5.5 Integración numérica

Transcripción

1 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l función dd f(x), un polinomio de interpolción que proxime f(x) en [, b]. Se trt por tnto de tod un fmili generl de métodos, según el polinomio de interpolción que se considere (puede elegirse diferente grdo, diferentes puntos pr interpolr, etc.). Pr el cso de ls interpolciones linel y cudrátic, estos métodos se denominn Método de los Trpecios y Método de Simpson, respectivmente. Método de los trpecios Como se h comentdo, el Método de los trpecios es un Método de Newton-Côtes bsdo en l interpolción linel. L ide esencil por tnto, de cr integrr f(x) desde el punto (, f()) hst (b, f(b)), es proximr f(x) por su polinomio de interpolción linel en [, b] (ver figur). f(x) P 1 (x) = x b b f() + x f(b), x [, b] b y sí: I = f(x) dx P 1 (x) dx = b (f() + f(b)) f x P 1 x b x b x En definitiv se trt de proximr el vlor de l integrl I por el áre del trpecio que determinn ls rects x =, x = b, el eje de bsciss y l rect que une los puntos: (, f()) y (b, f(b)).

2 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 89 Si recordmos l expresión del error de l interpolción linel, suponiendo que f(x) es continu y derivble dos veces en el intervlo [, b]: f(x) = P 1 (x) + ε(x) ε(x) = f (ξ) (x )(x b), ξ b Tendremos entonces que: I = f(x)dx = b (f() + f(b)) + E donde el error de l integrción numéric E será, obvimente: E = ε(x)dx = f (ξ) (x )(x b) dx Integrndo en est últim expresión y denominndo h = b se concluye fácilmente en que: E = h 1 f (ξ) E h 1 M siendo M el vlor máximo que lcnce l derivd segund de l función en el intervlo ddo [, b]. Método de los Trpecios compuesto Si el intervlo en el que se reliz l integrl es grnde, el Método de los Trpecios Simple suele ser muy impreciso. Pr mejorr l exctitud, es posible subdividir el intervlo en otros más pequeños y plicr en cd uno de ellos el Método simple. De est mner, el Método de los Trpecios compuesto o generlizdo consiste en tomr un prtición P = {x, x 1,..., x n } de [, b], (x =, x n = b), equiespcid, es decir: x i+1 x i = h, i = 1,..., n. Tendremos sí que: h = b n Teniendo en cuent ls propieddes básics de l integrl definid: f(x) dx = x1 x f(x)dx + x y plicndo cd integrl el Método simple: x 1 f(x)dx xn x n 1 f(x)dx f(x) dx h (f(x ) + f(x 1 )) + h (f(x 1) + f(x )) h (f(x n 1) + f(x n )) = = h (f(x ) + (f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 )) + f(x n ))

3 9 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 Tenemos por tnto l expresión finl pr el Método de los Trpecios Generlizdo: ( ) f(x) dx h n 1 f() + f(x i ) + f(b) En lo que respect l error de integrción, será evidentemente igul l sum de los errores de cd un de ls plicciones del método simple: E = E 1 + E E n = h 1 f (ξ 1 ) h 1 f (ξ )... h 1 f (ξ n ) si denominmos M l máximo de l función f (x) en [, b] tendremos finlmente: i=1 E h 1 nm = (b ) h M 1 Tomremos hbitulmente E definido no negtivo, por lo que es frecuente escribir directmente: h 1 nm = (b ) h M 1 obvindo el vlor bsoluto pr E. Ejemplo: Clculr el vlor proximdo de l integrl, 1 xdx (x + 1)(x + ) utilizndo l regl de los trpecios compuest con n = 8 subintervlos. Evlur exctmente el vlor de l integrl y compárese con el vlor proximdo obtenido. De form exct: I = 1 x (x + 1)(x + ) dx = x (x + 1)(x + ) = A x B A(x + ) + B(x + 1) = x + (x + 1)(x + ) { x = 1 A = 1 x = A(x + ) + B(x + 1) x = B = = 1 ( 1 x ) dx = log(x + 1) + log(x + ) x + = log 9 log 4 = = log (x + ) (x + 1) Método de los Trpecios, con n = 8. Dividimos el intervlo [, 1] en 8 subintervlos y clculmos los correspondientes vlores del integrndo: 1 =

4 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 91 x x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x f(x ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) Finlmente, plicmos l fórmul ntes deducid: I h [f(x ) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 ) + f(x 5 ) + f(x 6 ) + f(x 7 )) + f(x 8 )].15 [ + ( ) ] que d un buen proximción l resultdo excto. En l próxim sección completremos este ejercicio medinte el uso del Método de Simpson y comprobremos que proporcion un mejor ún proximción. Si relizmos el mismo cálculo con un número diferente de subintervlos, se obtienen los siguientes resultdos: n I n n = 1.8 n =.18 n =.1149 n = n = n = n = Método de Simpson El Método de Simpson es un método de Newton-Côtes de segundo orden, es decir bsdo en integrr un polinomio de interpolción de segundo grdo, de l form siguiente: Dd l función f(x) en [, b], tomremos como tercer punto pr l interpolción el punto medio de dicho intervlo, es decir: x m = +b b, y denominremos h = l seminchur del intervlo. De est form el polinomio de interpolción de grdo que ps por (, f()), (x m, f(x m )) y (b, f(b)) será: P (x) = f() + f(x m) f() (x ) + f() + f(b) f(x m) h h (x )(x x m ) No es difícil clculr l integrl de P (x) entre y b, de mner que se obtiene: f(x) dx P (x) dx = h (f() + 4f(x m) + f(b))

5 9 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 fórmul del Método de Simpson (o Método de Simpson simple). L evlución del error de integrción d lugr un curioso resultdo. Suponiendo que l función f(x) es derivble l menos cutro veces en el intervlo considerdo, podemos desrrollr por l fórmul de Tylor l función f(x) en x = x m hst tercer orden (resto de Tylor de orden 4): con f(x) = P (x) + R 4 (x) = = f(x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) De est mner tendremos: R 4 (x) = f (4) (ξ) (x x m ) 4 4! f() = f(x m h) = f(x m ) + f (x m )( h) + f (x m ) f(b) = f(x m + h) = f(x m ) + f (x m )h + f (x m ) (x x m ) + f (x m ) (x x m ) + R 4 (x)! ( h) + f (x m )! h + f (x m )! ( h) + f (4) (ξ) ( h) 4 4! h + f (4) (ξ) h 4 4! Con un breve cálculo se concluye en l expresión (pr l fórmul del Método de Simpson): h (f() + 4f(x m) + f(b)) = h (6f(x m ) + f (x m )h + 11 ) f (4) (ξ)h 4 = = hf(x m ) + f (x m ) h f (4) (ξ)h 5 Por otro ldo, si integrmos el desrrollo de Tylor tendremos (simplificndo los resultdos): = f(x)dx = ( (P (x) + R 4 (x)) dx = f(x m ) + f (x m )(x x m ) + f (x m ) = hf(x m ) + f (x m ) h + f (4) (ξ) h 5 6 (x x m ) + f ) (x m ) (x x m ) + R 4 (x) dx =! Finlmente el error de integrción no es más que (tomndo nuevmente el error como definido positivo): E = f(x)dx h (f() + 4f(x m) + f(b)) de mner que: E = f (4) (ξ) 6 h 5 f (4) (ξ) h 5 = f (4) (ξ) h 5 Si denominmos M 4 l máximo que lcnce l derivd curt de l función en el intervlo [, b], tendremos finlmente: 1 9 h5 M 4

6 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 9 hemos demostrdo por tnto que el error puede cotrse por el máximo de l derivd curt de l función. Un consecuenci inmedit de este resultdo es que si tenemos que integrr un polinomio de grdo, l integrción exct por l regl de Brrow y l proximd por el Método de Simpson (independientemente de l nchur del intervlo) coinciden, el error es exctmente cero. Un explicción gráfic de este sorprendente resultdo (no olvidemos que Simpson se bs en integrr un polinomio de grdo, diferente por tnto l integrndo, polinomio de grdo ), l observmos en l Figur 6.1. x m b Figur 5.1: Gráfic de un polinomio de grdo en un intervlo [, b] y del correspondiente polinomio de grdo dos (en gris) que interpol los puntos de bscis, x m y b. Puede observrse como el error de interpolción (por defecto) entre y x m es idéntico l error (por exceso) entre x m y b. Método de Simpson Compuesto De mner completmente nálog lo expuesto pr el Método de los Trpecios, es posible generlizr (mejorndo l precisión) el Método de Simpson por medio de l subdivisión del intervlo ddo en otros más reducidos. De est form si prtimos el intervlo [, b] en n subintervlos de nchur h = b n tendremos l prtición: {x, x 1,..., x n }. De cr plicr el Método de Simpson simple pso pso observmos inmeditmente que n debe ser un número pr pr conseguir que todo [, b] quede incluido en l integrción numéric. Tendremos entonces: f(x) dx = x x4 xn f(x)dx + x f(x)dx f(x)dx x n y los puntos x 1, x,..., x n 1 representrán el ppel de puntos medios en cd un de ls plicciones sucesivs del método simple.

7 94 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 De form explícit se obtiene: donde I y P representn ls sums: I = P = n 1 i=1, impres n i=, pres f(x) dx h (f() + 4I + P + f(b)) f(x i ) = f(x 1 ) + f(x ) f(x n 1 ) f(x i ) = f(x ) + f(x 4 ) f(x n ) De cr l estimción del error, en cd uno de los psos deberemos considerr h 5 9 M 4 De est form, el error de integrción en el Método compuesto vendrá ddo por: h 5 ( ) M4 1 + M M n 9 4 h 5 n 9 M 4 donde se denot M4 i los máximos de l derivd curt en cd plicción del método simple y M 4 l máximo de l derivd curt en todo [, b]. Concluimos por tnto en l expresión: b 18 h4 M 4 Ejemplo 1. Clculr el vlor proximdo de l integrl 1 x dx (x + 1)(x + ) utilizndo l regl de Simpson compuest con n = 8. Recordemos l tbl de vlores utilizds en l sección nterior l relizr este ejercicio medinte el método de los trpecios: x x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x f(x ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) f(x 7 ) f(x 8 ) de mner que I h [f(x ) + 4 (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 5 ) + f(x 7 )) + (f(x ) + f(x 4 ) + f(x 6 )) + f(x 8 )].15 [4( ) + ( ) ].11777

8 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 95 que l ser comprdo con el vlor excto y el obtenido por l regl de los trpecios nos permite concluir que este método es más preciso que el nterior. Comprndo de mner generl los dos métodos tendremos: n I(Trpecios) I(Simpson) n = 1.8 n = n =.1149 n = n = n = n = n = n = Ejemplo. Teniendo en cuent que no es conocid un primitiv de l función f(x) = e x, clcúlese el vlor de l integrl definid con un error menor.. 1 e x dx L función con l que debemos trbjr es e x. Aplicndo l fórmul de Simpson cometemos un error ddo por h4 (b ) 18 M 4, M 4 f (4) (x), x [, 1] Clculremos ls derivds correspondientes: f (x) = xe x f (x) = (1 + x )e x f (x) = 4(x + x )e x f (iv) (x) = 4(4x 4 + 1x + )e x Se puede observr que f (iv) (x) es creciente en [, 1] de modo que el máximo vlor de dich función coincide con el vlor en x = 1, esto es, f (iv) (1) = 4e 1 ( ) < 4 19 = 8, por lo que considerremos que M 4 8. Por ello, E(N) (b ) = 18N 4 15N 4 E(1) E().791 E().156 E(4).49 E(5). de modo que pr que el número de subintervlos se pr hemos de tomr N = 6

9 96 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 x i x x 1 x x x 4 x 5 x 6 =. 1/6 1/ 1/ / 5/6 1. f(x i ) f(x ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) f(x 6 ) = Finlmente: I h [f(x ) + 4 (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 5 )) + (f(x ) + f(x 4 )) + f(x 8 )] 1/6 [1 + 4( ) + ( ) ] Ejemplo. Un cuerd vibr doptndo l form, y = sen x entre ls bsciss x = y x = 4 en un instnte t. Clcúlese proximdmente l longitud de l cuerd, utilizndo un método numérico con n = 8. Ddo que tenemos que clculr l longitud de l función f(x) = sen x, entre x = y x = 4, plicremos l fórmul L = (f (x)) dx = 1 + cos xdx que nos proporcion l integrl que debemos estimr numéricmente medinte l regl de Simpson con n = 8 como propone el enuncido. g(x) = 1 + cos x x i x x 1 x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = g(x i ) g(x ) g(x 1 ) g(x ) g(x ) g(x 4 ) g(x 5 ) g(x 6 ) g(x 7 ) g(x 8 ) = I h [g(x ) + 4 (g(x 1 ) + g(x ) + g(x 5 ) + g(x 7 )) + (g(x ) + g(x 4 ) + g(x 6 )) + g(x 8 )].5 [ ( ) + ( ) ] Es posible clculr de form precis, por otros métodos, este resultdo, obteniéndose: , por lo que deducimos que el Método de Simpson proporcion un vlor muy correcto en este cso. Ejemplo 4. Un gricultor dese conocer l superficie proximd de un prdo limitdo por un crreter, dos cminos perpendiculres ell y l riber de un río, de mner que si colocmos

10 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 97 unos ejes crtesinos sobre l crreter (eje OX) y uno de los cminos (eje OY, bscis x = ), el segundo cmino será l rect verticl x = (uniddes en cientos de metros). Se tomn vris medids desde l crreter hst l riber, obteniéndose ls siguientes coordends pr los puntos de l riber: (, 1.5), (.5, 1.8), (1,.1), (1.5, 1.75), (, 1.). Clculr proximdmente el áre de dicho terreno utilizndo ls regls de los trpecios y de Simpson. Determinr el áre si extendemos el terreno hst l bscis x =.5 sbiendo que el río en tl cso ps por el punto (.5, 1.1). En este cso desconocemos l función de form explícit, teniendo en cuent tn solo los vlores de l tbl que nos hn sido fcilitdos. Se tiene: x i x x 1 x x x 4 = f(x i ) f(x ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) = de modo que usndo el método de los trpecios podemos escribir I 1 h [f(x ) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x )) + f(x 4 )].5 [1.5 + ( ) + 1.].4 mientrs que si usmos el método de Simpson se lleg I h [f(x ) + 4 (f(x 1 ) + f(x )) + (f(x )) + f(x 4 )].5 [ ( ) + (.1) + 1.].5 Si se ñde un nuevo punto, l tbl qued dd por x i x x 1 x x x 4 x 5 = f(x i ) f(x ) f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 4 ) f(x 5 ) = Ahor l regl de los trpecios proporcionrá: I h [f(x ) + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x 4 )) + f(x 5 )].5 [1.5 + ( ) + 1.1] 4.15 mientrs que si el método de Simpson no es plicble de form direct ddo que estmos considerndo un número impr de subintervlos en este cso. Lo que podemos hcer es considerr l regl de Simpson pr los 4 subintervlos primeros y estimr el quinto subintervlo medinte l regl de los trpecios. Así qued I = I + I = ( ) 4.1