5. Longitud de una curva.

Transcripción

1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. 5. Logitud de u curv. Semos lo que sigific l logitud de u segmeto recto. E prticulr, si teemos dos putos del A, B =,, l logitud del segmeto AB es, segú el teorem de Pitágors, plo = ( ) y ( ) ( ) ( ) +. Aálogmete, si A = (,, ) y B (,, ) tridimesiol, l logitud del segmeto AB es, hor, ( ) ( ) ( ) = so putos del espcio. + + Si emrgo, o teemos u oció precis de l logitud de segmetos curvilíeos. Este es el ojetivo de est secció: medir l logitud de u trozo de curv. Comezremos co el cso más simple, l gráfic de u fució y : x, y = y(x) que es derivle y tiee derivd cotiu. Pr clculr l logitud de l curv, proximmos ést medite l logitud de u líe poligol cuyos vértices so putos de l curv C. Vemos esto co u poco más de detlle. Tomemos u prtició x = < x < x < < x = del itervlo [, ]. E l figur hemos represetdo l curv y = y( x) y el segmeto L de l poligo- P : x, y( x ) P : = x, y( x ). U proximció de l l correspodiete los putos = ( ) y ( ) logitud totl L de l curv y = yx ( ) e el itervlo [, ] es L L. Es más, cudo el diámetro de l prtició dismiuye cero (y los putos de l prtició umet), l sum de ls logitudes estos segmetos se proxim l logitud totl L. Por otr prte, plicdo el teorem del vlor medio de Lgrge l fució y = yx ( ) e cd itervlo [ x, x], existirá t (, x x) tl que yx ( ) yx ( ) = y ( t)( x x ). Co esto oteemos que ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( y t )( ) x x y t ( x x ) = L = x x + y x y x = x x + y t x x = + ( ) = + ( ).

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. L = ( ) Etoces = + y (t ) x x + = Sum de Riem de l fució + y ( x) y ( x) dx. Este rgumeto justific l fórmu- l pr el cálculo de l logitud de u curv de l siguiete defiició. DEFINICIÓN. Si C es l curv dd por l gráfic de u fució y : x, y = y(x), que es derivle y tiee derivd cotiu, etoces l logitud de C está dd por l itegrl logitud( C) = + y ( x) dx. E geerl, o es fácil clculr u logitud de rco, como veremos e el siguiete ejemplo. EJEMPLO. Vmos clculr hor l logitud del trozo de l práol y = x correspodiete l itervlo x. Aplicdo l fórmul de l logitud de u curv l fució y( x) = x e el i- tervlo [,] oteemos que dich logitud viee dd por l itegrl L= + 4 x dx. Est itegrl se puede clculr, co el cmio de vriles x = t u pero el proceso que sigue es lrgo y complicdo. Nosotros o seguiremos este cmio que hemos esquemtizdo pie de pági sio que empleremos otro cmio de vriles e el que iterviee ls fucioes hiperólics. x= seh t, dx= coshtdt L = + x dx = = t t dt = t dt t t 4 cosh cosh cosh x=, t = ; x=, = seh t t t ( t ) dt t t t t 4 4 = + cosh ( ) = + seh( ) = + seh( ). Vmos clculr hor los vlores t y seh( t ). Comezremos por el segudo. Semos que NOTA. Pr el cálculo de l itegrl + 4x se puede proceder de l siguiete form. du u se, cos t x = t u, dx = du t = u dt = udu dt + 4x = cos u = = = cos u, t ; u u, t se u u x, u ; x, t u ( ) = = = = t = = = = t t t + = dt = log 4 t 4 ( t ) 4 t+ 4 ( t+ ) 8 t t t = 4 5 log Pr el cálculo de t oservemos que t = se u y como t u =, teemos que cosu = se u. De l fórmul cos u + se u = deducimos que t = se u =. 5

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. cosh t = + seh t = 5, luego cosh t = 5. Por otr prte, semos que se verific seh( t ) = seh t cosh t = 4 5. Filizmos clculdo el vlor t. Pr ello, como = seh t, oteemos ( t t e e ) =. Llmemos z = e. t Etoces z = 4, luego z 4z =. Por tto, z = ± 5. Puesto que t > y z t = log z, teemos que t = log( + 5). Co todo esto cocluimos que l logitud del rco de l práol vle L = ( log( + 5) + 5 ) U rgumeto similr l descrito teriormete permite defiir l logitud de u curv prmetrizd pl regulr. Cosideremos u curv pl regulr C prmetrizd por ( ) C :t [,] C(t) = x(t), y(t) y u prtició t = < t < t < < t = del itervlo [, ]. Deotemos por L l segmeto de l P : x( t ), y( t ) P : = x( t ), y( t ). Ahor, como poligol correspodiete los putos = ( ) y ( ) tes, proximmos l logitud totl L de l curv C por l sum L L. Es más, cudo el diámetro de l prtició dismiuye cero (y los putos de l prtició umet), l sum de ls logitudes de estos segmetos se proxim l logitud totl L. Por otr prte, plicdo el teorem del vlor medio de Lgrge ls fucioes x = xt () e y = y() t e cd itervlo [ x, x], existirá putos u y v e el itervlo ( t, t) tles que Co esto oteemos que x( t) x( t ) = x ( v)( t t ) e y( t) y( t ) = y ( v)( t t ). ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + L x t x t y t y t x u t t y v t t ( x u )( ) ( y v t t x u y v )( t t ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ). L x( u ) y ( v ) t t. Auque est sum o es u sum de Riem, Etoces = ( + )( ) = = puesto que e geerl u v, se puede pror que, cudo l orm de l prtició tiede cero, l sum coverge l itegrl x () t + y () t dt. Este rgumeto justific l fórmul pr el cálculo de l logitud de u curv pl de l siguiete defiició. DEFINICIÓN. Si C es u curv pl regulr prmetrizd por ( ), C :t, C(t) = x(t), y(t) =

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. etoces l logitud de C está dd por l itegrl OBSERVACIÓN. Oserv que C () t ( x (), t y () t ) logitud( C) = x ( t) + y ( t) dt. = y, por tto, C () t x () t y () t (o logitud del vector tgete). Co est otció, teemos que logitud( C) = C ( t) dt. = + es l orm EJEMPLO. Vmos clculr l logitud de rco de l stroide, que es l curv de ecució crtesi x + y =. L stroide se puede prmetrizr por ls fucioes x xt t y yt t = () = cos, = () = se, dode t [, ]. E l siguiete figur se muestr u represetció de est curv, que se otiee estudido l fu- ció y = x, teiedo e cosiderció que est curv es simétric respecto del eje OY y respecto del eje OX. Derivdo e ls ecucioes prmétrics de l curv teemos que ( ) x t = t t y () t = se tcos, t () cos se, x t y t t t t t t t t t ( ) + ( ) = 9cos se cos + se = 9cos se = cos se. luego Usdo l simetrí de l curv, podemos clculr sólo l logitud del primer cudrte (y multiplicr por cutro) co lo que t y costse t. Teiedo esto e cuet oteemos que l logitud totl de l stroide es se t L= 4 costse tdt = = 6. 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. EJEMPLO. Pr clculr l logitud de u rco de cicloide x() t = t set e yt () = cos, t oteemos que x () t + y () t = + cos t cost+ se t = ( cos). t Por tto, teemos que + = y x () t y () t cost t t t L = costdt = se dt = se dt = se dt t = cos = 8. OBSERVACIÓN. Como decímos tes, o siempre es fácil clculr l logitud de u curv. Por ejemplo, itetemos clculr l logitud de u rco de elipse de semiejes >,, prmetrizd por C( t) = ( cos t, se t), co t [, ]. El vector tgete es C ( t) = ( se t, cos t), luego () = se + cos. Etoces teemos que C t t t logitud( C) = C ( t) dt = se t+ cos t dt, pero es coocido que est itegrl o se puede clculr usdo l regl de Brrow. Se trt de u itegrl elíptic y o es posile ecotrr u primitiv de l fució del itegrdo. OBSERVACIÓN. Pr u curv e polres, dd por l ecució polr r = r( θ ), co α θ β, y siedo r = r( θ ) u fució derivle co derivd cotiu, teemos u prmetrizció dd por C :θ α,β C(θ) = ( r(θ)cosθ,r(θ)seθ ) y, por tto, C ( θ ) = r( θ) + r ( θ), co lo cul teemos que β β logitud( C) = C ( θ ) dθ = r( θ) + r ( θ) dθ. α α EJEMPLO. Clculemos l logitud de rco de l crdioide de ecució r = cos θ. Segú cmos que compror, l logitud está dd por l fórmul β α cos( x) = cos xse x θ θ dθ dθ logitud( C) = r( θ ) + r ( θ) dθ = ( cos θ) + se θ dθ = ( cos θ) dθ = cos = = se se x= ( cos( x) ) θ θ θ = se dθ = se dθ = cos = 8. EJEMPLO. Ahor clculremos l logitud de l lemisct r = cos( θ ). Usdo l simetrí de l curv y l fórmul de l logitud e coordeds polres teemos que θ θ θ y, β L= r( ) + r ( ) d α 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. 4 dθ teiedo e cuet que r( θ) + r ( θ) =, oteemos que L = 4. Est itegrl impropi es covergete, pero o se puede clculr co l regl de Brrow. Si emrgo, cos( θ ) cos( θ ) semos que L = 4 4 dθ du = [ u = θ ]= = B cos(θ) cosu, Γ = Γ 4 Γ = Γ Γ = Γ Γ. Siedo que Γ = y usdo ls proximcioes Γ.656 y Γ.54 oteemos el vlor proximdo de l logitud de rco de l lemisct L = dθ cos( θ ) E geerl, pr u curv regulr e, siguiedo u procedimieto similr l cso de curvs pls se defie su logitud de l siguiete form. DEFINICIÓN. Si C es u curv regulr e, prmetrizd por ( ), C :t, C(t) = x(t), y(t), z(t) etoces l logitud de C está dd por l itegrl logitud( C) = C ( t) dt = x ( t) + y ( t) + z ( t) dt. EJEMPLO. Vmos clculr l logitud de u espir de l hélice circulr Ct () = ( cos, tse tt, ), co t [, ] y >,. E este cso C () t = ( se t, cos, t ) y C () t = +. Etoces, l logitud de u espir es logitud( C) = C ( t) dt = + dt = +. EJEMPLO. Vmos clculr l logitud de rco de l curv dd por l itersecció del cilidro x x+ y = co l esfer uidd x + y + z =. E primer lugr vmos trtr de visulizr l curv itersecció del cilidro co l esfer. Comecemos co l esfer. Los putos de l esfer so todos quellos P = ( x, y,z) que verific x + y + z =. Como l expresió x + y + z descrie líticmete el cudrdo de l distci (e ) del puto P= ( x, y, z) l orige de coordeds, los putos de l esfer x + y + z = so todos los putos de cuy distci l orige es costte e igul. Vmos trjr hor co el cilidro x x+ y =. Est superficie está formd por los putos P = (x, y,z) que verific est ecució. Oservemos que si u puto ( x, y, z ) perteece l cilidro y, por tto, verific x x + y = l vrir l coorded z y, 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. cosiderr culquier puto de l form ( x, y, z ), estos putos tmié verific l ecució y, por tto, tmié perteece l cilidro. E defiitiv, esto os dice que si el puto ( x, y, z ) perteece l cilidro, etoces todos los putos de l rect que ps por este puto y es prlel l eje OZ tmié perteece l cilidro. Etoces, pr visulizr est superficie, st descriir co detlle, por ejemplo, los putos del cilidro que está e el plo OXY, que so todos quellos putos ( x, y,) que verific l ecució x x+ y =. Est ecució se puede reescriir de l y, form x + = vemos sí que represet, e el plo z =, u circufereci cetrd 4 e el puto, y rdio. Ests cosidercioes os permite visulizr l esfer y el cilidro de l form tl como se muestr e l siguiete figur, dode hemos represetdo tmié l curv itersecció de ests dos superficies. Eje OZ x +y +z = Eje OX Eje OY x - x+y = Deido l simetrí de l curv, pr clculr su logitud st trjr e el semiespcio superior. Vemos cómo es, co más detlle, l curv e este semiespcio y cómo podemos prmetrizrl. Pr prmetrizr est curv, recorrid por el puto P= ( x, y, z), st prmetrizr su proyecció sore el plo OXY, recorrid por el correspodiete puto Q= ( x, y,). L proyecció de l curv sore el plo OXY coicide co l del cilidro que, como semos, es l circufereci de ecució x x+ y =. Es fácil compror que su ecució polr es r( θ ) = cos θ, dode θ. Etoces oteemos l prmetrizció x( θ) = r( θ)cosθ = cos θ, co θ. y( θ ) = r( θ)seθ = se( θ), Oservemos que ls coordeds x e y del puto P so ls misms que ls del puto Q. Y, puesto que el puto P está e l esfer, su coorded z se puede oteer por l iguldd 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. z = x y = r = θ = θ = θ cos se se. De uevo (y co ojeto de evitr el vlor soluto) usmos l simetrí y os limitremos clculr l logitud de u curto de l curv, el que se otiee cudo θ. E este itervlo el seo es positivo y C( θ ) = cos θ, se( θ),se θ, co θ, es u prmetrizció de u curto de l curv, cocretmete el que se ecuetr e el octte positivo. Como l derivd es teemos dd por C ( θ ) = ( cosθse θ,cos θ,cos θ) = ( se θ,cos θ,cos θ), C ( θ ) = se θ + cos θ + cos θ = + cos θ. Por tto, l logitud de l curv está L= 4 + cos. θ dθ Est itegrl es u itegrl elíptic y o puede ser clculd me- dite l regl de Brrow. Si emrgo, co lgú método umérico (que estudirás e otro curso) se puede oteer u proximció como l que mostrmos cotiució L= 4 + cos θdθ Es posile oteer otrs prmetrizcioes de est curv. Por ejemplo, si usmos pr l curv proyecció l prmetrizció hitul de u circufereci, cetrd e, y rdio, es decir, x() t = + cos, t yt () set = co t, oteemos, siedo que z x y =, l siguiete prmetrizció de l curv Ct () = + cos, t se t, cos t, co t. Por otr prte, si usmos como prámetro l vrile x, etoces podemos prmetrizr l semicir- cufereci superior de l proyecció como ( x x x ) z x y,, co x, y usdo de uevo que = oteemos l siguiete prmetrizció de u curto de l curv origil ( ) Cx ( ) = x, xx, x, co x. No ostte, ests dos últims prmetrizcioes tmié coduce itegrles pr ls que o es posile oteer u primitiv y, por tto, tmpoco se puede clculr medite l regl de Brrow. EJERCICIO. Clcul l logitud de ls siguietes curvs dds por sus ecucioes polres: 8

9 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. θ e ) r = θ, θ ) θ r = θ, θ 5 c) r =, θ d) r = se, θ 6 θ e) r =, θ f) r = cos, θ g) r = + se( θ ), θ + cosθ 4 Not. Pr clculr l itegrl del prtdo e) puedes relizr el siguiete cmio de vriles θ u du u = t, co lo que cosθ = y dθ =. + u + u EJERCICIO. Clcul l logitud de los rcos de curv que se idic cotiució: Ct () cos,se t t, 5 t, t. Ct () = + t, ( t+ ), t, t. Ct ( ) = 6 t, t, t, t. e) Ct () = tcos, ttse t, t, t. f) Ct () = t,, t, t 8. Ct ( ) = tse t+ cos tt, costse t,, t. ) ( ) = ) ( ) c) Ct () = (,cos t,se t), t. d) ( ) g) ( ) EJERCICIO. Determi el puto de l curv Ct ( ) ( 5cos t,5se t,t) = que se ecuetr 6 uiddes del orige de coordeds medids lo lrgo de l curv e el setido de umeto de l logitud de rco. 9