TEMA Nº 1: NÚMEROS REALES

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1 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS TEMA Nº : NÚMEROS REALES. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES.. NÚMEROS RACIONALES. EXPRESIONES DECIMALES. NÚMEROS IRRACIONALES.. NÚMEROS REALES. ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL. 4. INTERVALOS, ENTORNOS Y VALORES ABSOLUTOS. 5. POTENCIAS. RADICALES.. NOTACIÓN CIENTÍFICA 8. LOGARITMOS Defiició: Llmremos frcció u expresió mtemátic del tipo b, siedo y b úmeros umerdor eteros y b 0. b deomidor Defiició: Los úmeros rcioles so los que se puede escribir e form de frcció. Q= /, bz y b 0 b Sum y rest de frccioes:. Igul deomidor: Se sum o se rest los umerdores y se dej el mismo deomidor: b. Distito deomidor: Se reduce comú deomidor y se oper como e el cso terior ) Producto de frccioes: El producto de dos frccioes es u frcció cuyo umerdor es el producto de los umerdores y el deomidor el producto de los deomidores. c c b d b d Divisió de frccioes: Dividir dos frccioes es multiplicr l primer por l ivers de l segud. Es decir multiplicmos e cruz. X c d : b d b c Represetció e l rect Utilizdo el teorem de Tles (divisió de u segmeto e prtes igules), o hciedo l divisió y represetr proximdmete. Expresioes decimles. Tod frcció irreducible tiee u expresió deciml, que se obtiee dividiedo umerdor etre deomidor. (Ejemplo: ; 0... ; 5 0 ) 4 excts Ls expresioes decimles puede ser : Purs Periódics Mixts Importte: Tod expresió deciml exct o periódic se puede expresr e form de frcció Si l expresió o es exct i periódic (es decir ilimitd o periódic) o se puede expresr como frcció. A todos estos úmeros se les llm úmeros irrcioles. Ejemplo: Periódico exct Frcció Número rciol Q Expresió deciml ilimitd o periódic No es frcció.número Irrciol

2 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS Pso de úmero deciml frcció úmero si com Deciml excto seguido de ttos0 como cifrs decimles Deciml úmero si com y si gorrito - prteetero periódico puro ttos9 como cifrs tiee el periodo úmero si com y si gorrito - úmero si com y si periodo Deciml ttos9 como cifrs tiee el periodo y 0 como decimles periódico mixto o periodicos NÚMEROS IRRACIONALES. Rdicles: ; 5 ;. Número áureo:. Número pi: π= Número e= 88 Todos estos úmeros o se puede escribir e form de frcció: SON IRRACIONALES. L form de escritur más secill y exct es llmrlo co lgu letr (π, e) o co l operció co l que surge ( ; ). NÚMEROS REALES. ORDEN Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL. El cojuto formdo por los úmeros rcioles y los irrcioles se llm cojuto de los úmeros reles (IR). Pr represetrlos y orderlos se ps úmero deciml. (L represetció es csi siempre proximd, uque hy lguos irrcioles que se puede represetr de mer exct, como los ríces cudrds) 4. INTERVALOS, ENTORNOS Y VALORES ABSOLUTOS. Itervlos: Los itervlos uméricos so cojutos de úmeros y se represet medite u segmeto co o si extremos. Puede ser cotdos o o cotdos: Itervlos o cotdos (Semirrects): Los itervlos o cotdos se represet medite u semirrect. Expresió verbl Desiguldd Gráfic Itervl o Números meores que b x b,b Números meores o igules que b x b,b Números myores o igules que x, Números myores que x. Números myores que y meores que x b, b b Números myores o igules que y meores o igules que b. x b. b Números myores o igules que y meores que b. x b, b Números myores que y meores o x b, b igules que b. Icluido sigific que puede ser igul, se represet co u puto relleo, y v co corchete [ ó ]. No icluido sigific que o puede ser igul, se represet co u puto blco, y v co prétesis ( ó ). El ifiito como o es igú úmero v siempre co prétesis. Uió de itervlos: Jutr los itervlos.,5,8,8 Itersecció de itervlos: Lo que tiee e comú., 4, 4,

3 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS Etoros: Llmremos etoro l cojuto de úmero que está lrededor de u úmero. Necesitmos dos referecis: el úmero (cetro) y l distci máxim (rdio). E c r x IR / x c r c r, c r E,5 5, 5 4,, Ejemplo: Si os d u itervlo pr psrlo etoro debemos ecotrr el cetro (puto medio del itervlo) y el rdio (distci de u extremo l cetro) b b 4, b E, Ejemplo: 4 4, E, E,5 Desigulddes y vlores bsolutos: x c r. Drá lugr l desiguldd r x c r psmos c mbos ldos sumdo c r x c r Será el itervlo c r, c r y por lo tto el etoro E c, r x c r. Drá lugr l desiguldd r x c r psmos c mbos ldos sumdo c r x c r Será los itervlos, c rc r, 5. POTENCIAS Por defiició Propieddes: Importte b b.- b b m m m m m si es pr si es impr m. RADICALES. Reducció de rdicles ídice comú. Psos seguir:. Hllr el m.c.m. de los ídices. Colocrlos rdicles cuyo ídice se el m.c.m.. Dividir el m.c.m. por el ídice terior y multiplicr por el expoete del rdicdo iicil 5 4 ; 5 ; m.c.m.(,,5)=0 0 0 ; ; 0 4 Multiplicció y divisió de rdicles. Si tiee el mismo ídice Mismo ídice y se multiplic o divide los rdicdos Si tiee distito ídice se reduce igul ídice y posteriormete se multiplic o divide los rdicles ( ) Itroducció y extrcció de fctores bjo el mismo rdicl. Itroducció: Pr itroducir u úmero detro de u rdicl es ecesrio elevrlo l ídice 5 5 del rdicl: 5 b b Extrcció: Pr extrer u fctor de u rdicl es ecesrio que esté elevdo l ídice del rdicl. Lo scmos fuer elimido el ídice. descompoer e fctores primos el rdicdo. b b. Muchs veces es ecesrio

4 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS : 5 sobr 5 49 b c d Sum de rdicles. b d No se puede hcer. 5 b c No se puede sumr rdicles, lo úico que podemos hcer es grupr rdicles igules Apretemete o se puede hcer d, pero vmos descompoer los rdicdos y extrer los fctores que podmos. 45= 5 0= Poteci de u rdicl. Pr relizr l poteci u rdicl multiplicmos los expoetes de l poteci y el p m m p rdicdo Ríz de u rdicl. Pr relizr l ríz de u rdicl multiplicmos los ídices de los rdicles. p p Rciolizció. L rciolizció cosiste e elimir los rdicles de los deomidores de ls frccioes. er Cso: Ríces Cudrds Multiplicmos umerdor y deomidor por l ríz del deomidor: º Cso: Otrs Ríces Multiplicmos el umerdor y el deomidor por u rdicl de ídice el del deomidor terior y rdicdo l poteci del rdicdo terior que os flt pr llegr l ídice del rdicl Multiplicmos por 5 porque os flt pr llegr 5. er Cso: Sum y rest de Ríces cudrds: Multiplicmos el umerdor y el deomidor por el cojugdo del deomidor. L operció cojugd de l sum es l rest y l de l rest l sum. El cojugdo de es. Si os dmos cuet l multiplicrlos

5 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS Expresió de los rdicles e form de poteci Todos los rdicles se puede expresr e form de poteci de l siguiete form. Esto explic muchs de ls propieddes de los rdicles.. NOTACIÓN CIENTÍFICA. Los úmeros de muchs cifrs, y se eteros o decimles, se mej mejor escribiédolos e otció cietífic. L otció cietífic se bs e escribirlos de l form bcd...0, dode es u úmero etero de u sol cifr, y es u úmero etero culquier. 0 Ejemplo: Si es positivo el úmero es muy grde, y si es egtivo es muy pequeño. Ls opercioes co úmeros e otció cietífic se suele hcer co l clculdor. 8. LOGARITMOS Los logritmos fuero itroducidos e ls mtemátics co el propósito de fcilitr, simplificr o icluso, hcer posible complicdos cálculos uméricos. Utilizdo logritmos podemos covertir : productos e sums, cocietes e rests, potecis e productos y ríces e cocietes. Defiició: Se llm logritmo e bse del úmero x l expoete b l que hy que elevr l bse pr obteer dicho úmero. b log x b x que se lee : "el logritmo e bse del úmero x es b", o tmbié : "el úmero b se llm logritmo del úmero x respecto de l bse ". Como podemos ver, u logritmo o es otr cos que u expoete, hecho que o debemos olvidr cudo trbjemos co logritmos. L costte es u úmero rel positivo distito de, y se deomi bse del sistem de logritmos. L poteci b, pr culquier vlor rel de b solo tiee setido si > 0. Ejemplo: log 8 porque 8; log 5 porque 5 Propieddes : log 0 log u v log u 5 5 log v log log log u log v u v x log x log u log u log x x log u log u Logritmos Decimles : Se llm logritmos decimles o vulgres los logritmos que tiee por bse el úmero 0. Al ser muy hbitules es frecuete o escribir l bse.

6 Deprtmeto de Mtemátics. I.E.S. Ciudd de Arjo º BAC MCS log 0 x log x Logritmos Neperios : Se llm logritmos eperios, turles o hiperbólicos los logritmos que tiee por bse el úmero e. log x l x Lx e Cmbio de bse: El logritmo e bse de u úmero se puede obteer prtir de logritmos e log c b otr bse log b log c