10. Series de potencias

Transcripción

1 0. Series de potecis Aálisis de Vrible Rel Resume Se verá e este tem u tipo especil de serie de fucioes: ls series de potecis. Veremos que ests tiee us propieddes muy prticulres, que ls hce prticulrmete grdbles. Icidiremos especilmete e el cocepto de rdio de covergeci. Ídice. Covergeci de ls series de potecis 2. Fucioes desrrollbles e serie de potecis 7

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3 . Covergeci de ls series de potecis Qué es u serie de potecis? Defiició 0.. (I) Recibe el ombre de serie de potecis tod serie de fucioes de l form 8 0 px cq. (II) El úmero rel se deomi coeficiete -ésimo de l serie de potecis. (III) El úmero c se llm cetro de l serie de potecis. Si los coeficietes 0,,..., m 8 m px cq. so ulos, l serie suele escribirse E cierto modo, se trt de u especie de poliomio co ifiitos térmios. Veremos, de hecho, que ls fucioes defiids como sum de u serie de potecis comprte muchs propieddes co los poliomios. Pr qué vlores de x coverge u serie de potecis? Obvimete, es segur l covergeci pr x c, co sum 0, y puede suceder que este se el úico puto e el que l seri coverj. Fuer de este cso extremo, l situció es bstte stisfctori, por lo secill. Vemos lguos ejemplos. Ejemplos. (Serie geométric) x. 0 Como y sbemos est serie de potecis coverge (bsolutmete) si, y solo si, x Pp, q, co sum {p xq. x. El Criterio del Cociete 8.25 dice que l serie coverge bsolutmete si x y o coverge si x. E efecto, lím x ` {p ` q x { x lím ` x. Si x, l serie es l rmóic lterd, que sbemos que coverge (uque o bsolutmete). Si x l serie es l rmóic, que diverge. Así pues, el cmpo de covergeci de est serie de potecis es el itervlo r, q.

4 x 2. De uevo el Criterio del Cociete 8.25 os dice que l serie coverge bsolutmete si x y o coverge si x. Ls cuets so: lím x ` {p ` q 2 x { 2 2 x lím x. ` E este cso, tto si x como si x, l serie coverge, sí que el cmpo de covergeci es el itervlo r, s. p q x 2. Utilizmos otr vez el Criterio del Cociete Obteemos lím p q ` x 2`2 {p ` q p q x 2 { x 2 lím ` x2. Así pues, l serie coverge bsolutmete cudo x 2 (es decir, x ) y o coverge cudo x 2 (o se, cudo x ). Si x, l serie coverge (codiciolmete), pues es l rmóic lterd. Si x, es l serie rmóic, sí que diverge. El cmpo de covergeci es, pues, el itervlo r, q. 0 x!. Usmos u vez más el Criterio del Cociete lím x ` {p ` q! x {! lím x ` 0. Por tto, est serie coverge bsolutmete pr culquier x P R!x. 0 Criterio del Cociete 8.25, otr vez. Si x 0, lím p ` q!x `!x x lím p ` q 8. Por tto, est serie de potecis coverge solo pr x 0. 2

5 Rdio e itervlo de covergeci E todos los ejemplos teriores, el cmpo de covergeci siempre h sido u itervlo cetrdo e el cetro de l serie de potecis (us veces bierto, otrs cerrdo, otrs semibierto). Vmos ver cotiució que ese es siempre el cso. Defiició 0.2. Dd u serie de potecis 8 0 px cq, su rdio de covergeci es el úmero (posiblemete ifiito) R {, dode lím sup, dode se ceptrá los coveios {0 8, {8 0. Si R 0, el itervlo pc R, c ` Rq se llm itervlo de covergeci de l serie de potecis. Recordemos que cudo existe lím ` { tiee que coicidir co lím. Esto tiee como cosecueci u método ltertivo pr clculr el rdio de covergeci. Proposició 0.3. Supogmos que existe lím `. Etoces el rdio de covergeci de l serie 8 0 px cq es R {, co los coveios {0 8y {8 0. No hy que cofudir el itervlo de covergeci de l serie de potecis co su cmpo de covergeci. Como veremos cotiució, el cmpo de covergeci de u serie de potecis es siempre u itervlo co extremos c R y c ` R, pero o ecesrimete bierto. El itervlo de covergeci, e cmbio, es siempre u itervlo bierto. Comportmieto de l serie de potecis e el itervlo de covergeci Teorem 0.4 (de Cuchy-Hdmrd). Dd u serie de potecis 8 0 px cq, co rdio de covergeci R, se tiee: (I) Si x c R, l serie 8 0 px cq coverge bsolutmete. (II) Si x c R, l serie 8 0 px cq o coverge. (III) Si 0 r R, l serie coverge uiformemete e rc r, c ` rs. 3

6 Demostrció. (I) y (II). potecis. Obteemos lím sup Apliquemos el Criterio de l Ríz uestr serie de px cq x c lím sup x c x c R. Por tto, l serie coverge bsolutmete si x c R y o coverge si x c R. (III). Se M r. Obvimete, si x Prc r, c ` rs, se tiee px cq r q M. Por otr prte, si hcemos x c ` r, se tiee que x c r R y, por (I), l serie M r px cq 0 0 coverge. El Criterio M de Weierstrss cocluye hor que 8 0 px cq coverge uiformemete e rc r, c ` rs. Obsérvese que e el Teorem de Cuchy-Hdmrd 0.4 d se dice de lo que ocurre e los putos c R y c ` R. E estos putos se puede dr todo tipo de situcioes, como y hemos visto. Ejemplos. x. 0 0 Teemos que pr todo P N, sí que lím sup, de dode el rdio de covergeci es R {. Por tto, el itervlo de covergeci es p, q (que e este cso coicide co el cmpo de covergeci). Tmbié se podí hber relizdo el cómputo de de l form siguiete: lím ` lím. Este mismo ejemplo os sirve pr ilustrr otr cuestió cerc del Teorem de Cuchy-Hdmrd 0.4. Y hemos visto teriormete que fpxq 4 x x,

7 mietrs que ls sums prciles so de l form s pxq ÿ k x k x` x. Por defiició de f, está clro que ps q coverge putulmete f e p, q. Por otro ldo, fpxq s pxq ÿ x x k 0 k x x` x x ` x. Como lím xñ x ` {p xq 8, pr todo P N podemos ecotrr u x Pp, q tl que fpx q s px q x ` x. Por el Criterio Secuecil de Covergeci Uiforme 9.0, esto implic que l serie de potecis que estmos estudido o coverge uiformemete e p, q. Es decir, uque el Teorem de Cuchy-Hdmrd 0.4 segur l covergeci uiforme e u trozo rc r, c`rs rbitrrimete grde del itervlo de covergeci pc R, c ` Rq, o ecesrimete se tiee este mismo tipo de covergeci e todo el itervlo. x. E este cso {. Teemos sí que lím sup lím?, y tmbié e este cso se tiee R {. El itervlo de covergeci vuelve ser p, q. Si embrgo, el cmpo de covergeci es e este cso el itervlo r, q, que o coicide co el itervlo de covergeci. U cálculo ltertivo serí x 2. lím ` lím {p ` q { 5 lím `.

8 Ahor, { 2. Teemos lím sup lím p? q. 2 Así pues, el rdio de covergeci es R, co lo que el itervlo de covergeci es p, q, uque el cmpo de covergeci es r, s. p q x 2. Fijémoos e que Por tto, # 0, impr o 0, p q {2, pr distito de 0. {2 # 0, impr o 0,? 2?, pr distito de 0. Est sucesió tiee solo dos límites subsecueciles, que so 0 y. Se sigue que lím sup, de quí que el rdio de covergeci es R y el itervlo de covergeci vuelve ser p, q. El cmpo de covergeci es r, s. 0 x!. Aquí, {!. Teemos que lím ` lím! p ` q! lím ` 0. Se ve sí que el rdio de covergeci es R {0 8, de dode el itervlo de covergeci es p 8, 8q R.!x. 0 Se tiee hor lím p ` q!! lím p ` q 8, sí que R {8 0. El itervlo de covergeci es p0, 0q?. El cmpo de covergeci es t0u. 6

9 2. Fucioes desrrollbles e serie de potecis Represetció e serie de potecis Tiee muchísim importci ls fucioes que se puede defiir como u serie de potecis. Defiició 0.5. Se I u itervlo y supogmos que l serie de potecis 8 0 px cq coverge e I. Defimos u fució f : I Ñ R por fpxq px cq. 0 Decimos etoces que l serie de potecis represet l fució f e el itervlo I y que es el desrrollo e serie de potecis cetrdo e c de l fució f. E ests codicioes, se dice tmbié que f es desrrollble e serie de potecis e I. Derivd de u fució desrrollble e serie de potecis A cotiució, veremos que u serie desrrollble e serie de potecis es siempre derivble, y demás su derivd es tmbié desrrollble e serie de potecis, y que se obtiee derivdo l serie origil térmio térmio. Ates u resultdo técico. Lem 0.6. Se 8 0 px cq u serie de potecis co rdio de covergeci R. Etoces l serie de potecis 8 px cq tiee tmbié rdio de covergeci R. Demostrció. L serie 8 px cq coverge dode lo hce 8 px cq, que es l mism serie multiplicd por x c. Por tto ests dos series tiee el mismo rdio de covergeci. Como lím sup R, se tiee que el rdio de covergeci de 8 px cq es {, dode lím sup lím? lím sup R R. Esto os idic que el rdio de covergeci de est serie de potecis es tmbié R. 7

10 Teorem 0.7. Se 8 0 px cq u serie de potecis co rdio de covergeci R 0 y se fpxq 8 0 px cq, pr x Ppc R, c ` Rq. Etoces l fució f es derivble, y pr cd x Ppc R, c ` Rq se tiee f pxq px cq. Demostrció. Pr cd P N, se f pxq px cq. Se d Ppc R, c ` Rq y elijmos r, 0 r R tl que d Ppc r, c ` rq. L serie de fucioes 8 0 px cq tiee tmbié rdio de covergeci R por el Lem 0.6. E cosecueci, por el Teorem de Cuchy-Hdmrd 0.4, l serie de fucioes 8 f pxq 8 px cq coverge uiformemete e rc r, c ` rs. Además, es evidete que l serie 8 f pcq coverge. Se sigue de quí que l fució f 8 0 f es derivble e pc R, c ` rq y se puede derivr térmio térmio. Por tto, f pdq fpdq 0 pd cq. Derivds -ésims El Teorem 0.7 tiee l siguiete importte cosecueci: Corolrio 0.8. Se 8 px cq u serie de potecis co rdio de covergeci R 0 y se fpxq 8 px cq si x Ppc R, c`rq. Etoces, f tiee derivds de todos los órdees e pc R, c ` Rq y f pkq pxq p q p k ` q px cq k. k E cosecueci, f pq pcq!. Ejemplos. p xq 2 x p ` qx, si x. 0 Prtimos de u desrrollo e serie de potecis que y coocemos, sber, 8 x ÿ 0 x, si x. L fució {p xq 2 es l derivd de {p xq, sí que por el Teorem 0.7, l serie de potecis de {p xq 2 se obtiee derivdo térmio 8

11 térmio l de {p xq y demás tiee el mismo rdio de covergeci. Por tto, e efecto, se tiee p xq ÿ 8 k` k p xq ÿ 8 2 ˆ x k k 0 x, si x. ˆ ` k x, si x. k L derivd k-ésim de l fució {p xq es k!{p xq `. Empledo el Corolrio 0.8, obteemos l fórmul ucid. Serie de Tylor L obvi relció que tiee l últim fórmul del Corolrio 0.8 co el poliomio de Tylor sugiere l siguiete defiició: Defiició 0.9. Se f u fució co ifiits derivds e el puto c. Llmmos serie de Tylor de f cetrd e c l serie de potecis 0 f pq pcq px cq.! Como clr cosecueci del Teorem 0.7, se tiee l uicidd del desrrollo e serie de potecis de u fució. Corolrio 0.0. Si u fució f es desrrollble e serie de potecis e el puto c, el desrrollo de f e serie de potecis cetrdo e c es úico, y es su serie de Tylor cetrd e c. Primitiv de u fució desrrollble e serie de potecis Se sigue co fcilidd del Teorem 0.7 que el mismo cmio propuesto por él se puede recorrer tmbié e el setido cotrrio. Teorem 0.. Se 8 0 px cq u serie de potecis co rdio de covergeci R 0 y se fpxq 8 0 px cq pr x P pc R, c ` Rq. Etoces l serie 8 0 px cq` tiee rdio de covergeci R, y si F es ` u primitiv de f e pc R, c ` Rq, pr cd x Ppc R, c ` Rq se verific F pxq F pcq` 8 0 px cq`. ` 9

12 Demostrció. Como l serie de potecis 8 0 px cq es l derivd térmio térmio de l 8 0 px cq`, el Lem 0.6 os dice que mbs series de ` potecis tiee el mismo rdio de covergeci. Defimos Gpxq 0 ` px cq`, x Ppc R, c ` Rq. Por el Teorem 0.7, se tiee que G pxq fpxq e pc R, c ` Rq, es decir, G es u primitiv de f e pc R, c ` Rq y, por tto, existe u costte K tl que F pxq Gpxq K pr todo x Ppc R, c`rq. E prticulr, K F pcq Gpcq F pcq. Se sigue que F pxq F pcq`gpxq. Algus series de potecis obteids medite primitivs Ejemplos. logp ` xq Como ` x p q. x 0 x siempre que x Pp, q, teemos tmbié que ` x p xq 0 p q x () 0 siempre que x Pp, q, o se, cudo x Pp, q. L fució logp ` xq es u primitiv de l fució {p ` xq. Segú el Teorem 0., podemos itegrr l serie terior térmio térmio, y obteemos rc t x 0 logp ` xq log ` p q x2` 2 `. 0 0 ` x p q p q x` `

13 Utilizdo de uevo l ecució, obteemos que ` x ÿ 8 p q x siempre que x 2 Pp, q, o se, cudo x Pp, q. Como l rco tgete es u primitiv de l fució {p`x 2 q, itegrmos térmio térmio, y obteemos rc t x rc t 0 ` siempre que x Pp, q. 0 p q x2` 2 ` 8 ÿ 0 p q x2` 2 `, Ifiitmete derivble implic desrrollble? Está clro que tod fució co derivds de todos los órdees e u puto c tiee u serie de Tylor cetrd e ese puto. Puede dr l impresió que dich fució tiee que ser desrrollble e serie de potecis o, lo que es igul, debe ser igul su serie de Tylor. Esto o es cierto e geerl, como se desprede del ejemplo que vemos cotiució. Ejemplo. fpxq # e {x2, x 0, 0, x 0. Como y se vio est fució tiee derivds de todos los órdees. Tiee tmbié l prticulridd de que f pq p0q 0 pr todo P N. Esto implic que su serie de Tylor tiee todos los coeficietes ulos y por tto es ell mism ul. Eso quiere decir que f pq p0q fpxq 0 x! pr todo x 0. Por tto, est fució o es desrrollble e serie de Tylor. 0 Teorems de Berstei Los dos siguietes teorems os proporcio dos codicioes ecesris de fácil comprobció que segur que u fució es desrrollble e serie de potecis. Teorem 0.2 (Primer Teorem de Berstei). Se f u fució co derivds de todos los órdees e u itervlo pc R, c ` Rq. Supogmos que existe u

14 úmero rel B 0 tl que f pq pxq B pr todo x Ppc R, c`rq. Etoces, pr todo x Ppc R, c ` Rq se verific fpxq 0 f pq pcq px cq.! Teorem 0.3 (Segudo Teorem de Berstei). Se f u fució co derivds de todos los órdees e u itervlo pc R, c ` Rq. Supogmos que f pq pxq 0 pr todo x Prc, c ` Rq. Etoces, pr todo c Prc, c ` Rq se verific f pq pcq fpxq px cq.! Ejemplos. se x cos x e x p q p2 ` q! x2`.! x. p q p2q! x2. El Lem de Abel Si x Pp, q hemos visto que 0 logp ` xq ` x p q Si hcemos x, obteemos l serie rmóic lterd 8 p q`, que coverge por el Criterio de Leibiz. Covergerá est serie hci log 2? El siguiete teorem respode est pregut firmtivmete. Teorem 0.4 (Lem de Abel). Se 8 0 px cq u serie de potecis co rdio de covergeci R 0. Supogmos que 8 0 R es covergete. Etoces lím px cq R. xñpc`rq