UN RESUMEN DEL CURSO DE TALLER DE MATEMATICAS

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1 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. UN RESUMEN DEL CURSO DE TALLER DE MATEMATICAS ARITMETICA Y ALGEBRA E los úeros reles teeos ls siguietes propieddes. Si, b, c so úeros reles, teeos ls siguietes epresioes:.- L su de co b, +b, es u úero rel..- L su de dos úeros reles es couttiv +b b+.- L su de úeros reles es socitiv +b+c + b+c 4.- El úero rel 0 se le ll idético ditivo, stisfce l iguldd 0+.- Ddo el úero rel, l úero rel que deotos por se le ll iverso ditivo de y stisfce l siguiete iguldd El producto o ultiplicció de úeros reles, b, es tbié u úero rel, este úero rel se represet por b. 7.- El producto o ultiplicció de dos úeros reles es couttivo b b 8.- El producto o ultiplicció de úeros reles es socitivo bcb c 9.- El producto de úeros reles es distributivo sobre l su b+c b + c 0.- El úero rel, es lldo uo, stisfce que ultiplicdo por culquier úero rel, stisfce l siguiete iguldd, l úero se le ll idético ultiplictivo..- El úero y el úero 0 so diferetes, 0..- Si el úero rel es diferete de cero, 0, l úero / se le ll iverso ultiplictivo de y stisfce l iguldd Núeros turles N {,,,,}.

2 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. Núeros eteros E {,,-, -, -, 0,,,, } Núeros rcioles Q {p / q p y q so úeros eteros co q diferete de cero } Núeros irrcioles I {úeros reles que o so rcioles} Núeros reles IRQ U I Opercioes de su, rest, ultiplicció, y divisió de úeros rcioles. Ddos los úeros eteros p, q, r, s, teeos los úeros rcioles p/q, r/s q 0 s. Ls siguietes so opercioes etre úeros rcioles L su p r ps + q s qsqr L rest p r - q s ps qr qs L ultiplicció p r q s pr qs L divisió p q r s ps qr Potecis de úeros reles, b 0 b b b b - - -,, úeros turles

3 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. RAÍCES DE NÚMEROS REALES b b, si es pr,, b 0 b b Reliz ls opercioes siguietes y siplific ls epresioes resulttes. E cd uo de los siguietes csos, idicr que propiedd o propieddes, de ls opercioes correspodietes fue epled , , , , , , Clculr si eiste el iverso ditivo y ultiplictivo pr cd uo de los siguietes úeros 00 9, -8,,,, 0, -,, -, 00, ddos y los obteidos sobre u rect uéric, 0 00, de ser posible, represete los úeros Use el orde correcto de opercioes pr resolver los siguietes ejercicios , b , c , d e. 7-6, f , g. -[ ] , i POLINOMIOS: DEFINICION, OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA ADISION, RESTA DIFERENCIA, MULTIPLICACION PRODUCTO; DIVISION: ALGORITMO DE LA DIVISION, TEOREMA DEL RESIDUO, TEOREMA DEL FACTOR, CEROS O RAICES, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION. Polioio de grdo e l vrible, úero turl P s so úeros, si 0, direos que es el grdo del polioio., ls

4 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. - - Se úero turl. Q b b- b- b b b0 es polioio de grdo e l vrible, ls b s so úeros. A los úeros s y b s se les ll coeficiete de l respectiv poteci de, sí por ejeplo es el coeficiete de e el polioio P, ietrs que b es el coeficiete de e el polioio Q. L su o difereci de los polioios P Q, P - Q es otro polioio. El grdo de éste polioio es eor o igul l ás grde vlor etre y. El polioio producto P Q se obtiee de ultiplicr cd tério de uo de los polioios por cd uo de los térios del otro polioio, y se reliz l su de todos estos productos. El grdo del polioio producto es l su +. Si el grdo del polioio P es yor o igul que el grdo del polioio Q, podeos P relizr l divisió del polioio P etre el polioio Q,, queddo el siguiete Q digr: Algorito de l divisió. Teeos l siguiete iguldd P iguldd. reducid P Q q- cociete divisorq P dividedo q - q - Q Q P Q r k Q q r - k residuo k 4 r, co est epresió llegos l siguiete k q - rk Q Q Q rk Q q - rk, ás Q Teore del Residuo: Cudo u polioio P se divide etre el tério -, el residuo r es P, r P es u úero. Coo ejeplo podeos cosiderr el polioio k k P 4-7, y el tério -, l relizr l divisió del polioio P etre el tério -, obteeos que el residuo es r 0 98 P. Teore del Fctor: Si el polioio P es divisible etre, etoces el residuo es cero, es decir, P 0. Coo ejeplo podeos cosiderr l divisió del polioio P 4 etre el tério -. Podeos coprobr fácilete que l divisió es ect y obviete el residuo es cero. Tbié podeos sustituir el vlor de e el polioio P y obtedreos que r 0 0 P 0, cupliédose e este ejeplo lo que de for geerl os proporcio el Teore del Residuo. Teore del Residuo Recíproco Si teeos que P 0, etoces el polioio P es divisible etre -. Coo corolrio l recíproco del Teore del Residuo obteeos l iguldd P q - -

5 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. Ceros o Ríces de u polioio. Ddo u polioio P, direos que u úero es u cero o ríz de éste polioio si l evlurlo e él, el resultdo es cero, P 0 El polioio P 4 tiee coo u ríz o cero. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION. +b + b +b, -b -b +b, + +b + +b + b +b -b - b, +b + b+ b + b, -b - b+b -b +b c +d c + b c+ d+b d Más sobre fctorizció: Epledo l operció de divisió, es fácil poder clculr l siguiete epresió; y - y y, e cosecueci obteeos l y fctorizció +y +y - y+y, de er siilr obteeos l siguiete divisió y y y, e cosecueci obteeos y l fctorizció - y -y + y + y b - b 4c 0 L fórul es uy útil pr fctorizr l ecució de grdo + b +c0, queddo l siguiete iguldd +b +c-r -r, dode r y r so ls ríces de l ecució de segudo grdo, ls cules se clcul por edio de ls siguietes fóruls b b 4c b - b 4c r, r RACIONALIZACION Ejeplo.- Rciolizr el deoidor de l siguiete epresió. Teeos epresió y rciolizd qued sí: Ejeplo.- Rciolizr el deoidor de l siguiete epresió y Teeos - y - y 6 y y y - y y 9y 7 0 l

6 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. 6 l epresió y rciolizd qued sí: - 9y y - 6 y Ejeplo.- Rciolizr el uerdor de l siguiete epresió 0,, Teeos L epresió y rciolizd qued sí: Ejeplo 4.- Rciolizr el uerdor de l siguiete epresió 0 0, 0,, - Teeos - L epresió y rciolizd qued sí: Ejeplo.- Rciolizr l epresió Teeos -

7 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. L epresió y rciolizd qued sí: Probles Rciolizr el uerdor de l epresió w 6 w w - b Rciolizr el deoidor y siplificr c Rciolizr el deoidor y siplificr - d Rciolizr el deoidor y siplificr 7 y - y 7 y y ECUACION LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA +b c +d Ejeplo.- Resolver l ecució liel + 7 Solució: Teeos los siguietes psos 7-4 4, coprobeos que este vlor de stisfce l ecució liel dd Ejeplo.- Resolver l ecució liel co u icógit - +7 Solució: Teeos los siguietes psos , coprobeos que este vlor de stisfce l ecució liel dd

8 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A.. Ejeplo.- L siguiete ecució l trsforos e liel pr poder resolverl Solució: Teeos los siguietes psos , coprobeos si este vlor de stisfce l ecució iicil ECUACION LINEAL CON DOS INCOGNITAS, y, y, vribles e icógits y +b,, y vribles, pediete, b orded l orige. Ecució geerl; + b y +c0,, y vribles,, b coeficietes de ls vribles; c tério idepediete. Gráfic: diferetes csos 8

9 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. Observció: si b0, l gráfic es u rect verticl que ps por de u rect orizotl que ps l ltur de y- b c c ; si 0, teeos l gráfic DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS, y Dos ecucioes lieles co dos icógits; siste de dos ecucioes lieles co dos icógits, y,,,,, b, b úeros. + y b + y b Métodos de resolució: vr. gr.; su, rest, sustitució, etc. Ejeplos: El siste + y el siste +y el siste + y tiee solució úic y { tiee ifiidd + y o tiee solució +y de solucioes, y-,{ ejeplos 0, y, y0 -, y ls gráfics se cruz ls gráfics o se cruz ls gráfics o se cruz ECUACION DE SEGUNDO GRADO GRAFICA: A + B + C 0, CON RAÍCES O CEROS X B - B A 4AC Dos ríces o ceros diferetes dos ríces o ceros reles e igules si ríces reles 9

10 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. A > 0 A < 0 COMPLETAR CUADRADO: Los siguietes psos os perite copletr cudrdo Pr l ecució de segudo grdo B C A B C A A A B C B A B A A - A A B B A C B A A + A - A A A B B C B A + A A A A A A B A 4A C - B +B + C A + +, qued copletdo el cudrdo. Al A 4A B 4 A C - B puto V-, se le ll vértice. A 4 A Ejeplo: Copletr cudrdo pr l ecució + + Teeos , co vértice v -, Presetos su gráfic 0

11 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. TECNICA PARA PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS.- Leer u o vris veces el proble st que se etied y se sep que se pidió e idetifíquese bie los dtos..- Trácese figurs o digrs o croquis e los que se represete ls ctiddes coocids y ls descoocids..- Búsquese fóruls o ecucioes que relcioe ls ctiddes coocids y descoocids. 4.- De u de ls ecucioes o fóruls despejr u de ls vribles y sustitúyl e lgu de ls fóruls o ecucioes, l de ás iterés..- Resuélvse l ecució de ás iterés del puto 4 y obtégse los vlores de ls otrs vribles del proble. 6.- Verifíquese que los vlores obteidos de ls vribles e el puto stisfg ls codicioes del proble. 7.- Iterprétese ls solucioes obteids e térios de ls codicioes del proble y obteg coclusioes de ls iss. Ejeplo.- Se dese cercr u terreo situdo l rge o riber de u río y o se requiere cercr el ldo del iso. El teril pr l cerc cuest 8 dólres por etro pr los dos etreos y dólres por etro pr el ldo prlelo l río, se v usr 600 dólres pr l cerc totl. se etros l logitud de u etreo; eprese el úero de etros cudrdos del áre del terreo e fució de. b cuál es el doiio de l fució resultte? Teeos el siguiete digr

12 Este teril sido elbordo por el profesor Alfoso C. Becerril Espios durte el triestre O 009. UAM-A. Fóruls Áre y; Períetro P +y ; Costos C y De l fució de costos teeos y 00- Luego etoces l fució de áre e térios de qued sí 4 4 A y , 0;cudo y0, teeos. 4 A 00 -, Doiio de A [0, ].