Potencias y radicales

Transcripción

1 Potencis y rdicles. Rdicles Definición Llmmos ríz n-ésim de un número ddo l número que elevdo n nos d. por ser n n Un rdicl es equivlente un potenci de eponente frccionrio en l que el denomindor de l frcción es el índice del rdicl y el numerdor de l frcción es el eponente el rdicndo. p n p n Rdicles equivlentes Dos o más rdicles se dicen equivlentes si ls frcciones de los eponentes de ls potencis socids son equivlentes. Ddo un rdicl se pueden otener infinitos rdicles semejntes, multiplicndo o dividiendo el eponente del rdicndo y el índice de l ríz por un mismo número. Si se multiplic se llm mplificr y si se divide se llm simplificr el rdicl. Rdicl irreducile, cundo l frcción de l potenci socid es irreducile. 6 son equivlentes por ser: Amplificr: Simplificr: 6 6 : : 6 6 Irreducile por ser m.c.d.(,) Introducción y Etrcción de fctores Pr introducir un fctor dentro de un rdicl se elev el fctor l potenci que indic el índice y se escrie dentro. Si lgún fctor del rdicndo tiene por eponente un número myor que el índice, se puede etrer fuer del rdicl dividiendo el eponente del rdicndo entre el índice. El cociente es el eponente del fctor que sle fuer y el resto es el eponente del fctor que qued dentro. Introducir Etrer: MATEMÁTICAS B

2 Potencis y rdicles Cálculo de ríces Pr clculr l ríz n-ésim de un número primero se fctoriz y se escrie el número como producto de potencis, luego se etren todos los fctores. Si todos los eponentes del rdicndo son múltiplos del índice, l ríz es ect. Reducir índice común 6 0 ; m.c.m(6,0) Reducción índice común Reducir índice común dos o más rdicles es encontrr rdicles equivlentes los ddos que tengn el mismo índice. El índice común es culquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices. Los siguientes rdicles son semejntes: ; 7 ; Rdicles semejntes Rdicles semejntes son quellos que tienen el mismo índice y el mismo rdicndo. Pueden diferir únicmente en el coeficiente que los multiplic. Los siguientes rdicles no son semejntes: ; El índice es distinto MATEMÁTICAS B

3 Potencis y rdicles EJERCICIOS resueltos. Escrie los siguientes rdicles como potenci de eponente frccionrio: X X. Escrie ls siguientes potencis como rdicles: Escrie un rdicl equivlente, mplificndo el ddo: 6 6. Escrie un rdicl equivlente, simplificndo el ddo : : :7 : 7. Introduce los fctores dentro del rdicl: ( ) Etre los fctores del rdicl: Clculr ls siguientes ríces: ( ) Reduce índice común ; ; 6 ; ; 9. Indic que rdicles son semejntes ; ; y Son semjentes y No son semjentes,tienen distinto indice MATEMÁTICAS B

4 Potencis y rdicles. Propieddes Ríz de un producto L ríz n-ésim de un producto es igul l producto de ls ríces n-ésims de los fctores Demostrción: n n n n n n n n n ( Ríz de un cociente L ríz n-ésim de un cociente es igul l cociente de ls ríces n-ésims del dividendo y del divisor. Demostrción: n n n n n n n n n ( ) 7 ( ) 7 Ríz de un potenci Pr hllr l ríz de un potenci, se clcul l ríz de l se y luego se elev el resultdo l potenci dd. n p n ( p p n p n Demostrción: ( ) n n p p Ríz de un ríz L ríz n-ésim de l ríz m-ésim de un número es igul l ríz nm-ésim de dicho número. n m n m Demostrción: n n m m n m n m MATEMÁTICAS B

5 Potencis y rdicles. Simplificción Rcionlizción Rcionlizr un epresión con un rdicl en el denomindor, consiste en encontrr un epresión equivlente que no teng ríces en el denomindor. Pr ello se multiplic numerdor y denomindor por l epresión decud pr que, l operr, l ríz desprezc. Cundo el denomindor es un rdicl Si el denomindor es un inomio se multiplic el numerdor y el denomindor por el conjugdo* del denomindor. El conjugdo de + es Cundo el denomindor es un inomio + + ( )( ) + + Simplificr un rdicl Simplificr un rdicl es escriirlo en l form más sencill, de form que: El índice y el eponente sen primos entre sí. No se pued etrer ningún fctor del rdicndo. El rdicndo no teng ningun frcción MATEMÁTICAS B

6 Potencis y rdicles EJERCICIOS resueltos 0. Escrie con un sól ríz: 7 X. Escrie con un sól ríz: 7. Escrie con un sól ríz: X Rcionliz Rcionliz: 7 7. Rcionliz: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) MATEMÁTICAS B 7

7 Potencis y rdicles. Operciones con rdicles Sum y Rest de Rdicles Pr sumr o restr rdicles se necesit que sen semejntes (que tengn el mismo índice y el mismo rdicndo), cundo esto ocurre se sumn ó restn los coeficientes de fuer y se dej el rdicl Producto de Rdicles Pr multiplicr rdicles se necesit que tengn el mismo índice, cundo esto ocurre el resultdo es un rdicl del mismo índice y de rdicndo el producto de los rdicndos. Si tienen distinto índice, primero se reduce índice común Cociente de Rdicles Pr dividir rdicles se necesit que tengn el mismo índice, cundo esto ocurre el resultdo es un rdicl del mismo índice y de rdicndo el cociente de los rdicndos. Si tienen distinto índice, primero se reduce índice común MATEMÁTICAS B

8 Potencis y rdicles EJERCICIOS resueltos 6. Clculr l sum: d) Clculr y simplificr: 7 9 d) Clculr y simplificr: X ( ) ( ) ( ) ( ) Clculr y simplificr MATEMÁTICAS B 9

9 Potencis y rdicles Pr prcticr. Escrie como potenci de eponente frccionrio: d). Escrie como un rdicl: d). Simplific los siguientes rdicles: 6 d) 0 6. Multiplic los siguientes rdicles 6 9 d) e) f) 6 y 9. Multiplic los siguientes rdicles ( ) ( 7 + ) ( + ) d) ( + ) ( ) 0. Divide los siguientes rdicles. Etrer todos los fctores posiles de los siguientes rdicles 6 7 y y 6 9 d) 7 9 c 9 d). Introducir dentro del rdicl todos los fctores posiles que se encuentren fuer de él. d) 6. Reduce l mínimo común índice los siguientes rdicles. ; ; ; e) 9 9. Clcul: f) 6 d) 6. Rcionliz. ; 7; d) ; 6 ; 7 7. Sum los siguientes rdicles indicdos Rcionliz. d) + d) d) + 0 MATEMÁTICAS B

10 Potencis y rdicles Recuerd lo más importnte Rdicles Llmmos ríz n-ésim de un número ddo l número que elevdo n nos d l primero. L epresión es n un rdicl de índice n y rdicndo. Potenci de eponente frccionrio Un rdicl es equivlente un potenci de eponente frccionrio donde el numerdor de l frcción es el eponente del rdicndo y el denomindor es el índice de l ríz. n n Propiedd fundmentl m n m n El vlor de un rdicl no vrí si se multiplicn ó se dividen por el mismo número el índice y el eponente del rdicndo. n m n p m p Reducir índice común Reducir índice común dos rdicles ddos es encontrr dos rdicles equivlentes los ddos que tengn el mismo índice. Rdicles semejntes Son quellos que tienen el mismo índice y el mismo rdicndo, pudiendo diferir en el coeficiente que los multiplic. Operciones con rdicles Pr multiplicr(o dividir) rdicles del mismo índice se dej el índice y se multiplicn(o dividen) los rdicndos. Si tienen índice distinto, primero se reduce índice común. Pr hllr l ríz de un rdicl se dej el rdicndo y se multiplicn los índices. Pr sumr (o restr) rdicles semejntes se sumn (o restn) los coeficientes y se dej el rdicl Rcionlizr Rcionlizr un frcción con rdicles en el denomindor, es encontrr un frcción equivlente que no teng ríces en el denomindor. MATEMÁTICAS B

11 Potencis y rdicles Autoevlución. Clcul l siguiente ríz: 7 7. Escrie en form de eponente frccionrio: 0. Clculr: 9. Introduce el fctor en el rdicl: 6. Clcul, simplific y escrie con un solo rdicl: Etre los fctores del rdicl: 7. Rcionliz:. Clculr y simplificr: 9. Clculr y simplificr: 7 0. Cuánto mide l rist de un cuo si su volumen es m MATEMÁTICAS B

12 Potencis y rdicles Soluciones de los ejercicios pr prcticr. d). d). 7 d). d) 7 c c. d) 7 6. ; 6; 7; 9; 7; 6 d) 6 7; 6 ; d). 0 0 d) 6 7 e) f) y d) 0. y 6 d) 6 e) 6 f) d) d) d) - Soluciones AUTOEVALUACIÓN No olvides envir ls ctividdes l tutor cm MATEMÁTICAS B

13 ACTIVIDADES DE ESO Centro pr l Innovción y Desrrollo de l Educción Distnci. Escrie ls potencis como rdicles y los rdicles como potencis: d). Clcul: Clcul epresndo el resultdo como un potenci de eponente frccionrio lo más simplificdo posile: 9 6. Rcionliz y simplific: