UNIDAD 1 NÚMEROS REALES. es el sucesor de n. 4) Todo número natural tiene antecesor excepto el 1:, donde n 1

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1 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí UNIDAD 1 NÚMEROS REALES CONJUNTOS NUMÉRICOS El cojuto de los Núeros Nturles ( N ) Los úeros que se eple pr cotr 1,2,3,4,... costituye el cojuto de los Núeros Nturles (o eteros positivos). Lo siolizos co N. El cojuto se puede escriir coo N {1,2,3,4,...} Propieddes de N 1) El cojuto N es ifiito. 2) Tiee prier eleeto (el 1) y o tiee últio eleeto 3) Todo úero turl tiee sucesor: N, 1N, dode 1 es el sucesor de. 4) Todo úero turl tiee tecesor excepto el 1:, dode 1 es el tecesor de. 5) Etre dos úeros turles o cosecutivos hy u úero fiito de úeros turles. Se dice que N es discreto. Not: E este cojuto l su de dos úeros turles d coo resultdo otro úero turl (esto quiere decir que el cojuto cuple l ley de cierre pr l su), pero o ocurre lo iso pr l difereci (o vle l ley de cierre), por ejeplo 3 5 o tiee solució e este cojuto, por lo tto ecucioes del tipo 5 x 3 o tiee solució e el cojuto N, de llí l ecesidd de itroducir u uevo cojuto de úeros. Actividd N 1 ) Copletr: i) El sucesor de 5 es ii) El tecesor de 1 es iii) El sucesor de +1 es.. iv) El tecesor de +3 es.. v) Etre los úeros 2 y 4 hy. úero/s turles. vi) Etre los úeros 15 y 28 hy..úero/s turles. ) L operció producto etre úeros turles d coo resultdo otro úero turl? Y l divisió? c) Respoder Verddero o Flso, justificr l proposició fls co u cotrejeplo. i) El producto cuple l ley de cierre e N. ii) El cociete cuple l ley de cierre e N. El cojuto de los úeros eteros ( Z ) Si l cojuto N se greg el úero 0 y los eteros egtivos se otiee u uevo cojuto lldo cojuto de los úeros Eteros. Lo siolizos co Z. Z {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Z N {0} Z Propieddes de Z : 1) El cojuto Z es ifiito. 2) El cojuto Z o tiee i priero i últio eleeto. 3) Todo úero etero tiee u tecesor y u sucesor. 1

2 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí 4) Etre dos úeros eteros o cosecutivos hy u úero fiito de úeros eteros. Se dice que Z es discreto. Not: L su, difereci y producto de dos úeros eteros es otro úero etero (esto quiere decir que vle ls leyes de cierre pr su, difereci y producto), pero o ocurre lo iso co l divisió de dos úeros eteros, por ejeplo 2 : 5 o tiee solució e este cojuto (o vle l ley de cierre pr l divisió), por lo tto ecucioes del tipo 4. x 1 6 o tiee solució e Z, de llí l ecesidd de itroducir u uevo cojuto de úeros. Actividd N 2 ) Copletr: i) El sucesor de -2 es ii) El tecesor de 1 es iii) El sucesor de -3 es.. iv) El tecesor de 2 es.. v) Etre los úeros (-2) y 4 hy. úero/s turles. vi) Etre los úeros (-5) y 28 hy..úero/s eteros. ) Respoder Verddero o Flso, justificr l proposició verdder coloquilete. i) El producto cuple l ley de cierre e. ii) El cociete cuple l ley de cierre e El cojuto de los úeros Rcioles ( Q ) Es el cojuto de úeros fordo por quellos úeros que puede expresrse coo cociete de dos úeros eteros, coo u frcció. Es decir: Q si c co, c Z c 0 A este cojuto lo siolizos co Q. Q Z Frcciorios Los úeros turles y eteros so úeros rcioles co deoidor 1. Propieddes de Q : 1) El cojuto Q es ifiito. 2) El cojuto Q o tiee i priero i últio eleeto. 3) Etre dos úeros rcioles existe ifiitos úeros rcioles, etoces se dice que Q es deso. Frccioes Equivletes: Dos frccioes so equivletes cudo represet el iso úero, por ejeplo y so equivletes porque tods represet el úero 0,25. Pr psr de l prier l segud se ultiplic el uerdor y el deoidor por 3, o por el cotrrio si se quiere reducir l tercer frcció l prier se divide uerdor y deoidor por 5. Actividd N 3 ) Pr cd u de ls siguietes frccioes, hllr su expresió decil ) Expresr coo frcció 2

3 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí c) Copletr co =, > ó < segú correspod: Opercioes e Q c dc Su o rest: d d Ejeplos: 1) Frccioes de igul deoidor: se poe el iso deoidor y se su o rest los uerdores ) Frccioes de distitos deoidores: si teeos distitos deoidores, deeos ecotrr el Míio Coú Múltiplo de los deoidores, el iso ps ser el deoidor de l su, e el ejeplo los deoidores so 4 y 5 y el íio coú últiplo es 20. Pr clculr el uerdor dividios el deoidor de l su por el deoidor de l prier frcció, e este cso 20:4=5, este resultdo lo ultiplico por el uerdor correspodiete l prier frcció, e el ejeplo 5.1=5, y relizdo el iso procediieto, es decir, dividios el deoidor de l su por el deoidor de l segud frcció, e este cso 20:5=4, este resultdo lo ultiplico por el uerdor correspodiete l segud frcció, e el ejeplo 4.2=8, y sí siguiedo, si tuvier ás sudos, suos estos resultdos y oteeos el uerdor de l su. Por ejeplo: Producto: c c d d El producto de vrios úeros rcioles es igul otro úero rciol cuyo uerdor y deoidor so los productos de los uerdores y deoidores de los fctores. Es coveiete siplificr ls frccioes y llevrls su íi expresió y recié relizr el producto. Siepre se puede siplificr uerdor y deoidor de l is frcció. E el producto deás se puede siplificr uerdor y deoidor de frccioes distits. Ddo el siguiete producto de frccioes Podeos siplificr uerdor1 co deoidor 1, uerdor2 co deoidor2, por ser uerdor y deoidor de l is frcció, uerdor1 co deoidor2 ó uerdor2 co deoidor1 por ser producto de frccioes. Ejeplo: Cociete: c d : d c E este cso l siplificció se reliz etre uerdores o ie etre deoidores. Es decir se puede siplificr uerdor1 co uerdor2, deoidor1 co deoidor2, deás, coo siepre se puede siplificr uerdor co deoidor de l is frcció, tié podeos siplificr uerdor1 co deoidor1 ó uerdor2 co deoidor Ejeplo: 3 : 4 : El cojuto de los úeros rcioles o es cerrdo pr l rdicció, por ejeplo 2 1, o es u úero rciol porque es u úero decil o periódico, o se puede expresr coo u 2 frcció, por lo tto ecucioes del tipo x 2 0 o tiee solució e Q. De llí l ecesidd de 3

4 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí itroducir u uevo cojuto de úeros. El cojuto de los úeros Irrcioles ( I ) Es el cojuto fordo por los úeros que tiee ifiits cifrs deciles o periódics. Lo siolizos co I. Ejeplos: 2 1, , , Propieddes de I : 1) El cojuto I es ifiito. 2) El cojuto I o tiee i priero i últio eleeto. El cojuto de los úeros Reles ( ) Ley de Tricotoí: Si etoces cuple u y solo u de ls siguietes proposicioes: Orde e Si, es eor que si se cuple que es positivo. E síolos: Opercioes e. Propieddes Hitulete operos co úeros reles (suos, restos, etc.), pero existe cierts regls que deeos respetr, este cojuto de regls recie el ore de propieddes. Ls iss se puede coprr co el regleto de u deporte, si se descooce el iso o se puede prcticr el deporte e u cpo de juego pues segurete o sríos coo desevolveros. Propieddes de l dició (Su): Se 1. Ley de cierre: Pr todo pr de úeros y que perteece los reles se cuple que l su perteece los reles. E síolos: : 2. Propiedd Couttiv: 3. Propiedd Asocitiv: 4. Existeci del eleeto eutro pr l su: Pr todo úero que perteece los reles, existe el úero 0 que perteece los reles tl que se cuple que el úero ás 0 es igul l iso úero. 5. Existeci del eleeto opuesto: Propieddes del producto (Multiplicció): 1. Ley de cierre: : 2. Propiedd Couttiv: 3. Propiedd Asocitiv: 4. Existeci del eleeto eutro pr el producto: 4

5 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí 5. Existeci del eleeto iverso: 6. Distriutiv del Producto respecto de l su: Not: Todo cojuto que cuple co ls propieddes teriores se deoi Cpo, por lo tto el cojuto de los úeros reles co ls opercioes de su y producto usules costituye u cpo uérico. Otros cpos uéricos so los Rcioles y los Coplejos. Leyes Cceltivs y Uifores: 1) De l Adició Ley uifore pr l su:,, c R : c c Ley cceltiv pr l su:,, c R : c c 2) Del Producto: Ley uifore:,, c R :. c. c: Ley cceltiv:,, c R, c 0 :. c. c Propiedd: Se, R, Propieddes de ls opercioes sore desigulddes 1) 2) 3) 4) 5) 6) A cotiució se eucirá lgus regls que te peritirá resolver ejercicios coidos. Regls de l supresió de prétesis: Si teeos u sigo eos delte del prétesis, ci de sigo los térios que se ecuetr detro del iso. Regl de los sigos pr el producto y l divisió: Si ultiplicos o dividios dos úeros co sigos igules el resultdo es positivo, ietrs que, si ultiplicos o dividios dos úeros de distitos sigos el resultdo e egtivo. Ls opercioes coids se reliz teiedo e cuet ls siguietes prioriddes: ) Efectur ls opercioes etre prétesis, corchetes y llves ) Clculr ls potecis y ríces. c) Efectur los productos y cocietes. d) Y por últio relizr ls sus y rests. 5

6 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí Poteci y Rdicció de Núeros Reles Defiició de Poteci Si es u úero rel, distito de 0, y es u úero turl, se defie poteci -ési de : se lee: elevdo l ; se deoi se y el expoete. Adeás se estlece, por coveció: Por lo tto se cuple tié que: Propieddes de l poteci: 1. Producto de potecis de igul se: 2. Cociete de potecis de igul se:. :.. 3. Poteci de poteci: ( ) 4. Distriutiv de l poteci respecto del producto y del cociete:.. si 0 Oservció L potecició o es distriutiv respecto l su o l difereci. Es decir Rdicció ( ) L expresió se lee l ríz eési de u úero, co, se deoi ídice y rdicdo. Y se defie de l siguiete for: Si es pr, l ríz solo está defiid pr úeros positivos, es decir: Ddo > 0, 0 Si es ipr, l ríz está defiid pr culquier rel, es decir: Ddo R 6

7 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí Ejeplos: R R U ríz se puede escriir coo poteci de expoete rciol, por coveció: Propieddes de l Rdicció 1/ 1. Distriutiv respecto del producto y del cociete:.., 0 2. Ríz de ríz:. 3. Aplificció y siplificció de ídices (r 0):. r. r : r : r L rdicció o es distriutiv respecto l su o l difereci. Es decir: Cuiddo l siplificr! Si teeos u poteci, coo rdicdo e u ríz de ídice pr, podeos escriir: 2 2 ( 2) ( 2) 2.1/ 2 que es equivlete siplificr ídice co expoete y esto o es correcto porque si operos si siplificr, el resultdo oteido es 2 (positivo) Actividd N 4 ) Aplicr propiedd couttiv, de o ser posile justificr. i) iv) ii) v) iii) vi) ) El cojuto de los úeros irrcioles cuple l ley de cierre e l su? Justificr. c) Relizr ls siguietes opercioes coids e for exct si utilizr clculdor 7

8 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí Vlor Asoluto o Módulo Heos visto que los úeros reles se represet e l rect uéric. Se puede oservr que l distci del úero 4 hst el 0 es igul 4 y que l distci del úero -4 hst el 0, tié es igul 4. O se, l distci de u puto l cero o tiee e cuet de qué ldo del cero esté el úero. Si cosideros l distci de u úero hst cero coo u vlor positivo, defiios ést coo el vlor soluto o ódulo del úero. El ódulo de u úero se idic co dos rrs que rc l iso. Por ejeplo: Podeos precir que el vlor soluto de u úero es el iso úero, si éste es positivo, y el opuesto, si es egtivo. Esto se puede forlizr edite l siguiete defiició: x si x 0 x x si x 0 Propieddes del Vlor Asoluto: El vlor soluto de u úero es siepre yor o igul cero. El vlor soluto de u úero es igul l de su opuesto. El vlor soluto de u producto es igul l producto de los vlores solutos. El vlor soluto de u cociete es igul l cociete de los vlores solutos. Ejeplo: Iguldd iportte: Co el cocepto de vlor soluto de u úero rel, podeos volver sore el prole pltedo sore l siplificció de rdicles y directete escriir l siguiete iguldd, válid pr todo úero rel, co pr: x x 8

9 Uiversidd Nciol de Slt Fcultd de Igeierí Aputes de Curso Me prepro pr estudir Igeierí Actividd N 5: Deterir el vlor soluto, utilizdo defiició y propieddes e cso de ser ecesrio. Actividd N 6: Relizr ls siguietes opercioes coids e for exct si utilizr clculdor 9