OPERACIONES CON RADICALES

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Patricia Salas Romero
hace 9 años
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1 OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:, requiriéndose, demás, que 0. Si n es impr, sólo h un posile resultdo. A n se le llm índice de l ríz, l vlor, rdicndo. n es un número nturl distinto de 0 (n N*). Cundo n 1, desprece l operción ríz, quedándonos únicmente con el rdicndo. Pero con operciones cominds lo que emplemos siempre son rdicles. Un rdicl es un epresión del tipo n, donde son números reles. Y l ríz tiene únicmente el signo que se indique. Así: +, sí como. Si en lgún momento nos queremos referir un ríz de índice pr con sus dos signos, lo escriiremos epresmente:. OPERACIONES CON RADICALES Tods ls operciones que epresmos continución son consecuenci de ls fórmuls fundmentles de rdicles de potencis, si ien nosotros epresmos el método resultnte (no se está dndo l demostrción). Pr tods ells se requiere que en los rdicles sólo h productos o cocientes: si huier sumndos no se pueden trnsformr en productos (scndo fctor común), no podrímos hcer nd. 1. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Procedimiento: Hllmos el mcd del índice de todos los eponentes del rdicndo. Dividimos cd uno de ellos el índice entre el mcd. 8 1 Ejemplo: 1 Sólo h productos cocientes, luego podemos operr. 1 está elevdo 1, pero podemos ponerlo en form de potenci: (normlmente uscmos que l se se un número primo). Luego: entre ) 8 1 ) 1 ; ) 1 ; c) ; d) 8 (mcd(1,,8,) dividimos el índice cd eponente. AMPLIFICAR RADICALES Procedimiento: Inverso l nterior; se multiplicn el índice cd uno de los eponentes por el mismo número. Ejemplo: 9 (hemos multiplicdo por índice eponentes) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de

2 Todos los ejemplos de l operción nterior, leídos l revés (de derech izquierd, es decir, del resultdo finl l comienzo) nos sirven de ejemplo de est operción. ) Poner con índice 8:. PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES Procedimiento: Se escrien todos los rdicles que intervienen con el mismo índice. Si no lo tuviern, se mplificn, según lo epuesto ntes, de form que todos tengn como índice el mcm de los índices iniciles. Ejemplo: ) (mcm(,,)1 mplificmos todos los rdicles índice 1) ; ). EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL RADICAL Procedimiento: Sólo se pueden etrer fctores o divisores, que tengn como eponente un vlor mor o igul que el índice de l ríz. (En el ejemplo que sigue, el no se puede etrer, pero sí, elevdo 9 que es mor que,, elevdo que es igul l índice). Pr l etrcción de un fctor de índice mor o igul que el índice: ) Si el eponente es múltiplo del índice de l ríz, el fctor sle de l ríz elevdo l eponente que tení dividido entre el índice de l ríz. (En el ejemplo, el eponente de es, múltiplo del índice de l ríz, tmién. Sle elevdo entre, o se, 1, se mntiene en el denomindor.) ) En cso contrrio (como le sucede l en el ejemplo), se sepr dicho fctor en producto de l mism se ( en el ejemplo) elevd l múltiplo del índice de l ríz más próimo, sin sorepsrlo, l eponente que tení dicho fctor (en el ejemplo, 9 es el múltiplo de más próimo 10 sin sorepsrlo) multiplicdo por l mism se elevd lo que flte hst el eponente que tení (En el ejemplo, lo que flt desde 9 hst 10 es 1. Por eso seprmos 10 9.) Al fctor que qued con eponente múltiplo del índice, se le plic el proceso eplicdo en el prtdo nterior. El otro fctor, permnece dentro de l ríz Ejemplo: ) 7 ; ) 1 ; c) 8 1 e) ; d) ;. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN EL RADICAL IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

3 Procedimiento: Se multiplicn los eponentes por el índice de l ríz. Ejemplo: 1 1 ). RAÍZ DE UNA RAÍZ Procedimiento: Si ls dos ríces, un conteniendo l otr, están consecutivs, sin ningún número que ls sepre, se multiplicn los índices. Ejemplo: (H un fctor que sepr los rdicles: lo introducimos dentro de l ríz interior, l de índice ) (siempre h que simplificr rcionlizr denomindores, que lo veremos más delnte) ) 81 ; ) RACIONALIZAR DENOMINADORES Consiste en cmir l epresión pr que no prezcn ríces en el denomindor. El procedimiento es diferente según los csos: Procedimiento cso 1: No h sums en el denomindor. Multiplicmos numerdor denomindor por un ríz del mismo índice que l del denomindor con fctores elevdos eponentes tles que l sumr con los eponentes originles resulte un múltiplo del índice. Ejemplo: ( 1 deemos multiplicrlo por pr que de un eponente múltiplo del indice de l ríz:. precis ser multiplicdo por 1 ) 1 ) ; ) ; c) ; d) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de Procedimiento cso : H un sum o diferenci en el denomindor ls ríces que intervienen en el denomindor son ríces cudrds. Se multiplic numerdor denomindor por el conjugdo del denomindor (si el denomindor es un sum, por l diferenci si es un diferenci, por l sum). Ejemplo: ( ( ) 7 ( 10 (el conjugdo de es ) ) ) ( 10 7 ) ( )

4 e) ; f) 8. POTENCIA FRACCIONARIA Procedimiento: Aplicr l definición p / q Ejemplos: 1/ 1 1 ; Poner con ep. frcc: 1 ) Poner sin eponente frccionrio ni negtivo: ( 1/ ) 1/ ) Poner con eponente frccionrio: q p cd fctor o divisor del rdicl SIMPLIFICACIÓN DE LA EXPRESIÓN FINAL H que: Simplificr ls ríces, conforme lo dicho en el prtdo 1 Etrer fctores de ls ríces Que ls ríces no contengn denomindores que los denomindores estén rcionlizdos. Evitr préntesis. Los eponentes deen ser positivos. 10. SUMA Y RESTA DE RADICALES Rdicles semejntes son los que, después de simplificdos, tienen el mismo índice rdicndo, pudiendo vrir únicmente en el coeficiente. Ej: son semejntes los cutro rdicles siguientes: ; ; 0 ; 18. Pr poder sumr o restr rdicles, tienen que ser semejntes. El procedimiento consiste en sumr o restr los coeficientes, dejndo l mism ríz. Ejemplos: 1) (10 no es un número primo, pero como es un operción que puede hcerse fácilmente, de memori, nos es útil porque como trjmos con ríces de índice, un número l cudrdo puede etrerse de l ríz) + 10 ( + 10) 7. L justificción de sumr restr los coeficientes l tenemos en que etremos l ríz como fctor común de los sumndos. ) (1 + ) + +. En este cso, no podemos hcer más, puesto que hemos termindo con dos rdicles no semejntes. ) ) 0 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 Soluciones los ejercicios: 1) 1 (dividiendo índice eponentes entre ) 1) 1 ; mcd (1,1,)1 no se puede simplificr 1c) ; no podemos trnsformr el rdicndo en productos no se puede simplificr. 1 1d) 8 8 ) ) ) ) 7 ) (dividiendo índice eponentes entre ) (h que trnsformr en productos, pr poder hcer lgo; scmos fctor común) ( ) ( ) 1 c) d) ( 8 1 1) 17 e) ) 9 9 ) (etrendo fctores) 0. H otrs forms de hcerlo. ) 1 1 7) (con sumndos no se pueden plicr ls fórmuls fundmentles, que es lo que se sn tods ests operciones) ) 7c) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

6 7d) 7e) 7 ( ) ( ) ( ) 9 1 (7 ) 7 que no se puede simplificr más. ( ) 9 7f) 9 1 8) ( 1/ ) 1/ 8) 10) 10) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

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