Raíces Reales y Complejas

Transcripción

1 Ríces Reles y Complejs Rmó Espioz Armet AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

2 Durte el siglo XVIII, Euler, d Alembert y Lgrge probro, idepedietemete, que todo poliomio de grdo 1 teí u ríz sobre el cmpo de los úmeros complejos Este resultdo se comezó llmr el teorem fudmetl del álgebr Si embrgo, e 1799 Guss mostró e su tesis doctorl que ess demostrcioes teí errores y dio l primer demostrció correct de este resultdo Teorem 1 (Teorem Fudmetl del Algebr) Todo poliomio x ( ) [ x] de grdo 1 tiee u ríz e Otr demostrció del teorem fudmetl del álgebr fue dd por Argd e 1806 El mismo Guss dio otrs dos demostrcioes e 1816 y u últim e 1849 Ls demostrcioes de Argd y Guss permitiero clrificr l oció de úmero complejo Desfortudmete, tods ls demostrcioes utiliz coceptos y resultdos de álisis, los cules está fuer de los propósitos de este libro, por lo que o dremos igu demostrció El teorem fudmetl del álgebr segur l existeci de ríces complejs, pero o os dice cómo ecotrrls U resultdo muy útil pr buscr ríces reles es el siguiete Teorem Si (x) es u poliomio co coeficietes reles y r, s so dos úmeros reles tles que (r) y (s) tiee sigos opuestos, etoces existe u ríz rel etre r y s Este resultdo es ituitivmete cierto, si embrgo pr demostrrlo formlmete es ecesrio utilizr propieddes de fucioes cotius, por lo que omitiremos l prueb

3 Ejemplo 1 Cosideremos el poliomio (x)= x 4 10x +1 Observ que (0)=1 y (1) = 8, por lo que (x) tiee u ríz rel e el itervlo [0, 1] Se x ( ) [ x] y se M el míimo comú múltiplo de los deomidores de los coeficietes de (x) Por lo tto el poliomio b(x)= M(x) tiee coeficietes eteros Además r es ríz de (x) si y sólo si r es ríz de b(x) Por lo que el problem de ecotrr ríces rcioles de u poliomio co coeficietes rcioles se reduce l problem de ecotrr ríces rcioles e u poliomio co coeficietes eteros Teorem 3 Si ( x) = x + x + + x es u poliomio de grdo co coeficietes eteros y si r = p/q es u ríz rciol de (x), dode p y q so primos reltivos, etoces p 0 y q Demostrció Por hipótesis 1 p p p = q q q , por lo tto p p q pq q = 0 3

4 De hí que p = q( p pq p ) y por lo tto q p Como mcd(p, q) = 1, se sigue que q Tmbié se puede observr que p( p + p q+ + q ) = q y por lo tto pq 0 y de hí que p 0 Corolrio 1 Si ( x) = x + x + + x es u poliomio co coe ficietes eteros y si etoces r y r 0 r es u ríz rciol de (x), Ejemplo Hllr tods ls ríces del poliomio (x)=6x 4 x 3 +5x x 1 Solució Busquemos primero ríces rcioles Si p/q es u ríz, etoces por el teorem terior p ( 1) y q 6, por lo tto los cdidtos ser ríz so: ±1, ±1/, ±1/3, ±1/6 4

5 Ahor bie, Por lo tto (1) = 8 > 0 Por otr prte (0) = 1 < 0, por lo que debe hber u ríz rel etre 0 y 1 (l cul podrí ser rciol) Observemos que / Por lo tto 1/ es ríz del poliomio, demás (x)=(x 1/)(6x 3 +x +6x +) = (x 1)(3x 3 + x +3x + 1), por lo que de hber otr ríz rciol p/q ést deberí de cumplir que p 1 y q 3, por lo que los cdidtos ser ríz so: ± 1 y ± 1/3 Y vimos que 1 o puede ser ríz, por lo que podemos descrtr este úmero Después de ispeccior lguos cdidtos llegmos que 6 6 1/ Por lo tto 1/3 es otr ríz Además ls otrs ríces debe ser ríces del poliomio 6x +6 = 6(x + 1), el cul tiee i y i como ríces E coclusió ls ríces de (x) so: 1/, 1/3,i y i 5

6 Ejemplo 3 Demostrr que si p es primo etoces p es irrciol Demostrció Cosideremos el poliomio x p Los cdidtos ser ríces rcioles so ± 1, ± p El lector puede comprobr fácilmete que iguo de estos úmeros es ríz del poliomio, por lo que o existe u úmero rciol r tl que r = p, y por lo tto p es irrciol El siguiete teorem estblece que si u úmero es ríz de u poliomio co coeficietes reles, etoces el cojugdo de dicho úmero tmbié es ríz del poliomio Teorem 4 Si ( x) = x + x + + x es u poliomio co coeficietes reles y r es ríz de (x), etoces r tmbié es ríz de (x) 6

7 Demostrció Por hipótesis: ( r) = r + r + + r+ = Ahor bie, utilizdo propieddes del cojugdo de u úmero complejo y el hecho de que los coeficietes del poliomio so úmeros reles, teemos que ( r) = r + r + + r+ = 0 = r 1r r 1 0 = r 1r r 1 0 = r 1r r 1 0 = Ejemplo 4 Ecotrr ls ríces del poliomio x 4 6x 3 +5x + 30x 50, sbiedo que u ríz es 3 i Solució Utilizdo divisió sitétic: i 3 i i i i 0 7

8 Además, por el teorem terior, 3 + i tmbié es ríz, lo cul podemos verificr co divisió sitétic: 1 3 i i 3 + i 3 i i El último cociete correspode l poliomio x 5, el cul tiee dos ríces: ± 5 Por lo tto ls ríces del poliomio so: 3 i,3 + i, 5 y 5 E el siglo XVI el mtemático itlio Gerolmo Crdo obtuvo u fórmul pr ls solucioes de l ecució cúbic co coeficietes complejos: x 3 + bx + cx + d =0 Posteriormete, su discípulo Ludovico Ferrri obtuvo u fórmul pr ls solucioes de l ecució cuártic: x 4 + bx 3 + cx + dx + e =0 Durte los siglos XVI, XVII y XVIII hubo itetos ifructuosos pr hllr u fórmul que permitier ecotrr ls solucioes de u ecució poliomil de grdo cico, hst que e 184 el jove mtemático oruego Niels Herik Abel probó que ést o podí resolverse por medio de rdicles, es decir, o existí u expresió ivolucrdo solmete ls opercioes de sum y multiplicció, sí como ríces -ésims, que permitier ecotrr ls solucioes de u ecució poliomil de grdo cico e térmios de los coeficietes del poliomio Poco después el jove frcés Evristo Glois ecotró codicioes ecesris y suficietes pr que u ecució poliomil pued resolverse por rdicles Recordemos que u poliomio p(x) K[x] de grdo myor que cero, es irreducible e K[x], si todo divisor de p(x) es de l form λ o λp(x) pr λ k, λ 0 8

9 Teorem 5 Si p(x) es irreducible e [ x], etoces grdo p(x)=1 Demostrció Por el teorem fudmetl del álgebr, existe r tl que p(r) = 0, por lo tto, por el teorem del fctor (x r) p(x) Como p(x) es irreducible, debe existir λ tl que p(x)= λ(x r) y de hí que grdo p(x) = 1 Corolrio Todo poliomio x ( ) [ x] de grdo > 0, puede ser escrito e l form x = λ x r1 x r x r ( ) ( )( ) ( ) dode λ, λ 0 y r 1,, r so ls ríces de (x) Además est fctorizció es úic excepto por el orde e el que prece los fctores Teorem 6 p(x) es irreducible e [ x] si y sólo si grdo p(x)=1 o p(x)= x + bx + c, dode b 4c < 0 Demostrció Supogmos que p(x) es irreducible e [ x] Por el teorem fudmetl del álgebr, existe z tl que (z)=0 Si z, etoces x z [ x] y demás, por el teorem del fctor, (x z) p(x) Como p(x) es irreducible, se sigue que p(x)= λ(x z) pr lgú λ y por lo tto p(x) tiee grdo uo Si z, etoces z z, demás por el teorem 4 p( z ) Se ( ) = ( )( ) = ( + ) + = (Re ) + b x x z x z x z z x zz x z x z por lo tto bx ( ) [ x] Ahor bie, por el lgoritmo de l divisió px ( ) = xbx ( ) ( ) + rx ( ), 9

10 dode r(x)=0 o grdo r(x) < ; e otrs plbrs r(x)= ux + v, dode uv, Observemos que 0= p(z)= (z)b(z)+ r(z) y b(z)=0 por lo que r(z) = 0 y por lo tto uz + v = 0 Como z, est ecució implic que u = v = 0 y de hí que r(x) = 0 E coclusió p(x)= b(x)q(x) Pero como p(x) es irreducible, etoces q(x)= pr lgú y por lo tto p(x)= b(x)= x + bx + c dode b =Re z y c = z Observemos demás que b 4c =4 (Re z) 4 z =4 [(Re z) z ] < 0, pues Im z 0 Recíprocmete, si grdo p(x) = 1 etoces p(x) es irreducible por el teorem??, y si p(x)= x + bx + c, co b 4c < 0, etoces p(x) o tiee ríces reles, por lo tto p(x) es irreducible e [ x] Corolrio 3 Todo poliomio x ( ) [ x] de grdo > 0, puede ser escrito e l form ( x) = λ( x r) ( x r )( x + bx+ c ) ( x + b x+ c ) 1 k dode λ, λ 0, r1,, r k so ls ríces reles de (x) y los bscs j j so úmeros reles tles que b 4c < 0 pr tod j =1,,s Además = k +s j j 10

11 Ejemplo 5 Fctorizr el poliomio x 4 6x 3 +5x + 30x 50 como producto de poliomios irreducibles e () [ c] ; (b) [ c] ; (b) [ c] Solució E el ejemplo 4 vimos que ls ríces de este poliomio so Por lo tto su fctorizció e [ x] es: 3 i,3 + i, 5 y 5 ( x 3 + i)( x 3 i)( x 5)( x+ 5) y su fctorizció e [ x] es: ( x 6x+ 10)( x 5)( x+ 5) Por último, x 5 es irreducible e [ x] e [ x] es:, por lo que l fctorizció del poliomio ( x 6x+ 10)( x 5) 11

12 Ejercicios 1 Ecuetr ls ríces del poliomio: 15x x + 1 x 4 e [ x] Ecuetr ls ríces del poliomio: 16 x 3 +8 x 7 x +1 e [ x] 3 Muestr que i y i so ríces dobles del poliomio y ecuetr l otr ríz x 5 3ix 4 + x 3 6ix + x 3i 4 Ecuetr tods ls ríces del poliomio: x 3 +6 x 4x + 160, sbiedo que u ríz es 3i 5 Ecuetr tods ls ríces del poliomio: x 5 3 x 4 +4x 3 4x +4 sbiedo que tiee 1 + i como u ríz doble 6 Supoiedo que cd ríz de multiplicidd m es cotd m veces, demuestr x ( ) x de grdo 1 tiee exctmete ríces que todo poliomio [ ] 7 Demuestr que todo poliomio ( ) u ríz rel x e [ x] de grdo impr tiee l meos 1

13 8 Cosider el poliomio ( x) = x + x e [ x] Demuestr que si r1, r so ls ríces de (x) etoces = ( r + r ) 1 1 = rr Cosider el poliomio 3 ( x) = x + x + x+ e [ x] 1 0 Demuestr que si r1, r, rso 3 ls ríces de (x) etoces = ( r + r + r ) 1 3 = rr + rr + rr = ( rrr ) Ecuetr ls ríces r 1, r y r 3 del poliomio x 3 +x +3x + sbiedo que r 1 = r + r 3 11 Ecuetr ls ríces r 1, r y r 3 del poliomio 3x 3 +x 19x +6 sbiedo que r 1 + r = 1 1 Ecuetr ls ríces r 1, r y r 3 del poliomio x 3 7x 4x + 16 sbiedo que r = rr