Potencias y radicales

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1 Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de epoete frcciorio y vicevers. Operr co rdicles. Rciolizr epresioes co rdicles e el deomidor. Utilizr l clculdor pr operr co potecis y rdicles.. Rdicles pág. Potecis de epoete frcciorio Rdicles equivletes Itroducir y etrer fctores Cálculo de ríces Reducir ídice comú Rdicles semejtes. Propieddes pág. Ríz de u producto Ríz de u cociete Ríz de u poteci Ríz de u ríz. Simplificció pág. Rciolizr Simplificr u rdicl. Opercioes co rdicles pág. Sum y rest Multiplicció de rdicles Divisió de rdicles RESUMEN Ejercicios pr prcticr Pr ser más Resume Autoevlució Actividdes pr evir l tutor MATEMÁTICAS B 9

2 0 MATEMÁTICAS B

3 Potecis y rdicles Propieddes de ls potecis de epoete etero Ates de empezr Coviee que recuerdes ls propieddes de ls potecis que hs estudido e cursos teriores El producto de potecis de l mism se es otr poteci de l mism se y de epoete l sum de los epoetes. m m + El cociete de potecis de l mism se es otr poteci de l mism se y de epoete l rest de los epoetes. m m ( ) 7 7 L poteci de otr poteci es u poteci de l mism se y de epoete el producto de los epoetes. ( ) m m 0 7 U poteci de epoete cero es igul ls uidd. 0 ( ) El producto de potecis del mismo epoete es otr poteci del mismo epoete y de se el producto de ls ses. ( El cociete de potecis del mismo epoete es otr poteci del mismo epoete y de se el cociete de ls ses. MATEMÁTICAS B

4 Potecis y rdicles. Rdicles Defiició Llmmos ríz -ésim de u úmero ddo l úmero que elevdo os d. por ser U rdicl es equivlete u poteci de epoete frcciorio e l que el deomidor de l frcció es el ídice del rdicl y el umerdor de l frcció es el epoete el rdicdo. p p Rdicles equivletes Dos o más rdicles se dice equivletes si ls frccioes de los epoetes de ls potecis socids so equivletes. Ddo u rdicl se puede oteer ifiitos rdicles semejtes, multiplicdo o dividiedo el epoete del rdicdo y el ídice de l ríz por u mismo úmero. Si se multiplic se llm mplificr y si se divide se llm simplificr el rdicl. Rdicl irreducile, cudo l frcció de l poteci socid es irreducile. so equivletes por ser: Amplificr: Simplificr: : : Irreducile por ser m.c.d.(,) Itroducció y Etrcció de fctores Pr itroducir u fctor detro de u rdicl se elev el fctor l poteci que idic el ídice y se escrie detro. Si lgú fctor del rdicdo tiee por epoete u úmero myor que el ídice, se puede etrer fuer del rdicl dividiedo el epoete del rdicdo etre el ídice. El cociete es el epoete del fctor que sle fuer y el resto es el epoete del fctor que qued detro. Itroducir Etrer: MATEMÁTICAS B

5 Potecis y rdicles Cálculo de ríces Pr clculr l ríz -ésim de u úmero primero se fctoriz y se escrie el úmero como producto de potecis, luego se etre todos los fctores. Si todos los epoetes del rdicdo so múltiplos del ídice, l ríz es ect. Reducir ídice comú 0 ; m.c.m(,0) Reducció ídice comú Reducir ídice comú dos o más rdicles es ecotrr rdicles equivletes los ddos que teg el mismo ídice. El ídice comú es culquier múltiplo del m.c.m. de los ídices. El míimo ídice comú es el m.c.m. de los ídices. Los siguietes rdicles so semejtes: ; 7 ; Rdicles semejtes Rdicles semejtes so quellos que tiee el mismo ídice y el mismo rdicdo. Puede diferir úicmete e el coeficiete que los multiplic. Los siguietes rdicles o so semejtes: ; El ídice es distito MATEMÁTICAS B

6 Potecis y rdicles EJERCICIOS resueltos. Escrie los siguietes rdicles como poteci de epoete frcciorio: ) X X. Escrie ls siguietes potecis como rdicles: ) Escrie u rdicl equivlete, mplificdo el ddo: ). Escrie u rdicl equivlete, simplificdo el ddo. ) 9 : : :7 : 7. Itroduce los fctores detro del rdicl: ) ( ) 7 7. Etre los fctores del rdicl: ) Clculr ls siguietes ríces: ) ( ) Reduce ídice comú ) ; ; ; 9 0 ; 9. Idic que rdicles so semejtes ) ; ; y So semjetes y No so semjetes,tiee distito idice MATEMÁTICAS B

7 Potecis y rdicles. Propieddes Ríz de u producto L ríz -ésim de u producto es igul l producto de ls ríces -ésims de los fctores Demostrció: ( Ríz de u cociete L ríz -ésim de u cociete es igul l cociete de ls ríces -ésims del dividedo y del divisor. Demostrció: ( ) 7 ( ) 7 Ríz de u poteci Pr hllr l ríz de u poteci, se clcul l ríz de l se y luego se elev el resultdo l poteci dd. p ( ) p p p Demostrció: ( ) p p Ríz de u ríz L ríz -ésim de l ríz m-ésim de u úmero es igul l ríz m-ésim de dicho úmero. m m Demostrció: m m m m MATEMÁTICAS B

8 Potecis y rdicles. Simplificció Rciolizció Rciolizr u epresió co u rdicl e el deomidor, cosiste e ecotrr u epresió equivlete que o teg ríces e el deomidor. Pr ello se multiplic umerdor y deomidor por l epresió decud pr que, l operr, l ríz desprezc. Cudo el deomidor es u rdicl Si el deomidor es u iomio se multiplic el umerdor y el deomidor por el cojugdo* del deomidor. El cojugdo de + es Cudo el deomidor es u iomio + + ( )( ) + + Simplificr u rdicl Simplificr u rdicl es escriirlo e l form más secill, de form que: El ídice y el epoete se primos etre sí. No se pued etrer igú fctor del rdicdo. El rdicdo o teg igu frcció MATEMÁTICAS B

9 Potecis y rdicles EJERCICIOS resueltos 0. Escrie co u sól ríz: ) 7 X. Escrie co u sól ríz: ) 7. Escrie co u sól ríz: X 7 ). Rcioliz. ) Rcioliz: ) 7 7. Rcioliz: ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) MATEMÁTICAS B 7

10 Potecis y rdicles. Opercioes co rdicles Sum y Rest de Rdicles Pr sumr o restr rdicles se ecesit que se semejtes (que teg el mismo ídice y el mismo rdicdo), cudo esto ocurre se sum ó rest los coeficietes de fuer y se dej el rdicl Producto de Rdicles Pr multiplicr rdicles se ecesit que teg el mismo ídice, cudo esto ocurre el resultdo es u rdicl del mismo ídice y de rdicdo el producto de los rdicdos. Si tiee distito ídice, primero se reduce ídice comú Cociete de Rdicles Pr dividir rdicles se ecesit que teg el mismo ídice, cudo esto ocurre el resultdo es u rdicl del mismo ídice y de rdicdo el cociete de los rdicdos. Si tiee distito ídice, primero se reduce ídice comú. MATEMÁTICAS B

11 Potecis y rdicles EJERCICIOS resueltos. Clculr l sum: ) d) Clculr y simplificr: ) 7 9 d) Clculr y simplificr: ) ) 7 X ( ) ( ) ( ) ( ) Clculr y simplificr ) MATEMÁTICAS B 9

12 Potecis y rdicles Pr prcticr. Escrie como poteci de epoete frcciorio: ) d). Escrie como u rdicl: ) d). Simplific los siguietes rdicles: ) d) 0. Multiplic los siguietes rdicles ) 9 d) e) f) y 9. Multiplic los siguietes rdicles ) ( ) ( 7 + ) ( + ) d) ( + ) ( ) 0. Divide los siguietes rdicles. Etrer todos los fctores posiles de los siguietes rdicles ) 7 y y ) 9 d) 7 9 c 9 d). Itroducir detro del rdicl todos los fctores posiles que se ecuetre fuer de él. ) d). Reduce l míimo comú ídice los siguietes rdicles. ) ; ; ; e) 9 9. Clcul: ) f) d). Rcioliz. ; 7; d) ; ; ) 7 7. Sum los siguietes rdicles idicdos. ) Rcioliz. ) d) + d) d) + 0 MATEMÁTICAS B

13 Potecis y rdicles Pr ser más Aproimció de u ríz cudrd medite frccioes Culquier úmero irrciol se puede proimr medite u frcció, que se otiee prtir de su desrrollo e frcció cotiu. Medite ls frccioes cotius se puede proimr culquier ríz u frcció. Desrrollo de: ' + ' 7 + ' ' ' Algoritmo L primer cifr es l prte eter de l ríz L segud cifr es l prte eter de ' 70 L tercer cifr es l prte eter de Otros desrrollos, 7,,,, 0, No es ecesrio hcer más cálculos por repetirse periódicmete los cocietes., MATEMÁTICAS B

14 Potecis y rdicles Recuerd lo más importte Rdicles Llmmos ríz -ésim de u úmero ddo l úmero que elevdo os d l primero. L epresió es u rdicl de ídice y rdicdo. Poteci de epoete frcciorio U rdicl es equivlete u poteci de epoete frcciorio dode el umerdor de l frcció es el epoete del rdicdo y el deomidor es el ídice de l ríz. Propiedd fudmetl m m El vlor de u rdicl o vrí si se multiplic ó se divide por el mismo úmero el ídice y el epoete del rdicdo. m p m p Reducir ídice comú Reducir ídice comú dos rdicles ddos es ecotrr dos rdicles equivletes los ddos que teg el mismo ídice. Rdicles semejtes So quellos que tiee el mismo ídice y el mismo rdicdo, pudiedo diferir e el coeficiete que los multiplic. Opercioes co rdicles Pr multiplicr(o dividir) rdicles del mismo ídice se dej el ídice y se multiplic(o divide) los rdicdos. Si tiee ídice distito, primero se reduce ídice comú. Pr hllr l ríz de u rdicl se dej el rdicdo y se multiplic los ídices. Pr sumr (o restr) rdicles semejtes se sum (o rest) los coeficietes y se dej el rdicl Rciolizr Rciolizr u frcció co rdicles e el deomidor, es ecotrr u frcció equivlete que o teg ríces e el deomidor. MATEMÁTICAS B

15 Potecis y rdicles Autoevlució. Clcul l siguiete ríz: 7 7. Escrie e form de epoete frcciorio: 0. Clculr: 9. Itroduce el fctor e el rdicl:. Clcul, simplific y escrie co u solo rdicl: 7 7. Etre los fctores del rdicl: 7. Rcioliz:. Clculr y simplificr: 9. Clculr y simplificr: 7 0. Cuáto mide l rist de u cuo si su volume es m MATEMÁTICAS B

16 Potecis y rdicles Solucioes de los ejercicios pr prcticr. ) d). ) d). ) 7 d). ) d) 7 c c. ) d) 7. ) ; ; 7; 9; 7; d) 7; ; 7. ) 7 d). ) 0 0 d) 7 e) f) y 9. ) d) 0. ) y d) e) f). ). ) d) d). ) d) - Solucioes AUTOEVALUACIÓN No olvides evir ls ctividdes l tutor cm MATEMÁTICAS B

17 ACTIVIDADES DE ESO Mtemátics B Cetro pr l Iovció y Desrrollo de l Educció Distci º. Escrie ls potecis como rdicles y los rdicles como potecis: ) d). Clcul: Clcul epresdo el resultdo como u poteci de epoete frcciorio lo más simplificdo posile: 9. Rcioliz y simplific: ) [email protected]