Desigualdades II. Tarea #3 rumbo al nacional de septiembre de 2016 Por: Argel y Fernando. a 1 + a a n n. 1 n. n (f (x 1) + + f (x n ))

Transcripción

1 Desigulddes II Tre # rumbo l ciol 8-22 de septiembre de 206 Por: Argel y Ferdo Tchevyshev Se 2 y b b 2 b etoces Ahor les toc demostrrl b + 2 b + + b b + b b 2 Jese Se cuerd de l ecució fuciol de Jese? Pues hor vmos ver l desiguldd de Jese Si f es covex e u itervlo I co x, x 2, x e I, se cumple que ( x + x x f (f (x + + f (x Pr ls fucioes cócvs se volte l desiguldd, es decir ( x + x x f (f (x + + f (x Existe u versió geerlizd de est desiguldd Se f covex e el itervlo I Si x, x 2,, x está e I y 0 < t, t 2,, t < co t + t t =, etoces f (t x + t 2 x t x t f (x + t 2 f (x t f (x Pero exctmete que es u fució covex o cócv e u itervlo? Se dice que u fució f es covex e u itervlo, si pr tod y b del itervlo, el segmeto rectiĺıeo que ue (, f ( y (b, f (b se ecuetr por ecim de l gráfic de f, sucede lo iverso pr ls cócvs Esto se puede observr e l siguiete imge Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206

2 2 Criterios de covexidd Pr determir que u fució es covex e u cierto itervlo existe diversos criterios Criterio U fució f : [, b] R es covex e el itervlo I = [, b], si pr cd t [0, ] y pr x < y b, se tiee f (ty + ( tx tf (y + ( tf (x Criterio 2U fució f : [, b] R es covex si y sólo si el cojuto {(x, y x b, f (x y} es covexo Criterio U fució f : [, b] R es covex si y sólo si pr cd x 0 [, b] se cumple que l fució f (x f (x0 P(x = x x 0 es o-decreciete pr x x 0 Criterio 4 Si l fució f : [, b] R es derivble co derivd o-decreciete, etoces f es covex Si f es dos veces derivble y f (x 0 etoces l fució es covex 22 Ejemplo Si r,, r so úmeros reles myores que, muestre que r + r r r + Cosideremos l fució f (x = +e x, se tiee f (x = ex (+e x 2 y f (x = ex (e x (e x + 0, pr x > 0, por lo tto l fució es covex pr R + Si r i >, etoces r i = e x i, empledo l desiguldd de Jese se obtiee e x + +x L terior desiguldd se puede mipulr pr obteer Muirhed + ( + e + + x + e x r r r + r U desiguldd pr goberrls tods U desiguldd pr ecotrrls, U desiguldd pr resolver todos y trlos e ls tiiebls e l tierr de Erdos-Mordel dode se extiede ls sombrs L desiguldd de Muirhed es u geerlizció de l desiguldd de l medi ritmétic cotr l medi geométric Primero presetmos el cocepto de l medi p, se x, x 2,, x y p = (p, p 2,, p, l medi p de x, x 2,, x se defie por, por ejemplo Myorizció [p] = x p! x p2 2 x p [2,, 0] =! (x 2 (y + z + y 2 (x + z + z 2 (x + y Se p = (p, p 2,, p y q = (q, q 2,, q que cumple ls codicioes p p 2 p y q q 2 q p q, p + p 2 q + q 2, p + p p q + q q Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206 2

3 p + p 2 + p = q + q q Se dice etoces que (p, p 2,, p myoriz (q, q 2,, q que se escribe como (p, p 2,, p (q, q 2,, q A cotiució se preset u form situció e l que si se lleg l myorizció y otrs e ls que o (0,, 0 (, 0, 2 (4, 0, 0, 0 (2, 0, 2 y que l ctidd de elemetos es distit (5, 0, (2, 2, 0 los térmios o puede ser egtivos (2,,, (,,, Y que (4,,, (,,, 0 Y que El teorem de muirhed [b] [] pr culesquier vlores o egtivos de ls vribles (x, x 2,, x si y solo si ( (bl iguldd sólo se tiee cudo (b y ( so idéticos o cudo todos los x i so igules 2 Ejemplo U ejemplo secillo del uso de Miurhed, es co u desiguldd que y h demostrdo Pr culesquier, b, c > 0, pruebe que ( + b(b + c(c + 8bc ( + b(b + c(c + = 2 b + c 2 + b 2 c + b 2 + bc c + 2bc Por lo tto l desiguldd se puede expresr como 2 b + c 2 + b 2 c + b 2 + bc c 6bc Esto es equivlete demostrr Por l desiguldd de Muirhed Co lo terior hemos cocluido [2,, 0] [,, ] [2,, 0] [,, ] Ejemplo 2: co truco icluido (IMO,995 Pr culesquier, b, c > 0 co bc =, pruebe que Relizdo el álgebr ecesri llegmos (b + c + b ( + c + c ( + b 2 2( 4 b 4 + b 4 c 4 + c ( 4 b c + 4 c b + b 4 c + b 4 c + c 4 b + c 4 b + 2( b c 2 + b c 2 + c b 2 ( 5 b 4 c + 5 c 4 b + b 5 c 4 + b 5 4 c + c 5 4 b + c 5 b b 4 c 4 Si embrgo es posible drse cuet que = 4++ = ++2 = 8 y que 5+4+ = = 2, etoces o podemos usr Muirhed directmete, hce flt recurrir u truco Cudo el producto de x, x 2,, x es, se tiee [(p, p 2,, p ] = [(p r, p 2 r,, p r] Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206

4 pr culquier úmero rel r Ahor, hciedo r = 4, [(5, 4, ] = [(, 8, 5 ] y [(4, 4, 4] = [( 8, 8, 8 ] De lo terior ( (4, 4, 0, 8, 5 De quí se puede termir co Muirhed ( (4,,, 8, 5 ( 8 (,, 2, 8, 8 4 Normlizció y homogeizció de vribles A cotiució les presetremos dos técics que puede ser útiles pr l solució de desigulddes 4 Normlizció Cudo existe desigulddes homogees (es decir que l trsformció de, b, c k, kb, kc o cmbi d podemos plicr codicioes dicioles l desiguldd si pérdid de l geerlidd Algus de ls más comues so bc = y + b + c =, l ormlizció es priciplmete depediete del problem Pero exctmete como fucio? Cosideremos bc = k, se = kx, b = ky, c = kz, etoces 42 Homogeizció k xyz = k de dode se obtiee xyz = Es el proceso iverso l ormlizció Cudo teemos codicioes como bc = podemos cosiderr sustitucioes como = x y, b = y z, c = z x y e el cso de + b + c = se puede cosiderr l sustitució = x b = y x+y+z y c = z x+y+z 5 Problems Se, 2,, úmeros positivos co 2 = Muestre que x+y+z, 2 Se P(x = x 2 + bx + c u poliomio cudrático co coeficietes reles o egtivos Muestre que, pr culquier úmero positivo x, ( P(xP (P( 2 x Si, b, c so reles positivos, prueb que o se puede dr simultáemete 4 Se, b, c reles positivos Prueb que ( b > 4, b( c > 4, c( > 4 b + b c + c b + bc + c Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206 4

5 5 Si H = , muestre que 6 Si, b, c so reles positivos, prueb que 7 Se pr i =, 2,, Demuestr que ( + < + H, pr 2 bc( + b + c b + b c + c ( + ( + 2 ( ( Si, b > 0 y m es u etero positivo, prueb que ( + m ( + + b m 2 m+ b 9 Ddo u úmero etero positivo, se f ( el promedio de todos sus divisores positivos Por ejemplo Demuestre que f ( = + 2 = 2 f (2 = f ( Pr úmeros reles o-egtivos x, y, z, muestre que = 4 x + y + z xyz + (x y(y z(z x 4 Se, b, c úmeros reles positivos que stisfce + b + c = Muestr que: + bc + b + c + c + b 2 2 Se, b, c úmeros reles positivos tles que bc = Muestr que y que b b c c b c + 2 Se, b y c úmeros reles positivos tles que + b + c = Muestr que y determi cuádo se lcz l iguldd 2 b 2 c bc b + c c + b 2 4 Cosidere dos coleccioes de úmeros x x 2 x, y y 2 y y u permutció (z, z 2,, z de (y, y 2,, y Muestre que (x y (x y 2 (x z (x z 2 Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206 5

6 5 Se x, y, z tres úmeros reles o egtivos tles que: x 2 + y 2 + z 2 = 2(xy + yz + xz Prueb que: x + y + z 2xyz 6 Se, b, c úmeros reles tles que +b + b+c + +c + b + c 7 Se A, B, C los águlos de u triágulo cumple que = y b + bc + c > 0 Muestre que bc b + bc + c 4 si A + si B + si C 2 8 (Desiguldd de Schur Si x, y, z so reles positivos y es u etero positivo, se cumple x (x y(x z + y (y z(y x + z (z x(z y 0 Pr el cso = l desiguldd puede tomr lgus forms muy iterestes, ejemplo x + y + z + xyz xy(x + y + yz(y + z + zx(x + z xyz (x + y z(y + z x(z + x y Si x + y + z =, 9xyz + 4(xy + yz + zx 9 (Desiguldd de Beroulli Pr todo úmero rel x > y todo etero positivo, se cumple ( + x + x 20 Si, b y c so reles positivos, pruebe que (b + c 2 + b (c c ( + b 2 9 4( + b + c 2 Se x, y, z úmeros reles positivos que cumple xyz =, muestre que yz + z + zx + x + xy + y 2 22 Se, b, c úmeros reles positivos que stisfce b + bc + c = bc, muestre que 4 + b 4 b( + b + b4 + c 4 bc(b + c + c4 + 4 c(c + 2 Culesquier tres úmeros reles, b y c, stisfce que 5 + b 5 + c 5 bc + b c + c b 24 Se, b, c reles positivos tles que bc = Demuestr que ( + ( b + ( c + b c Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206 6

7 25 Pr culesquier x, y, z > 0 co xyz, muestre que x 5 x 2 x 5 + y 2 + z 2 + y 5 y 2 y 5 + z 2 + x 2 + z5 z 2 z 5 + x 2 + y Se, b, c R tles que bc Demuestr que b 2 + b + b c 2 + c + 27 Se, b, c reles positivos tles que + b + c = Prueb 28 Se, b, c reles positivos Demuestr que b b + + c c 2 c Å b + c b + c ã 2 + 8bc + b b2 + 8c + c c2 + 8b 29 Se, b, c reles positivos tles que bc = 8 Prueb que 2 ( + ( + b + b 2 ( + b ( + c + c 2 ( + c ( + 4 Olimpid Mexic de Mtemátics e Bj Clifori 206 7