Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:

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1 Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri

2 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l sum de ls siguietes series: () 4 + π (b) Solució: () 4+ π + 4+ π (b) Descompoiedo e frccioes simples S S lim + + Dd l serie. Se pide: Determi su crácter Ecuetr u sucesió secill del mismo orde que l sucesió de sus sums prciles. Justificr los psos seguidos. Demuestr que l sucesió obteid e el prtdo terior es del mismo orde que su sum prcil -ésim. Profesor: Ele Álvrez Sáiz

3 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Idicció: Utilizr que si l fució es creciete y positiv e, ) se verific Form : f d< f( k) < f d+ f k E geerl pr u fució f decreciete y positiv e (, ) l sucesió f( k) del mismo orde que f d. Si l fució f es creciete se verific f d< f( k) < f d+ f k es k E este cso f es creciete por lo que: / / / ( ) d S k d < < + + k / / Como el ifiito es de orde superior se tiee que: E efecto, / S S lim lim lim / / / / Stolz / / ( + ( ) ) lim Multiplicdo por el cojugdo ( ) / / ( ) lim lim + + Dividiedo por / Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

4 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Luego so sitóticmete equivletes. Form : Bst cosiderr l equivleci: k+ k k k k k + E uestro cso k. Determir l sum prcil eésim que permite clculr que 0 co u error meor ( ) + Solució: Cosidermos l serie S que es covergete (por comprció co l ( + ) / serie rmóic geerlizd: l serie. co p/>) y S p l sum prcil -ésim de Teiedo e cuet que f cumple ( + ) / es decreciete y positiv e, ) se S S f k lim f d ( + ) ( + 5) / / k + h h Como 4 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

5 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I h h lim f d lim d lim / + ( + ) ( h+ ) ( + ) + h h h Por lo tto, el error l cosiderr como sum de l serie l sum prcil -ésim está cotdo por error S S + Si queremos hor que este error se meor que u cetésim bst ecotrr el vlor de cumpliedo: < 0 < + <. Bst tomr + 0 etoces los 5000 primeros sumdos S S 5000 ( + ) 5000 / 4 Utilizdo el criterio itegrl demuestr que l serie 0< r<. r es covergete pr vlores Solució: Vmos cotr l sucesió de sums prciles por dos sucesioes covergetes. E este cso l fució f es positiv y decreciete e r,. E primer lugr observmos que l serie solo puede ser covergete o divergete y que se trt de u serie de térmios positivos. Utilizdo el criterio itegrl se tiee l siguiete cotció Como d S d r r r r r r Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

6 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics d + logr r logr ( log ) r r r r se cumple que l sum prcil -ésim está cotd ( log ) log ( log ) + S r r r r r r r r r r logr Como tto l cot superior como l cot iferior so sucesioes covergetes l sucesió de sums prciles tmbié lo será y por lo tto l serie covergete. es r 5 () Determir el crácter de ls siguietes series: (i) e (ii) Ch Ch (b) Clculr el vlor ecto de l serie (c) Determir el úmero de térmios que es ecesrio cosiderr pr obteer el vlor proimdo de + co u error meor que Solució: () Teiedo e cuet e e l serie es geométric de rzó r <, luego es covergete. e Pr l segud serie se tiee e cuet l epresió de Ch() e fució de l epoecil: 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

7 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I e + e e e e e Ch e e Ch e + e e + e + e + e Comprmos est serie co y como el límite e 4 e + e e + e lim : lim 4 4 e + e e + es distito de cero y de ifiito mbs series tiee el mismo crácter, es decir, covergetes. () Como l serie es geométric el vlor de l sum es: (b) Teiedo e cuet que f e, ) y llmdo f se tiee que: es cotiu, decreciete y positiv R d log log 9 4 Bst ecotrr cumpliedo: < 0 < log 9l og 4 4 Ddo vlores se ve que bstrí cosiderr pr coseguir obteer el vlor de l serie co el error cosiderdo. El vlor proimdo será: Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

8 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics S () Demostrr que: N (b) Determir el vlor de 4 Solució: () Demostrmos l iguldd por iducció Pr l iguldd es ciert: + Supoiedo ciert pr vemos si se cumple: ( + ) ( ) 5 5 Por hipótesis de iducció: Operdo: ( + ) + ( + )( + ) ( + ) + ( + )( + ) (b) L serie es covergete por comprció co l serie rmóic geerlizd. Pr clculr el vlor teemos e cuet el prtdo (): S Profesor: Ele Álvrez Sáiz

9 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I lim S lim + Luego, 4 7 Se { } u sucesió de úmeros reles moóto creciete. S () Demostrr que l sucesió de térmio geerl siedo S es tmbié moóto creciete (b) Si demás S es covergete, clculr lim, siedo... S Solució: () Se quiere probr S S+ < S + < S S + < S S < < + + Est últim desiguldd es ciert y que < pr k,..., por ser { } moóto creciete k + (b) Aplicdo el criterio de Stolz se tiee que que es cero y que es covergete. S S S lim lim lim 8 Estudir el crácter de l serie e fució del prámetro R se Solució: Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

10 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics El térmio geerl es : se Aplicdo el criterio de comprció por pso l límite se cocluye que: Si l serie es divergete Si < l serie es covergete 9 Estudir el crácter de l serie siguiete e fució de los posibles vlores de ( + )( + ) 5 > 0 Solució: Como es myor que cero se trt de u serie de térmios positivos co térmio geerl ( + )( + ) 5 Aplicdo el criterio del cociete: + ( + )( + ) + ( + )( + + ) lim lim lim 5 5 se cocluye que: 5 Si < 5 l serie es covergete Si > 5 l serie es divergete Si 5 l serie es: 5 ( + )( + ) 5 ( + )( + ) 0 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

11 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I que es covergete por comprció co l serie rmóic geerlizd pr p: 5 ( + )( + ) 5 ( + )( + ) 0 Estudir l covergeci bsolut y codiciol de l serie: ( + ) >, Solució: Se trt de u serie que pr vlores de positivos es de térmios positivos y pr vlores de egtivos es de térmios egtivos. Estud mos por ello l covergeci bsolut medite el criterio de l ríz: como lim lim L ( + ) ( + ) lim + lim lim + ( tomr ( tomr log rimtos) log rimtos) se tiee que: L si <, l serie es covergete Si >, l serie es divergete Estudir l covergeci de l serie Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

12 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics se 4 cos Solució: El térmio geerl de l serie es que es equivlete b ( ) 4 cos se 4! ( ) 4 6 y que se cos 4 4 Por lo tto l serie o es covergete y que el térmio geerl de l serie o tiede cero (codició ecesri de covergeci). Como demás es u serie de térmios positivos es divergete. () Clculr el siguiete límite: (b) Estudir el crácter de l serie: lim Solució: () Se cumple que: Profesor: Ele Álvrez Sáiz

13 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Por otro ldo lim lim Luego, plicdo el teorem del ecje lim (b) Como el térmio geerl o tiede cero l serie o es covergete. Por ser u serie de térmios positivos l o ser covergete debe ser divergete. Determir el crácter de ls siguietes series: () + () 9 log () + 5 se + 8 Solució: L serie () es u serie geométric de rzó /<, luego es covergete. L serie o 9 log es u serie de térmios positivos y que + 9 > + 7 cuyo térmio geerl o tiede cero (codició ecesri de covergeci): + 9 log log + 7 Se trt etoces de u serie divergete. L serie 5 se es u serie de térmios positivos, teiedo e cuet demás que se Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

14 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics l serie tiee el mismo crácter que (criterio de comprció por pso l límite) se trt de u serie covergete. 4 Determir el crácter de ls siguietes series: () ( ) log () ( ) + Solució: L serie Leibitz: o ( ) log es u serie lterd covergete por el criterio de lim lim 0 log o { } es moóto decreciete: < log < + log + ( + ) log( + ) log el logritmo es u fució creciete Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como log log log se tiee que log log y, por el criterio de comprció es covergete. Luego l serie es bsolutmete covergete. L serie Leibitz: o ( ) es u serie lterd covergete por el criterio de + lim lim Profesor: Ele Álvrez Sáiz

15 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I o { } es moóto decreciete: < + < ( ) Estudimos hor l covergeci bsolut, es decir, l covergeci de l serie:. Como + + / por el criterio de comprció es divergete. Luego l serie o coverge bsolutmete. 5 Clculr el crácter de ls siguietes series: () se (b) ( ) Solució.- () Covergete por comprció co. (b) Covergete por Leibiz es moóto decreciete y tiede cero porque e el deomidor se tiee l sum prcil eésim de l serie rmóic. 6 Estudi el crácter de ls siguietes series. Justific decudmete ls respuests. () +, R (b) log Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

16 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Solució: () E primer lugr lizmos l codició ecesri de covergeci. Cudo tiede ifiito el umerdor preset u idetermició luego el térmio geerl de l serie lo escribimos como ( + )( + + ) ( + + ) ( + + ) + El deomidor es u ifiito del mismo orde que + (ver *) E el cso de que + 0 el térmio geerl o tiede cero luego l serie, por ser de térmios positivos l o coverger, será divergete. E el cso de que > el térmio geerl tiede cero. Comprdo co l serie se tiee que como: + + lim lim lim 0, ( + + ) + por dividiedo (*) plicdo el criterio de comprció por pso l límite ls series + y tiee el mismo crácter. + 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

17 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Como l segud serie es l rmóic geerlizd se tiee que: Pr 0< p l serie es divergete si + es divergete. Luego l serie p 0< +. E cosecueci pr + < l serie es divergete. Pr p< l serie + es covergete. Luego l serie p es covergete si < l serie < +. Cocluimos que pr + es covergete. 7 Estudir l covergeci de l serie π se pr y. Solució: Observr que π se ( ). Es covergete por Leibiz. ( ) 8 Se cosider l sucesió ( + )( + ) b ) Estudir l covergeci de l serie b) Ecotrr el vlor de l sum pr b. co b R. Se pide: c) Cosidermos l sum prcil -ésim de l serie S pr b. Si obteer l Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

18 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics epresió ect de ecotrr u sucesió equivlete y demostrr que l epresió S obteid relmete es equivlete S. Solució: () Por el criterio del cociete + ( + )( + ) + ( + ) + + b + + lim lim lim b b b si b > l serie coverge bsolutmete y por tto es covergete. Si b < l serie o coverge porque el térmio geerl o tiede cero, y que: y por comprció de ifiitos lim b b ( + )( + ) / lim b b ( + )( + ) el térmio geerl tiede ifiito. Pr b- l serie es covergete por Leibiz. Pr b l serie es divergete comprádol co l serie. (b) Pr b es divergete comprádol co l serie sum de l serie es ifiito. por lo tto l 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

19 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I (c) Por el criterio itegrl so costtes. Por lo tto, ( + ) ( + ) log K S log + + K + + dode K y K S ( + ) log log + 9 Dd l serie b ( ), > 0, b> 0, estudir su covergeci y covergeci bsolut segú los vlores de y b. Solució: () Covergeci bsolut Se trt de estudir l covergeci de l serie b, > 0, b> 0. Puesto que est serie es de térmios positivos, se puede estudir plicdo el criterio de l ríz, lim b b lim / 0 si 0< b< covergete si b> divergete si 0< <, covergete si b si >, divergete si? E el cso b, se obtiee l serie rmóic, que es divergete. Por tto l serie es bsolutmete covergete pr los vlores { 0, 0 b } { b, 0 } > < < < <. b) Covergeci Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9

20 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Pr los vlores de y b pr los que l serie es bsolutmete covergete, l serie lterd es covergete. Se trt de estudir, por tto los demás csos. b,. Se obtiee ls serie ( ), que es covergete y que l sucesió es decreciete y covergete 0 (Criterio de Leibitz). b, >. Se obtiee ls serie ( ), que o es covergete y que l sucesió ( ) es oscilte y por tto o se cumple l codició ecesri de covergeci. b >, l serie o es covergete por l mism rzó que e el cso terior. Por tto l serie es covergete pr los vlores { > 0, 0< b< } { b, 0< } 0 Estudir l covergeci y covergeci bsolut de l serie segú los vlores de y. cos co 0, π, R Solució: Se trt de u serie de térmios que segú los vlores de puede ser de térmios positivos o lterd. Por ello estudimos l covergeci bsolut y plicmos el criterio de l riz pr l serie de los vlores bsolutos: por tto cos lim cos lim cos R 0 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

21 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I L serie coverge bsolutmete (y por tto es covergete) pr vlores tles que que cos <, es decir, cos < ; (0, π) Los csos 0 y π hy que estudirlos por seprdo 0, se obtiee l serie que por ser u serie rmóic es covergete si > divergete si π, se obtiee l serie ( ), serie lterd. Estudimos segú los diferetes vlores de R o Si < 0, ( ) lim y que lim ( ) > 0 ± o Si 0, {,,,,... } luego lim E estos csos o se verific l codició ecesri de covergeci por lo que l serie o es covergete. o Si > 0, l sucesió segú el criterio de Leibitz, l serie Luego, es decreciete y tiede cero por lo que, ( ) es covergete. covergete si > 0 o covergete 0 Se cosider pr cd úmero turl N l ecució: 6 5 Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

22 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics y se defie pr cd turl N el úmero como l sum de ls ríces positivs de est ecució. Se pide: Aprtdo.- Ecotrr el supremo, ífimo, máimo y míimo del cojuto formdo por los úmeros reles, es decir, el cojuto { / N } Aprtdo.- Clculr l sum proimd de l serie décim. co u error meor que u Solució: Aprtdo : 6 5 Pr cd úmero turl cosidermos l ecució. Ls ríces de est ecució so los vlores que cumple: ó Not: E este pso plico l defiició de vlor bsoluto. Si el vlor bsoluto de A es 5/ es porque A es 5/ ó A es 5/. Tmbié podrí hber elevdo l cudrdo y resolver l ecució pero me quedrí de grdo cutro y hbrí que relizr más cálculos Resolviedo 9 ± Resolviedo 4 ± Profesor: Ele Álvrez Sáiz

23 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I 6 5 Pr cd l sum de ls ríces positivs de l ecució es +. El cojuto pr el que hy que clculr el supremo, ífimo, máimo y míimo es 5 A / N se cumple que el supremo es 5 y el ífimo es 0. Como el supremo está e el cojuto (pr ) se trt del máimo pero el ífimo o es míimo porque o es u elemeto del cojuto A. Aprtdo : Cosidermos l serie S geerlizd 5 que es covergete (es u serie rmóic 5 co p>) y S p l sum prcil -ésim de l serie. Teiedo e cuet que f Como 5 es decreciete y positiv e, ) se cumple 5 5 S S f k lim f d h ( + ) ( + ) h k + h h lim lim lim h f d d + h h h Por lo tto, el error l cosiderr como sum de l serie l sum prcil -ésim está cotdo por 5 error S S Si queremos hor que este error se meor que u décim bst ecotrr el vlor 5 de cumpliedo: 5. Bst tomr etoces los cico primeros 0 sumdos Profesor: Ele Álvrez Sáiz S

24 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics S Hllr los vlores de R pr los que l serie + se + se covergete. Dr l solució e térmios de itervlos justificdo l respuest. Solució: Por el criterio del cociete ( ) + se + + lim lim + L + < ( + ) < ( + ) se ( ) + + Luego l serie es bsolutmete covergete, y por lo tto, covergete siempre que + <, + E los csos e los que ( + ) > + > el térmio geerl o tiede cero luego o es covergete. Estudimos los vlores de e los que el criterio del cociete os d dud. Cso :, l serie es: se + ( + ) se se Profesor: Ele Álvrez Sáiz

25 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Como se l serie + + comprció co l serie rmóic geerlizd. se + es covergete por Cso : +, l serie es: se + ( + + ) se se + + Como se + + l serie + + comprció co l serie rmóic geerlizd. se + + es covergete por Luego el cojuto dode l serie es covergete es el itervlo, +. () Es covergete l serie se? Justificr decudmete l respuest. + cos (b) Determir l sum prcil eésim que permite clculr que 0 co u error meor ( ) + Solució: () Se tiee que: se + cos + cos L serie que: cos + cos es covergete por ser del mismo tipo que l serie y / Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 5

26 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics / lim lim / Por lo tto, l serie dd es bsolutmete covergete y por lo tto es covergete. (b) Cosidermos l serie S que es covergete (por comprció ( + ) / co l serie rmóic geerlizd: ésim de l serie. co p/>) y S p l sum prcil - Teiedo e cuet que f cumple ( + ) / es decreciete y positiv e, ) se S S f k lim f d ( + ) ( + 5) / / k + h h Como h h lim f d lim d lim / + ( + ) ( h+ ) ( + ) + h h h Por lo tto, el error l cosiderr como sum de l serie l sum prcil -ésim está cotdo por error S S + Si queremos hor que este error se meor que u cetésim bst ecotrr el vlor de cumpliedo: < 0 < + <. Bst tomr + 0 etoces los 5000 primeros sumdos S S 5000 ( + ) 5000 / 6 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

27 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I 4 Se cosider l serie de úmeros reles ( + ) () Estudir pr qué vlores de es covergete dich serie (b) Clculr su sum pr. Solució: R. Se pide: () Como es u úmero rel estudimos e primer lugr l covergeci bsolut, es decir l covergeci de l serie de los vlores bsolutos ( + ) R Aplicdo est últim serie el criterio del cociete: lim + ( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) lim Si < L serie covergete coverge bsolutmete y por lo tto es + Si > L serie geerl o tiede cero: diverge bsolutmete. Si embrgo el térmio + lim si > + No eiste si < por lo tto l serie o es covergete. + Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 7

28 Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Si, L serie es covergete por el criterio de comprció por pso + l límite si más que comprrl co Si -, L serie ( + ) ( ) ( + ) es covergete por el criterio de Leibiz (l sucesió es moóto decreciete y tiede cero). (b) Clculmos l sum pr, es decir, el vlor de. + Descompoiedo el térmio geerl de l serie e frccioes simples: A B + co A, B + + L sum prcil -ésim es: S Luego lim y etoces 4 ( + ) Not: Si e l solució de lgú ejercicio crees que hy lgú error pote e cotcto co l profesor pr su correcció. 8 Profesor: Ele Álvrez Sáiz

29 Ejercicios: Series umérics Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Profesor: Ele Álvrez Sáiz S 9