtenemos l fórmul nterior (desordend): log = log = log log (C.Q.D) log b b b Utilidd: L fórmul del cmbio de bse permite clculr logritmos en culquier bse con ls clculdors hbitules, que sólo disponen de logritmos decimles (o neperinos); en efecto, pr ello bst con tomr b=0 en l fórmul, con lo cul se obtiene: log = log log Despejndo: log log = log log 9 0, Ejemplo: log 3 9 = = = 2 (Como puede comprobrse, plicndo l definición ) log 3 0, Ejercicios finl tem: 29 3 Teto bjo licenci Crtive Commons: se permite su utilizción didáctic sí como su reproducción impres o digitl