Prof. Enrique Mateus N. Doctorando en Educación Matemática.
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- José Miguel Chávez Vera
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1 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. erie mtemátic E mtemátics, u serie es l geerlizció de l oció de sum los térmios de u sucesió ifiit. Iformlmete, es el resultdo de sumr los térmios:,,, lo cul suele escriirse e form más compct co el símolo de sumtorio:. El estudio de ls series cosiste e l evlució de l sum de u úmero fiito de térmios sucesivos, y medite u psje l límite idetificr el comportmieto de l serie medid que crece idefiidmete. U secueci o cde «fiit», tiee u primer y último térmio ie defiidos; e cmio e u serie ifiit, cd uo de los térmios suele oteerse prtir de u determid regl o fórmul, o por lgú lgoritmo. Al teer ifiitos térmios, est oció suele expresrse como serie ifiit, pero difereci de ls sums fiits, ls series ifiits requiere de herrmiets del álisis mtemático pr ser deidmete compredids y mipulds. Existe u gr ctidd de métodos pr determir l turlez de covergeci o o-covergeci de ls series mtemátics, si relizr explícitmete los cálculos. Defiicioes ums Prciles: Pr culquier secueci de úmeros rcioles, reles, complejos, sus fucioes, etc., l serie socid se defie como l sum forml orded: que correspode ls siguietes sums prciles: L sucesió de sums prciles cd como l sum de l sucesió socid u sucesió desde 0 hst : 0 está defiid pr 0 Muchs de ls propieddes geerles de ls series suele eucirse e térmios de ls sums prciles socids.
2 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Covergeci: Por defiició, l serie coverge l límite L si y solo si l sucesió de 0 sums prciles socid coverge L. Est defiició suele escriirse como L. 0 L Ejemplos E u serie "p" cd térmio se otiee multiplicdo el terior por u costte, llmd rzó r. E este ejemplo, r :. 4 0 E geerl, u serie geométric es covergete, sólo si r, : z 0 z L serie rmóic es l serie. L serie rmóic es divergete. 3 4 U serie lterd es u serie dode los térmios cmi de sigo: (-) U serie telescópic es l sum, dode : 0 ( ) L covergeci de dich serie y su sum se puede clculr fácilmete, y que: 0 0 x U serie hipergeométric es u serie de l form: 0, co Covergeci de series U serie se dice que es covergete (o que coverge) si l sucesió de sums prciles tiee u límite fiito. i el límite de es ifiito o o existe, se dice que l serie diverge. Cudo este límite existe, se le llm sum de l serie. L serie se puede idetificr co u sum fiit. El estudio de l covergeci de series, se cetr e ls propieddes de ls series ifiits que icluye ifiitos térmios o ulos. Ddo que ests series siempre coverge e los úmeros reles (esto es e espcios completos), o hy difereci etre este tipo de series y los úmeros decimles que represet. Por ejemplo, 0. y / 9 ; o ie 0, 999 (pr quie desee profudizr este tem vése: erie de Tylor,
3 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. erie de Luret, , Fórmul de Fulher, erie covergete, Límite de u sucesió, eries mtemátics) i l sucesió de l serie. i que l serie es oscilte. tiee límite fiito, l serie es covergete (coverge ). A se le llm sum ó, se dice que l serie es divergete. i o tiee límite, se dice ot: es l sucesió de sums prciles, o l sucesió Propieddes de ls series Propiedd socitiv: E tod serie se puede sustituir vrios térmios por su sum efectud, si que vríe el crácter i l sum de l serie. ot:. L propiedd socitiv o es válid e series osciltes.. L propiedd disocitiv o es válid pr series covergetes o divergetes. Propiedd distriutiv: L hipótesis es: Coverge y su sum es L tesis es: Coverge y su sum es Demostrció: y T T 0 s 0 Coverge y su sum es. De mer álog: i diverge, i es oscilte, tmié diverge. tmié es oscilte. Propiedd ditiv 3
4 Hipótesis: e y T respectivmete. Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. dos series covergetes co sums y T Tesis: L serie es covergete y su sum es + T. Demostrció: El térmio -ésimo de l serie es T T T T (por límite de u sum de sucesioes), de hí que coverge T Propiedd de lielidd. Hipótesis: e y T dos series covergetes co sums y T respectivmete, y se h y dos costtes Tesis: L serie es covergete y su sum es ht. Demostrció: Coverge por l propiedd distriutiv, coverge coverge T por l propiedd distriutiv, h coverge ht, etoces por l propiedd ditiv h coverge ht Teorem Codició ecesri pr l covergeci: Es codició ecesri pr que l serie se covergete, que 0. Hipótesis Demostrció 0 covergete. Tesis: 0 y - 0 ; etoces: si es covergete etoces ot: Este criterio es ecesrio pero o suficiete, es decir que, si el térmio -ésimo tiede 0, o se puede firmr que l serie se covergete. Cotrejemplo: es divergete uque 0. 4
5 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. erie geométric Es Aquell cuyos térmios form u progresió geométric. (Cd térmio es igul l terior multiplicdo por u costte). i llmmos l primer térmio y l costte, - Multiplicdo mos miemros por teemos: 3. Ahor si restmos ms ecucioes teemos: - etoces: ( - ) Pr, pues 0, serie geométric coverge. Decimos e geerl que: L serie viee dd por 0., co 0 est costrucció l llmmos serie geométric de rzó y termio iicil. l Pr l serie diverge pues, Pr l serie diverge pues =. Pr l serie es oscilte. D Osc C D (D =diverge, C=coverge, Osc= oscilte) erie telescópic erie tl que cd térmio se expres como u difereci de l form Teorem um de u serie telescópic: e y dos sucesioes tles que. L serie telescópic coverge si y sólo si l sucesió coverge y se cumple que L dode L Demostrció: es L, ( ) dode L 3 y de hí. Por lo tto coverge si y sólo si coverge, y e ese cso su sum. (i diverge, tmié). 5
6 Ejemplo: Teorem: e prtir de mismo crácter y Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. que coverge 0, etoces coverge u sucesió culquier de úmeros reles, y se u sucesió oteid, eido, ñdiedo o modificdo térmios. Etoces: 0 y 0 tiee el Teorem: (Criterio de codesció de Cuchy): e u sucesió decreciete de térmios o egtivos. Etoces: 0 0. es covergete. es covergete Defiició: ) Llmmos p-serie, co p>0, l serie de l p p p ) E el cso de que p=, l serie recie el omre de serie rmóic erie de térmios positivos (TP) Es u serie tl que 0 pr todo. (L serie es siempre u sucesió creciete). U Ejemplo: es Criterios de covergeci pr TP Teorem previo: U serie de térmios positivos coverge si y sólo si l sucesió de sus sums prciles está cotd superiormete Demostrció: Directo: coverge, etoces (por def. de límite fiito de u sucesió) pr todo 0, /, -, por tto está cotd superiormete. 6
7 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Recíproco: es moóto creciete por ser de térmios positivos. M,. Tod sucesió moóto y cotd coverge, etoces coverge. Como ejemplo vemos!! - -, Pues! y que! es el producto de (-) fctores myores o igules que.! Por lo tto - - por ser u serie geométric (=, =/). Por el teorem terior coverge y su sum es meor que.! Criterio de comprció: e y dos series de térmios positivos. i existe u costte c 0 tl que c,, etoces l covergeci de implic l de. Demostrció: hipótesis T T y co c, c T. Por coverge, etoces (teorem) l sucesió de sus sums prciles está cotd superiormete: T M c T c M, etoces sums prciles está cotd superiormete (teorem). ot: El teorem tmié es válido si c,. es covergete pues l sucesió de sus Teorem: e c,, y dos series de térmios positivos. i existe u costte c > 0 tl que etoces si diverge, tmié diverge Demostrció: y T c T, si diverge, etoces T ct c T diverge. 7
8 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Amplició del criterio: e y c coverge o diverge simultáemete dos series de térmios positivos. y c Criterio de comprció por pso l límite: e y dos series de térmios positivos. i 0, etoces coverge si y sólo si coverge. ( y so de l mism clse). Demostrció: 0, Etoces, (por def. de límite fiito de u sucesió) 0, / o se - Directo: Recíproco: por el criterio terior, si por el criterio terior, si coverge, coverge. coverge, coverge. ot: i y so sucesioes equivletes etoces por el teorem terior, y so de l mism clse. Por lo tto, pr clsificr u serie de térmios positivos, se puede sustituir por su equivlete Criterio de D'Alemert: e u serie de térmios positivos.,. etoces Coverge. Demostrció:., Etoces. Multiplicmos: 8
9 Teemos Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. H dode H Coverge (es u serie geométric), etoces por l propiedd distriutiv H coverge; etoces por el criterio de comprció coverge Teorem: e u serie de térmios positivos.,. Etoces diverge Demostrció: 0 de hí: es creciete; 0,, o tiede 0, etoces, (por Codició ecesri pr l covergeci) diverge. Corolrio de D'Alemert: e coverge. u serie de térmios positivos. L, Etoces Demostrció: L Etoces (por def. de límite fiito de u sucesió) 0 / L o se - l Pr que L + ε < st elegir L, l L ε < etoces por el teorem terior coverge. Teorem: e u serie de térmios positivos. L, Demostrció: Etoces diverge L Etoces (por def. de límite fiito de u sucesió) 0 / L o se - l Pr que L - ε > st elegir L, etoces por el L teorem terior diverge. 9
10 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. ot: Cudo l serie diverge. Etoces el térmio geerl o tiede 0, lo que implic que diverge. Cudo D'Alemert o se plic. Re: e u serie de térmios positivos.,, IR. Etoces coverge Demostrció: Escrimos l desiguldd como:, Psemos pr el ldo izquierdo: L desiguldd se cumple : - - ummos: - ( ) ( H ) (dode H es l sum de los térmios teriores ) ( - H) <= (-) - + < (-) - H <= (-) / <= (-) / + H L sucesió de sums prciles está cotd superiormete etoes por teorem, coverge. Lem: e u serie de térmios positivos., Etoces coverge Demostrció: Escrimos l desiguldd como: y luego como:, dode H H,,. Diverge, etoces por distriutiv diverge; etoces por el criterio de comprció diverge. 0
11 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Geerlizció por pso l límite: e u serie de térmios positivos. - L Coverge Demostrció: - L Etoces (por def. de límite fiito de u sucesió) 0, / L - - L Pr que L - st elegir L - L - por el teorem terior coverge. ucesió coteid o susucesió: está coteid e i i si i es turl y i Ejemplo:,, 3, 4, Ejemplos de sucesioes coteids: :,4,6, - :,3,5, 0 : 0,0,30, eries lterds o series de l form: egtivos: 3 4 dode 0 us térmios so lterdmete positivos y Criterio de Leiiz: coverge., 0, 0 moóto decreciete, etoces. Demostrció: Cosideremos ls sums prciles pres por u ldo y ls sums prciles impres - por otro. + - = ( ) = > 0 => es creciete () = ( ) = + - < 0 => - es decreciete () (3) Pr todo < - pues - - = > 0
12 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. 0 0 Etoes ( por def. de límite fiito de u sucesió) 0, / - 0 (4) De ), ), 3) y 4) por defiició de PMC, (, - ) es u PMC, etoces por l propiedd de que todo PMC tiee froter, existe c perteeciete c IR / - c. y - so sucesioes coteids e. Por el teorem terior, -. Coverge Covergeci solut: U serie es solutmete covergete si coverge. Teorem: es solutmete covergete. Etoces coverge. Demostrció: Coverge por hipótesis. Cosideremos í. 0, ; hor, í 0, 0. Como es u serie lterd (sus térmios so lterdmete positivos y egtivos), vldrá 0 o. Por lo tto, 0 etoces (por el criterio de comprció) coverge. í - etoces como y coverge, por l propiedd de lielidd coverge. U serie covergete que o es solutmete covergete se deomi codiciolmete covergete. Ejemplo:. coverge pero - - diverge... diverge. Cumple co el criterio de Leiiz. Además, -. erie de potecis: Es u serie de l form etoro simétrico de 0. x que y hemos visto que e puede demostrr que coverge e u Determició del rdio de covergeci R: Pr hllr el rdio de covergeci podemos utilizr culquier de l siguiete fórmul: D'Alemert: L
13 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Resume erie geométric: D Osc C D D Clsificció segú : - i l serie coverge y su sum es. erie telescópic: ( ) 3 Coverge coverge y se cumple que L dode L eries de térmios positivos Comprció ) i c pr, diverge diverge coverge coverge ) i 0, y so de l mism clse. Pr clsificr, st co clsificr, dode es equivlete. D'Alemert: ) pr, ) L pr, coverge. diverge. L coverge 3
14 Re:, Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. L diverge L diverge L ó - o l clsific Diverge,, Coverge. - L L diverge L coverge eries lterds Leiiz: 0 L L - - y - o l clsific diverge 0 coverge co moóto decreciete Covergeci solut: i coverge coverge erie de potecis x Determició del rdio de covergeci R D'Alemert: L eries usules de comprció Armóic geerlizd, Bertrd: coverge, h l h h coverge diverge si h coverge si h diverge 4
15 Prof. Erique Mteus. Doctordo e Educció Mtemátic. Ejercicios.. Estudir l covergeci de ls siguietes series:.. 3 c Estudir el crácter de ls siguietes series: 3. Teiedo e cuet el Teorem (Criterio de l ríz): e u serie tl que 0 pr suficietemete grde, y se. l, Etoces: ) i l l serie coverge. ) i l l serie diverge. c) i l o se otiee iformció. Estudie el crácter de ls siguietes series e c Usdo el criterio de comprció co el ite, estudie el crácter de ls siguietes series Referecis Apóstol T. (978). Clculos. Ed. Reverté,.A. Brcelo. egud edició Tomo I. K.R. tromerg, T.J. Bromwich; K. Kopp, A. Zygmud,.K. Bri (00), «eries», e Hzewiel, Michiel (e iglés), Ecyclopedi of Mthemtics, priger, IB Weisstei, Eric W. «eries» (e iglés). MthWorld. Wolfrm Reserch. A history of the clculus (e iglés). 5
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