Definición: Es un conjunto ordenado de términos. Se representan mediante una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Transcripción

1 SUCESIONES Y SERIES Sucesió Es u cojuto ordedo de térmios. Se represet medite u ució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles. Se expres l ució que geer los térmios de l sucesió como ( ) =. Al térmio se le deomi térmio eésimo. Sucesió creciete So quells que cumple co ( + ) ( ) Sucesió decreciete So ls que cumple l siguiete desiguldd ( ) ( ) Tod sucesió creciete o decreciete es moóto. SUCESIONES ACOTADAS Cot superior de u sucesió + Es u úmero, que si existe, o es superdo por igú térmio de l sucesió, etoces se cumple que Si Q es cot superior de ( ) ( ) Q Cot ierior de u sucesió Es u úmero, que si existe, o es superior culquier de los térmios de l sucesió, etoces se cumple que Si P es cot ierior de ( ) ( ) P Cudo u sucesió tiee cot superior y cot ierior se dice que está cotd. Tod sucesió moóto y cotd tiee límite Si u sucesió es covergete, su límite es úico. El límite de u sucesió se deot como:

2 lim ( ) = L Tod sucesió que tiee límite es covergete y quells que o lo tiee, se les deomi divergetes. Tod sucesió covergete es cotd. TEOREMA de Weiestrss U sucesió creciete y cotd superiormete tiede u límite, y u sucesió decreciete y cotd ieriormete tiede u límite. SERIES Cudo se expres l sum idicd de los térmios de u sucesió de dice que se trt de u serie, sí por ejemplo, l sucesió d orige l serie Ls series se puede expresr de mer compct empledo el símbolo, sí l serie mostrd rrib puede expresrse como. U serie es u expresió de l orm que de mer compct se puede represetr por térmios de l sucesió. Se = S u serie y se = k= k S = =. E dode cd sumdo se obtiee de los l sucesió de sus sums prciles deiid por tl que si existe el lim S = S, se dice que l serie es covergete o que coverge y su sum es el úmero S, deotd por = = S. Si por el cotrrio tl límite o existe, se dice que l serie es divergete o que diverge. SEA ; si l serie es covergete, etoces lim = 0 =

3 SEA ; si lim 0 = l serie diverge. A este Teorem le llm lguos utores l prueb de l Divergeci. EL crácter de u serie o cmbi todos sus sumdos se multiplic por u costte culquier dierete de cero. EL crácter de u serie o cmbi si se le greg o suprime u úmero iito de térmios l iicio de ést. EL crácter de u serie o cmbi si sus sumdos se grup de culquier mer. SEA A = y B = b ; = = I) si A y B so covergetes etoces es covergete = A+ B = + b II) Si A es covergete y B es divergete etoces diverge = A+ B = + b III) Si A es divergete y B es divergete etoces puede ser covergete o divergete. = A+ B = + b SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS L =, 0,

4 CRITERIOS PARA DETERMINAR EL CARÁCTER DE UNA SERIE Criterio de comprció Cosiste e comprr los sumdos de u serie cuyo crácter se cooce, co los sumdos de otr cuyo crácter se dese determir. Teorem: Se ) Si 2) Si = = u serie de estudio. c es u serie covergete y c, etoces l serie e estudio tmbié coverge. d es u serie divergete y, = Diverge. d etoces l serie e estudio tmbié Serie Armóic Es quell que está represetd por l sum de los recíprocos de los úmeros turles y tiee l orm: = = Segú el criterio de comprció divergete. Segú Nicolás Oresme. os permite cocluir que l serie rmóic es Es u serie que h cusdo cotroversi etre vrios mtemáticos. Y todví sigue. Serie Geométric Es quell que tiee l orm: = r e dode r se deomi rzó.

5 De u serie geométric, si: r l serie es divergete y o tiee sum r l serie es covergete y su sum es Si Se puede trbjr empiez e. Serie P 2 = = 0 = 2 r r r r puede hber corrimietos. No siempre Es quell que tiee l orm: P = El crácter de este tipo de serie depede del vlor de P : Si P l serie es covergete. Si P l serie es divergete. U serie p muy coocid es l llmd serie rmóic e l que p es. Criterio del cociete o de D Almbert (Je Le Rode D Alembert) Recordr que ( + )! = ( + )! Ej: 3!.2.3 2!.2 = = 3 = + ; = = = 2!.2 3! El criterio cosiste e: i) Obteer l rzó de D Almbert que es r = + ii) Clculr el límite de l rzó lim r = L iii) Hcer l comprció Si L l serie es divergete

6 Si L = el criterio o decide Si L l serie es covergete Criterio de Leibiz (Gottied Wilhelm Leibiz ) Teorem: Se l serie de sigos lterdos + ( ), 0 = Puede comezr e 0. L serie coverge si i) lím = 0 ii) + Series de Potecis U serie de potecis es u expresió de l orm: + x+ x2+ x x E orm geerl. = ( 0)! Si sustituimos los coeicietes idetiicdos e l iguldd se covierte e: '' ( 0 ''' ) 2 ( 0) 3 ( 0) ( x ) = ( 0 ) + '( 0 ) + x + x x ! 2!! Se reduce ( ) x = = 0 ( 0)! x supoiedo que 0 ( 0 ) = ( 0 ) etoces = ( 0 ) ( x ) = ( 0 ) + x! Serie de Tylor

7 Se l serie de potecis de l orm 2 ( ) ( ) ( ) b + b x + b x b x Supogmos l existeci de u ució tl que cumpl l iguldd 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x = b + b x + b x + + b x + Es importte que los coeicietes b teg l orm ( ) ( x ) b =! Pr l iguldd. ''( ) 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) x = + ' x + x ( x ) +..., se reduce : 2!! ( ) ( ) ( ) x = x = 0! A est expresió se cooce como Serie de Tylor (Brook Tylor ), sirve lo mismo que l serie de Mcluri, pr represetr ucioes e térmios de u serie de potecis prtir de u vlor x =. Al comprr l serie de Mcluri co l de Tylor, vemos que quell es u cso especil de ést, o bie, que Tylor es l geerlizció de Mcluri. Itervlo de covergeci Es quel cojuto de clores de x que hce que u serie de potecis se covergete, pr su obteció se emple el criterio del cociete visto teriormete.