Base teórica sobre serie de potencias

Transcripción

1 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Bse teóric sobre serie de potecis Recordemos que u sucesió S coverge u úmero p o que es covergete co el limite p, si pr cd úmero positivo ddo Є, se puede ecotrr u umero N tl que S - p < Є pr todo >N Geométricmete hbldo, l expresió terior sigific que S se ecuetr etre (S Є) y (S Є) cudo >N. Se debe teer e cuet que N depede del vlor que se elij pr Є. Ahor pr el cso que trtmos p=s R. Por lo tto, S - p = R luego l covergeci e x=x 0 sigific que podemos hcer R (x 0 ) t pequeño como quermos. Podemos resumir que u sucesió coverge e u puto x= si se cumple que x - < R y diverge si x - > R, dode R se llm rdio de covergeci. El rdio de covergeci puede determirse prtir de los coeficietes de l serie, por medio de ls siguietes formuls: 1 1 C A) lim c ) lim B R R c Siempre y cudo exist los limites. Ejemplo 1) Pr el cso de l serie 1 1 ( m1) m1 1 lim lim lim 1 R m ( m)( ) m 1 m 1, el rdio de covergeci es: 1/R= 1 ddo que C=1 ) Si teemos l serie, el rdio de covergeci será: m ( m1) m1 1 lim lim lim 1 R m ( m)( ) m 1

2 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Luego el rdio de covergeci es R=, etoces el itervlo de covergeci X <, luego se tiee que [- x ]. Solucioes medite series de potecis 1 Se h visto e tems teriores cómo resolver lgus ecucioes lieles de º orde: ls de coeficietes costtes y lgus de coeficietes vribles, como ls de Euler o quells de ls que se cooce u solució prticulr de l correspodiete homogée. Pero, e geerl, o se h visto cómo resolver ls ecucioes lieles co coeficietes vribles, lgus de ls cules prece ligds importtes problems de l Físic, como ls ecucioes de Legedre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que so de coeficietes poliómicos. Además, ls ecucioes hst hor vists, geerlmete tiee solucioes expresbles e térmios de u º fiito de fucioes elemetles (poliomios, expoeciles, trigoométrics, etc., o iverss de ésts). Otrs veces, u sbiedo resolver l ecució, hbí que expresr l solució por medio de u itegrl. Pero e geerl, ls solucioes o puede expresrse t fácilmete. Es ecesrio por tto, buscr otros modos de expresr ls solucioes de ecucioes lieles de º orde, que propicie su vez uevos métodos de resolució de ls misms. E este tem se estudirá u método de resolució bsdo e l represetció de solucioes medite series de potecis. Y e los dos siguietes, medite series de Frobeius. 1. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO Se v cosiderr el cso de l ecució diferecil liel homogée de º orde: 1 Tomdo de l pgi web: www1.ceit.es/asigturs/ecdif1/aputesed/edtem11.doc

3 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd P( x )y Q( x )y R( x )y 0 1 ó e form cóic : y p( x )y q( x )y 0 1 Defiicioes. Q( x) U puto x 0 se llm puto ordirio de 1 o 1 si ls fucioes p( x) y P( x) R( x) q( x) so lítics e x 0 (es decir, si p(x) y q(x) tiee desrrollos e serie de P( x) Tylor e toro x 0 co rdios respectivos de covergeci R 1 y R o ulos) Si P(x), Q(x), R(x) so poliomios, etoces x 0 es puto ordirio de 1 si y sólo si P(x 0 ) 0 (siedo 1 o simplificble). Si x 0 o es puto ordirio, se llm puto sigulr de l ecució 1 ó 1. Segú el estudio de ls ecucioes difereciles lieles homogées, l simple cotiuidd de p(x) y q(x) e u etoro I de u x 0, es suficiete pr grtizr l existeci de dos solucioes lielmete idepedietes de l ecució 1 e dicho etoro, sí como pr grtizr l existeci y uicidd de solució del problem de vlor iicil defiido por 1 y ls codicioes: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = b 0 co x 0 I Pero si demás es x 0 u puto ordirio de 1 ó 1, ls p(x) y q(x) o sólo so cotius e I, sio lítics. Y cbe pregutrse etoces si ls solucioes de tl ecució heredrá dich propiedd. Por tto, si x 0 es u puto ordirio de 1, surge ls preguts siguietes:

4 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Existe solucioes lítics de 1 e u etoro de x 0, es decir, solucioes de l form : y ( x x ) ( x x )... ( x x )... E cso firmtivo: Cómo se obtiee los coeficietes? Dóde coverge l serie? Es importte poder respoder ests preguts, pues serí bsurdo itetr buscr solucioes de l form, si o existe. Si existe e I, puede demás derivrse térmio térmio e I. Ls respuests ests preguts ls d el siguiete teorem, que será eucido, pero o demostrdo. Teorem: Si x 0 es u puto ordirio de 1 (ó 1 ) etoces l solució geerl de 1 e u cierto etoro de x 0 puede escribirse e l form y su vez: y ( x x0 ) 0 y1( x ) 1 y( x ) 0 Siedo 0, 1 ctes rbitrris e y 1 (x), y (x) lítics e u etoro I de x 0, y lielmete idepedietes e I. 4

5 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd El rdio de covergeci de ls series y 1 (x) e y (x) es l meos t grde como el míimo de los rdios de covergeci de los desrrollos e serie de p(x) y q(x) e toro x 0 (es decir, l meos igul l distci de x 0 l puto sigulr más próximo de l ecució 1, se dicho puto rel o complejo) Los coeficietes de l serie se obtiee e térmios de 0 y 1, sustituyedo l serie geéric y ( x x0 ) e 1, (sí como los desrrollos de p(x) y q(x) si 0 P(x), Q(x), R(x) o so poliomios) y procediedo por coeficietes idetermidos. Observcioes: ) L serie solució puede coverger co rdio myor que el idicdo e el teorem. b) Si el puto ordirio es x 0 0, puede simplificrse ls otcioes trslddo x 0 l orige, medite el cmbio x - x 0 = t. c) Segú el teorem de existeci y uicidd, cd solució está determid de mer úic por los vlores y(x 0 ) e y (x 0 ), es decir por 0 y 1. Por eso, todos los coeficietes se obtiee e térmios de 0 y 1. d) El método pr resolver u ecució complet : y p( x) y q( x) y h( x), siedo x 0 puto ordirio y h(x) lític e x 0, es álogo. E este cso, tmbié hy que desrrollr h(x) e serie de potecis e toro x 0, tes de proceder por coeficietes idetermidos. Tmbié podrí resolverse e primer lugr l ecució homogée y ctur luego por vrició de costtes, o por reducció de orde. e) Es clro que podrí usrse u método semejte pr ecucioes difereciles lieles, de primer orde. 5

6 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd. EJEMPLOS Ejemplo 1 Hllr l solució geerl de l ecució diferecil y xy y 0, determido dos solucioes lielmete idepedietes e serie de potecis de x. Cmpo de vlidez de ls misms. E prticulr obteer l solució tl que y (0) = 1 y (0) = 0. p( x) x Es. Ambs lítics e x 0 = 0, co rdios de covergeci de sus q( x) 1 R 1 respectivos desrrollos, es decir x 0 = 0 es puto ordirio.. R Luego, segú el teorem terior, existe solució de l ecució e serie de potecis de x, válid pr todo x R. Se y x 0. Por tto : y 1 x 1, y ( 1) x E l ecució diferecil: ( 1) x - x 1 - x 0 0 e Térmio idepediete: Coeficiete de x:

7 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Coeficiete de x : Ley de recurreci : Luego 0 y 1 so libres y 1 0 ( )!! 1 ( 1)!! Por tto : x x x x x x y( x) x......!! 4!! ( )!!!! 5!! ( 1 )!! y ( x) y ( x) x Solució prticulr: y( 0) 1 y( 0) Luego x y( x) ( )!! 0 x x y( x)!! 0 0 y(x) e x Ejemplo 7

8 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Hllr, por el método de series de potecis e toro x 0 = 0, l solució geerl de l ecució diferecil: (1 x )y xy y 0 Es x p( x) 1 x q( x) 1 x Ambs lítics e x 0 = 0 co R 1 = R = 1 Luego existe solució lític e x 0 = 0, válid l meos pr x 1. Sustituyedo y x 0 e l ecució diferecil: ( 1) x + ( 1) x + x 1 - x 0 0 Térmio idepediete: Coeficiete de x: Coeficiete de x : Luego 0 y 1 libres, = 0, = 0, 8

9 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd ( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)( ) 1 Como = 0 5 = 7 =... = +1 =... = 0 = ( ) ( 1) 1 0 Por tto : y = x x x 1 1 ( ) x... 1x x 1 E este cso puede sumrse l serie : y = x x x x 5 x x y 1 x rctg x 0 1 x Not E los dos primeros ejemplos, l relció de recurreci h cosistido úicmete e dos térmios y demás podí deducirse fácilmete de ell, l form geerl de. Pero, puede precer relcioes co dos o más térmios (Co e el Ejemplo ), que se más complicds, tles que o pued determirse l form geerl de los coeficietes. Etoces sólo podrá obteerse lguos térmios. Ejemplo 9

10 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Hllr por el método de series de potecis e toro x 0 = 1 los térmios hst l poteci de grdo 4, correspodietes l solució geerl de l ecució diferecil: y xy y 0 Se efectú el cmbio de vrible: x - 1 = t ó x = t + 1. Etoces d y d y d t y y, y y y ( t 1) y y 0, t 0 = 0 d x d t d x t p( t) 1 1 q( t) Ambs lítics e t = 0 co R 1 = R = Luego existe solució lític e t = 0, válid pr todo t. Sustituyedo y 0 t e l ecució diferecil: ( 1) t + t 1 + t t 0 0 Térmio idepediete: Coeficiete de t: Coeficiete de t : 1 ( 1)

11 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( ) Luego: ; (x 1) y(x) (x 1) 1 (x 1) 4 (x 1) 4 5 (x 19 (x 1) 8 4 1)... 9 (x )... x Ejemplo 4 Hllr, por el método de series, l solució del problem de vlor iicil: y xy + 8y = 0 ; y(0) =, y (0) = 0. So p(x) = -x y q(x) = 8, mbs lítics e x o = 0, co R 1 = R = Por tto, existe solució y = y(x), lític e x o = 0, válid pr todo x. 11

12 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Sustituyedo y x 0 e l ecució diferecil: ( 1) x - x x 0 0 Térmio idepediete : Coeficiete de x : Coeficiete de x : Luego : ( 4 ) ( 6 ). De dode: ( 1)( ) ( 1) Se pide l solució tl que: y(0) = e y (0) = 0, es decir, tl que o = y 1 = Luego: Por tto: y = 1 x + 4 x 4 Ejemplo 5: Ecució y poliomios de Legedre (175-18) L ecució de Legedre de prámetro m 0 es: 1

13 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd (1 x )y xy m(m 1)y 0 Se trt de hllr solucioes e serie de potecis de x, es decir e toro x 0 = 0. x p(x) Es 1 x Ambs lítics e x 0 = 0 co rdio de covergeci de los m(m 1) q(x) 1 x respectivos desrrollos: R 1 = R = 1 Luego x 0 = 0 es puto ordirio, existiedo solució e serie de potecis de x, válid, l meos pr x 1. Se 0 y x. Sustituyedo e l ecució : ( 1) x - ( 1) x - 1 x + 0 m(m 1) x 0 Hbrá de ser ulos los coeficietes de tods ls potecis de x. m(m 1) x 0 : 1 m(m 1) 0 m(m 1) (m 1)(m ) ! x 1 : m(m 1) x : 1 1 m(m 1) 0 1

14 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd (m )(m 1) (m )(m 1) ( )( 1) ( 1) Luego: m(m 1) (m )m(m 1)(m ) 4 y 01 x x...! 4! (m 1)(m ) (m )(m 1)(m )(m 4) 1x x x! 5! 5... x 1 Es decir : y (x) y (x) y Si m = 0, 1,,... u de ls dos series es u poliomio de grdo m. Dichos poliomios p (x) so respectivmete : p 0 = 1 p 1 (x) = x p (x) = 1 - x p (x) = x - 5 x... Se llm poliomio de Legedre de orde m y se desig co P m (x), l solució poliómic de l ecució de Legedre de prámetro m (o se, el múltiplo de p (x), tl que P m (1) = 1. Será: P 0 (x) = 1... P 1 (x) = x 1 5 P (x) x P (x) x x Algus propieddes: (Si demostrcioes) Los poliomios de Legedre puede drse medite l fórmul de Rodríguez : 14

15 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd 1 d ( x ) ( x 1 ) P ( )!! d x O medite u fució geerdor, debid Legedre : 1 xt t 1 P ( x ) P ( x )t P ( x )t Tmbié medite fórmuls de recurreci: 1 P 1( x ) xp ( x ) P 1( x ) 1 1 P 1 P 1 ( 1 ) P Cumple l relció de ortogolidd : m Pm ( x )P ( x )d x 4 m 1 L ecució de Legedre prece e vrios problems de l Físic dotdos de simetrí esféric. Ejemplo 6: Ecució y poliomios de Hermite ( ) L ecució de Hermite es: y x y y

16 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Aprece est ecució, por ejemplo e l mecáic cuátic, prtir de l ecució de Schrödiger pr u oscildor rmóico. Se trt hor de obteer su solució por el método de series, e toro x 0 = 0. El x 0 = 0 es u puto ordirio de l ecució 5, pues p(x) = -x y q(x) = so lítics e x = 0. Además los rdios de covergeci de los respectivos desrrollos, so mbos ifiitos. Luego existe solució de 5, de l form rel. y x 0, válid pr todo x Sustituyedo e l 5 : ( 1)x x x 0 x Luego: Coeficiete de 1 : Coeficiete de x - : (-1) -(-) - + = 0 Relció de recurreci: ( ) ( 1 ) Luego: 16

17 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd y( x ) ( ) 4 ( )( 4 ) x x x...! 4! 6! ( 1 ) ( 1 )( ) 5 ( 1 )( )( 5 ) 7 1x x x x...! 5! 7! x Pr = 0, 1,,... u de ls dos series es u poliomio. Dichos poliomios h (x), pr = = 0, 1,,... so respectivmete: h0 ( x ) 1, h1( x ) x, h ( x )= 1- x, h ( x )= x - x,... Se llm poliomio de Hermite de grdo, y se desig H (x), l solució poliómic de l ecució de Hermite de prámetro = ( o se el múltiplo de h (x)), cuyo coeficiete de x es. Será por tto: H0( x ) 1, H1( x ) x, H( x )= 4x -, H( x )= 8x - 1x,... Algus propieddes: (si demostrció) Los poliomios de Hermite puede drse medite l fórmul de Rodrigues : H ( x ) ( 1 ) e x d d x e x Tmbié por medio de l fució geerdor : 17

18 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd e txt H( x ) t! 0 O medite ls fórmuls de recurreci : H1( x ) x H( x ) H1( x ) ' H ( x ) H1( x ) Cumple l relció de ortogolidd: e x H m ( x )H 0 ( x )d x m! m 18

19 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Solució de ecucioes difereciles medite Series de Tylor 19

20 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Ejemplos de Series de Potecis L form de resolver ls ecucioes difereciles plicdo el método de ls series de potecis es el siguiete: Primero se tiee que u serie de potecis es u serie ifiit (e poteci de x- ) de l form: dode c 0, c 1, so costtes, llmds coeficietes de l serie, l es u costte, llmd cetro y x es u vrible. Si e prticulr =0, se obtiee u serie de potecis de x Ls series de potecis muy fmilires so: L series de Mcluri: Pr resolver u ecució diferecil por medio de series de poteci, primero se represet ls fucioes dds e l ecució por medios de series de potecis de x (o e potecis de x-). 0

21 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Por lo tto debemos sber cómo derivr u serie: Supog que teemos l serie Etoces l primer derivd es: L segud derivd es: Y sí sucesivmete. Ejemplo Resolver l ecució diferecil y y = 0 Sustituimos l primer derivd y y l fució y, se tiee: Se grup ls potecis igules de x y se ecuetr: Iguldo cero los coeficietes de cd poteci de x, se tiee Resolviedo ests ecucioes, se puede expresr c 1, c, e térmios de c 0, etoces:,, ; 1

22 Código del Curso- Ecucioes Difereciles Act 1: Lecció Evlutiv Uidd Co estos vlores l ecució, se trsform e: Si despejmos c 0 y teemos como solució: Bibliogrfi Edwrds J, P. D. (1986). Ecucioes Difereciles elemetles co pliccioes. Mexico: Clypso S.A. SHEPLEY, R. (1979). Ecucioes Difereciles. Brcelo: Reverté S.A. Simmos, G. F. (199). ECUACIONES DIFERENCIALES, Co pliccioes y ots historics. Mexico: McGrwHill. ZILL, D. G. (1997). Ecucioes Difereciles co Apliccioes de Modeldo. Mexico: Thomso Editores.