Expresiones Algebraicas

Transcripción

1 CAÍTULO Epresiones Algerics En Espñ, donde l influenci áre fue mu importnte, surgió el término álger, se utilizó pr referirse l rte de restituir su lugr los huesos dislocdos por ello, el término lgerist hcí referenci l person que sí rreglr ls dislocciones (en El Quijote podemos encontrr estos términos en muchos de sus cpítulos). El liro Kit l-jr w l-muqlh, fue l or más importnte del mtemático áre Al-Khowrizmi, prte de su título dio nomre tod un disciplin mtemátic: el álger. Al-jr quiere decir lgo sí como "restitución", que es lo que se intent hcer cundo se resuelve un ecución, restituir el vlor de l incógnit. Con el álger psmos del número l símolo, de lo prticulr lo generl. L grn epresividd del lenguje lgerico fcilit l otención de relciones, propieddes l resolución de prolems. r trjr eficzmente en mtemátics deemos operr convenientemente con epresiones lgerics, de modo que se trnsformen ls epresiones en otrs idéntics, pero más fáciles de mnejr. En este cpítulo: Adquiriremos destrezs pr conseguir identiddes que resulten más convenientes. Recordremos ls identiddes notles: cudrdo de un sum, cudrdo de un diferenci, diferenci de cudrdos. Recordremos ls operciones con polinomios. Aprenderemos que ls regl de Ruffini no sólo sirve pr dividir un polinomio por, sino que tmién es útil pr evlur polinomios. Descompondremos los polinomios en fctores cundo sus ríces sen enters. Aprenderemos que un frcción lgeric es el cociente indicdo de dos polinomios que se comportn de form similr ls frcciones numérics. L ejercitción estrá destind dquirir práctic en el mnejo comprensión de l fctorizción, de ls operciones con polinomios de ls operciones con epresiones lgerics frccionris. Repsemos lgunos conceptos ásicos: Vriles o indeterminds: se llmn sí ls letrs que se utilizn en los polinomios, usremos fundmentlmente un, si necesitmos más usremos:, z, t... Constntes: son números o epresiones que representn números compñn ls vriles, pr ells se usn ls primers letrs del lfeto:,, c... Monomios son epresiones lgerics en ls que ls vriles están multiplicds entre sí /o por constntes.

2 Ejemplos: ; ; z ; t ; L constnte del monomio se llm coeficiente; en los ejemplos nteriores, son coeficientes:, /,,, -, respectivmente. L, o ls vriles, de un monomio se l llm prte literl del monomio. El grdo de un monomio está ddo por el número de fctores literles se otiene sumndo los eponentes los que están elevds ls vriles; sí: es de grdo o tercer grdo es de tercer grdo z es de curto grdo t es de segundo grdo es de primer grdo Ls constntes son monomios de grdo cero, se k culquier constnte, luego: 0 k k. k. Dos monomios del mismo grdo, con ls misms vriles elevds ls misms potencis, son semejntes Así, los monomios son semejntes, tmién lo son. No son semejntes estos últimos ninguno de los nteriores, pesr que todos tienen igul grdo. Es inmedito sumr o restr monomios semejntes: ( ) 7 ( 7 ) L sum de monomios no semejntes, por ejemplo: nunc es otro monomio, en este cso prticulr l sum nos d un inomio. Un inomio es l sum de dos monomios no semejntes, un trinomio, de tres en generl, un polinomio es l sum lgeric de culquier número de monomios no semejntes (en prticulr, un monomio tmién es polinomio).. olinomios Ejemplos: ) ) En delnte, trjremos solmente con polinomios en un sol vrile, como el polinomio del ejemplo ). Este polinomio es sum de cutro monomios no semejntes:,,. Los coeficientes de estos monomios, llmdos tmién coeficientes del polinomio, son,, -. Los grdos de estos monomios son,, 0 respectivmente. El grdo del polinomio es el mor de los grdos de los monomios que lo formn. En este cso el polinomio es de quinto grdo. 0

3 En form generl: Un polinomio en un vrile rel es un epresión lgeric de l form: n n n ( ) n n n... 0 donde 0,,... n,n, n son constntes, llmds coeficientes del polinomio, n 0 es un número entero es l vrile. Si n 0, es éste el coeficiente principl n es el grdo del polinomio. A los monomios sumndos de un polinomio se los llm términos del polinomio. Algunos ejemplos: A ( ) ; B( ) 7 ; C ( ) π ; D ( ) 8 ; E ( ) 0 A(), C(), D() E() son polinomios completos porque están tods ls potencis decrecientes de. B(), es un polinomio incompleto porque fltn los términos de segundo de cero grdo, B() se puede completr gregndo los términos que fltn con coeficientes igules cero: B ( ) El polinomio A() es de segundo grdo, los coeficientes son:, ; el coeficiente principl es. En B(), los coeficientes son, -7, 0,, 0; el coeficiente principl es el polinomio es de curto grdo, C() es un polinomio de primer grdo, con coeficientes π, el coeficiente principl es π, D() es un polinomio de grdo cero, tiene un único coeficiente, que es tmién coeficiente principl: -8 por último E() es el polinomio cero, que es el único polinomio l cul no se le sign grdo, que no tiene ningún coeficiente distinto de cero, puesto que cero puede considerrse como: Los ejemplos nteriores nos muestrn el siguiente resultdo generl: Todo polinomio de grdo n tiene n coeficientes. Operciones con polinomios De quí en delnte podremos oservr l grn similitud que eiste entre ls operciones con polinomios ls operciones con números enteros... Sum rest r sumr dos o más polinomios se grupn los monomios semejntes. A l rest de dos polinomios l trnsformmos en sum, sumndo l minuendo el opuesto del sustrendo. Ejemplo: Sumr restr los siguientes polinomios: ( ) Q ( )

4 L form práctic de sumr o restr es uicndo los polinomios uno dejo del otro, de mner que los términos semejntes queden en column: Sum: Q 7 Q Rest: Q( ) Q EJERCICIOS.- Sen, Q 0 R Determinr: ) el grdo de cd polinomio sus respectivos coeficientes. ) Q S c) Q T d) R U e) el grdo de S, de T de U.- Clculr los vlores de,, c d pr que se cumpl: ) d c ) c d.- Efectur ls operciones indicds reducir l epresión resultnte: ) 0 7 ) 8.. Multiplicción Necesitmos previmente repsr: Ejemplos: 0 8 El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igul l producto de los coeficientes de los fctores el grdo es sum de los grdos de los fctores

5 En l multiplicción de un polinomio por un monomio, plicmos l propiedd distriutiv del producto respecto l sum: 0 Ahor si, estmos en condiciones de multiplicr polinomios lo hcemos plicndo reiterdmente l propiedd distriutiv, es decir, se multiplic cd término de uno por cd término del otro, sí por ejemplo: 0 0 Un mner práctic de relizr l multiplicción de polinomios, efectundo los cálculos de mner ordend segur, es l siguiente: Identiddes Notles Ests identiddes son importntes, ls encontrmos frecuentemente en los cálculos, por ello, se costumr llmrls notles Cudrdo de un inomio Cuo de un inomio Sum por diferenci Recuerd dejr un espcio cundo flt el monomio de grdo intermedio. ) )( ( ) ( ± ± ± ± ± r recordr

6 Ls identiddes notles son útiles en l fctorizción de polinomios, sirven pr trnsformr un epresión lgeric en otr más sencill, por ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 8( ) l epresión finl 8 ( ) es ms sencill que l dd inicilmente es idéntic ell, luego, podemos sustituir l primer epresión por l últim el cmio es ventjoso. Más ejemplos: ( ) EJERCICIOS.- Clculr: ) ( )( ) ) ( )( ) c) ( ) ( ).- Si el polinomio A es de tercer grdo grdo de A B?-.- Completr l siguiente multiplicción: B es de segundo grdo, cuál es el Desrrollr ls siguientes epresiones: ) ) c) ( ) ( ) e) ( ) ( ) d) ( ) ( ) f).- Fctorer (es decir, epresr como producto): ) ) c) d) e) f)

7 .. División Comenzmos dividiendo monomios: El cociente de dos monomios, uno de grdo m otro de grdo n, con m n, es otro monomio, cuo grdo es l diferenci de los grdos el coeficiente se otiene dividiendo los coeficientes de los monomios ddos, es decir: m n mn : Ejemplos: : ( 8 ): ( ) : Recordemos como se procede en l división de dos polinomios relizndo un ejemplo. Ejemplo Dividir: por Q pr ello uicmos los polinomios como sigue: 0 0 cociente sos relizdos resto. Ordenmos según ls potencis decrecientes el dividendo el divisor. Completmos el dividendo.. r clculr el primer término del cociente, dividimos el término de mor grdo del dividendo por el término de mor grdo del divisor:. El producto de por Q (divisor), se coloc jo el dividendo se rest.. El primer resto prcil es, jmos el término:, prtir de quí procedemos repetir lo relizdo en.. Detenemos el proceso cundo el grdo del resto es menor que el grdo del divisor. En nuestro ejemplo tenemos: C ( ) R( ) 8 En l división nterior, hemos dividido dos polinomios: el dividendo el divisor Q, oteniendo dos polinomios: el cociente C el resto R. Luego, plicndo l definición de cociente, tenemos:

8 () Q () de donde ( ) Q( ) C( ) R( ) R () C () o ien, dividiendo mos miemros de l iguldd nterior por Q : ( ) R( ) C( ) Q( ) Q( ) Un cuestión importnte pr recordr es que el resto R ( ), es un polinomio de grdo menor que el grdo del divisor Q ( ), o es cero. Según esto, el resultdo de l división en generl no es un polinomio. Vemos est firmción plicndolá en el Ejemplo : ( ) Q( ) 8 () Oservndo l epresión (), vemos que el grdo del cociente es l diferenci de los grdos del numerdor del denomindor, el grdo del resto es menor que el del denomindor. El último término es un epresión rcionl que se sum l cociente, luego () no es un polinomio. A l división entre polinomios, se le llm división enter, cundo el resto es distinto de cero. Cundo el resto es cero, l división es ect. L siguiente es un división ect ( 7 8) : ( ) el cociente es el polinomio es resto es cero, por lo tnto odemos firmr que: 7 8. Cundo l división es ect, el cociente es un polinomio EJERCICIOS.- En un división de polinomios, el dividendo es de curto grdo el divisor de segundo grdo. ) Cuál es el grdo del cociente?. ) Qué puede decir del grdo del resto?..- Clculr ls siguientes divisiones ) 7 ) c) d) e)

9 .- Cuánto deen vler m n pr que l siguiente división: ( m n) ( ) ) se ect?. ) teng resto?... División de un polinomio por Los polinomios, en similitud con los números enteros, se pueden descomponer en producto de fctores, luego, cd uno de esos fctores divide l polinomio ectmente. El prolem que se nos present es determinr esos fctores, es decir: Tenemos el polinomio ( ) ; Eistirá lgún polinomio distinto de él mismo de tl que pued dividirlo de modo que l división se ect? Est pregunt es difícil de responder en el cso generl. Comenzremos l úsqued de esos divisores considerndo polinomios especilmente simples, como son los de l form. r efectur divisiones de este tipo disponemos de un recurso práctico cómodo conocido como l:... Regl de Ruffini L recordmos plicándol en un división: Ejemplo : Dividir el polinomio por usndo l regl de Ruffini Resto Los psos seguidos son los siguientes: Coeficientes del cociente. En l primer fil del cudro nterior se colocn los coeficientes del polinomio completo ordendo según ls potencis decrecientes de.. En l segund fil, l izquierd se escrie, en este cso,. En l tercer fil, se j el coeficiente del término de mor grdo: (éste será el coeficiente del º término del cociente).. Los otros números de l º º fil se vn oteniendo de l siguiente mner: multiplicmos, que v dejo del coeficiente del º término en l º fil luego se sumn, es decir, ( ). Así otenemos el º coeficiente del cociente, uicdo en l º fil. 7

10 . Reitermos el proceso: hst terminr.. Este último número:, es el resto de l división (nturlmente nos tení que dr un número porque el resto es siempre de menor grdo que el divisor, por lo tnto, en nuestro cso el grdo del resto dee ser Ahor podemos rmr el resultdo de l división, el grdo de éste es un unidd menor que el grdo del dividendo puesto que estmos dividiendo por un polinomio de º grdo: por lo que el cociente es: C ( ) 8 r Oservción: L Regl de Ruffini l podemos plicr sólo cundo dividimos un polinomio () por otro de l form, el cociente C () otenido, es un polinomio de grdo menor en un unidd l de () el resto r es un constnte. Al dividendo de l división podemos escriirlo sí: ( )( 8 ) dividiendo mos miemros de l epresión nterior por ( ), podemos epresr el cociente: 8 oservmos que el cociente nterior no es un polinomio En un división ect el último término no prece porque el resto es cero, entonces, en este cso, el cociente nos d un polinomio. Vemos el cso donde l división es ect: Ejemplo : ( ) ( ) C r 0 Anlizndo los coeficientes otenidos podemos etrer otrs consecuencis importntes: Oservmos que pr que l división se ect deen ser igules de signos. opuestos, el término independiente del dividendo, el producto Esto es: es múltiplo de ( ). Luego, podemos enuncir, lgo precido un criterio de divisiilidd de polinomios: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, pr que se divisile por necesrio que su término independiente se múltiplo de es 8

11 or lo tnto: pr determinr epresiones que sen divisores de un polinomio con coeficientes enteros, se deen signr vlores l número que dividn l término independiente. Apliquemos este resultdo pr encontrr los divisores del polinomio El término independiente es, sus divisores son:, -,. roemos, por ejemplo, con dividmos por usndo l regl de Ruffini: - 0 r como el resto es cero, l división es ect, luego, es divisile por el cociente puede ser epresdo como sigue: ó ( ). ( ) EJERCICIOS.- Usr l regl de Ruffini pr determinr el cociente el resto de ls siguientes divisiones: ) ( 7 ) ( ) ) ( 0) ( ) d) c) ( ) ( ).- Cuánto dee vler m pr que l dividir m por l división se ect?. 7. Vlor de un polinomio pr El vlor numérico de un polinomio pr es el número que se otiene l sustituir por en ( ) lo designmos por. or ejemplo, si 7 r polinomio ( ) en es. r otenemos 7 otenemos ( ) ( ) ( ) 7, es decir, el vlor del Efectuemos hor ls divisiones: ( ) ( )

12 r - r' los restos r r coinciden con, respectivmente. Estos resultdos no son csules, según demostrremos continución:. Teorem del resto El resto de l división de un polinomio por polinomio cundo, es decir: r es igul l vlor numérico del Antes de ocrnos l demostrción, es necesrio comprender lo que nos dice el teorem: Si dividimos el polinomio por resto r. otenemos, demás de un cociente, un Si clculmos el vlor numérico del polinomio número l que llmmos. El teorem nos segur que r es igul Demostrción Semos que: ( ) C r en l iguldd nterior sustituimos por, otenemos: ( ) C r 0 C r r luego r, que es lo que querímos pror. g Ejemplo Cuál es el resto de l división de 0 7 r entonces el resto es. cundo, otenemos un. por? ( ) ( ) 0 ( ) Un plicción inmedit e interesnte del teorem del resto es l posiilidd de determinr, con cálculos sencillos, cundo un polinomio es divisile por otro de l form, lo que trducido lenguje mtemático es: es divisile por si sólo si r 0 Ejemplo El polinomio 0 es divisile por? El resto de l división es: r ( ) ( ) 0 ( ) por lo tnto l respuest es firmtiv. 70

13 EJERCICIOS.- Clculr el vlor numérico del polinomio pr: ) ) 0 c) d) e).- Clculr sin dividir, el resto de ls divisiones que siguen: ) ( ) ( ) c) ( 8) ( ) 7 ) ( 8) ( ) d) ( ) ( ).- ) Clculr el cociente el resto de l división ( 7 8 ) ( ) ) Según el resultdo encontrdo, puedes escriir el polinomio dividendo como producto de dos fctores?...si tu respuest es firmtiv...escríelo!. Ríces de un polinomio Un número rel es ríz del polinomio si es solución de l ecución: 0 () Est definición nos dice que si reemplzmos en el polinomio l indetermind por, ést verific l ecución (), es decir: 0. Otenemos sí, un consecuenci importnte: Si es ríz de entonces el polinomio podemos epresrlo de l form: ( ) C donde C es el cociente de dividir por es divisile por, por lo tnto. Un ejemplo nos dejrá ms clr est conclusión. Ejemplo Es ríz del polinomio 8 8? Respondemos est pregunt, clculndo: Como ( ) 0, es ríz de, por lo tnto Con l Regl de Ruffini determinmos el polinomio C dividiendo es divisile por. por :

14 C luego ( ) ( ) () A lo tenemos epresdo como producto de dos polinomios, uno de º grdo: ( ) por otro de º grdo:. De igul mner, podemos nlizr si es posile encontrr un fctor polinomio C. El término independiente,, es múltiplo de. Será un ríz?. C 8 0 como, efectivmente es ríz, C es divisile por Regl de Ruffini pr determinr el polinomio cociente C - que divid l plicmos nuevmente l 8 0 luego C 8 por lo tnto C ( ) ( 8) Reemplzndo este último resultdo en l epresión () de (), nos qued ( ) ( ) ( 8) etrendo el fctor común del último préntesis result: ( ) ( ) ( ) Es decir, hemos logrdo un fctorizción complet de. Oservción: El grdo de es tiene ríces. En generl, se cumple: Si el polinomio es de grdo n entonces tiene como máimo n ríces... Fctor común En el polinomio C 8, el número divide cd término, entonces pudimos etrerlo como fctor común, es decir C Est etrcción que l hicimos csi l finlizr l fctorizción de, l podrímos her relizdo ntes, más ún, en el futuro, cd vez que tengmos que fctorer un polinomio, es conveniente primero etrer todos los fctores comunes luego continur con su fctorizción. 7

15 Anlicemos nuevmente l polinomio: 8 8 Oservndo los coeficientes notmos que son todos múltiplos de, sí, es fctor común: Luego continumos con su fctorizción deemos otener: ( ) ( ) ( ) Ejemplos En ls siguientes epresiones, etrer todos los fctores comunes: 8 c c ( c c ).. Fctorizción de olinomios Recuerd: plicndo l propiedd distriutiv volvemos l epresión que tenímos l principio. En este punto, son dos los interrogntes importntes que deemos plnternos ntes de desrrollrlo: Qué es fctorer un polinomio? Cómo lo hcemos?. L primer pregunt es prole que l recordemos: Fctorer o fctorizr un polinomio es epresrlo como producto de fctores. Responder l segund no es tn inmedit. Es nturl suponer que los últimos tems desrrolldos nos dn ls herrmients que necesitmos. Volvmos l ejemplo nlizdo nteriormente: lo fctorizmos totlmente llegmos lo siguiente: Al polinomio 8 8 ( ) ( ) ( ) Detengámonos un instnte nlizr l epresión fctorizd del polinomio: El número es igul l coeficiente principl del polinomio o el coeficiente del término de mor grdo. Los términos independientes de cd uno de los fctores de primer grdo,. cmidos de signo,,, son justmente ls ríces de Est form de fctorer el polinomio es en relidd un cso prticulr del siguiente resultdo generl: Si r n n,r, Λ,rn son ríces del polinomio... n n o si se verific: Λ entonces el polinomio se puede escriir de l form: ( r ) ; ( r ) 0 ; ; ( r ) 0 0 n ( r )( r ) Λ ( ) n r n llmd descomposición fctoril del polinomio.-, es decir, 7

16 Ahor, estmos en condiciones de contestr el segundo interrognte. Vmos fctorer utilizndo todo lo prendido, los siguientes polinomios: Ejemplos A( ) B ( ) 8 D ( ) E F El primer pso seguir (siempre que se posile) es:. Scr fctor común Oservmos que, los polinomios A ( ) F ( ) tienen fctor común, por lo tnto los etremos: A ( ) ( ) F. Como no quedn totlmente fctorizdos los polinomios, utilizmos ls igulddes notles /o el método de ls ríces: odemos continur fctorizndo l polinomio A ( ), utilizndo ls igulddes es un diferenci de cudrdos, por lo tnto: notles: A( ) ( ) ( )( ) A( ) qued sí totlmente fctorizdo. Los polinomios B ( ) C ( ) son igulddes notles: cudrdo de un inomio diferenci de cudrdos, respectivmente. Aplicndo estos recursos logrmos sus fctorizciones: C ( ) B ( ) 8 ( ) ( ) ( )( )( ) En los polinomios E ( ) F( ) ( ), no es posile usr ningun iguldd notle. r logrr su fctorizción, utilizremos el método de ls ríces, procediendo como sigue: Consideremos primero el polinomio F Antes, scmos el fctor común (esto signific que 0 es un ríz de F ), quedndo epresdo: F( ) Q () ( ) Q Ahor fctoremos Q. El término independiente de son:, -,, -,, -,. Cuáles de ellos son ríces de Q? romos: () 8 0 ) 0 0 Q no es ríz Q - no es ríz Q es ríz por lo tnto, dividimos Q por Q es -, cuos divisores 7

17 - - 0 Q luego, ( ) ( ) ( ) Q Q () repetimos el proceso con Q, los divisores de son:, -,, promos directmente con ( semos que no son ríces). dividimos Q por 0 0 ( ) 0 Q no es ríz Q - es ríz luego: Q ( ) Q ( )( ) Q reemplzndo en () otenemos: ( ) ( ) ( ) Q ( )( ) Q ( )( )( ) Q Q no tiene ríces reles (notemos que Q es l sum de dos cntiddes siempre positivs, luego pr todo R nunc es Q en () otenemos: quí prmos el proceso, porque cero), luego reemplzndo l últim epresión de ( ) ( ) ( ) que es l fctorizción complet del polinomio F Fctorizmos hor l polinomio: E El término independiente es, sus divisores son:, -, Clculemos: 8 E ( ) 0 - es ríz E no es ríz 7

18 Dividimos E por Q luego: E ( ) ( ) hor fctorizmos:. Tenemos dos opciones: repetimos el procedimiento nterior o, como es un polinomio de º grdo, podemos usr l fórmul pr determinr sus ríces: ±, en consecuenci, ls ríces son: 0, por lo tnto Q ( ) luego: quedndo totlmente fctorizdo E ( ). Resumiendo ± 8 ± Determinmos lgun ríz enter de prondo con los divisores del término independiente, por ejemplo. Efectumos l división de por determinndo otro polinomio ( ) Q Q tl que: Repetimos el proceso con Q sí seguimos hst que otenemos un polinomio que no se pued descomponer sí tenemos l fctorizción de Not: si un polinomio de grdo n tiene l menos n ríces enters, es fácil fctorizrlo, de lo contrrio es mucho más complicd su fctorizción. Con todo lo que hemos prendido, demás de fctorizr, tmién podemos construir polinomios con crcterístics que nos convengn. or ejemplo: Sólo con ríces enters: ( ) ( ) ( ) 0 Sólo con ríces frccionris: Con ríces enters frccionris: ( ) ( ) Sin ríces reles: E ( ) ( ) ( ) ( ) 7

19 EJERCICIOS.- Sin clculr, rzon porqué no son ríces del polinomio.- ) Rzonr porqué,,,,, son posiles divisores de ) orqué no puede serlo?. c) Fctorer el polinomio ddo..- Fctorer: ) 0 d) 8 ) 0 e) c) 8 f).- Escriir un polinomio: ) con ríces -, ) de curto grdo con ríces -,.. EXRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Un epresión lgeric frccionri o epresión lgeric rcionl es el cociente de dos polinomios, es decir: R tl que Q 0 Q Ejemplo ) ; ) ; c) ; d) Ls epresiones lgerics rcionles son, en muchos spectos, mu semejntes, lo números frccionrios (números rcionles). Así por ejemplo en () es el numerdor es el denomindor de l epresión lgeric. Cundo el numerdor el denomindor de un epresión rcionl no tienen fctores en común (ecepto ) decimos que es irreducile. Ls epresiones del ejemplo son tods irreduciles. Reducimos l epresión rcionl su mínim epresión fctorizndo completmente el numerdor el denomindor, simplificndo los fctores comunes, por ejemplo: Ejemplo ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( 8) ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 77

20 Dos frcciones lgerics Q R S ( ) S( ) R( ) Q( ) son equivlentes si sólo si: L epresión: es equivlente, tmién lo es: 8 con, porque ests epresiones son otenids de ls primers efectundo simplificciones. Tmién son equivlentes ms son igules porque l simplificrse Es clro que l multiplicr el numerdor el denomindor de un epresión lgeric por un mismo polinomio, se otiene un epresión equivlente l dd, es decir: 7 ( 7) ( ) 7 ( ) ( ) Usndo este último resultdo, dds vris epresiones podemos encontrr otrs, equivlentes ells, que tengn el mismo denomindor, es decir, ls reducimos común denomindor. El ejemplo que sigue nos muestr como hcerlo: Ejemplos Reduce común denomindor ls epresiones: ; ; ( ) rocedemos como cundo trjmos con ls frcciones, es decir, hllmos el mínimo común múltiplo de los denomindores fctorizdos:.[, ( ), ] ( ) m. c. m Recuerd: Mínimo común múltiplo es el producto de los fctores comunes no comunes con su mor eponente El denomindor común de ls epresiones es el m.c.m. luego, se divide el m.c.m. por el denomindor de cd epresión, posteriormente se multiplic cd numerdor por el resultdo de tl división, oteniendo ls epresiones lgerics: ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) est últim no cmió, porque el denomindor común es justmente su denomindor. 78

21 7.. Sum Rest Ejemplo : L rest es un cso prticulr de l sum, por ejemplo: Ejemplo :.. roducto o multiplicción Ejemplos: ) ).. Cociente o división Ejemplos: ) ) c) 7 r sumr epresiones lgerics rcionles, se reducen común denomindor se sumn los numerdores resultntes.- El producto de dos epresiones lgerics rcionles es igul l epresión que result de multiplicr los numerdores dividid por l multiplicción de los denomindores.- El cociente de dos epresiones lgerics rcionles es igul l epresión que result de multiplicr l primer por l invers de l segund.-

22 80 Ejercicios.- Simplificr: ) ) c) d) e) f).- Clculr: ) ) 0 c) d)

23 .7 ráctico: Epresiones Algerics Ejercicio : Epresr con un monomio el áre de l prte somred. Ejercicio : ) Verificr que el áre del trpecio de l figur es A. ) Epresr l digonl mor del trpecio utilizndo e. Ejercicio : Epresr el áre de ls figurs siguientes medinte un polinomio. ) ) 0 Ejercicio : Epresr el áre lterl, el áre totl el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, medinte un polinomio. ) ) - Ejercicio : Hllr l sum diferenci de los polinomios: ( ) Q ( ) Ejercicio : Cuánto dee vler pr que l sustituirl en cd un de ls csills resulte un cudrdo mágico? (- ) L sum de ls fils, de ls columns de ls digonles 0 -() - dee ser l mism. - - Ejercicio 7: Efectur con los siguientes polinomios ls operciones que se indicn: A ( ) 8 ; B ( ) ; C ( ) D ( ) 8 ; E ( ) ; F ( ) ) A C - B ) C - D c) C - D B d) A B e) A B E F f) E C D F g) A C h) D B i) B ( E F ) Ejercicio 8: Determinr los vlores de pr que el polinomio: Q( ) se idénticmente nulo. 8

24 Ejercicio : Eiste un único polinomio del tipo () c, tl que stisfce l condición que () (-)? Ejercicio 0: Clculr: ) ( ) ) ( ) Ejercicio : Encuentre, si es posile, los coeficientes,, c d, de tl mner que los polinomios () Q() ( c d ) sen igules. Ejercicio : Clculr ls siguientes divisiones epresrls en l form D r C d d ) ( ) ( ) ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( 8 8) ( ) Ejercicio : En un división de polinomios el cociente es C ( ) el resto es R ( ) 7. Cuál es el dividendo, si el divisor es d ( )? Ejercicio: Encontrr m de modo que l siguiente división se ect: ( m ) ( ) Ejercicio : Aplicr l regl de Ruffini pr clculr el cociente el resto de ls siguientes divisiones: ) ( ) ( ) ) ( 0 7) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) Ejercicio : En el polinomio A ( ) k cuánto vle k, si A(-) -? Ejercicio 7: Ddo el polinomio Q ( ), clculr Q(). Cuál es el resto de dividir Q() por ( )? Ejercicio 8: Determinr, sin efectur l división, en que csos el dividendo es múltiplo del divisor: ) ( ) ( ) ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) Oserv los resultdos otenidos, puedes generlizrlos? 8

25 Ejercicio : Clculr los vlores de m n pr que el polinomio divisile por: m n se Ejercicio 0: Hllr en el polinomio pr que se divisile por: el polinomio cociente teng por término independiente. Ejercicio : Al dividir un polinomio por ( ) se otiene resto, l dividirlo por ( ) el resto que se otiene es. Qué resto se otendrá l dividir el mismo polinomio por ( )( )? Ejercicio : Compror que, -, - son ríces del polinomio ( ) escriir su descomposición fctoril. (Aud: Es mu lorioso determinr el vlor numérico de () pr ls ríces dds, un mner menos complicd es plicr l regl de Ruffini sucesivmente. Es decir, por ejemplo, pr, si () 0, en el cociente de () por ( ) se vuelve plicr Ruffini pr - sí se continú hst terminr con tods ls ríces) Ejercicio : Escriir un polinomio cus ríces son: -, 7. Ejercicio : Clculr ls ríces de los siguientes polinomios: ) 0 ) c) d) e) f) Ejercicio : Encontrr un polinomio (): ) de grdo tl que (0) 0 cus ríces sen, ; ) de grdo tl que () - cus ríces sen Ejercicio : Fctorer: ) 7 ) c) d) 8 0 e) 8 f) g) 8 0 h) i) Ejercicio 7: Buscr dos polinomios divisiles por,. Ejercicio 8: Si el ldo, de un cudrdo, ument en un 0 %, en qué porcentje ument l superficie? 8

26 8 Ejercicio : Cuáles de ls siguientes epresiones lgerics rcionles son irreduciles? ) ) c) d) Ejercicio 0: Simplificr: ) ) 0 c) 8 d) e) f) g) h) i) j) k) l) 8 Ejercicio : Determinr, entre ls siguientes epresiones, ls que son equivlentes: ) ) c) d) ) ( Ejercicio : Reducir común denomindor: ) ; ; ) ; ; Ejercicio : Clculr simplificr: ) ) ( ) c) d) Ejercicio : Al simplificr l epresión, es resultdo que se otiene es: ) ) c) d) e)

27 8 Ejercicio : Operr simplificr: ) ) c) Ejercicio : Operr simplificr: ) ) 8 c) Ejercicio 7: Resolver: ) ) c) d) e) f) g) h) i) c ) ( c j) ) ( k) l) m) n) o) p) m m m m

28 8