Derivación e integración numéricas

Transcripción

1 Derivció e itegrció umérics Oteció de fórmuls de tipo iterpoltorio Pr oteer fórmuls de derivció o itegrció umérics prtir de l iterpolció poliómic ecesitmos clculr, e primer lugr, el poliomio de iterpolció y después l derivd correspodiete e u puto o l itegrl e u D. E lo que respect l derivció uméric, cosiderremos distitos órdees de derivció. Los dtos de iterpolció pr ls fórmuls de derivció uméric será lgrgios y pr l itegrció uméric será lgrgios y de tipo Hermite. El poliomio iterpoldor se otiee, e todos los csos, co l orde IterpoltigPolyomil. ü Oteció de fórmuls de derivció uméric E l derivció uméric, los odos de l fórmul, es decir los putos de iterpolció de l fució f, será el puto y putos su derech e izquierd, de l form - h, + h, + 2 h, etc. L primer fórmul que vmos oteer es l que utiliz los odos y + h pr l derivd primer. Cler@, h, f, x, dtosd dtos = 88, f@d<, 8 + h, f@ + hd<<; Simplify@ x pol ê. x D Oserve cómo se h expresdo l derivd del poliomio respecto de su vrile. A cotiució vmos usr los odos - h, y + h pr l derivd primer. dtos = 88 h, f@ hd<, 8, f@d<, 8 + h, f@ + hd<<; Simplify@ x pol ê. x D Es u fórmul co sólo dos odos (el coeficiete de f HL vle cero). Por último, pr l derivd primer, vmos oteer u fórmul (que o se suele usr) que utiliz los odos, + h y + 3 h. dtos = 88, f@d<, 8 + h, f@ + hd<, h, f@ + 3 hd<<; Simplify@ x pol ê. x D Ahor vmos oteer u fórmul pr l derivd segud, cocretmete l que us cico odos simétricos, - 2 h, - h,, + h y + 2 h dtos = Tle@8 + ih,f@ + ihd<, 8i, 2, 2<D; Simplify@D@pol, 8x, 2<D ê. x D De igul form se otedrí culquier otr fórmul. A cotiució vmos lizr el orde de precisió de l últim fórmul oteid. Teemos que ver hst qué poteci del tipo x i es exct. De temo, pr i = 0,, 2, 3 y 4 está

2 34 grtizd l exctitud por ser l fórmul de tipo iterpoltorio. Al pror co i = 5 oservmos que l fórmul d como resultdo 20 3, es decir el vlor excto de l derivd. Pr i = 6 el vlor proporciodo es h 4, diferete de Luego el orde de precisió es 5. f@x_d := x 5 30 f@d + f@ 2hD 6 f@ hd 6 f@ + hd + f@ + 2hD SimplifyA E 2 h 2 f@x_d := x 6 30 f@d + f@ 2hD 6 f@ hd 6 f@ + hd + f@ + 2hD SimplifyA E 2 h 2 ü Comportmieto del error e ls fórmuls de derivció uméric Como es coocido, uque se muy simple, tod fórmul de derivció uméric que se otuvo e el desrrollo teórico es covergete. Los errores tiede cero cudo h tiede cero. Si emrgo, e l computció prece otros errores que puede descosejr el uso de vlores muy pequeños de h si se quiere u ue proximció. Es lo que ocurre co el eror de ccelció e ls fórmuls de derivció uméric. Veámoslo. Vmos dr el vlor de ls f H+hL f HL derivds umérics de u fució f e el puto = 2, co l fórmul h pr vlores de h de l form h = 0 - j co j.veremos que lleg u mometo e el que l derivd uméric dej de coverger, co us oscilcioes o cotrolles, pr después psr vler cero, porque el umerdor vle cero. Esto último ocurre cudo h es t pequeño que pr el ordedor + h = h. f@z_d := z z 2 = 20; = 2.; derivdsumerics = TleA f@ + 0 j D f@d, 8j, <E 0 j El vlor excto de l derivd de f e 2 es f'@2.d errores = f'@d derivdsumerics Los redodeos ( seis cifrs) de l derivd uméric pr j = 6, 7, 8 coicide co el vlor excto. Al pricipio, medid que h dismiuye el error dismiuye, después empiez u comportmieto extrño dode los errores puede ser muy grdes y filmete l proximció que d es cero. Puede cmir el vlor de y comprorlo pr otros vlores y otrs fucioes. Por ejemplo el comportmieto del error e =- se muestr cotiució: =.; derivdsumerics = TleA f@ + 0 j D f@d, 8j, <E 0 j errores = f'@d derivdsumerics El error míimo e vlor soluto se lcz cudo j = 8; después empiez umetr hst j = 6. A prtir de j = 7, el error se hce costte porque l derivd uméric es cero. Cmimos hor u fórmul de myor precisió y volvemos clculr ls derivds umérics y los errores. derivds2 = TleA 2 f'@d derivds2 f@ + 0 j D f@ 0 j D, 8j, <E 0 j

3 35 El comportmieto es similr l de l primer fórmul, sólo que el error de trucmieto es meor. Se cosigue más cifrs excts, oce, si que h teg que dismiuir tto como tes. Ahor co j = 5 se h coseguido oce cifrs. Ates el error míimo se lczó co j = 8 y fuero ocho cifrs. Nuevmete, si h es muy pequeño vuelve precer errores importtes, y filmete d cero. ü Itegrció uméric Vmos oteer ls fórmuls del Trpecio y de Simpso. Cler@,, fd pol = Simplify@IterpoltigPolyomil@88, f@d<, 8, f@d<<, xdd; dtos = 98, f@d<, 9 + 2,fA + E=, 8, f@d<=; 2 U método ltertivo, pero equivlete, cosiste e impoer exctitud. Veámoslo pr l fórmul de Simpso. B = TleA x i x, 8i, 0, 2<E; A = TleA9 i, i k j + y z, i =, 8i, 0, 2<E; 2 { sol = Simplify@LierSolve@A, BDD SimplifyAsol.9f@D, fa + 2 E,f@D=E i Por último, vmos oteer l fórmul del trpecio corregid, es decir, l que us como dtos el vlor de l fució y el de l derivd e cd extremo. dtos = 88, 8f@D, f'@d<<, 8, 8f@D, f'@d<<<; ü Ejemplos de uso de fórmuls compuests ü Fórmul del rectágulo compuest. Vmos plicr vris fórmuls l itegrció 2D de l fució Hx 3 x + 2L x. Su vlor excto, e este cso, se puede oteer co l orde Itegrte[fució, {vrile, límite iferior, límite superior}]. E prox gurdmos l proximció oteid co l fórmul del rectágulo derech, e prox2 gurdmos el resultdo del trpecio y e prox3 el de Simpso. E todos los csos el úmero de suitervlos es el mismo, = 200. Itegrte@Hx 3 x + 2L x, 8x, 0, 2<D N@%D

4 36 := Hx 3 x + 2L x = 0.; = 2.; = 200; h = ; od = Tle@ + ih,8i, 0, <D; prox = h f@odpi + TD i= error = prox ü Fórmuls compuests sds e ls del trpecio y Simpso prox2 = h i j k 2 f@odptd + f@odpitd + 2 f@odp + TDy z i=2 { error2 = prox2 prox3 = 6 h i j f@odptd + 2 k i=2 error3 = prox3 f@odpitd + 4 i= faodpit + h 2 E + f@odp + TDy z { Oservmos l gr precisió de l fórmul de Simpso, que es u de ls más usds e l práctic. Mthemtic y l itegrció uméric. Mthemtic tiee u orde de itegrció uméric, es NItegrte, que os d l respuest co 6 dígitos, pero podemos recuperr hst l precisió iter estádr (us 5 cifrs) si lo pedimos trvés de WorkigPrecisio. NItegrte@Hx 3 x + 2L x, 8x, 0, 2<, WorkigPrecisio 20D No dee cofudir NItegrte co Itegrte. L primer llev progrmd u itegrció uméric y puede plicrl culquier fució defiid y cotd e u D; si emrgo, l segud requiere que l fució teg u primitiv, l que plic l regl de Brrow. Itete itegrr e el 2D l fució x x usdo ms órdees. Ejercicios.- Oteg medite iterpolció e el espcio 2 u fórmul pr proximr f '' HL del tipo comició de f H - hl, f HL y f H + hl. 2.- Co l fórmul oteid e el ejercicio, hlle u tl de proximcioes y errores de f '' H2.5L, siedo f HxL = x x, pr h = 0 -i, i =,..., Se f 2 HxL = x2 +40 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x+ è!!!!!!. Clcule u tl que recoj ls derivds de f 2 e x i =, 2,..., 0, utilizdo l primer 5 x +7 fórmul de derivció uméric oteid l iicio de l práctic, co h = 0-3, y muestre l mismo tiempo el error

5 37 cometido e cd puto. Repit el ejercicio co l segud fórmul oteid pr l derivd primer y, filmete, pr l oteid e el ejercicio (co respecto l segud derivd). 4.- Divid el 2D e 00 prtes igules y plique ls fórmuls del rectágulo, Simpso y trpecio compuests pr proximr l itegrl e dicho itervlo de f. Compre los resultdos oteidos co los que se clcul medite el comdo NItegrte. 5.- Repit el ejercico 4 pr f Se f 3 HxL = x 5 e x 2D. Vmos dividir el itervlo e 0 µ 2 suitervlos, es decir, 0, 20, 40, 80,...y plicr l fórmul de Simpso compuest hst que l difereci etre dos proximcioes cosecutivs (por ejemplo, podrí ser co 20 y 40 suitervlos) se meor que 0-2, ddo e tl cso por ue l últim proximció oteid. Progrme y clcule dich proximció. Compre el resultdo co el oteido medite el comdo NItegrte y compre ms proximcioes co el vlor excto.