+ 1, de la que no da solución. En su Aritmética, Diofanto de Alejandría (sobre 250 d.c.), plantea las ecuaciones

Transcripción

1 ECUACION PELL ORIGEN DE LA ECUACIÓN E su obr A Dictiory of Mthemtics Origilly, el profesor de l Uiversidd de Oford Chistopher Clphm, defie l Ecució Pell como u ecució diofátic de l form = y +, dode es u etero que o es cudrdo perfecto. Arquímedes (8-.C.) recoge e su obr Libro de los Lems el problem de los bueyes, dode plte l ecució = 49494y +, de l que o d solució. E su Aritmétic, Diofto de Alejdrí (sobre 0 d.c.), plte ls ecucioes = 6y + y = 0y + que, uque o d solució, bie podrí cosiderrse como de Pell. E el ño 68, el stróomo y mtemático hidú Brhmgupt (98-66), plte el primer método rzodo pr l solució de est ecució. Este método fue mejordo por otro stróomo y mtemático hidú, Bhskr (4-8), que qued recogido e su obr Lilvti. Fue Joseph-Louis Lgrge (6-8) el que, provechdo ls portcioes de Pierre de Fermt (60-66) y de Leohrd Euler (0-8), y co l yud de frccioes cotius, dio uo de los métodos que se plic e l ctulidd. Fue precismete Euler el que, por equivocció dio l ecució el ombre de Pell, tribuyedo su descubrimieto Joh Pell (60-68), mtemático igles que h psdo l histori de ls mtemátics, precismete por est equivocció. E 99, l ecució = y + psó ser represetd como Dy = ±, cudo Crl Friedrich Guss (-8) publicó su obr Disquisitioes Arithmetice, dode epoe l fctorizció úic e cuerpos complejos y, prtir del cojugdo, estblece l orm N que permite otr solució l ecució Pell, ( α ) = ( + b D)( b D) = Db = ± ( + y D) + ( y D) ( + y D) ( y D) = y = D dode D = b 4c es el discrimite o domiio de itegridd de los sistems cudráticos. HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN L solució est ecució o es fácil, pero tmpoco imposible. Requiere, eso sí, l utilizció de cierts herrmiets, como ls frccioes cotius o métodos de solució de u ecució modulr. Vmos epoerlos ví ejemplos. Supogmos que debemos resolver l ecució y =. APLICANDO MODULARES Despejmos e fució de : Escribimos l ecució como ª ( mód.) El coeficiete idepediete de est ecució es, y siempre es resto cudrático de culquier ecució, y que = 0, por tto l primer ríz es = + t. Es u solució prmétric. Guss os eseñ, que si u ecució cudrátic móic dmite u ríz, tmbié dmitirá como segud ríz su ivers. L ivers de u úmero, respecto l módulo, es su complemeto. E uestro cso, l ivers de respecto es 6, y que 6 + = etoces, l segud ríz es = 6 + t. Observr que l sum de los coeficietes idepedietes de ls ríces, e ls ecucioes móics, d el módulo, 6 + =.

2 Al trtrse de u ecució multivrible, si l primer tiee dos ríces, l segud tmbié. Por sustitució, despejmos y : + ( + t) ( + t) y = y = = 0 + t + t + (6 + t) (6 + t) y = y = = + t + t L solució l ecució es: = + t y = 0 + t + t ª ( mód.) = 6 + t y = + t + t Ahor se trt de que, ddo vlores t, busquemos u cudrdo e tl que, restdo l uidd y dividiedo por, obtegmos u cudrdo. O bie, busquemos u cudrdo que, multiplicdo por y sumádole l uidd, obtegmos u cudrdo perfecto. Observr, que si e = + t dmos vlor t, result 8 = 64 y 64 = 6 = 9 =, por tto l solució l ecució es 8 =. Ahor, observr otr cos, (8 + )(8 ) = es l orm. Aplicdo l solució de Guss, (8 + ) + (8 ) (8 + ) (8 ) = =8, y = = Hemos ddo l ecució epoete. Pr epoetes,,4, ls solucioes hbrí sido, =,.04,., e y = 48, 6, 9, Que produce los siguietes resultdos. 48 = ; 04 6 = ; 9 = Como verá, es u tipo de ecució que geer ifiits solucioes. APLICANDO FRACCIONES CONTINÚAS El stróomo y mtemático hidú Arybht (46-0), se cree fue el primero e utilizr ls frccioes cotius pr resolver sistems de ecucioes idetermidos. Así se desprede de su obr Arybhtiy, escrit e verso llá por el ño 0. Fue Joh Wllis (66-0), el más importte mtemático iglés terior Isc Newto (64-), el que, e 6, itrodujo y desrrolló el cocepto de frcció cotiu e su obr Arithmetic Ifiitorum. L relció de ls frccioes cotius co los cuerpos cudráticos se bs e que los desrrollos de los irrcioles cudráticos so periódicos. U úmero irrciol α es cudrático sí, y sólo sí, los coeficietes de su frcció cotiu se repite periódicmete prtir de u cierto térmio. Pr desrrollr el irrciol cudrático α vmos clculr los coeficietes l mismo tiempo que los restos α. Cocretmete es l prte eter de α y α = + α /( ). E l frcció plted, como l está compredid etre y, etoces = Pr α= = y =. Pr α = = + + Pr α = = y =. Pr α 4 = = Pr α α y + 4 = 4. y =. y 4=.

3 Por tto, obteemos =,,,, 4, dode l brr idic el periodo que se repite. Observr que e el pso α se repite l frcció de α, co lo que se termi u período y empiez otro. = +,,,, 4 = Ahor, clculremos los covergetes o reducids de l siguiete form: y 4 48 Dy Observr que los vlores de Dy form u sucesió que se repite l igul que el período de restos. Tmbié, que los úicos vlores que stisfce l ecució so los de ls colums 4 y 8. El primero correspode l orm del cuerpo cudrático, esto es (8 + )(8 ) =, el segudo correspode l epoete, (8 + ) + (8 ) (8 + ) (8 ) = =, y = = 48 dode 8 = (8 ) = 48 =. Vmos resolver l ecució y =. Como está compredido etre 4 y, etoces 0= 4. + α= = 4 +, = 4 α = =, = α = =, = α 4= = 4+, 4= α α, = Por tto, obteemos = 4,,,,8, dode l brr idic el periodo que se repite. = 4 + = 4,,,

4 y Dy A prtir de estos dtos, l orm es (4 + )(4 ) = y l solució l ecució propuest, (4 + ) + (4 ) (4 + ) (4 ) = =4, y = = Si hubiérmos resuelto medite ecucioes modulres, e y = despejmos, ª ( mód.) Sbemos que l uidd es ríz de u ecució cudrátic, por tto = + t L segud ríz será l ivers respecto l módulo, esto es = + t Por sustitució despejmos y, luego + ( + t) ( + t) y = y = = 0 + t + t + ( + t) ( + t) y = y = = + 44t + t Observr, que pr t =, = + = 4 que es el vlor de l orm, (4 + )(4 ) =, el vlor de y, APLICANDO CUADRADOS y = + = =, o tmbié 4 = = =. Si se tiee cuet que l ecució Pell tiee como solució l difereci de u cudrdo y el producto de otro cudrdo co u etero, que o se u cudrdo, est solució puede ecotrrse directmete utilizdo cudrdos perfectos. Supogmos que buscmos u cudrdo de l form 4k + = s, prtir l cul podemos hllr ls siguietes solucioes, 4 + = 9 - = = 6 = 4 + = 49 = = = = 0 = = 69 4 = = 6 = 4 + = 89 = = = = 44 0 = Pr úmeros de l form 4k + = s hllmos, etre otros 4 + = = = 99 0 = Es importte observr l progresió que se produce pr los vlores de k, que poe de mifiesto l estructur de los úmeros etre los de l form 4k + y 4k +. Si teemos e cuet que = ds es u solució de l ecució Pell, dode d, s, Z, prtir de u cudrdo podemos ecotrr lgus de ls muchs solucioes e el cudro siguiete:

5 = = = = 8 = = 4 = = 4 = = 4 = 6 6 = 6 = = 6 = = 48 = = 8 = 6 = 8 = 9 = 80 = = 0 = 99 = 0 = Así, sucesivmete, se puede geerr u solució prtir de ifiidd de cudrdos. E l reseñ sobre el orige de l Ecució Pell, hemos otdo ls ecucioes = 6y + y = 0y +, tribuids mbs Diofto de Alejdrí, pero que o d solució. Bie, osotros lo vmos itetr, pero igordo ls frccioes cotius y los cuerpos cudráticos, descoocidos e l époc e l que vivió Diofto, siglo III de uestr Er. Pr l ecució = 6y + : Por tteo co, buscmos 6 + = s. Pr =,,,4,,6,,8,9,0, ecotrmos que el 0 stisfce l ecució. Efectivmete, = 60 = =, por tto = 6y + = 6 0 = dode l orm es (+ 0 6)( 0 6) =. Pr l ecució = 0y + : Por tteo co, buscmos = 0 s. Pr =,,, 4,,6,,8,9,0,, ecotrmos que el stisfce l ecució. Efectivmete, = 0 = = 0, por tto = 0y + = 0 = dode l orm es ( + 0)( 0) =. APLICANDO CUERPOS CUADRÁTICOS Si α = + b D es u etero perteeciete l cuerpo cudrático Z D y N( α ) = + b D)( b D) = Db = ±, siedo N( b, ) l orm del cojugdo b D, u solució pr l ecució Pell serí + y D)( y D) = Dy =, dode el vlor de D puede ser clculdo medite frccioes cotius. Si α, β es u solució de l ecució Dy =, tmbié α Dβ = y ( α Dβ ) = será solucioes pr culquier vlor de co s, etoces Dy = ( α Dβ ) ( + y D)( y D) = ( α + β D) ( α β D) De dode + y D = ( α + β D) y y D = ( α β D) Resolviedo el sistem = ( α + β D) + ( α β D), y = ( α β D) ( α β D) + ( D) que es l solució plted por Guss. Por ejemplo, vmos resolver l ecució y =. Sbemos que α 0 = D =, ríz que está compredid etre y 6. A cotiució clculmos los cocietes icompletos que se geer:

6 6 + + α, α α0 0 6 α α, α4 α + α α, α6 α4 4 + α α, α8 α α α9 = α. α Pltemos su desrrollo = + =,,,,,,,, Filmete clculmos ls reducids o covergetes y Dy Como podemos comprobr, (0 )(0 ) = es l uidd fudmetl de orm, y l solució l ecució 0 =. Teiedo e cuet que los vlores de ls vribles viee determidos por ( + y D) + ( y D) ( + y D) ( y D) =, y = D Pr =, y, teemos (0 + ) + (0 ) = =.0, , , (0 + ) (0 ) y = =, 89.90,..96.,

7 Ddo que cbmos de etrr e el ño 00, vmos resolver 00y =. L solució es =. Dejmos e sus mos plicr los mecismos ecesrios pr ecotrrl. E el cudro siguiete se recoge, pr úmeros primos meores 0, ls uiddes fudmetles pr l orm, sí como los cocietes icompletos de los cuerpos cudráticos K = Q D.,{} ,{,,,,,,,,,},{,} ,{,,,} 9 4,{4} ,{,,,,4} 8,{,,,4} ,{,,,,,4} 0,{,6} ,{,4,,,,,,,4,,4} ,{,,,,6} ,{,,,,,,,,,6} 8 4,{8} ,{,,,,,,,6} ,{,,,,,8} ,{,.,,,,6} 4 4,{,,,8} ,{,,,6} ,{,,,,0} ,{9,8} 0,{,,,,,,,0} ,{,,,,8} 6,{} ,{,,,,,,,,,,8} ,{,,} ,{0} D y, {,, } o D y, {,, } o El domiio de l solució de l Ecució Pell os cpcit pr dr el slto desde l teorí de los úmeros l teorí lític de los úmeros, discipli que se estudi ivel muy lto detro de ls mtemátics. A prtir de ls fucioes hiperbólics, ls forms cudrátics biris, que podemos escribir como A + By + Cy = m, tiee como solució By ± y ( B 4 AC) + 4 Am B ± ( B 4 AC) + 4Cm =, y = A C Ejemplo: Resolver + y + y =. L solució de u form cudrátic, requiere los siguietes psos: Clculr el discrimite: B 4AC = 4 = Clculr l estructur del úmero lgebrico: Z D = Clculr l orm: N( α, β ) = ( α + β D)( α β D) = ( + 8 )( 8 ) = ( + 8 ) ( 8 ) [( + ) ( )] / = = ± 6 = Clculr l otr vrible: + B + C = 0 = = 0 = = = Por lo que, u de ls muchs solucioes, es + 6( ) + 6 =, que podemos rtificr medite, Clculr u vrible: α β D α β D ( D ) ( 4 ) + 4 ( ) + ( 4 ) + 4 = =, y = = 6 Como podemos comprobr, el vlor de lo podemos obteer medite frccioes cotius o, cosultdo l tbl terior. Si, pesr de todo, ú o tiee clro cómo resolver u ecució Pell, les recomiedo cosultr l pági web de D. Atoio Roldá Mrtíez, dode, e l hoj ecució Pell, sólo tiee que itroducir u úmero y obtiee l solució.