ANÁLISIS MATEMÁTICO I. Coordinadora: Mg. Alicia Tinnirello SUCESIONES Y SERIES

Transcripción

1 Cátedr: Crrer: ANÁLISIS MATEMÁTICO I ISI Coordidor: Mg. Alici Tiirello SUCESIONES Y SERIES Práctic del libro Cálculo. Trscedetes Temprs º Ed.- Jmes Stewrt - Ig. Mirt Mechi Ig. Edurdo Ggo Año 0

2 Sucesioes y Series CAPITULO Nº SUCESIONES Y SERIES INFINITAS SECCIÓN. SUCESIONES. ) ) Qué es u sucesió covergete? De dos ejemplos. Se dice que u sucesió es covergete cudo L, l umetr o crecer, los térmios de l sucesió se proim idefiidmete u vlor fiito L Ejemplos: i) / / / / ii) e Id( ) e Asocimos u fució l serie dd y hllmos el límite plicdo L Hopitl f ( ) e 0 e e b) Qué es u sucesió divergete? De dos ejemplos. Se dice que u sucesió es divergete cudo o eiste.

3 Sucesioes y Series Ejemplos: i) { } { } {,,,,,...} ii) { } ( ) {. } {,,,,,... } ( ). o eiste.- - Hg l list de los cico primeros térmios. ) l list es: ; ; ; ; 7 - Determie si l sucesió coverge o diverge. Si coverge, estblezc el límite. ) ( ) Cudo umet tmbié umet Como ( ) > etoces l Sucesió es divergete 7) 0 Como etoces l Sucesió es covergete > 0 9) Como 0 > > de dode { } coverge ) ( )

4 Sucesioes y Series > Como ( ) > ( ) 0 ) cos π Como ( cos π) > 0, por Teorem Nº podemos segurr que: de dode { } coverge o eiste, etoces l sujeció dd diverge ) ( ) Como coverge. > ( ) 0 Por Teorem Nº > ( ) 0, de dode { } 7) l Cosiderdo l fució vrible rel f ( ) l, clculmos l > Id. ( ) Pr resolver el límite idetermido ( ) sucesió, > l L' H 9) { } > > Como ( ) Id.( ) > tommos l fució socid l l 0, de dode 0 > Pr resolver este límite rompemos l idetermició ( ) dividiedo por el cojugdo de l epresió dd. > ( ) ( )( ) > ( ) > > 0 y { } coverge. multiplicdo y > ( ) ( )

5 Sucesioes y Series por lo tto l sucesió es covergete. ) Pr clculr y clculmos > >, cosidermos l fució rel: > Id. f ( ) Se preset uevmete u idetermició ( ), por lo tto, socimos otr vez u fució de vrible rel l sucesió dd pr poder plicr l regl de L Hopitl: > L.H. 0 l > > 0 L sucesió coverge ) Determie si l sucesió es creciete, decreciete o o moóto. Es cotd? ( ) i) Estudiemos l mootoí: > > ii) Alicemos hor si es covergete o divergete: es decreciete por defiició de sucesió decreciete 0 Covergete > Por ser moóto y covergete es cotd: / > 0 7) ( ) i) Estudiemos l mootoí [( ) ]. ( ).( ) ( ) Dode observmos que > Decreciete ii) Alicemos hor si es covergete o divergete: 0 Covergete > Por se moóto y covergete es cotd: / > 0

6 Sucesioes y Series 6 SECCIÓN. SERIES. - Determie si l serie es covergete o divergete. E cso de que coverj, clcule l sum ) , serie geométric de rzó r y Como < r l serie es covergete, y su sum es 0 S ) serie geométric de rzó r y Como < r l serie coverge y su sum es S 7) ( ) ( ) Serie geométric dode y l rzó es: r, ddo que < r l serie es covergete y su sum os d: 7 S 9) 6 serie geométric de rzó r y 6

7 Sucesioes y Series 7 Como > r l serie diverge ) > 0 l serie diverge (Prueb de l divergeci, Teorem Nº 7) ) ( ) ( ) ( ) ) ( B A B A ( ) B A Si ( ) B B Si 0 A A ) ( S S > > S Serie covergete cuy sum es 7) 0 > > ï l serie diverge (Prueb de l divergeci, Teorem Nº 7)

8 Sucesioes y Series 9) q < Covergete q < Covergete Por teorem º (prop. ii) l serie dd coverge. S S S / / ) rctg > π ( rctg) 0 l serie diverge (Prueb de l divergeci, Teorem Nº 7) SECCIÓN - ) f ( ) Cotíu f ( ) > 0e[, ) f ( ) < 0 > 0 f ( ) decreciete. e.[, ) es. posible. plicr. l. PI t t d d t t t t L serie coverge, y que l itegrl impropi de l fució relciod resultó covergete.-

9 Sucesioes y Series ) f ( ) Cotíu Positiv Decreciete. e[, ) Cumple co ls codicioes de ls PI t d d l l t t t t ( t l ) Diverge 7) e f e e ( ) Cotíu Positiv. e[, ) f e e e e ( ) e e ( ) < 0 f ( ) decreciete. e.[, ) es. posible. plicr. l. PI t d d t ( e t e t e e d) ( e e ) t t t t t ( te e e e ) e t Resolució de l itegrl por prtes, tomdo: u dud y dv /e v -/e Resolució del límite idetermido por L Hopitl: t t ( te ) 0 t t t e t t e 9

10 Sucesioes y Series SECCIÓN - ) Comprmos co l serie p covergete (p>) Directmete: <. > 0 Co pso l límite: > Coverge > Coverge t 0 ) Comprmos co l serie geométric covergete r <. t > 0 Coverge Resolvemos plicdo L Hopitl l fució socid: 0

11 Sucesioes y Series.. l l 6) Comprmos co l serie rmóic, divergete, t t ( / ) > 0 l. serie. Diverge t ( / ) 7) Comprmos co l serie rmóic, divergete, > 0 l. serie. Diverge ) t Comprmos co l serie geométric Divergete > Diverge 0 9) t r Comprmos co l serie geométric covergete. r <

12 Sucesioes y Series Coverge ) ( )( ) Comprmos co l serie p covergete (p>) /. ( ).( ) t. ( )(. ) > 0 Coverge ) Comprmos co l serie rmóic, divergete, t > 0 l. serie. Diverge ) ( ) Comprmos co l serie geométric covergete r < ( ). > 0 l. serie. Coverge t ) cos ( cos ) Coverge por Teorem de series covergetes.

13 Sucesioes y Series cos y por lo tto es Covergete. L serie dd result covergete por sum de series covergetes.- 7) Comprmos co l serie p covergete (p/>) / t > 0 Coverge 9) Comprmos co l serie geométric covergete r < > 0 l. serie. Coverge t ) Comprmos co l serie divergete: > 0 l. serie. Diverge t t / ) Comprmos co l serie p covergete (p>)

14 Sucesioes y Series t > 0 Coverge SECCIÓN - ) ( )

15 Sucesioes y Series i) Cosidermos l fució socid : f ( ) f < 0 > 0 f Decreciete > ( ) ( ) 0 ii) t 0 Serie Covergete 7) ( ) i) Cosidermos l fució socid : f ( ) ( ). f ( ) > 0 / ( ) ( ) f ( ) Creciete ( ) ii) Además Noeiste Serie Divergete t ) ( ) i) Cosidermos l fució socid : f ( ) ( ) f ( ) < 0 < 0 ( ) ( ) ( ) f ( ) Decreciete > > ii) t t 0 Serie Covergete ) ( ) l

16 Sucesioes y Series i) Cosidermos l fució socid : f ( ) l l. l f ( ) < 0 l < 0 l < < e f l l ( ) ( ) ( ) Decreciete e < No cumple co l primer codició de l prueb de covergeci de ls series ltertes. ( ) ii) Además Noeiste Serie Divergete. t l SECCIÓN.6- CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ ) Qué puede decir de l serie e los csos siguietes? 6

17 Sucesioes y Series ) : Diverge Recordr lo estblecido e l Prueb de l rzó ii) Si L > Serie. Divergete b) 0. Recordr lo estblecido e l Prueb de l rzó i) Si L < Serie Covergete, etoces e este cso : Coverge c) E este cso l Prueb de l rzó o es cocluyete, es decir el criterio o dice d.- Determie si l serie es bsolutmete covergete, codiciolmete covergete o divergete. ) ( )... Serie lterte, vemos si se cumple ls Propieddes ecesris pr plicr l Prueb de l Serie Alterte >0 i) Vemos si se stisfce: ( ) > > Serie. decreciete ( ) 7

18 Sucesioes y Series Coclusió que puede lczrse socido l serie dd l respectiv fució e ivestigdo su crecimieto trvés de l derivd primer: f ( ) / / f < 0 > 0 f Decrece / ( ) ( ) > 0 ii) 0? 0 Se stisfce ls codicioes i) e ii) Además: l. dd. es. u. Serie. Covergete ( ) / Serie covergete, por ser u serie co p/>.- Por lo tto ( ) Es Absolutmete Covergete.- 7) ( ) Serie Alterte.- Veremos si cumple ls propieddes pr plicr el criterio correspodiete. i) Aálisis del crecimieto de l serie > < Serie. decreciete Alizmos el crecimieto de l serie sociádole u fució y estudido el sigo de l derivd primer: f ( ) f ( ) < 0 f Decrece ( ) ii) Límite del térmio eésimo: ( )

19 Sucesioes y Series 0 Serie. Covergete Pero, ( ) Comprmos est serie co l rmóic divergete, co pso l límite: > 0 Diverge t Etoces l serie dd: ( ) ) ( ) Alizmos ( ) es Codiciolmete Covergete.- *Si tommos l fució correspodiete y hllmos el límite l ifiito plicdo L Hopitl: f ( ) l t t 6 l l 6 t Diverge *Asimismo, si plicmos el criterio de l rzó: ( ). t ( ). t. t / > Diverge 9) ( ) i) Aálisis del crecimieto: 9

20 Sucesioes y Series Si f ( ) f > 0 ( ) ( ) ( ) f ( ) crece ii) Límite del térmio eésimo: 0 Diverge t ) Serie térmios positivos, o utilizmos sigos de vlor bsoluto, ()! directmete: Aplicmos el criterio de l rzó: ( )! ()! ( )( ) ()! ( )..! t t ( ). ( ) Y sí l serie result Absolutmete Covergete.- ) 0 < Covergete Se Comprmos co l serie p covergete (p>) se Se Se 0 L serie dd es Absolutmete Covergete.- ).( ) Utilizmos el criterio de l rzó: 0

21 Sucesioes y Series ( ) ( ). ( ). ( ).. ( ) ( ) ( ) < SerieCovergete L serie es Absolutmete covergete.- 7) 0 ( ) Se trt de u serie térmios positivos y o hce flt utilizr sigos de vlor bsoluto. Utilizmos el criterio de l rzó: ( ) 0 0. ( ) ( ) ( ) 0.0 t ( ) ( ) t. ( ) L. serie. dd. es. Absolutmete. Covergete t < ( ) 9)! ( 0) Tommos vlor bsoluto y que se trt de u serie lterte, plicmos el criterio de l rzó: ( )! ( 0) ( )!. ( 0)! ( )( ) ( ) ( 0). 0.! t t.( 0) ( 0) L serie Diverge.- )

22 Sucesioes y Series cos( π. / )! cos(. π / ) cos(. π / )!! Cosidermos l serie! Aplicmos el criterio de l rzó pr series co térmios positivos: ( )! ( )! ( ).! t ( )! t ( ) 0 < Covergete y como cos(. π / )!! Y sí l serie dd result Absolutmete Covergete.- ). 7 7 Est serie tiee térmios positivos, plicremos el criterio de l ríz: L serie Diverge 7 ) Pr cuál de ls series djuts l prueb de l rzó o es cocluyete (esto es, o produce u respuest defiitiv)cerc de l covergeci? ) Aplicmos el critrerio de l rzó ( ) ( ) El criterio o es

23 Sucesioes y Series cocluyete. b) ( )..... < Covergeci. Absolut c).( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) > Diverge d) ( ) ( ) [ ( ) ]. ( ) [ ( ) ] El criterio o es cocluyete e este cso.- ) ) Demuestre que! coverge ( ) ( ) ( )!! R Coverge R!. ( ). ( )( ) t ( )..! ( ) t 0< b) Deduzc que 0!

24 Sucesioes y Series es Covergete, ver ejercicio, etoces, por Propiedd de ls Series! Numérics Teorem º 6, result: 0! SECCIÓN -7

25 Sucesioes y Series ) 0 SerieDivergete, segú prueb de l divergeci. ) comprció Serie co térmios positivos, utilizremos los criterios de pr dicho tipo de series.- -Comprmos co l serie p covergete (p>) Directmete: <. > 0 > Coverge por ser meor ( sus térmios so más pequeños) que u serie covergete -Co pso l límite: > 0 Coverge t comprció e el límite co u serie covergete. por prueb de ) ( ) ( ).( ) Serie geométric covergete q < Covergete 9/ ( ).. ( )

26 Sucesioes y Series 9 S ) 9 9! Serie co térmios positivos, dode ecotrmos productos y fctoril, etoces plicremos l prueb del cociete. ( ) ( )!..! ( ) ( )..!!.. ( ) ( ).. 0 < SerieCovergete 7) Comprmos co l serie geométric covergete r / < > < L serie dd es meor que l geométric covergete utilizd pr comprr y por elle tmbié coverge. L mism coclusió scmos co l comprció e el límite: > 0 l. serie. Coverge t Pr resolver el límite, socimos u fució l epresió dd y plicmos L Hopitl: l t t l ) ( )! l t l Aplicmos el criterio de l rzó, y que ecotrmos u epresió co potecis eésims y fctoriles. 6

27 Sucesioes y Series ( )! ( )! t..( )! ( )!..( )! t ( ).( ). ( )!. 0 < Serie. Covergete. ( ).( )! t 7