FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

Transcripción

1 FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes y dicioes. or lo tto, culquier otr ució que pued proimrse por poliomios cilit su estudio, etre ells ls ucioes logrítmics, epoeciles y trigoométrics, ls cules o puede evlurse t ácilmete. Veremos que muchs ucioes puede proimrse medite poliomios y que ésts, e lugr de l ució origil, puede emplerse pr relir cálculos cudo l diereci etre el vlor rel de l ució y l proimció poliómic es suicietemete pequeñ. Vrios métodos puede emplerse pr proimr u ució dd medite poliomios. Uo de los ms mplimete utilidos hce uso de l ormul de Tylor, llmd sí e hoor del mtemático igles Brook Tylor. Brook Tylor Nce e Edmoto, Iglterr e 685. Fue discípulo de Newto. Cotiuó su or e el cmpo del álisis mtemático. Su Methodus Icremetorum Directo et Ivers, l pulic e Lodres e 75, dode descrie su órmul, uque si demostrrlo, cos que hio Mc-Luri. uque est órmul er y coocid por Gregory y Leii, pero o l hí pulicdo. Allí emió los cmios de vrile, ls dierecis iits ls cules deiió como icremetos, y presetó el desrrollo e serie de u ució de u vrile. Tles estudios o se hiciero moso eseguid, sio que permeciero descoocidos hst 77, cudo el mtemático rcés Joseph Louis de Lgrge, suryó l importci pr el desrrollo del cálculo dierecil. ulicó tmié vrios trjos sore perspectiv, ddo el primer trtmieto geerl de los putos de ug; sore los eómeos de cpilridd, sore prolems de cuerds virtes y sore cetros de oscilció, los que y e 708 hí ddo u solució. Fllece e Lodres e 73.. Ojetivos Uo de los ojetivos primordiles es preder como ucio ls proimcioes poliómics, y que es de gr importci pr poder sí clculr ls ucioes logrítmics, epoeciles y trigoométrics. Tmié sí, drle u visió más mpli l estudite sore este tem, llevdo u leguje o t eteso y más cetrdo e lo práctico y lo ecesrio pr poder relirse este tipo de cálculos mtemáticos, que e el cálculo dierecil e itegrl, ecotrmos iiidd de tems que veces o os llm l teció de prcticr. E ls proimcioes poliómics veremos lo secillo que result. 3. Aproimció de ucioes por poliomios Nos vmos ocupr quí de l proimció locl dd, medite ucioes poliómics, que se uscrá. Hemos llmdo locl est proimció por que se reli pr vlores de próimos u puto ijo ; ls proimcioes v ser tto mejores cuto más se cerque l vlor. r proimr, se recurre ls ucioes poliómics, porque como y hemos eplicdo, ésts ucioes so relmete más secills y más decuds pr los cálculos uméricos. r ir gdo precisió hy que tomr ucioes poliómics que se, cd ve, de myor grdo. Ls mejores proimcioes se otiee, si es suicietemete regulr, l tomr pr ucioes poliómics que tiee e ls misms derivds primer, segud, etc,... que ; Éstos, so los llmdos poliomios de Tylor e de. r medir l odd de ests proimcioes se ecesit coocer lgú tipo de cotció del error ; por ello, otedremos u epresió de est diereci, R, que se llm resto o térmio complemetrio.

2 4. Aproimció locl de u ució Se, u ució y u ució poliómic, dode:.. so derivles e y se veriic: ; ; ;.... Etoces es u proimció locl de e. Teemos que - 0 cudo Si comprmos - co -; co - ; co - 3 ;...; co - ; se dice que e u proimció de de primer orde, de segudo orde,..., de orde, pr si se veriic, respectivmete que: 0; 0; 0; Resumiedo: Dd u ució, se dice que otr ució es u proimció locl de orde de cerc de u puto si se cumple: Demostrció Se h R tl que h lim lim 0 Oservemos: º.- ms ucioes dmite derivd de orde. º.- este límite está idetermido de l orm 0/0 A dicho límite le podemos plicr l regl de L Hopitl cso 0/0, sucesivmete, por lo meos hst el orde -.

3 5. oliomio de Tylor Se u ució veces derivle e ; u poliomio, co proimció locl de orde de cerc de. se llm OLINOMIO DE TAYLOR de grdo de siedo : Demostrció or Hip. Semos que: ; ; ;... Epresemos e orm de potecis de co coeicietes idetermidos: p 0 p p p 3 3 p 4 4.p Hllremos ls derivds sucesivs de :

4 p.p 3.p 3 4.p p.p.3.p p 4...p.3.p p p de dode result: Sustituyedo e teemos: L.q.q.d Recordemos que es próimo ; es decir: 0

5 Desigemos por R l diereci etre los vlores de l ució dd,, y del poliomio clculdo. R R. Desrrolldo, teemos que:... R El térmio R se cooce co el omre de TÉRMINO COMLEMENTARIO O RESTO. 6. Fórmul de Tylor Se ƒ u ució tl que ƒ y sus primers derivds so cotius e el itervlo cerrdo [, ]. Además, cosidere que ƒ eiste pr tod del itervlo ierto,. Etoces eiste u úmero e el itervlo ierto,. Tl que:.. L ecució tmié se cumple sí < ; e tl cso [, ] se reempl por [, ], y, se sustituye por,. Oserve que cudo 0, se covierte e: Dode est etre y. Ést es l coclusió del teorem del vlor medio. Si e se reempl por, se otiee l órmul de Tylor:.. Dode est etre y. L codició e l que se cumple es que ƒ y sus primers derivds se cotius e u itervlo cerrdo que coteg y, y l -esim derivd de ƒ eist e todos los putos del itervlo ierto correspodiete. L ormul puede escriirse como: R 3 Dode

6 ... 4 Y R 5 Dode est etre y El cso especil de l órmul de Tylor que se otiee l cosiderr 0 e es Dode est etre 0 y. Ést órmul recie el omre de órmul de Mc Luri, e hoor l mtemático escocés Coli Mc Luri