MATEMÁTICA FINANCIERA. Préstamos Comerciales

Transcripción

1 Préstmos MATEMÁTICA FINANCIERA PRÉSTAMOS Luis Alclá UNSL Segudo Cutrimeste 2016 Defiició Se llm préstmo l operció ficier cosistete e l etreg de u ctidd dd de diero (C 0 ), el pricipl (o deud), por prte de u perso (físic o jurídic), llmd prestmist o creedor, otr perso (físic o jurídic), llmd presttrio o deudor, quie se compromete mortizr el pricipl Observció Se llm mortizció l proceso ficiero medite el cul se ccel, geerlmete de mer grdul, u deud co pgos periódicos, los cules puede ser igules o diferetes. Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Préstmos De todo el espectro posible de esquems de reembolsos de préstmos, sólo estudiremos dos vrites, de cuerdo cómo so cobrdos los itereses: 1 Préstmos comerciles: so los préstmos dode se plic l ts directmete sobre el cpitl iicil (durte el período de tiempo pctdo pr el préstmo) y el moto de ls cuots del reembolso se clcul dividiedo este moto por el úmero de térmios 2 Préstmos iterés sobre sldos: so los préstmos dode l ts se plic sobre lo que se cooce como cpitl pediete, que es el diero que efectivmete se debe después de cd pgo. E l Argeti, el sistem de préstmo comercil es usdo priciplmete por pequeños comercios y lgus istitucioes ficiers Estos sistems o recooce los pgos prciles efectudos, lo que llev que o exist equivleci ficier y el flujo de cpitles que mortiz l deud. Alicemos l siguiete situció: Ejemplo (1) U tied uci que sólo cobr u recrgo del 20% ul sobre ls comprs e cuots. Ud. reliz u compr por $1.000, y dese pgrl e 12 cuots mesules y cosecutivs. L dueñ de l tied le plte el siguiete esquem de pgos: So $1.000, más u recrgo del 20%, os d $1.200; hor lo dividimos por el úmero de cuots, lo que os d doce cuotits mesules de $100. Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17

2 A prtir del ejemplo es clro que los elemetos que coform u préstmo comercil so: 1 Importe del préstmo (o deud): C 0 2 Ts de iterés (direct) p-períodic cobrd: 3 Durció de l operció (expresd e ños): t 4 Número de cuots: 5 Moto de cd uo de los pgos: El moto de cd uo de los pgos es determido por l expresió := C ( δ (p) ) pt (1) L cuet que hizo l dueñ de l tied del Ejemplo 1 = (1 + 0, 2) 12 = = 100 Si cosidermos l ret geerd y clculmos su vlor ctul co l ts mesul equivlete i (12) = = 0, , obteemos [ 1 (1 + 0, ) = 1088, , Esto os d l primer dverteci: co l ts del préstmo comercil, l ret geerd y el desembolso del préstmo o so ficiermete equivletes. Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Por rzoes de clridd (y si pérdid de geerlidd), podemos supoer que el úmero de cuots coicide co l ctidd de p-períodos que cbe e t ños pr lgú p de los hbitules, es decir, p {1, 2, 3, 4, 6, 12, 52, 360, 365}. Por lo tto sumiremos que p t = Vmos demostrr que el vlor ctul de l ret es siempre myor que el desembolso del préstmo pr 2 y > 0 Es decir, (p) ) > C 0 (p) ) = C ( δ (p) ) = C 0 (p) ) ( 1 + δ (p) ) 1 } δ {{ (p) > C 0 } > Por l desiguldd de Beroulli, ddo que pr todo etero 2 y pr todo úmero rel x > 0, se cumple que (1 + x) > 1 + x pr todo C 0 > 0. Por lo tto (1 + x) 1 x > Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17

3 Por otro ldo, l ts q-periódic i (q) l cul l ret de térmios tiee u vlor ctul de C 0 es siempre myor que l ts direct q-periódic δ (q) equivlete l ts (direct) declrd pues i δ (q) de dode obteemos que 1 ( 1 + δ (q)) qt δ (q) por lo que se puede cocluir que > C 0 = i (q) > 1 ( 1 + i i (q) i (q) > δ (q) Verifiquemos esto e el ejemplo que veimos trbjdo. Primero, ecotrmos l ts efectiv mesul de l ret geerd por el esquem de pgos, i.e., l ts i (12) que verific i (12) ) i (12) = 1000 Como y sbemos, es ecesrio usr métodos uméricos pr hllrl: i (12) = 0, > 0, = δ (12) Lo que os u ts ul i = 0, > 0, 2 = δ Filmete, los térmios de l ret tedrí que ser de $91,86 pr que l ts declrd el vlor ctul de l ret se $1.000, pues Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Los elemetos que compoe u préstmo iterés sobre sldos so: 1 C 0 : el importe del préstmo, llmdo pricipl o deud 2 : úmero de cuots e ls que se devolverá el préstmo más los itereses geerdos. 3 1, 2,..., : térmios mortiztivos, so lo pgos corddos que el presttrio reliz fi de ccelr el préstmo más los itereses. 4 t 0, t 1, t 2,... t : los plzos e los que el cpitl se trsfiere de u prte otr; t 0 es el mometo e el cul el prestmist le etreg l ctidd C 0 l presttrio y el resto correspode los térmios mortiztivos, e los que el presttrio devuelve el cpitl más itereses 5 i 1, i 2,..., i : ls tss de iterés que se plic e cd uo de los períodos (i k correspode l iterés cobrdo e el período k, que comiez e t k 1 y termi e t k ) E u préstmo típico, ddos: C 0, l sucesió de tiempos t 0, t 1,... t y l sucesió de itereses i 1, i 2,..., i, el problem es determir el moto de los pgos que deberá bor el presttrio Estos pgos debe geerr u flujo de fodos que se ficiermete equivlete l cdidd prestd C 0 C 0 = i 1 = j=1 2 (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) + + (1 + i 1 ) (1 + i 2 ) (1 + i ) j j k=1 (1 + i k) Cd térmio mortiztivo k tiee e pricipio dos compoetes: 1 cuot de iterés 2 cuot de cpitl (o de mortizció), (2) Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17

4 De l defiició de cuot de iterés se deduce I k = (sldo l pricipio del período terior) (iterés del período) Cuot de iterés = (sldo l mometo k 1) i k (4) k }{{} Térmio mortiztivo Es lo que efectivmete = Se ecrg de ccelr los itereses {}}{ I k + A k }{{} Cuot de cpitl Se ecrg ir cceldo (3) Por defiició de cuot de cpitl, pr ccelr el préstmo, debe ocurrir que C 0 = A 1 + A A (5) El moto deuddo e k es coocido como cpitl pediete C k, l ctidd de diero que se deud luego de pgr k. pg el presttrio el cpitl deuddo Como período período debe ccelrse los itereses geerdos, pr cd 1 k se cumple que C k := C 0 A 1 A 2 A k = A k+1 + A k A (6) Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 De ls ecucioes teriores puede deducirse l siguiete relció recursiv C k = C k 1 A k, k = 1,..., (7) Otr form pr clculr el cpitl pediete e k result de l siguiete observció: lo que se debe l mometo k debe ser igul lo que se debí e el período terior, k 1, cpitlizdo l período k, meos el pgo relizdo: C k = C k 1 (1 + i k ) k, k = 1,..., (8) Tmbié podemos clculr el cpitl pediete l mometo k ctulizdo todos los pgos resttes C k = j=k j j h=k (1 + i, k = 1,..., (9) h) Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17 Ahor podemos reescribir l ecució (4) pr l cuot de iterés e térmios del cpitl pediete l período terior I k = C k 1 i k (10) Est es l rzó por l cul decimos que estos sistems de préstmos cobr los itereses sobre sldos. Se llm totl mortizdo l período k l sum de ls cuots de mortizció pgds hst ese período M k = A 1 + A A k (11) Pr todo 0 k debe cumplirse l siguiete iguldd Aquí está impĺıcito que M 0 = 0. C 0 = C k + M k Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17

5 Si los itereses cobrdos l prestmist permece costtes i 1 = i 2 = = i = i el cálculo del moto de cd uo de los térmios mortiztivos se simplific, l supoer costte lgu de ls prtes de (3) k = I k + A k, k = 1,..., Esto d orige tres tipos de préstmos detro de los que cobr los itereses sobre sldos 1 Préstmo Frcés: térmios mortiztivos k costtes 2 Préstmo Alemá: cuots de cpitl A k costtes 3 Préstmo Americo: cuots de iterés I k costtes Luis Alclá (UNSL) PRÉSTAMOS Mt. Ficier / 17