( )( 2) 6 ( )( 2) 10 ( )( 3)( 2) 30

Transcripción

1 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios MATEMÁTICAS BÁSICAS FACTORIZACIÓN CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN U fctor es cd uo de los úmeros ue se multilic r formr u roducto. Ejemlo. Se los siguietes roductos: ( ( ( ( 10 ( ( ( 0, or lo ue fctores de so y., or lo ue fctores de 10 so y., or lo ue fctores de 0 so, y. Nótese como el úmero rece como fctor comú de, 10 y 0 orue cd uo de estos úmeros se divide ectmete etre dicho fctor comú. Cudo u eresió lgeric está coteid ectmete e todos y cd uo de los térmios de u oliomio, se dice ue es fctor comú de ellos. Ejemlos. 1 El térmio es fctor comú de eresrse como el roducto de y ( ( y ( ( 9 ( ( 1 y y El térmio es fctor comú de eresrse como el roducto de ( ( 8 7 ( ( 0 ( ( 8 y, de 9 y de or otro térmio, es decir: 8, de 0 y de or otro térmio, es decir: 1 y orue cd moomio uede 8 orue cd moomio uede Fctorizr es el roceso ue ermite descomoer e fctores u eresió mtemátic. Esto sigific ue fctorizr es covertir u eresió e el roducto idicdo de sus fctores. E tod eresió dee oteerse l máim fctorizció osile. Los tios de fctorizció más utilizdos se eoe cotiució. MONOMIO COMO FACTOR COMÚN Pr ecotrr el fctor comú de los térmios de u oliomio se usc el máimo comú divisor (MCD de los coeficietes de todos los térmios, y de ls literles ue rezc e todos los térmios, se escoge ls ue teg el meor eoete. 1

2 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios Ejemlos. Fctorizr los siguietes oliomios El MCD de los coeficietes es so: y, or lo ue el fctor comú es: Así ue: 10 ( y z 18 y z 1 y z, y ls literles de meor eoete ue rece e todos los térmios El MCD de los coeficietes es, y ls literles de meor eoete ue rece e todos los térmios so:, y y z, or lo ue el fctor comú es: y Así ue: y z 18 y z 1 y z y z( y y z 7z m ( m 1 ( ( m 70 m m 1 m 91 m 7 m ( 7 10 m 9m m 1m 1 7 e f e f e f ( f e 7 8 α β λ α λ α β λ α λ 11α λ ( αβ λ α λ β α λ Nótese como o rece e el fctor comú l literl β y ue o está e todos los térmios del oliomio. z POLINOMIO COMO FACTOR COMÚN E u eresió, cudo el máimo comú divisor (MCD de todos los térmios es u oliomio etoces se uede descomoer como el roducto de este fctor comú or u oliomio cuyo resultdo se l eresió origil, tl y como se muestr cotiució. Ejemlos. Fctorizr ls siguietes eresioes. 1 ( ( El MCD de los todos los térmios es: ( Así ue: ( ( ( ( r( m 8( m 11s( m El MCD de los todos los térmios es: ( m Así ue: r( m 8( m 11s( m ( m ( r 8 11s w( y z y z ( y z Est eresió uede rescriirse como: w( y z 1( y z ( y z or lo ue el MCD de los todos los térmios es: ( y z Así ue: w( y z y z ( y z ( y z( w1 ( ( Est eresió uede rescriirse como:

3 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios ( ( El MCD de los todos los térmios es: ( Así ue: ( ( ( [ ( ] ( ( ( ( 1 9z ( e 7f e 7f ( e 7f ( 9z 1 10u ( c d c d 10u( c d ( c d ( c d ( 10u ( c d ( u 1 7 ( ( w 8( w ( c y( w ( w ( 8 c y 8c 8 ( 1 ( 1 ( 1( c FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Eiste oliomios cuyos térmios o cotiee u mismo fctor comú. E esos csos, se dee fctorizr or grució, rocedimieto ue comi los dos métodos teriores. Ejemlos. Fctorizr los siguietes oliomios: 1 w w Pr los rimeros dos térmios se tom como fctor comú y r los otros dos w: ( w ( hor, se fctoriz el oliomio ( ( ( w w w ( ( w y y : El fctor comú r los rimeros dos térmios es y r los otros dos es : y y ( ( desués, se fctoriz el oliomio ( y ( y( y y ( y( 10 1y y 9y : Pr los rimeros dos térmios se tom como fctor comú ( y y( y hor, se fctoriz el oliomio ( y : ( y( y 10 1y y 9y ( y( y 8 c d c d El fctor comú r los rimeros dos térmios es ( c d ( c d desués, se fctoriz el oliomio ( c d : ( c d ( 8c d c d ( c d( y r los otros dos y : y r los otros dos es :

4 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios 10 Est eresió uede rescriirse como: 9 El fctor comú r los rimeros dos térmios es : ( ( ( 1 10 y y 9z 1 z y( z( ( ( y z ( ( y z 7 y y y y ( y ( ( ( y c c 1 c c 1 1 c 1 1 ( 1( c 1 Otr form de resolver este ejercicio es escriirlo como c c c 1: c c 1 c 1 c 1 c ( ( ( ( ( ( ( ( FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO U ctidd es cudrdo erfecto cudo es el roducto de dos fctores igules, es decir, es el cudrdo de otr ctidd. Por ejemlo,. 9 es cudrdo erfecto, y ue es el cudrdo de Se cooce como triomio cudrdo erfecto (TCP l resultdo ue se otiee de elevr l cudrdo u iomio: ( Cudrdo deu iomio Triomio Cudrdo Perfecto Pr idetificr si u triomio es cudrdo erfecto, se dee cumlir ue dos de sus térmios se cudrdos erfectos y ue el otro térmio corresod l dole roducto de ls ríces cudrds de los térmios cudráticos. Ejemlos. Determir si los siguietes triomios so cudrdos erfectos y y Primero se comrue ue dos térmios se cudrdos erfectos: 1 y y el dole roducto de ls ríces cudrds dee ser igul l otro térmio: ( ( y 0y or lo tto el triomio, es u TCP. 9 Comrue ue dos térmios se cudrdos erfectos: 8 el dole roducto de ls ríces cudrds dee ser igul l otro térmio:

5 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios ( ( 8 9 or lo tto, el triomio es u TCP. 10m 9m Primero se comrue ue dos térmios se cudrdos erfectos: 9m m el dole roducto de ls ríces cudrds dee ser igul l otro térmio: ( ( m 1m 10m or lo tto el triomio o es u TCP. Pr fctorizr u triomio cudrdo erfecto se etre l ríz cudrd de los térmios ue so cudrdos erfectos, se ser or el sigo ue tiee el térmio ue o lo es y filmete se elev el iomio l cudrdo. Ejemlos. Fctorizr los siguietes TCP: Se etre ls ríces de los térmios cudrdos erfectos: 9 7 se ser or el sigo del otro térmio ( y el iomio se elev l cudrdo: ( ( 7 Etryedo ls ríces de los térmios cudrdos erfectos: se ser or el sigo del otro térmio ( y el iomio se elev l cudrdo: ( ( Se etre ls ríces de los térmios cudrdos erfectos: se ser or el sigo del otro térmio ( ( 9 0y y y ( 100w 100w z z 10w z 8 1 ( 7 e ef f e f y el iomio se elev l cudrdo: ( 9 10 ( w t r 1 r wt r 1 r wt 9w t r wt (

6 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios Oerció: Comletr u triomio cudrdo erfecto Ejemlos. Comletr los siguietes TCP: 1 9 Se etre ls ríces de los térmios cudrdos erfectos: 9 se multilic estos dos térmios y se dulic el resultdo: ( ( or lo tto el TCP comleto es: 9 1c d Ls ríces de los térmios cudrdos erfectos so: 1c c d d se multilic estos dos térmios y se dulic el resultdo: ( c( d 0cd 1c 0cd d or lo tto el TCP comleto es: 1α 9β Etryedo ls ríces de los térmios cudrdos erfectos: 1α 1α 9β 7β 1α 7β 18α β se multilic estos dos térmios y se dulic el resultdo: ( ( or lo tto el TCP comleto es: 1α 18α β 9β 1 Se etre l ríz del térmio cudrdo erfecto: 1 se divide el otro térmio etre l ríz oteid: 1 este resultdo se divide or dos 8 or lo tto el TCP comleto es: 1 8 L ríz del térmio cudrdo erfecto es: 1 y, filmete, se elev l cudrdo: 8 8 se divide el otro térmio etre l ríz oteid: 8 este resultdo se divide or dos or lo tto el TCP comleto es: g 1g h Etryedo l ríz del térmio cudrdo erfecto: 8 y, filmete, se elev l cudrdo: ( 10 1g 1g 1

7 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios se divide el otro térmio etre l ríz oteid: 1g h 1g este resultdo se divide or dos 1h 10 or lo tto el TCP comleto es: 1g 1g h 19h h h y, filmete, se elev l cudrdo: 8 ( 8 1h 19h FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS U difereci de cudrdos es el resultdo del roducto de dos iomios cojugdos: ( ( Esto imlic ue r fctorizr u difereci de cudrdos, se etre ls ríces cudrds de los térmios y se form u iomio. Filmete se eres el roducto de este iomio or su cojugdo. Ejemlos. Fctorizr ls siguietes eresioes: 1 Se etre ls ríces de los térmios: se form el iomio: ( ( ( or lo ue: ( ( 1 Ls ríces de los térmios so: 1 y se multilic or su cojugdo: se form el iomio: ( ( ( sí ue: 1 ( ( 100 m ( 10 8m( 10 8m y se multilic or su cojugdo: 8 1 9r ( 1 r ( 1 r t ( 7t ( 7t e f g h ( 0e f 1g h ( 0e f 1g h ( z 1 w ( 1z ( z 1 w ( z 1 w ( z 1 ( z 1 w z 1 z 1 w z 1 w z 1 z 1 w z 1w [ ] ( [( ][( ] ( ( ( 7

8 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA c Pr fctorizr u triomio de l form c, dode es u cudrdo erfecto y turl r, se eres como roducto de dos iomios cuyo rimer térmio r mos se l ríz cudrd de es decir,. Por su rte, los térmios o comues de este roducto de iomios dee cumlir co l dole codició de ue su sum se igul l coeficiete y su roducto igul l coeficiete c. E geerl: Si el térmio c es ositivo etoces los dos úmeros uscdos tiee el mismo sigo. Si es ositivo los úmeros so ositivos. Si es egtivo los úmeros so egtivos. Si el térmio c es egtivo etoces los úmeros uscdos tiee sigos cotrrios y el sigo del úmero más grde es el mismo ue el del coeficiete. Ejemlos. Fctorizr los siguietes triomios: L ríz del rimer térmio es: el térmio c es ositivo y tmié lo es, or lo ue los dos úmeros uscdos ue sumdos se 7 y multilicdos se 10 so ositivos. Estos úmeros so y Por lo tto: ( ( 11 L ríz del rimer térmio es: el térmio c es ositivo y es egtivo, or lo ue los dos úmeros uscdos ue sumdos se 11 y multilicdos se so egtivos. Estos úmeros so 8 y Por lo tto: ( ( 8 L ríz del rimer térmio es: el térmio c es egtivo y es ositivo, or lo ue los dos úmeros uscdos ue sumdos se y multilicdos se 8 tiee sigos cotrios y el más grde es ositivo. Estos úmeros so 7 y. 8 7 Por lo tto: ( ( z z 1 L ríz del rimer térmio es: z z el térmio c es egtivo y tmié lo es, or lo ue los dos úmeros uscdos ue sumdos se y multilicdos se 1 tiee sigos cotrios y el más grde es egtivo. Estos úmeros so y. z z 1 z z Por lo tto: ( ( 8 w 9w 0 ( w ( w 10 m 1m ( m 9( m ( 0(, 8

9 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios ( 1( ( ( 8 ( ( 10 8 ( ( ( ( 1 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA c Pr fctorizr u triomio de l form c, se efectú el siguiete rocedimieto 1 : Se multilic todos los térmios or el coeficiete Se eres el rimer térmio e form de cudrdo y r el segudo térmio se itercmi el coeficiete or Se fctoriz licdo el cso terior Se divide el resultdo etre de form tl ue o uede igú cociete. Ejemlos. Fctorizr los siguietes triomios: 1 7 Multilicdo los térmios del triomio or : ( ( 7 ( eresdo el rimer térmio e form de cudrdo y r el segudo térmio se itercmi el coeficiete or el 7 : ( 7( 1 licdo el cso terior de fctorizció se usc dos úmeros ue sumdos se 7 y multilicdos se 1 se tiee: ( ( se divide or ( ( ( ( de form ue o uede cocietes: ( ( 1 or lo tto: 7 ( ( 1 Multilicdo los térmios del triomio or : ( ( ( eresdo el rimer térmio e form de cudrdo y r el segudo térmio se itercmi el coeficiete or el : ( ( licdo el cso terior de fctorizció se usc dos úmeros ue sumdos se y multilicdos se se tiee: ( ( 1 se divide or ( ( 1 ( ( 1 de form ue o uede cocietes: ( ( 1 1 or lo tto: ( ( 1 1 Multilicdo los térmios del triomio or : ( 1 ( ( eresdo el rimer térmio e form de cudrdo y r el segudo térmio se itercmi el coeficiete or el 1 : ( 1 ( 0 1 Geerlmete o es cudrdo erfecto y ú siédolo o es de l form c orue o es etero. 9

10 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios licdo el cso terior de fctorizció se usc dos úmeros ue sumdos se 1 y multilicdos se 0 se tiee: ( 1( se divide or de form ue o uede cocietes: ( ( ( ( ( ( or lo tto: 1 ( ( 1 9 ( ( 1 ( ( ( 9 ( 1( ( 1( 1 ( ( ( ( ( 8 0 ( 8 ( ( ( ( ( ( ( 10 ( 8 0( 8 ( ( α 10α ( ( 9α 910 ( ( α 91 ( ( 9α 10( 9α 9 ( 9α 9( 9α 1 9α 9 9α 1 ( 1 ( α 9α α 10α 1 ( α 1( 9α 1 y y 7 ( y ( y ( ( y 1( y 1 ( y 1( y 11 ( y 1 ( y 11 y y 11 1 y y y y z z ( ( ( ( 10 7 ( ( 7z 7 ( ( z 7( ( 7z ( 7z 18 ( 7z ( 7z 7z 7z ( ( z 7z z z ( z ( 7z FACTORIZACIÓN DEL CUBO DE UN BINOMIO U ctidd es cuo erfecto cudo es el roducto de tres fctores igules, es decir, es el cuo de otr ctidd. Por ejemlo, 1 es cuo erfecto, y ue es el cuo de El cuo de u iomio es de l form: 10.

11 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios y cumle co ls siguietes crcterístics: ( Posee cutro térmios. El rimero como el último térmio so cuos erfectos El segudo térmio es el trile roducto del cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último. El tercer térmio es el trile roducto de l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último. Pr verificr ue l fctorizció de u eresió de cutro térmios es el cuo de u iomio se dee roceder de l siguiete mer: 1. Se orde el oliomio e form descedete o scedete resecto u literl.. Se etre l ríz cúic del rimer y último térmios del oliomio.. Se oserv si todos los sigos so igules o si se lter.. Se trilic el cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último y se comr co el segudo térmio del oliomio ddo.. Se trilic l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último y se comr co el tercer térmio de l eresió.. Si ls dos comrcioes hechs e los sos revios so igules, se trt del desrrollo del cuo de u iomio y se fctoriz sí: se form u iomio co ls ríces cúics del rimer y último térmio del oliomio, co los sigos ue se oteg (si todos los sigos so igules o or el sigo meos (si los sigos se lter. Filmete, se elev el iomio l cuo. Ejemlos. Fctorizr los siguietes oliomios: 1 1 Se etre ls ríces cúics de los térmios etremos: 1 1 El trile roducto del cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último es: ( ( 1, ue es igul l segudo térmio. El trile roducto de l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último es: ( ( 1, ue es igul l tercer térmio. Ddo ue todos los sigos so ositivos, el iomio l cuo formdo or ls ríces cúics de los etremos es: ( 1, sí ue: 1 ( Se etre ls ríces cúics de los térmios etremos: 7 El trile roducto del cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último es: ( ( 7, ue es igul l segudo térmio. El trile roducto de l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último es: 9, ue es igul l tercer térmio. ( ( 11

12 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios Ddo ue los sigos se lter, el iomio l cuo formdo or ls ríces cúics de los etremos es:, sí ue: ( ( m m m Se orde el oliomio co resecto m : m m m se etre ls ríces cúics de los térmios etremos: m m El trile roducto del cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último es: ( m ( m, ue es igul l segudo térmio. El trile roducto de l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último es: ( m ( m, ue es igul l tercer térmio. Ddo ue todos los sigos so ositivos, el iomio l cuo formdo or ls ríces cúics de los etremos es: ( m, sí ue: m m m ( m Se orde el oliomio co resecto : se etre ls ríces cúics de los térmios etremos: 8 9 El trile roducto del cudrdo de l ríz cúic del rimer térmio or l ríz cúic del último es: ( ( 1, ue es igul l segudo térmio. El trile roducto de l ríz cúic del rimer térmio or el cudrdo de l ríz cúic del último es: ( (, ue es igul l tercer térmio. Ddo ue los sigos se lter, el iomio l cuo formdo or ls ríces cúics de los etremos es: ( 9, sí ue: 8 1 ( ( 8 w w 1w 8 1w w w w ( y ( ( y 0 y 00 y 0 y 00 y 1 y FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Se u úmero etero ositivo. L sum de otecis igules imres es siemre divisile or l sum de ls ses. Esto es: 1 1 es divisile or. Por lo tto: ( ( L sum de otecis igules res, o es divisile i or l sum i or l difereci de ls ses meos de ue se osile trsformrl e u sum euivlete de otecis imres. 1

13 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios 1 L difereci de otecis igules, se res o imres, es siemre divisile or l difereci de ls ses. Esto es: es divisile or. Por lo tto: ( ( 1 1 L difereci de otecis igules res, es siemre divisile or l sum de ls ses. Esto es: es divisile or. Por lo tto: ( ( 1 1 Ejemlos. Fctorizr ls siguietes sums de otecis igules: 1 Solució. Ls otecis so imres, etoces es divisile or : 0 Por lo tto: ( ( Solució., ls otecis so imres, etoces es divisile or :

14 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios Por lo tto: ( ( 8 1 Solució. L eresió es divisile or 0 : Por lo tto: ( ( 79 Solució: 79, ls otecis so res, etoces o es divisile or i or. Si emrgo, 79 9 euivle ( ( 1 ( 9( 9 ( ( 9( 9( 9( 9 ( 9 ( 9 ( Por lo tto: 79 ( 9( Solució: Ls otecis so res, etoces es divisile or : 0, eresió ue es fctorizle y ue: 1

15 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios Por lo tto: ( ( L eresió, 79 tmié se uede eresr como ( ( 7, ue es u difereci de cudrdos, or lo tto, su máim fctorizció es: ( ( y se uede ver l vetj sore el ltemieto terior r oteer l máim fctorizció. Solució. Ls otecis so res, etoces es divisile or : 0 Por lo tto: ( (. Fctorizdo or grució se otiee su máim fctorizció: ( ( ( [ ] ( ( (

16 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios y se uede ver l vetj sore el ltemieto terior r oteer l máim fctorizció. Este mismo ejercicio udo hcerse fctorizdo l difereci de cudrdos: ( ( Solució , l eresió es divisile or : Por lo tto: 18 ( ( MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS El míimo comú múltilo (MCM de dos o más eresioes lgerics es l eresió lgeric de meor coeficiete umérico y de meor grdo ue es divisile ectmete or cd u de ls eresioes dds. Ejemlos es el MCM de y de 1 es el MCM de y de 0 y z es el MCM de yz, de, de y z y de y. z Pr oteer el míimo comú múltilo de moomios se ecuetr el MCM de los coeficietes y cotiució se escrie ls literles comues y o comues, ddo cd literl el myor eoete ue teg ls eresioes dds. Ejemlos. Oteer el míimo comú múltilo de los siguietes moomios: 1

17 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios 1 y el MCM es: y z y el MCM es: 1 8y z y z j y m el MCM es: 10 8 cd y el MCM es: j m 1 ce c de m, m y 1 m 0m α λβ y δ λ el MCM es: α β, el MCM es: 7, rs el MCM es: 8, el MCM es: 7α β δ λ, r y s 10 r s, y 0 y y 1 y 8 r s 0 y Pr ecotrr el míimo comú múltilo de oliomios rimero se fctoriz los oliomios ddos e sus fctores rimos y desués se multilic (coservdo el MCM e form fctorizd los fctores rimos, comues y o comues co su myor eoete. Ejemlos. Oteer el míimo comú múltilo de los siguietes oliomios: 1 y Tomdo como fctor comú r l rimer eresió: ( 1 Tomdo como fctor comú 10 r l segud eresió: 10( 1 el MCM es: 10( 1( 1 ( 1 y 1 Fctorizdo cd u de ls eresioes: ( ( ( 1 ( 1( 1 el MCM es: ( 1 ( 1 y y y Tomdo como fctor comú ( y Fctorizdo l segud eresió: ( y( y r l rimer eresió: 17

18 Fcultd de Cotdurí y Admiistrció. UNAM Fctorizció Autor: Dr. José Muel Becerr Esios el MCM es: ( y( y y z 8yz y c y c z Tomdo como fctor comú ( y yz z Fctorizdo el TCP: y z ( Tomdo como fctor comú c ( y z el MCM es: ( 1c y z, y Fctorizdo cd u de ls eresioes: ( ( ( ( ( el MCM es: ( ( (, Fctorizdo tods ls eresioes: r l rimer eresió: c r l segud eresió: y 10 ( ( 1 ( ( 1 10 ( ( el MCM es: ( ( 1( ( 7 z, z 1 y z 10 Fctorizdo ls eresioes: z ( z ( z z 1 z 10 z ( z ( z z ( el MCM es: ( z ( z ( z z 8 1, 1 9 y Fctorizdo tods ls eresioes: 7 18 ( 1 ( 7( ( 1 9 ( ( 7 18 ( 9( el MCM es: ( 7 ( ( 9 18