TEMA 9 INTEGRALES fxdx 0

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1 TEMA 9 INTEGRALES 9. Àre jo u curv. Teorem fudmetl del cálculo. Ejercicios pági 97. Clcul el áre de ls siguietes regioes somreds ) El áre compredid por l curv f y el eje de ordeds. y Áre somred G G dode G f Recordmos que si F F Tommos G G De est form Áre somred Tres --: todos los ejercicios que flt del Tres --:, 8. Itegrl defiid. Regl de Brrow Ejercicios pági 98 Clcul c) d Tres --: todos los ejercicios que flt del fd uiddes cudrds. 5 Escrie u fució cotiu f pr que Nos hce flt u fució cotiu que corte l eje de sciss dejdo mos ldos de ese corte l mism superficie. Por ejemplo, f Comproémoslo: d Regl itereste:g G Otr solució válid serí: g d 6 Clcul d

2 Vmos lizr l fució f d 5 Tres 5--: 7 d d uiddes cudrds 8. Propieddes de l itegrl Pági 99 ejercicios if if 8 Si fd fd fd, clcul ) fd fd fd Tres 5--: todos los ejercicios que flt del 8 9 Si f es cotiu y fd, Cuáto vle gd, siedo g f? gd f d fd d Hemos plicdo que l itegrl de l sum es l sum de ls itegrles. Tres 5--: ATENCIÓN: ESTUDIAR LAS DOS TABLAS DE LAS PÁGINAS Y PARA EL DÍA Áre etre dos curvs Pági ejercicios Clcul el áre de l regió limitd por l gráfic de y, el eje horizotl y ls rects verticles y. Tl de vlores pr y.5 y El recito ecerrdo serí:

3 y Por lo tto dich áre es d l l l l uiddes cudrds. Tres 7--:,, 8.5 L itegrl idefiid. Primitivs imedits Pági ejercicios 5 Clcul ls itegrles idefiids siguietes. e) d d d d d d d l C l C l C Tres 7--: todos los ejercicios que flt del 5 6 Clcul e cd cso l fució f que verific ls codicioes dds. c) f 6 y f l 6 Teemos que: 6 d d 6 d l 6 6 C l 6 6 C Se trt de ifiits primitivs, pues l C es u úmero rel culquier. De tods ells queremos l que cumple uestr codició. Clculmos f l 6 l 6 6 C l 6 l 6 C l 6 l 6 C l 6 C Será f l 6 6 Tres --: todos los ejercicios que flt del Otrs itegrles idefiids imedits Pági 5 Ejercicios 7 Clcul ls siguietes itegrles idefiids ) e d e Hcemos u cmio de vrile, llmmos t e Derivmos est últim epresió, e l izquierd co respecto l vrile t y e l derech co respecto l vrile. dt e d E est epresió despejmos d.

4 dt d e Ahor hcemos el cmio de vrile e l itegrl idefiid. e t e dt t dt l t C Deshcemos el cmio de vrile. l e C De form imedit: e e d e e d l e C h) 9 d d Hcemos u cmio de vrile, llmmos t Derivmos est últim epresió, e l izquierd co respecto l vrile t y e l derech co respecto l vrile. dt 6d E est epresió despejmos d. dt d 6 Ahor hcemos el cmio de vrile e l itegrl idefiid. t dt 6 6 t dt rct t C 6 Deshcemos el cmio de vrile. 6 rct C De form imedit es: 9 d d 6 d 6 rct C Tres --: todos los ejercicios que flt del Itegrció por prtes Se suele presetr l fórmul de l itegrció por prtes de l siguiet mer: udv u v vdu Pági 6 Ejercicios Clcul ls siguietes itegrles idefiids. ) e d Vmos itetr hcerl por u cmio de vrile. Se t t Derivdo est epresió os qued: dt d dt d Aplicmos este cmio de vrile uestr itegrl: te t dt Clrmete o hemos gdo d; o h fuciodo el cmio de vrile. e d Vmos hcerl, itegrdo por prtes udv u v vdu u e d dv derivremos pr ecotrr du itegrremos pr ecotrr v du d e d dv du d e v Etoces result que:

5 e e d e e d e e C e e C e C f) si si d ATENCIÓN!!!!!!!: si si si o es si Vmos hcerl, itegrdo por prtes udv u v vdu u si si d dv derivremos pr ecotrr du itegrremos pr ecotrr v du cosd si d dv du cosd cos v si cos cos cosd si cos coscosd si cos cos d Hy que teer e cuet que si cos cos si si cos si d si cos d si d si cos si d Es decir; si d si cos si d si d si cos si d si cos C Tres --: todos los ejercicios que flt de l pági Itegrció por cmio de vrile Pági 7 Ejercicios Clcul ls siguietes itegrle d) 5 d Hcemos el cmio de vrile t 5 Derivmos est últim epresió, pr oteer l relció etre dt y d. dt d dt d Sustituimos e uestr itegrl el cmio de vrile. t dt t dt t C t5 5 C Deshcemos el cmio de vrile C Podemos hcerlo imedit de otr form: 5 d 5 d 5 C C Tres --: todos los ejercicios que flt de l pági Teorem del vlor medio del cálculo itegrl. Pági 8 Ejercicios Hll el vlor medio de ls siguietes fucioes e los itervlos idicdos. c) f e, Lo primero es que uestr fució l ser u poliomio es cotiu e el itervlo cosiderdo, por lo que estmos e codicioes de plicr el Teorem del vlor medio del cálculo itegrl. 5

6 Lo segudo es que hy que hcer es l itegrl defiid de l fució e e el itervlo ddo. d u Primero vmos represetr est fució: se trt de u rect de pediete (es decir, si l vrile se desplz l derech tres lugres, suimos ) y orded e el orige (es decir, l rect ps por el puto, ). Ojo, SÓLO LO VAMOS A PINTAR SOBRE EL INTERVALO CERRADO, L fució dd es cotiu e el itervlo, por lo tto, estmos e codicioes de plicr el Teorem del vlor medio pr el cálculo itegrl. Es decir, eiste u úmero c, tl que fc 9 fc 9 fc c c c Oserv que c. 5, siedo f Fijte que f 9 u es el áre del rectágulo de se y ltur f. Gráficmete serí que ls dos áres somreds tiee l mism superficie. Tres --: todos los ejercicios que flt del Tres --: 5,6 7 Represet gráficmete l fució dd por EJERCICIOS FINALES 6

7 f if if y hll el áre de l regió limitd por l gráfic de f y el eje de sciss. Se trt de u fució defiid trozos, por lo que hemos de pitr cd "ccho" if Se trt de u trozo de práol, l "origil " co ls rms hci jo y suid cutro uiddes. Cosidermos l tl de vlores: - - y Pitmos estos putos y los uimos co u form prólic. if Se trt de u segmeto, es u trozo de rect. Cosidermos l siguiete tl de vlores. y Pitmos estos dos putos y los uimos co u segmeto. Los putos qued pitdos sí: Pr diujr l siguiete gráfic: 7

8 y - - El recito ecerrdo es l sum de ls dos áres siguietes: y 5 que se clcul co d y

9 que se clcul co d El áre pedid es l sum de dos itegrles: d d Tres --: 8,9 u So verdders o flss ests firmcioes? ) Si f es cotiu y pr, etoces fd fd Como f es pr, es cierto que f f. Es decir, que l fució es simétric co respecto l eje OY. Por lo tto, el áre ecerrd por l fució, el eje de ordeds y ls rect es l mism que el áre ecerrd por l fució, el eje de ordeds y l rect. De hí que se ciert. ) Si f es cotiu, etoces fd L primer derivd de u fució está relciod co su mootoí, es decir, os dice dode u fució es creciete o decreciete. Es fls! Es ciert sólo si l fució es impr, es decir, si f f. c) si d Flso, pues u itegrl defiid siempre es el áre de u recito, o v ser u fució de. Tres --: (d,e,f) Clcul d if if d d d d d d Tres 8--: 5 Cotest, rzodo l respuest, si so verdders o flss ls siguietes firmcioes. ) fd fd fd c Se cumple siempre que, c ) f gd fd gd FALSO; poemos u cotrejemplo; c 9

10 Si es cierto, e prticulr se cumplirá pr d d d Si emrgo, teemos que: d d d Pero d) Si fd y f pr todo, etoces Ciert!!!!!! Por defiició, fd es el áre del recito ecerrdo por ls rects verticles,, l gráfic de f y el eje de sciss. Como f, siempre que ese recito es o vcío. Por lo tto, dich áre vldrá cero si e) f gd fd gd Ciert c) Si fd, etoces Fls!!! Cosidermos l fució y Ahor clculmos: d Tres 8--: 9,,,,6 y 8 Clcul el áre del recito limitdo por ls curvs y Teiedo e cuet l primer fució (su domiio es, sólo se pit l derech del eje de ordeds, tmié pitremos l segud (l práol "origil " u poco más chtd l est dividid por ) e es regió del plo. Cosidermos l siguiete tl de vlores pr y 8 y Cosidermos l siguiete tl de vlores pr y y 8 Gráficmete l situció es:

11 Hemos de hllr los putos dode se cort ls dos gráfics, resolviedo el siguiete sistem de ecucioes. y y Se resuelve por el método de igulció: U producto es igul cero, cudo uo de los multiplicdos es cero Ahor hemos de ecotrr los vlores correspodietes de y: si y si y Coclusió, ls dos curvs comprte los putos, y,. Además, oservdo l gráfic etre esos dos putos se ve que y qued por ecim de y. Por lo tto, el áre del recito ecerrdo es: d 8 El recito ecerrdo es el siguiete d

12 y Oserv que Determi el áre de l figur ABCDA siedo que l curv ADC es prte de l gráfic de u fució poliómic de segudo grdo. Es decir

13 y Podemos descompoer l figur e dos: u triágulo ABC y u "cop" ADC. Por lo tto, l sum de ests dos áres será el dto pedido. El áre del triágulo será el producto de su se por l ltur prtido por dos u Pr clculr el áre de l cop, ecesito l ecució de l práol. E pricipio, l práol viee dd por y c. Tedrímos que sustituir los tres putos que me d e est ecució pr ecotrr u sistem de tres ecucioes lieles co tres icógits,,c que se resolverí. Si emrgo, teiedo e cuet l posició de uestr "cop", l ecució de l práol es de l form y c Dd l simetrí de l práol co respecto l eje de ordeds, sustituimos d más que los putos C y D: C, c c D, c c Sustituimos este vlor e l otr ecució: L ecució de l práol es y Ddo que l "cop" es simétric co respecto l eje de ordeds y qued por dejo del eje de sciss su áre será: d u El áre pedid es 6 8 u Tres 9--: 7,8 5 Idetific cd u de ls primitivs siguietes co u de l tl dd e el teto y, cotiució, resuélvels: ) d d d l C e) d d d rct C Pr los icrédulos: Hcemos u cmio de vrile t Hemos de derivr est epresió pr ecotrr l relció etre dt y d. dt d dt d Sustituimos e uestr itegrl.

14 d d t dt t dt rct t C rct C i) 5 d d 5d d 5 d d d 5 l C ñ) si cos d si Primer iteto: Hcemos el cmio de vrile t si Derivmos est últim epresió pr oteer l relció etre dt y d. dt cosd cos dt d t cos dt t cos t t dt l t C l si C Tres 9--: todos los ejercicios que flt del 5 Tres 9--: 5 5 Ecuetr l primitiv de f que vle 5 e. d d d C C Segú vrí l costte C, teemos u fució distit; de tods ells osotros os pide l que cumple que F 5. Así tedremos; C 5 C 5 C Será F Tres --: 5,55,56 57 Clcul ls siguiete itegrles por el método de itegrció por prtes. udv u v vdu ) d Tommos: u du d d dv dv d v l l l d l l d l l l C l l C f) e d Tommos: u du d dv e d dv e d v e e e e d e d e d

15 e e d e d e L teemos que resolver itegrdo por prtes: u du d dv e d dv e d v e e e e e e e C l) e cosd Tommos: e e d e e e e e d C u e du e d dv cosd dv cosd v si e si si e d e si e sid Hemos de clculr l últim itegrl e sid Vmos itegrr por prtes: u e du e d dv sid dv sid v cos e cos cos e cos e cosd Recpitulmos: e cosd e si e cosd e si e d e cos e cos 9 e cosd e si 9 9 e cosd e si e cosd e si e cosd 9 e cosd e cos 9 e cos 9 e cos Tres --: 57(,c,d,e,g,h,j,k,i) 58 Hll el áre que ecierr el recito limitdo por ls gráfics de f e, y,, Lo primero que hy que hcer es l represetció gráfic del áre cosiderr. Cosidermos u tl de vlores pr l fució f e - y si f e e si f e si f e e. 78 Nos qued - y.. 7 Gráficmete es: 5

16 Por lo tto, el áre pedid: e d e d Pero e d o es imedit!!!! Teemos que hcer l itegrció por prtes: udv uv vdu e d Tommos: u dv e d du d dv e d e e d e e C du d v e Filmete: e d e d e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tres --: 59, 6 6 Clcul: ) sisi cosd Hcemos el cmio de vrile si t Derivmos est epresió pr oteer: cosd dt d dt cos si t cos dt cos si tdt si tdt cost C cossi C ) e d e Hcemos el cmio de vrile e t Derivmos est epresió pr oteer: dt t e d dt d dt e t t e C dt t t dt t C t C c) e e d e e d 6

17 Hcemos u cmio de vrile e t Derivmos est epresió pr oteer: e d dt d dt dt e t t dt t t t dt rct t C rct e C cosl d) d Hcemos u cmio de vrile l t Derivmos est epresió pr oteer: d dt d dt cost dt costdt si t C sil C 6 Ecuetr el vlor medio de: ).) f e el itervlo, Lo primero es clculr d Como f es cotiu e,, eiste l meos u úmero c, tl que d f c. Es decir, c c.) f e el itervlo, Lo primero es clculr d Como f es cotiu e,, eiste l meos u úmero c, tl que f d f c. Es decir, c c 9.) f e el itervlo, Lo primero es clculr d Como f es cotiu e,, eiste l meos u úmero c, tl que f d f c. Es decir, c c 7 6 ) Cojetur, prtir del prtdo terior, el vlor medio de f e dicho itervlo. Teemos l siguiete tl: 7

18 f c c) A qué úmero se proim el vlor medio de f cudo es grde? Se puede eplicr este resultdo prtir de l gráfic de dich fució? Teemos que clculr lim e Se cumple que lim e se trt de u límite del tipo Por lo tto: lim lim lim lim lim e lim 8