LOS NÚMEROS REALES 1

Transcripción

1 Modlidd virtul Mteátic LOS NÚMEROS REALES Núeros Nturles Los úeros que hbitulete usos pr cotr l ctidd de eleetos de u colecció u order los eleetos de u list costituye el cojuto de los úeros turles, sibolizdo por N. N = {,,, 4,...} N es u cojuto ifiito. El prier eleeto de N es el. Cd úero turl tiee u sucesor o siguiete. U úero turl y su siguiete se deoi cosecutivos. N 0 deot el cojuto de los úeros turles l que se le greg el cero. N 0 = {0,,,, 4,...} = N {0} N 0 es u cojuto ifiito. El prier eleeto de N 0 es el 0. Al represetr e l rect uéric l cojuto N 0 : se observ que Etre u úero de N 0 y su siguiete o hy otro úero turl. Los cojutos de úeros que tiee est propiedd se ll discretos. Núeros Eteros Los úeros turles, los eteros egtivos y el cero costituye el cojuto de los úeros eteros que sibolizos co l letr Z. Z = N {0} {..., -, -, -} = {..., -, -, -, 0,,,,...} E l rect uéric los eteros egtivos se ubic l izquierd del cero: Se observ que cd úero egtivo es siétrico respecto del cero de u úero turl. Por ejeplo y - so siétricos respecto del cero. Elizodo, Giuggiolii; Módulo, Núeros y opercioes, UBA XXI, Articulció, 007 UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES

2 Modlidd virtul Mteátic Se dice que - es el opuesto de y que es el opuesto de -. Coviee recordr que: El opuesto de u úero lo sibolizos Si es u úero etero, su opuesto es u úero etero. El opuesto de 0 es 0. Si es el opuesto de b, b es el opuesto de Si = el opuesto de es = Si = - el opuesto de es = -(-) = L expresió o sigific que el úero se egtivo. Sólo idic el opuesto de. - es u úero etero. Su opuesto (-) = es tbié u úero etero Y tbié Z es u cojuto ifiito Cd úero etero es el siguiete de otro. Etre u úero etero y el siguiete o hy otro úero etero. Por poseer est propiedd se dice que el cojuto de los eteros es u cojuto discreto. N es u cojuto discreto El cojuto de los úeros turles es u subcojuto de los eteros: N Z A los úeros turles tbié se los ll eteros positivos: N = Z +. (El síbolo sigific icluido) Núeros Rcioles U siste ás plio de úeros lo costituye el de los úeros rcioles (Q) Los úeros rcioles so quellos que se expres coo cociete de dos úeros eteros, dode el p divisor es distito de cero (es decir, co p y q eteros, q 0). q Cd úero etero puede represetrse coo u úero rciol e l for (por ejeplo, ). Etre dos úeros rcioles siepre hy otro úero rciol. Todo úero etero es rciol: Z Q Adeás N Z Q Por ello se dice que los úeros rcioles for u cojuto deso. UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES

3 Modlidd virtul Mteátic Culquier que se el úero etero 0 ls expresioes represet el iso úero rciol. b y b so equivletes y 6 9 ; ; 0 ; 0 so frccioes equivletes y represet el iso úero rciol. De tods ls frccioes equivletes que represet el iso úero rciol existe sólo u cuyo uerdor y deoidor so úeros prios etre sí. Ests frccioes se deoi irreducibles. es u frcció irreducible Siplificr u frcció es hllr u frcció irreducible equivlete ell. Pr coprr frccioes: U frcció positiv es siepre yor que u egtiv. Por ejeplo: 0 - Si ls frccioes tiee el iso deoidor, es yor l que tiee yor uerdor. Por - - ejeplo: ; Si ls frccioes tiee distito deoidor, coviee expresrls e frccioes equivletes ls que se quiere coprr y que teg el iso deoidor. Por ejeplo pr coprr y podeos escribirls e for equivlete y etoces Expresió frcciori y decil de los úeros rcioles Todo úero rciol puede expresrse e for de frcció o e for decil. Pr obteer l expresió decil de u úero rciol expresdo e for frcciori se divide el uerdor por el deoidor. Al hcerlo puede suceder: El cociete es u úero decil excto porque después de vrios psos el resto de l divisió es cero. Decios que es u expresió decil fiit. 0,4;, 4 Que luego de u úero de psos los restos coiece repetirse y tbié ls cifrs del cociete se repite. Se trt de expresioes deciles periódics. Al úero o bloque de úeros que se repite se lo ll período., ,6 7 0, ,6 0, ,7 8 UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES

4 Modlidd virtul Mteátic Los deciles exctos y periódicos puede expresrse e for de frcció. Si l expresió decil es fiit, escribios l prte decil coo su de frccioes deciles:, Si l expresió decil es periódic:. Expresió de = 0, ˆ coo u frcció Si = 0, ˆ, ultiplicdo por 0 bos iebros obteeos 0 =, ˆ. Restdo bs igulddes (l segud l prier), result 9 = ; co lo que =. Expresió de b = 0,ˆ coo frcció Si b = = 0,ˆ Multiplicdo por 00 bos iebros obteeos: 00b =, ˆ () Si l is iguldd l ultiplicos por 0 es 0b =, ˆ () Restdo () y () se tiee que 00b 0 b = 9. De dode: 90b = 9 Así 9 b 90 9 Opercioes co úeros rcioles Adició de frccioes Si los deoidores so igules se su los uerdores c c b b b Ejeplos 4 4. Si los uerdores o so igules, se sustituye ls frccioes por otrs equivletes que teg el iso deoidor. c c b d b d dode es el íio coú últiplo etre b y d UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 4

5 Modlidd virtul Mteátic Multiplicció y divisió de frccioes Pr ultiplicr dos frccioes se ultiplic los uerdores etre sí y los deoidores etre sí. Pr dividir u frcció por otr distit de cero, se ultiplic l prier por el iverso ultiplictivo de l segud. Si c0 : b c c b d b d c d d d b c b c bc d Ejeplos.. es el iverso ultiplictivo de. 7-7 (-) : : (-) 0 Los úeros reles Etre los úeros coocidos, existe quellos que o puede escribirse coo el cociete etre dos úeros eteros. So los lldos úeros irrcioles (I) Los úeros irrcioles (I), juto co los úeros rcioles (Q) for el cojuto de los úeros reles (). = I Q Adeás = I Q So úeros irrcioles: 0, , ,446..., e, Estos úeros o puede expresrse coo cociete de dos úeros eteros. Los úeros irrcioles tiee u desrrollo decil ifiito o periódico. Opercioes e los reles. Propieddes E el cojuto de los úeros reles está defiids dos opercioes: Adició y ultiplicció. Por dició etedeos que todo pr de úeros reles, b se le sig u úero rel lldo l su de co b que idicos + b. Por ultiplicció etedeos que todo pr de úeros reles, b se le sig u úero rel lldo producto de co b que idicos b. UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES

6 Modlidd virtul Mteátic Propieddes de l dició Culesquier se los úeros reles, b y c se verific: L dició es couttiv: + b = b + L dició es socitiv: ( + b) + c = + (b + c) + 0 = 0 + = (0 es el eleeto eutro pr l dició) + (-) = (-) + = 0 (- es el iverso ditivo de ) Propieddes de l ultiplicció Culesquier se los úeros reles, b y c se verific: L ultiplicció es couttiv: b = b L ultiplicció es socitiv: ( b) c = ( b c) =. = ( es el eleeto eutro pr el producto) - = (si ) ( - es el iverso ultiplictivo de ) L propiedd distributiv de l ultiplicció co respecto l dició, vicul bs opercioes: Culesquier se los úeros reles, b y c vle que. (b + c) =. b +. c Observció E el cojuto de los úeros turles o se verific ls propieddes de eutro e iverso ditivo pr l dició, i l de iverso ultiplictivo. E el cojuto de los úeros eteros, o se verific l propiedd de iverso ultiplictivo Otrs propieddes iporttes El opuesto de l su es l su de los opuestos: - ( + b) = - + (- b ) El producto de culquier úero rel por (-) es igul l opuesto del úero rel: (-) = (-) = (-) El producto de u úero rel por cero es cero: 0 = 0 = 0 Si b = 0 etoces = 0 ó b = 0 Ley cceltiv: o de l su: Si + c = b + c etoces = b o del producto: Si c = b c y c 0 etoces = b Recordos que: Restr dos úeros reles y b sigific sur co el opuesto de b. b = + (- b ) Dividir dos úeros reles y b (co b0) sigific ultiplicr por el iverso ultiplictivo de b : b =. b - UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 6

7 Modlidd virtul Mteátic Orde e E cosideros l relció eor que, que deotos < que stisfce ls siguietes propieddes:. Tricotoí. Si y b so dos úeros reles, vle u y sólo u de ls siguietes posibiliddes: < b ó = b ó > b. Trsitividd: < b y b < c < c. Mootoí de l su: < b + c < b + c 4. Mootoí del producto: < b ; c > 0 c < b c Tbié escribireos: > b pr idicr que es yor que b. < b < c pr idicr < b y b < c. b pr idicr que es yor o igul que b. b pr idicr que es eor o igul que b. b sí y solo sí > b ó = b b sí y solo sí < b ó = b es u cojuto ordedo Otrs propieddes de orde. Se, b y c eleetos culesquier de. Etoces:. Si < 0 etoces > 0. < b -b < -. Si < b y c < 0 etoces c > b c 4. b > 0 < 0 y b < 0 ó > 0 y b > 0. b < 0 < 0 y b > 0 ó > 0 y b < 0 6. > b b > 0 Los úeros reles y l rect rel Los úeros reles se puede ubicr sobre l rect: cd puto de l rect le correspode u úico úero rel y cd úero rel u úico puto e l rect. Cosidereos u rect, dode se fij u orige y l uidd de logitud. Cd úero positivo está represetdo por u puto situdo l derech del orige, y cd úero egtivo l izquierd del iso. Pr ubicr los úeros eteros dibujos cosecutivete sobre l rect el segeto uidd UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 7

8 Modlidd virtul Mteátic Pr ubicr los úeros rcioles de l for ; q 0 q prtes igules. dividios el segeto de extreos 0 y e q Por ejeplo, pr q = A prtir de 0 dibujos u seirrect que fore u águlo gudo co el segeto uidd y sobre ell rcos segetos de igul logitud. El últio extreo (E) se ue co y se trz prlels por A, B, C y D, dividiedo l segeto uidd e prtes igules. Cd segeto e que qued dividido el segeto uidd represet del iso. E for álog procedeos pr los úeros rcioles de l for q p co Ejeplo: represetció de q 0 y eores que l uidd (p < q). Es suficiete tor prtir del orige p segetos de logitud q. Alguos úeros irrcioles, puede ubicrse e l rect uéric edite costruccioes geoétrics. L posibilidd de hcerlo perite ver que los putos que h ocupdo estb vcíos de úeros rcioles. Alguos de los ifiitos huecos que dej etre sí los úeros rcioles so ocupdos por ellos. Otros úeros irrcioles o puede ubicrse e l rect edite costruccioes geoétrics. Por ejeplo: ; e;. Represetció geoétric de lguos irrcioles de l for (siedo u etero positivo). 6 E cd cso se plic el teore de Pitágors u triágulo rectágulo de ctetos y ríz cudrd del úero turl terior. Por ejeplo: E geerl pr represetr los úeros irrcioles e l rect uéric usos u proxició decil de los isos. Por ejeplo:,4 represet u proxició del úero irrciol., represet u proxició del úero irrciol. 4,4 represet u proxició del úero irrciol ,7 represet u proxició del úero irrciol - UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 8

9 Modlidd virtul Mteátic Su represetció proxid es: Coviee recordr Culquier segeto sobre l rect por pequeño que se cotiee ifiitos putos rcioles (desidd de Q) y pesr de ello cotiee otros putos, tbié ifiitos: los úeros irrcioles (I). Abos cojutos: los irrcioles (I) juto co los rcioles (Q), for el cojuto de los úeros reles (es decir, tto los rcioles coo los irrcioles so úeros reles). Los úeros reles lle por copleto l rect (por eso se l ll rect rel). Est propiedd de los úeros reles se cooce coo propiedd de copletitud de los úeros reles. Otrs opercioes e Potecició y rdicció de úeros reles. Defiició Si es u úero rel culquier, y es u etero positivo etoces l poteci eési de es: fctores es l poteci eési de se deoi bse expoete es el expoete bse Recordos que: Ejeplos: 0 = pr 0 = Si es u etero positivo y 0, etoces E prticulr: b b ; 0 y b 0 b UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 9

10 Modlidd virtul Mteátic Propieddes de l potecició Si y b so úeros reles y deás y eteros vle ls siguietes: Propieddes (e lguos csos 0 y b 0) Ejeplos.. Producto de potecis de igul bse (-) (-) (-) (-) ( ) Cociete de potecis de igul bse - 7 Poteci de poteci 6 (-) (- ).6 4. ( b) b Poteci de u producto (- 4 (-) 4 ( 8) b b 6. Poteci del cociete 8 7 b si 0 b 4 Expoete frcciorio. L expresió, co etero yor que, recibe el obre de ríz -ési de Así: es l ríz cudrd de y es l ríz cúbic de. L expresió se represet tbié edite. Ídice de l ríz Rdicdo Recordos que: Si es pr, debe ser yor o igul que cero. Si es ipr, puede tor culquier vlor rel, positivo, ulo o egtivo. Defiició: Si 0 es u úero rel llos ríz cudrd de y lo sibolizos tl que b =. Es decir que: = b si y sólo si b 0 y b = l úico úero rel b 0 Proposició: Si es u úero rel culquier UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 0

11 Modlidd virtul Mteátic Defiició. Si y so úeros turles. ( ) Propieddes Si es u úero rel y > 0 vle ls siguietes propieddes:. p q p q Producto de potecis de igul bse p p q q. ( ). ( b ) b Poteci de poteci Distributividd respecto l ultiplicció. Ejeplos: Clculr plicdo propieddes Solució: Usdo l otció de expoete frcciorio y propieddes de l potecició escribios: Solució:. 4 6 Por propiedd escribios: ( 6 ) Solució: (6) Solució: Usdo l defiició de expoete frcciorio y operdo: ( 6 ) Aplicdo l propiedd, es: ( 6) -6 6 b. Tbié podeos resolverlo sí: ( 6) 6 6 UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES

12 Modlidd virtul Mteátic Supresió de ríces e el deoidor Expresioes coo: ; 4 ; ; 6-6 que cotiee ríces e el deoidor, puede escribirse e for equivlete de odo que l uev expresió o coteg ríces e el deoidor. Veos lguos ejeplos. Ejeplo. Multiplicdo uerdor y deoidor por y plicdo propieddes de l potecició es: Ejeplo. Multiplicdo uerdor y deoidor por (y que = ) y plicdo propieddes de l potecició es: E bos ejeplos e el deoidor se tiee u expresió del tipo uerdor y deoidor por otr expresió co el iso ídice, bses y p se u poteci de. p. Se busc ultiplicr, y tl que el producto de sus Ejeplo. 4 El deoidor es e este cso u difereci etre dos úeros. Multiplicdo uerdor y deoidor por l su de ellos, y operdo es: 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) -( ) 4 ( 4 ) -( ) Cudo el deoidor es l su o difereci de dos úeros, e dode uo de ellos o bos es u irrciol cudrático, se ultiplic el uerdor y el deoidor por l difereci de los térios del deoidor, e el cso de u su, o por l su e el cso de u difereci. Así el deoidor qued expresdo e l for: ( + b)( b) = b UBA XXI MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES