PRACTICA 7 Integración Numérica

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Belén Zúñiga Campos
hace 7 años
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1 PRACTICA 7 Integrción Numéric Fórmuls de tipo interpoltorio ) Tommos n+ puntos distintos, x i, i = 0,,..., n, del intervlo [,] ) Clculmos el polinomio de interpolción de l función f en los puntos x i 3) Aproximmos l integrl de l función por l integrl del polinomio de interpolción Ÿ f HxL x > Ÿ phxl x. Vemos cómo se otienen ls fórmuls del Trpecio y de Simpson. In[]:= Cler@"Glol` "D dtos = 88, f@d<, 8, f@d<<; In[3]:= poli = InterpoltingPolynomil@dtos, xd Out[3]= H + xl H f@d + f@dl f@d + + In[4]:= poli x Out[4]= H L Hf@D + f@dl In[5]:= Cler@"Glol` "D dtos = :8, f@d<, : +,fb + F>, 8, f@d<>; In[7]:= poli = InterpoltingPolynomil@dtos, xd Out[7]= f@d + H + xl f@d + fa + E I H L + xm + f@d fb F f@d+fb H L F In[8]:= poli x Out[8]= 6 H L f@d + f@d + 4fB + F

2 Prctic7_Integrcion_Numeric.n Fórmuls del Rectángulo, del Trpecio y de Simpson Fórmul del rectángulo izquierd: Ÿ f HxL x > f HL H - L Fórmul del rectángulo derec: Ÿ f HxL x > f HL H - L Fórmul del punto medio: + Ÿ f HxL x > f J N H - L Fórmul del trpecio: Ÿ f HxL x > - H f HL + f HLL. Fórmul de Simpson: - + Ÿ f HxL x > B f HL + 4 f J N + f HLF 6 Ejemplo Clculr un vlor proximdo de l integrl Ÿ 0 ê e x x, plicndo l fórmul del punto medio. Comprr con el vlor excto. In[9]:= Cler@"Glol` "D f@x_d := ^x = 0; = 0.5; Aplicmos l fórmul del punto medio l función f en el intervlo [0,/] In[3]:= VlorAproximdo = fb + F H L Out[3]=

3 Comprmos con el vlor excto ê In[4]:= VlorExcto = x x 0 N@VlorExctoD Out[4]= + Out[5]= In[6]:= Error = As@VlorExcto VlorAproximdoD êên Out[6]= Ejemplo Clculr un vlor proximdo de l integrl Ÿ 0 e -x x, plicndo ls fórmuls del trpecio y de Simpson. In[7]:= Cler@"Glol` "D f@x_d := x = 0; = ; Aplicmos l fórmul del trpecio l función f en el intervlo [0,] In[]:= H L VlorAproximdo = Hf@D + f@dl êê N Out[]= Aplicmos l fórmul de Simpson l función f en el intervlo [0,] In[]:= H L VlorAproximdo = 6 f@d + 4 fb + F + f@d êê N Out[]= Fórmuls de integrción compuest Consiste en dividir el intervlo inicil en suintervlos y plicr un método de integrción numéric simple en cd uno de ellos. Si llmmos tommos = - n, entonces los puntos x i = + i, i = 0,,..., n formn un prtición del intervlo [, ] y st plicr en cd suintervlo [x i, x i+ ], i= 0,,..., n-, el método simple que quermos

4 4 Prctic7_Integrcion_Numeric.n Fórmul del rectángulo izquierd compuest: Ÿ f HxL x > n- f i Fórmul del rectángulo derec compuest: Ÿ f HxL x > n- f i+ Fórmul del punto medio compuest: Ÿ f HxL x > n- f i+ Fórmul del trpecio compuest: Ÿ f HxL x > I f 0 + n- f i + f n M Fórmul de Simpson compuest: Ÿ f HxL x > 6 f 0 + f n + n- f i + 4 n- f i+ Ejemplo 3. Clculr un vlor proximdo de l integrl de l función f(x) = (x 3 - x + M e x en el intervlo [0,] plicndo fórmuls de integrción del rectángulo derec, del trpecio y de Simpson compuests con n=0. In[3]:= Cler@"Glol` "D f@x_d := Ix 3 x + M x = 0.; =.; n = 0; = n ; DoAx i_ := + i,8i, 0, n<e Vlor excto In[30]:= VlorExcto = f@xd x êê N 0 Out[30]= 5.67

5 Fórmul del rectángulo derec compuest: Ÿ f HxL x > n- f i+ In[3]:= prox = f@x i+ D Out[3]= In[3]:= error = As@VlorExcto proxd Out[3]=.977 Fórmul del trpecio compuest Ÿ f HxL x > If 0 + n- f i + f n M In[33]:= prox = f@x 0 D + f@x i D + f@x n D Out[33]= 5.83 In[34]:= error = As@VlorExcto proxd Out[34]= Fórmul de Simpson compuest n- f HxL x > 6 f 0 + f n + f i + 4 n- f i+ In[35]:= prox3 = 6 f@x 0 D + f@x i D + 4 fbx i + F + f@x nd Out[35]= 5.67 In[36]:= error3 = As@VlorExcto prox3d Out[36]= Oservmos l grn precisión de l fórmul de Simpson, que es un de ls más usds en l práctic. Ejemplo 4. Clculr un vlor proximdo de l integrl de l función f(x) = ln(x) en el intervlo [,] plicndo ls fórmuls de integrción del rectángulo izquierd, del trpecio y de Simpson compuests con n=00.

6 6 Prctic7_Integrcion_Numeric.n In[37]:= "D := =.; =.; n = 00; = n ; DoAx i_ := + i,8i, 0, n<e Vlor excto In[44]:= VlorExcto = f@xd x êê N Out[44]= Fórmul del rectángulo izquierd compuest: Ÿ f HxL x > n- f i In[45]:= prox = f@x i D Out[45]= In[46]:= error = As@VlorExcto proxd Out[46]= Fórmul del trpecio compuest Ÿ f HxL x > If 0 + n- f i + f n M In[47]:= prox = f@x 0 D + f@x i D + f@x n D Out[47]= In[48]:= error = As@VlorExcto proxd Out[48]=

7 Fórmul de Simpson compuestÿ f HxL x > Jf f n + n- f i + 4 n- f i+ N In[49]:= prox3 = 6 f@x 0 D + f@x i D + 4 fbx i + F + f@x nd Out[49]= In[50]:= error3 = As@VlorExcto prox3d Out[50]= Ejercicios Propuestos Ejercicio. Clculr de form proximd l integrl 3 Ÿ x utilizndo ls fórmuls del trpecio y de Simpson. +x Comprr con el vlor excto Ejercicio. Dividir el intervlo [,] en 00 prtes igules pr llr de form proximd el vlor de ln(.5) utilizndo ls fórmuls del trpecio y de Simpson compuests. Comprr con el vlor excto. (Indicción: utilizr l integrl Ÿ x+ x). Ejercicio 3. L longitud de l elipse x c p viene dd por l integrl 4 c Ÿ 0 + y =, c > d > 0, d - k sen HqL q siendo k = c -d. Aproximr, usndo l regl de Simpson c compuest con n=0, l longitud de l elipse x + 4 y - 6 = 0.

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