LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 Pontifici Universidd Ctólic de Chile Fcultd de Educción Nivelción de Estudios pr Adultos CREA Educción Mtemátic Nivel 2 Profesor Jun Núñez Fernández LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Como se mencionó en l clse nterior, existen distintos conjuntos numéricos, cd uno con sus propis crcterístics y elementos. Los elementos de un conjunto numérico son los números. Por ejemplo, el número 4 pertenece l conjunto de los números Rcionles (Q) pero ese mismo número no pertenece l conjunto de los Nturles (N), y el número 2 pertenece l conjunto de los Nturles (N) y tmién l de los Enteros (Z). Con esto podemos concluir que un conjunto numérico puede estr contenido en otro. OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) PREVIO: - LEYES DE LOS SIGNOS VALOR ABSOLUTO: El Vlor soluto de un número entero es el número nturl que sigue l signo. Se indic poniendo el número entero entre rrs. x, x 0 x = x, x < 0 Por ejemplo: -345 =345, 7 =7, 0 =0

2 L opertori en este conjunto es l que frecuentemente usmos en nuestr vid diri. Const de dos operciones:. Adición (+): ) Si los dos números enteros tienen el mismo signo, se sumn los vlores solutos de mos números y se pone el signo que ellos tienen común. (+7) + (+5) = +2 (-4) + (-3) = -7 ) Si los dos números enteros tienen distintos signo, se restn los vlores solutos de mos números y se pone el signo del número que teng myor vlor soluto (+4)+(-5)=- (-5)+(+54)=- PROPIEDADES: Sen,, c números pertenecientes los números enteros: -Clusur: + Z =, 39 + ( 8) = 29, y -29 pertenecen los enteros. -Conmuttividd: + = ( 3) = Asocitividd: ( + ) + c = + ( + c) [8+(-3)]+(-4) =8+[(-3)+(-4)] + 0 = 4+0=4 Not: el cero es el único neutro ditivo en los enteros. -Inverso ditivo: + ( ) = 0 4+(-4)=0, -+(-(-))=0 Not: el inverso ditivo es único pr cd número entero. 2. Multiplicción ( ): Pr hllr el producto de dos números enteros: i) Se multiplic los Vlores Asolutos de los dos números ii) Aplicmos ls regls de los signos. Así, podemos otener ls siguientes consecuencis:. Si los dos números son del mismo signo el producto es positivo. 2. Si tienen distintos signos el producto es negtivo. (+2) (-3)=-, (-4) (-25)=+00

3 PROPIEDADES: Sen,, c números pertenecientes los números enteros: -Clusur: N 5 4 = 20, 3 3 = 39, 20 y 39 pertenecen los nturles. -Conmuttividd: = 5 23 = Asocitividd: ( ) c = ( c) ( 9 2) 7 = 9 ( 2 7) = 7 =7 Not: el uno es el único neutro multiplictivo en los enteros. -Inverso multiplictivo: = ( 3) =, 57 = ( 3) 57 Not: el inverso ditivo es único pr cd número entero. -Distriutividd ( + c) = + c 3 (5+(-7))=3 5+3 (-7) Qué psó con l sustrcción y l división? Ests operciones ncen de ls inverss l dición y multiplicción respectivmente. 3. Sustrcción (-): Pr restr dos números enteros se le sum l minuendo el opuesto ditivo del sustrendo. Luego se usn ls regls de l Adición. (-7) (+3) = (-7) + (-3), (+8) ( -4) = (+8) + (+4) 4. División (:): Pr hllr el cuociente de dos números enteros: i) Se divide los vlores solutos de los dos números enteros ii) Aplicmos ls regls de los signos Así, podemos otener ls siguientes consecuencis:. Si los dos números son del mismo signo el cociente es positivo. 2. Si tienen distintos signos el cociente es negtivo. (-8):(-2)=4, (-24):(+3)=-8

4 OPERATORIA EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) El conjunto de los números rcionles está formdo por ls frcciones., donde, Z, se llm numerdor y denomindor. 0 PREVIO: -Mínimo Común Múltiplo (mcm) El mcm de dos números, mcm(,), como lo dice su nomre, es el múltiplo más pequeño que tienen en común los números. Se otienen los múltiplos de cd número, se comprn y se escogen el más pequeño de entre los que tienen en común. mcm(2,3): múltiplos de 2 = {2, 4,, 8, 0, 2, 4,, 8, } Múltiplos de 3 = {3,, 9, 2, 5, 8, 2, } Así, los múltiplos comunes son, 2, 8 (nótese que se pueden encontrr infinitos múltiplos de cd número) y el más pequeño es el. Por lo tnto, mcm (2,3)= -Amplificr Amplificr un frcción es l cción de multiplicr tnto el numerdor como el denomindor de ést, por un mismo número, con el ojetivo de otener un frcción equivlente = = Simplificr L simplificción de frcciones l cción de dividir numerdor y denomindor de un frcción por un mismo número con el ojetivo de otener un frcción equivlente. 9 9 : 3 3 = = 2 2 : 3 4. Adición (+): ) Frcciones con igul denomindor: Pr sumr este tipo de frcciones, conservmos el denomindor y se sumn los numerdores, utilizndo ls regls de l dición de enteros. Ejemplos: ( 7) 2 + = =, + = = = ) Frcciones con distinto denomindor: Pr sumr este tipo de frcciones, se dee mplificr el primer sumndo por el denomindor de l segund frcción, y mplificr el segundo sumndo por el denomindor de l primer frcción. Así se iguln y se sumn como lo visto nteriormente. Ejemplos: = + = = = 2 2

5 PROPIEDADES: Sen,, c números pertenecientes los números rcionles: -Clusur: + Q =, Conmuttividd: + = = Asocitividd: + + c = + + c ( ) ( ) =, y pertenecen los rcionles = = = + = = Not: -el cero es el único neutro ditivo en los rcionles. -Si el numerdor de un frcción es cero, el vlor numérico es siempre cero -Inverso ditivo: + ( ) = = + = = = Not: -el inverso ditivo es único pr cd número entero. - = 2. Multiplicción ( ): Pr multiplicr frcciones, se multiplic numerdor con numerdor y denomindor con denomindor, independiente si los denomindores son igules o no = = = PROPIEDADES: Sen,, c números pertenecientes los números rcionles: -Clusur: Q =, Conmuttividd: + = = = =, y pertenecen los rcionles

6 -Asocitividd: + + c = + + c ( ) ( ) = = = = = Not: -el uno es el único neutro multiplictivo en los rcionles. -el uno en los rcionles se puede escriir de infinits forms, sin cmir su esenci, por ejemplo: Es decir, si el numerdor y el denomindor son igules, el cociente siempre será cero. -Inverso multiplictivo: = = = = = = Not: -el inverso multiplictivo es único pr cd número entero. - =, pr todo que pertenece los Enteros. -Distriutividd: + c = + ( ) c = Qué psó con l sustrcción y l división? Ests operciones ncen de ls inverss l dición y multiplicción respectivmente. 5. Sustrcción (-): Pr restr dos números rcionles se le sum l minuendo el opuesto ditivo del sustrendo. Luego se usn ls regls de l Adición, teniendo cuiddo si los denomindores son igules o distintos = + + = = = = = = 7 7 = 8 = 8

7 . División (:): Pr dividir frcciones, se divide numerdor con numerdor y denomindor con denomindor, independiente si los denomindores son igules o no : 2 2 : : = = = :3 5 Ojo: Recuerd l equivlenci entre frcción y división. : Así, si c : donde d c d c d d = c EJERCICIOS COMBINADOS Pr relizr operciones se h de respetr el siguiente orden: º) Operr los préntesis. 2º) Relizr ls multiplicciones y ls divisiones. 3º) Relizr ls sums y ls rests : = = = 2 + = = = : 3 0