Unidad 2: NÚMEROS COMPLEJOS
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- María Maldonado Valenzuela
- hace 5 años
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1 Resúmees de Mtemátics pr Bchillerto Uidd : NÚMEROS COMPLEJOS.- CONSTRUCCIÓN A los pres de úmeros reles xy, los llmremos úmeros complejos, cudo e estemos cosiderdo ls siguietes opercioes: x, y x', y' xx', y y' sum: producto: x, yx', y' xx' yy', xy' yx' (proceso de costrucció de Hmilto). Suele decirse que el úmero complejo xy, está escrito e form crtesi. Los úmeros reles x e y, como prtes del úmero complejo xy,, recibe los siguietes ombres: x prte rel y prte imgiri El cojuto de los úmeros complejos se represet por : xy,,, y tiee estructur de cuerpo comuttivo (igul que el cojuto de los úmeros reles), esto es, verific ls misms ueve propieddes que vimos que cumplí, y que volveremos eucir u poco más delte. Propiedd: Todo úmero rel es u úmero complejo (de prte imgiri cero), es decir, Por tto, hremos l siguiete idetificció: x complejos de prte imgiri cero).,0 x (es decir, los úmeros reles so los Existe u úmero complejo especilmete importte que represetremos por i, que se deomi uidd imgiri: i 0, y que verific: i 0, 0,, 0. Como cosecueci de lo terior, todo úmero complejo se puede escribir e l form x, y x,0 0, y,0 x iy y que se deomi form biómic del úmero complejo x, y..- LOS NÚMEROS COMPLEJOS Cuiddo!! i i ii Deprtmeto de Mtemátics
2 Mtemátics I Iguldd: z x iy x x z z z x iy y y Represetció crtesi o gráfic (digrm de Argd ): A cd úmero complejo z ib le socimos u (úico) puto del plo crtesio, que se deomi fijo de z. z ib P, b eje imgirio b zib eje rel Represetció vectoril: Uiedo el orige O co el puto P, fijo del úmero complejo z ib, obteemos el vector OP socido l úmero complejo z. z ib OP b z ib OP Cojugdo: z x iy z x iy Opuesto: z x iy z x iy x iy Iterpretcioes geométrics z y z so simétricos respecto del eje rel z y z está relciodos por u giro de z ib b z ib z ib 3.- EXPRESIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Form crtesi: P, b Form biómic: z ib Form polr: b r zib r OP OX, OP z r Form trigoométric: z rcos ise Pso de u otr form: E relidd fue Hmilto el primero que represetó los úmeros complejos como putos del plo. Números Complejos
3 Resúmees de Mtemátics pr Bchillerto De biómic polr z xiy z r dode r x y rctg 90º y x rctg y x rctg y x 0º rctg y 360º rctg y x x 70º De polr biómic z r z x iy co x rcos y r se Iguldd e form polr: r s r s k co k etero 4.- OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA z xiy Sum: z z x x iy y z x iy Propieddes de l sum: () Asocitiv: zzz3 z z z3 () Comuttiv: zz z z (3) Existeci de elemeto eutro: 0 0i 0 (4) Existeci de elemeto opuesto: z x iy z x iy z 0 z z x iy z x iy Rest: z z x. x iy y z x iy z x iy Multiplicció: z z x x y y ix y y x Propieddes de l multiplicció: z z z z z z (5) Asocitiv: 3 3 Deprtmeto de Mtemátics 3
4 Mtemátics I (6) Comuttiv: zz z z (7) Existeci de elemeto eutro: i0 z z (8) Existeci de elemeto iverso: x y z xiy 0 i z x y x y (9) Distributiv de l multiplicció respecto de l sum: z z z z z z z 3 3 Divisió: z x iy, z x iy z x iy x iy x iy x iy z x iy x iy x y Potecició: Igul que siempre. m m k 0 k m mk Se us l fórmul del biomio de NEWTON: x iy x iy m m! dode k k! m k! ý 0!. k 5.- OPERACIONES EN FORMA POLAR z r w s Multiplicció: z w r s Divisió: z r z r w s w s Potecició: z r z r r Fórmul de DE MOIVRE: r r cos ise Rdicció: r r ) dode 360º k, k 0,,... (e vez de 360º se puede poer Ríces cudrds de : 0 360º 90º 360º 70º i i Iterpretció geométric de ls ríces ésims Todos los úmeros complejos tiee exctmete ríces distits, cuyos fijos form u ágoo regulr. Números Complejos 4
5 Resúmees de Mtemátics pr Bchillerto U propiedd 3 sobre los rdicles complejos: r s r s 0 360º Como cosecueci, y podemos trbjr de form riguros co expresioes de l form x co x : x x x x i 6. OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA Multiplicció: z r cos ise z w r s cos ise w s cos ise Divisió: z r cos ise z r cos ise ws cos ise 0 w s Potecició: Fórmul de De Moivre: cos se r i r cosise 3 Co l que y puedes ver dóde está el error del pricipio de l uidd. Deprtmeto de Mtemátics 5
NÚMEROS COMPLEJOS. el conjunto de todos los pares ordenados
NÚMEROS COMPLEJOS 0.- INTRODUCCIÓN Represetareos por reales: el cojuto de todos los pares ordeados Dicho cojuto se deoia plao cartesiao. xy, : xy, x, y de úeros Recuerda que sabeos suar pares ordeados
Todo número complejo se representa gráficamente en el plano de GAUSS. z = (a, b)
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Seirio Uiversitrio de Igreso 07 Núeros reles Si u úero posee ifiits cifrs deciles o periódics, o puede escriirse coo u cociete etre úeros eteros, es decir, o es u Núero Rciol. Estos úeros recie el ore
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( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m
Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede
a se llama la n-ésima potencia de a, siendo a la base y n el
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5 3 = (5)(5)(5) = 125
Potecició: Es el resultdo que se obtiee l ultiplicr l bse por si is cuts veces lo idique el expoete: = ( )( )( )... BASE = ()()() = POTENCIA EXPONENTE Bse: Es el úero que se ultiplic por si iso. Expoete:
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