Aproximación al área bajo una curva.

Transcripción

1 Aproimció l áre jo u curv. Por: Miguel Solís Esquic Profesor de tiempo completo Uiversidd Autóom de Cips Clculr cd u de ls áres de los rectágulos que lle l regió cotd pr lczr el vlor del áre ecesrimete llev precisr el setido de l proimció. Cosideremos lgus fucioes e itetemos clculr co el procedimieto terior ls áres jo ls curvs respectivs. Por ejemplo cosideremos l fució costte f e el itervlo [ ] el áre coicide co el áre de u rectágulo. De cuerdo co l Figur. el áre estrí epresd por l fórmul coocid: se por ltur. Figur. Si llevmos co el procedimieto de ller l regió por medio de rectágulos llegrímos l mism fórmul coocid. E est regió o import el tmño de los rectágulos pr lczr el áre rel de l regió como se ve e l Figur.. Figur. Dividmos el itervlo [ ] e suitervlos medite los putos cd rectágulo tiee l mism ltur y l sum de sus áres se epres de l siguiete mer

2 jo l curv áre Si dividimos el itervlo [ ] e suitervlos igules oteemos el mismo resultdo e este cso l logitud de cd suitervlo es y cotmos co rectágulos. Siedo sí l sum de todos los rectágulos tiee térmios igules etoces st multiplicr veces el áre de u rectágulo áre jo l curv Si emrgo si cosidermos el áre jo l curv formd por l fució e el itervlo [ ] Figur. l situció del cálculo del áre o v ser ectmete l mism que e el cso terior. f Figur. Efectivmete el áre puede ser clculd sumdo el áre del rectágulo y l del triágulo Figur.4 Figur.4

3 y luego A A áre del rectágulo áre del triágulo áre jo l curv A A Tmié se podrí clculr el áre directmete por ser l regió jo l curv u trpecio su áre serí l semisum de ls ses multiplicd por l ltur: áre jo l curv Tomemos csos prticulres pr est áre y oservemos los vlores uméricos. Por ejemplo cosideremos el itervlo [ ] y dividámoslo e tres suitervlos de diferete logitud como e l Figur.5. Figur.5 Ls lturs de los rectágulos so cosiderds de tl suerte que todos qued iscritos e l regió cotd es decir los rectágulos está por dejo de l curv f. Y l sum de ls áres de los tres rectágulos result:

4 Oserv que ls lturs de los rectágulos.5 y so clculds l evlur l fució f e los etremos izquierdos de los suitervlos correspodietes: f f.5.5 y f Por otr prte si cosidermos or ls lturs de los rectágulos co ls misms ses del cso terior de tl suerte que los rectágulos qued circuscritos l regió como se preset e l Figur.6. Figur.6. L sum de ls áres de los rectágulos circuscritos result ser E el mismo setido que l oservció terior ls lturs de los rectágulos so clculds l evlur e l fució los vlores etremos derecos de los suitervlos correspodietes Si emrgo el vlor rel del áre de l regió cotd usdo l relció ecotrd teriormete result ser 4 Este vlor se ecuetr cotdo por los dos vlores teriormete clculdos.5 < 4 < 4.75 e este setido.5 y 4.75 so vlores proimdos l vlor rel del áre 4. L proimció terior puede ser mejord si llemos l regió co rectágulos de tmño tl que el áre que sorepse l curv se cosiderlemete muy pequeñ e comprció co el áre que o l soreps.

5 Figur.7 Pr ilustrr est oservció cosideremos uevmete l regió de l Figur. y l itervlo [ ] dividámoslo e prtes igules medite los putos 0 Cd suitervlo es de l mism logitud Etoces cd puto puede ser epresdo de l siguiete mer: y l sum de ls áres de los rectágulos que lle l regió de l Figur.8 es epresd por Figur.8 S Usdo el resultdo

6 S Como sustituimos por. S Si es muy pequeño esto es si dividimos l itervlo [ ] e u úmero de prtes igules co muy grde etoces será muy pequeño tmié y l sum de ls áres de los rectágulos circuscritos estrá muy próim l áre jo l curv. Actividdes. Tomdo como refereci el ejemplo dóde se clcul el áre jo l curv f etre ls rects y co <. Clcul or el áre jo l curv etre ls rects f y co <. Pr resolver este prolem te será útiles los siguietes resultdos: 6 demás del desrrollo de los iomios:. Clcul el áre jo l curv etre ls rects f y co <. Otros resultdos útiles pr l solució so:

7 y el desrrollo del iomio: Utilizdo los resultdos de los prolems y clcul el áre: limitd por l curv f el eje X y ls rects 5 y 8. limitd por l curv f el eje X y ls rects y 9. si 0 < 4. Ecuetr el áre jo l curv f etre ls rects 0 y. si Utiliz los resultdos teriores.