NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS

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1 NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS Frcción: es un pr ordendo de números nturles con l segund componente distint de cero. (, ) pr ordendo frcción es un frcción N N EQUIVALENCIA DE FRACCIONES * Frcciones diferentes, por ejemplo, 2/3 y 4/6, producen el mismo resultdo. En efecto, en ls dos siguientes situciones: De los 18 lumnos de l clse, los 2/3 son chics. De los 18 lumnos de l clse los 4/6 son chics, el número de chics es el mismo, 12. En relidd, disponemos de infinits frcciones pr comprr el número de chics 12 con el totl de l clse 18: 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, etc. Decimos que ests frcciones son equivlentes entre sí. Est situción se suele ilustrr en l escuel primri medinte gráficos como el siguiente: 4/6 de 18 chics = 12 chics 2/3 de 18 chics = 12 chics Frcciones equivlentes. Crcterizción: Dos frcciones /, c/d son equivlentes si se cumple l iguldd de los productos cruzdos, o se:.d =.c c d equivlente d = c Est relción cumple ls tres condiciones exigids ls llmds relciones de equivlenci, o se: Reflexiv: tod frcción es equivlente sí mism; Simétric: si un frcción x es equivlente otr frcción y e y es equivlente x, entonces x e y son l mism frcción; Trnsitiv: si un frcción x es equivlente otr frcción y e y es equivlente otr frcción z, entonces x y z son equivlentes. Reflexiv, = esto se cumple por propiedd conmuttiv del producto de nturles Prof. Crolin Colmn Págin 1

2 Simétric c c c, si d d d c c si d = c d = c c = d d prop conmuttiv prop simétric de d del prod de nturles Trnsitiv c e c c e e,, si d f d d f f Hipótesis Tesis Demostrción : c d c e = = d f l iguldd de nt. d = c d f = c f * d f = d e prop. trnsiitiv prop socitiv y c f d e c f d e de l iguldd conmuttiv del prod de nt. * f d = e d f d = e d e f = e Además d 0 f prop cnceltiv del prod de nt. * 1 Es importnte destcr que en l myor prte de ls situciones, ls frcciones equivlentes se usn indistintmente. Intuitivmente vemos que dos frcciones equivlentes, tles como 2/3 y 4/6 se refieren un mism cntidd si se trt de un mgnitud o un mism rzón si se trt de un comprción. Lo mismo ocurre con tods ls frcciones equivlentes l dd: 3/9, 20/30, 200/300, etc. Est ide intuitiv se formliz introduciendo los números rcionles. 1 Si en un iguldd multiplico mos miemros por un mismo número l iguldd se mntiene Prof. Crolin Colmn Págin 2

3 Número rcionl El conjunto de ls frcciones qued dividido en clses de equivlenci, cd un de ells formd por tods ls frcciones equivlentes entre sí. Cd un de ls clses se dice que es un número rcionl; y el conjunto de tods ls clses, el conjunto de los números rcionles solutos Q. Est descripción strct se puede interpretr desde un punto de vist más intuitivo: El número rcionl [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificmos con l frcción 2/3 cundo es usd como representnte de culquier otro miemro de l clse de frcciones equivlentes 2/3. Ls distints frcciones de un mism clse de frcciones equivlentes son tods ells diferentes uns de otrs. Cundo se escrie: 3 = 6 = ests tres frcciones, en tnto que tles frcciones, no son igules entre sí, sino equivlentes (se puede sustituir un por otr). Pero tods ests frcciones representn l mism clse de equivlenci, el mismo número rcionl. Por ello usmos el símolo de iguldd Si se multiplicn ms componentes de un frcción (numerdor y denomindor) por un mismo número nturl distinto de cero se otiene un frcción equivlente. Ejemplo: Dd l frcción 3 4 oservr que , multiplico numerdor y denomindor por 3 y otengo l frcción 9 12, podemos Si se dividen ms componentes de un frcción por un mismo número nturl divisor de ms se otiene un frcción equivlente. Prof. Crolin Colmn Págin 3

4 Hipótesis : es un frcción * n N n Tesis : n Demostrción : n n por definición ( ) ( ) n = n est iguldd se cumple por propiedd conmuttiv y socitiv del producto de números nturles Ejemplo: Dd l frcción 15, divido numerdor y denomindor entre 5 que es divisor de 15 y de 10 y otengo 10 l frcción , podemos oservr que 10 2 Demostrción nálog l nterior. L equivlenci de frcciones y rzones es l propiedd que justific vris técnics importntes de mnipulción de rcionles. Un de ells es l técnic de 'simplificción de frcciones' que nos permite psr de un frcción l frcción irreducile 2 equivlente ell y que consiste en dividir numerdor y denomindor por el máximo común divisor de mos números. Otr técnic es l de 'reducir común denomindor' o 'reducir común numerdor' vris frcciones, técnic consistente en elegir frcciones equivlentes ls dds, tods ells con el mismo denomindor o con el mismo numerdor, pr lo cul hy que uscr el mínimo común múltiplo de los denomindores o numerdores. Frcciones irreduciles: Cundo trjmos con un número rcionl, conviene designrle por l frcción más simple posile, como por ejemplo, 3/5 en el ejemplo nterior. Ests frcciones que no se pueden simplificr (dividiendo numerdor y denomindor por el mismo número) se llmn frcciones irreduciles. Números rcionles prticulres Todo número entero es un rcionl, pues culquier entero se puede escriir en l form de frcción: - 0 = 0/1 = 0/2 =... 2 Se llm frcción irreducile un frcción en l que numerdor y denomindor son primos entre sí, es decir, no tienen ningún fctor primo común. Prof. Crolin Colmn Págin 4

5 - 1 = 1/1 = 2/2 = = 4/2 = 6/3 =... Todo número deciml es un rcionl, pues todo número deciml se puede escriir jo l form de un frcción cuyo denomindor es un potenci de diez. 1,2 = 12/10 (= 6/5) 34,56 = 3456/100 En consecuenci, el conjunto de los enteros y el de los decimles son suconjuntos de Q, el conjunto de los números rcionles. Simplificción entre frcciones: Ejemplo: MCD(24, 28) = divido num y den entre 4 Ejercicios 1) Puedes simplificr l frcción 1/3? Y 3/5? Por qué? Y mplificrls? 2) Escrie tres frcciones equivlentes cd un de ésts: 2/5; 3/2; 10/4. 3) Entre tres migos se hn reprtido 360 cromos de l siguiente mner: l primero 3/9, l segundo 4/12 y l tercero 1/3. Cuántos cromos le corresponde cd uno? Qué relción hy entre ls tres frcciones? 4) Cuál de ls siguientes frcciones es irreducile? 10/21; 15/24; 220/1617 5) Simplificr ls siguientes frcciones: 6) Un pelot reot 2/3 de l ltur que h cído. i) Si ce de 18m, qué ltur reot? ii) De qué ltur fue dejd cer si reot 4m? ,,, ) Retiro del nco los 3/7 de mi depósito que equivlen $1110. Cuánto he dejdo depositdo? 8) Un chcrero vendió 2/5 de su cmpo y rrendó 1/3 del resto quedndo pr él 300 hectáres. Cuál er l superficie totl de su cmpo ntes de hcer sus negocios? Prof. Crolin Colmn Págin 5

6 Representción gráfic de Q O µ Si tengo que representr por ejemplo l frcción 2/3, divido l unidd en 3 prtes y de ess tomo 2. Orden en Q Definición: < c d < c d Ejemplo: 2 < < < 15 cierto 3 4 Definición: > c c < c < d d > c d d Ejemplo: 2 > > > 7 cierto 7 8 9) Comprr: Csos prticulres: 1) frcciones de igul denomindor Prof. Crolin Colmn Págin 6

7 c <. =. c < c 0 Si dos frcciones tienen igul denomindor es menor l que tiene menor numerdor. 2) frcciones de igul numerdor < c. c =. c < 0 Si dos frcciones tienen igul numerdor es menor l que tiene myor denomindor. Dds y c d, queremos encontrr dos frcciones equivlentes ls dds que tengn el mismo denomindor (esto es reducir común denomindor). El común denomindor deerá ser un múltiplo común distinto de cero de los denomindores de ls frcciones dds (es conveniente que se el mínimo común múltiplo de y d) En generl: Si multiplico numerdor y denomindor de por d y numerdor y denomindor de c d por, otengo dos frcciones equivlentes ls primers y tienen el mismo denomindor.d. Es decir. d. d tienen el mismo denomindor c c. d d d. Prof. Crolin Colmn Págin 7 10)

8 El reglmento licel indic que un lumno dee sistir por lo menos los 4/5 del número totl de clses dictds por el profesor pr ser reglmentdo. Jun González tiene 16 insistencis y el profesor segur que dictrá 90 clses en totl. i) Jun González y quedó lire? ii) En cso negtivo, cuánts flts puede tener? OPERACIONES CON FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS Definición: c. d +. c + = d. d c sumndos sum de y d ADICIÓN Propieddes: 1) Propiedd uniforme: el resultdo de l sum no depende de l frcción representnte de los números rcionles que se tome. ' ' c ' c ' + = + c c ' d ' d ' d d ' 2) Propiedd conmuttiv: el orden de los sumndos no lter l sum c c + = + d d 3) Propiedd socitiv: c e c e + + = + + d f d f 4) Propiedd de monotoní: c e c e < + < + d f d f 5) Propiedd cnceltiv: Prof. Crolin Colmn Págin 8

9 e c e c + = + = f d f d 6) Existenci de neutro: = Q / Q se cumple + = + = n n n Sum de frcciones de igul denomindor: L sum de dos frcciones de igul denomindor se define como el resultdo de sumr los numerdores y dejr c + c invrinte el denomindor, + = Ejemplo: En un reunión, 2/6 de ls persons son homres y 3/6 son mujeres, Qué frcción de los presentes son dultos? Efectivmente utilizndo l definición de sum de frcciones: ( + ) c. +. c c. + c + = = =. fctor común. frcciones equivlentes ( divido num y den entre ) SUSTRACCIÓN O DIFERENCIA Definición: c e e c = + = d f f d min uendo sustrendo diferenci c Condición de existenci : d Prof. Crolin Colmn Págin 9

10 Regl práctic: c. d. c = d. d Necesitmos demostrr que. d. c c + =. d d Demostrción: (.. ). + (. ). d. c c d c d d c. d. d. c. d +. d. c + = = = d d d d d d. def. sum.. distriutiv.. de frcciones. d. d = =. d. d simplificndo frcción primer miemro MULTIPLICACIÓN Prof. Crolin Colmn Págin 10

11 Propieddes: 1) Propiedd uniforme: el resultdo del producto no depende de l frcción representnte de los números rcionles que se tome. ' ' c ' c ' = c c ' d ' d ' d d ' 2) Propiedd conmuttiv: el orden de los fctores no lter el producto c c = d d 3) Propiedd socitiv: c e c e = d f d f Prof. Crolin Colmn Págin 11

12 4) Propiedd de monotoní: c e c e < < con e Ν d f d f 5) Propiedd cnceltiv: * e c e = c f d f = d * e Ν 6) Existenci de neutro: n con n Ν * / Q se cumple n = n = n n n 7) Existenci de inverso: El inverso de un número e quel que multiplicdo por él nos d l unidd, es decir el neutro de l multiplicción. Todos los rcionles tienen inverso excepto el * Q ( 0) existe y es único el inverso de,este serí y se cumple = = 1 Oservmos: 1 = 8) Asorción: Q se cumple.0 0 = 9) Hnkelin. c = 0 = 0 o c = 0 d d 10) Distriutiv de l multiplicción respecto l dición o sustrcción: c e e c e +. =. +. d f f d f c e e c e. =.. d f f d f Prof. Crolin Colmn Págin 12

13 Definición: c e c e = = d f d f dividendo divisor cociente DIVISIÓN Ejemplo: En un reunión hy 24 persons, los 2/3 de los presentes son dultos y ¾ de los dultos son homres. ) Cuánts persons dults hy en l reunión? ) Cuántos niños hy en l reunión? c) Qué frcción son los homres respecto del totl de persons? DENSIDAD EN Q Prof. Crolin Colmn Págin 13

14 Un propiedd muy importnte del orden de rcionles es que ddos dos rcionles, por muy próximos que los elijmos siempre podemos encontrr tntos rcionles como quermos que sen myores que uno de ellos y menores que el otro. Est propiedd se suele enuncir diciendo que entre dos números rcionles distintos existen siempre infinitos rcionles. Tmién se dice que el conjunto de los números rcionles es un conjunto denso. Todo esto implic que en los números rcionles, diferenci de lo que sucede en los nturles, dej de tener sentido el concepto de número siguiente o nterior y que nunc podremos encontrr dos rcionles que no tengn otros rcionles entre ellos. Ejemplo: Existe un número rcionl α entre 2 5 y 3 5? L respuest es sí, por l propiedd enuncid nteriormente (densidd en Q ) Pr encontrr uno se puede proceder sí: - Si representmos 2 5 y 3 5 en l rect numéric, un vlor posile de α serí el punto medio del segmento determindo por ellos α α = α = 2 2 Oservción: Si considermos punto medio entre por ejemplo 2 5 y α, encontrrímos otro rcionl entre 2 5 y 3 5, luego punto medio entre 2 5 y este último, encontrrímos otro rcionl entre 2 5 y 3 5. Este procedimiento se puede seguir repitiendo tnts veces como quier, lo cul nos permite precir l existenci de infinitos rcionles entre 2 5 y Buscmos frcciones equivlentes 2 5 y con igul denomindor, por ejemplo: y 3 6, es decir que uscr un número rcionl entre 2 5 y 3 4 es equivlente uscr uno entre 5 10 y 6, por lo que α podrí ser. Si quisier encontrr más trtrí de encontrr otrs frcciones equivlentes ls 10 2 Prof. Crolin Colmn Págin 14

15 dds, por ejemplo 8 20 y 12 20, por lo que rcionles entre mos podrín ser 9 20, 10 20, Oservmos que es equivlente 1, por lo que encontrmos dos más, no tres. 2 Prof. Crolin Colmn Págin 15