MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

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1 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x) = ln x + C x x = x + C, si > 0 ln f '(x) = ln f(x) + C f(x) f(x) f '(x) = f(x) ln + C, si > 0 e x = e x + C e f(x) f '(x) = e f(x) + C senx = -cosx + C f '(x) senf(x) = -cosf(x) + C cosx = senx + C f '(x) cosf(x) = senf(x) + C cos x = tgx + C f '(x) cos = tgf(x) + C f(x) sen x = -cotgx + C f '(x) sen = -cotgf(x) + C f(x) -x = rcsenf(x) + C f '(x) = rcsen f(x) + C -f(x) + x = rctgx + C f '(x) + f(x) = rctg f(x) + C

2 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrción por cmio de vrile Dd l integrl f(x), si considermos x como un función de otr vrile, x = g(t), entonces = g'(t) dt, y otenemos l integrl f(g(t)) g'(t) dt. Supuesto que est segund integrl es más simple que l primer, se resuelve en l vrile t y posteriormente se sustituye t en función de x, t = g - (x) (pr ello g h de ser iyectiv). Formlmente, se tiene el siguiente resultdo: Proposición Se x = g(t) un función iyectiv y de clse C (. Si G(t) es un primitiv de f(g(t)) g'(t) entonces F(x) = G(g - (x)) es un primitiv de f(x). En l práctic, pr clculr f(x), se procederá clculr: y, por tnto, f(g(t)) g'(t) dt = G(t) + C f(x) = G(g - (x)) + C = F(x) + C Integrción por prtes Teniendo en cuent l regl de derivción del producto, (f(x) g(x))' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x), se sigue que (f(x) g(x))' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x), de donde se otiene que: f(x) g'(x) = f(x) g(x) - f '(x) g(x) En l práctic, l notción hitulmente utilizd es u = f(x), dv = g'(x) y entonces l fórmul de integrción por prtes qued: u dv = u v - v du Integrción de funciones rcionles Se denomin función rcionl un función de l form p(x) q(x) polinomios en l vrile x. donde p(x) y q(x) son. Un tipo especil de funciones rcionles son ls frcciones simples, que son quells A Mx + N que tomn l form (x + ) n con n N, o (x + x + c) n donde x + x + c no tiene ríces reles y n. (Not: en este curso sólo se considerrá pr el segundo tipo de frcciones simples el cso n = ) L integrl de un frcción simple se clcul fácilmente como se ve en los siguientes ejemplos: i) x-3 = ln x-3 + C

3 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 3 ii) (x-3) 4 = (x-3)-3 + C = (x-3) 3 + C iii) (x+) 3 = (x+) 3 = (x+) C = - 4 (x+) 4 + C iv) x +3x+5 Se tiene que x +3x+5 = x = x x +3x+5 = x + 3 = x + 3 = + rctgx C v) x+ x +3x+5 = x+ x +3x+5 = x+3- x +3x+5 = = x+3 x +3x+5 - = ln(x +3x+5) - x +3x+5 = ln(x +3x+5) - rctgx+3 + C rctgx+3 + C =. Pr clculr l integrl de un función rcionl culquier p(x), se procederá según q(x) los csos siguientes: ) Si grdo p(x) grdo q(x), se reliz l división de polinomios p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x) donde c(x) y r(x) son los polinomios cociente y resto de l división respectivmente y por tnto se verific que grdo r(x) < grdo q(x). Así, p(x) q(x) = c(x) + r(x) q(x) donde el primer sumndo es un integrl inmedit y el segundo se resolverá plicndo el prtdo siguiente. ) Si grdo p(x) < grdo q(x) y q(x) no tiene ríces imginris múltiples, se clculn ls ríces de q(x) y se descompone p(x) en sum de frcciones simples de l q(x) siguiente form: - Pr cd ríz rel simple x 0, se sign un frcción del tipo un coeficiente rel determinr. A x - x 0 donde A es - Pr cd ríz rel múltiple x 0 de multiplicidd r, se signn ls r frcciones siguientes A x - x 0, reles determinr. A (x - x 0 ),..., A r (x - x 0 ) r donde A, A,..., A r son coeficientes

4 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 4 - Pr cd ríz imginri simple α ± iβ, se sign un frcción del tipo Mx+N (x-α) + β, donde M y N son coeficientes reles determinr. Pr determinr los coeficientes nteriores, se igul el cociente p(x) l sum de q(x) ls frcciones simples signds. Un vez determindos, l resolución de l integrl p(x) se reduce l cálculo de ls integrles de frcciones simples, plicndo l q(x) propiedd de linelidd. Ejemplo: 4 - x x 4 - x 3 + x - x + Ls soluciones de x 4 - x 3 + x - x + = 0 son x = dole y x = ± i Descomponemos en frcciones simples l función rcionl: 4 - x x 4 - x 3 + x - x + = A x - + B (x-) + Mx+N x + de donde: 4 - x = A(x-)(x +) + B(x +) + (Mx+N)(x-) e igulndo los coeficientes de los polinomios se otiene: A = -, B =, M = y N = Luego, 4 - x x 4 - x 3 + x - x + = - x- + (x-) + x+ x + = = - ln x- + (x-)- - + ln(x +) + rctgx + C = - x- + ln x + (x-) + rctg x + C Integrción de funciones irrcionles A continución veremos lgunos tipos prticulres de integrles irrcionles.. x +x+c, con < 0 y - 4c > 0 Ejemplo: = 6 0+8x-x = -[(x-4) -36] = x-4 = rcsen x-4 + C 6-6. mx+n x +x+c, con < 0 y - 4c > 0 x = El primer pso en l resolución de est integrl es conseguir en el numerdor l derivd de l función que prece dentro de l ríz, y puede precer en este proceso un integrl del tipo nterior.

5 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 5 Ejemplo: x+3 0+8x-x = - -x x-x = - -x+8 0+8x-x x-x = = - 0+8x-x x rcsen + C 6 3. R( x, x +x+c), siendo R un función rcionl y 0 Existen tres cmios de vrile que trnsformn est integrl en un integrl rcionl: ) Si > 0, se hce el cmio x +x+c = x + t ) Si c > 0, se hce el cmio x +x+c = tx + c c) Si < 0 y c < 0, se hce el cmio x +x+c = t(x-α), siendo α un culquier de ls ríces de l ecución x + x + c = 0 Ejemplo: x x +4x-4 En este cso, l ser = > 0, se hce el cmio de vrile x +4x-4 = x+t por tnto x + 4x - 4 = x + tx + t x = t +4 4-t y = -t +8t+8 (4-t) dt Con este cmio de vrile l integrl de prtid se trnsform en l integrl rcionl: 4-t t +4 t +4 4-t + t -t +8t+8 (4-t) dt = dt t +4 = rctgt + C = rctg x +4x-4-x + C 4. R(x h/k, x s/t,..., x u/v ), siendo R un función rcionl. Se trnsform en un integrl rcionl hciendo el cmio de vrile: x = t λ siendo λ = m.c.m.(k, t,..., v) Ejemplo: 4 x 3 - x Se hce el cmio x = t 4, de donde, = 4t 3 dt, y qued l integrl: 4t 3 dt t 3 -t = 4 t t- dt = 4t + 4 ln t- + C = 4 4 x + 4 ln 4 x - + C

6 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 6 Un generlizción de este tipo de integrles irrcionles es l siguiente: R x+ h/k αx+β,, x+ s/t,..., x+ cx+d cx+d cx+d u/v, siendo R un función rcionl Se trnsform en un integrl rcionl hciendo el cmio de vrile: x+ cx+d = tλ siendo λ = m.c.m.(k, t,..., v) Integrción de funciones trigonométrics. R(senx, cosx), siendo R un función rcionl. El procedimiento generl pr clculr est integrl consiste en trnsformrl en un integrl rcionl en t medinte el cmio de vrile: tg x = t Con este cmio se tiene: dt = +t senx = t +t cosx = -t +t Sin emrgo, en lgunos csos concretos es más práctico considerr cmios lterntivos. Así: ) Si l función es impr en senx, R(-senx, cosx) = -R(senx, cosx), se puede hcer el cmio de vrile cosx = t, de donde senx = -t, = -dt -t ) Si l función es impr en cosx, R(senx, -cosx) = -R(senx, cosx), se puede hcer el cmio de vrile senx = t, de donde cosx = -t dt, = -t c) Si l función es pr en senx y cosx, R(-senx, -cosx) = R(senx, cosx), se puede hcer el cmio de vrile tgx = t, de donde: Ejemplo: sen x + cos x L función sen x + cos x integrl qued: t +t + +t = dt +t, senx = t +t, cos x = +t es pr en senx y cosx, luego plicmos el cmio tgx = t y l dt +t = t (+t )(+t ) dt = -rctgt + rctg t + C = = -rctg(tgx) + rctg tgx + C

7 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 7. Muchs integrles de funciones trigonométrics se pueden resolver utilizndo determinds relciones trigonométrics. Entre otros csos, se pueden señlr los siguientes: ) Ls integrles de l form sen n x, cos n x donde n es un número nturl pr, se convierten en integrles inmedits, medinte ls siguientes trnsformciones: sen n x = ( ) cos n x = ( ) sen x n/ = - cosx cos x n/ = + cosx n/ n/ Como n es un número nturl, l sum que prece dentro del préntesis se puede desrrollr por el inomio de Newton, preciendo sí un polinomio de grdo n ; repitiendo este proceso tnts veces como se necesrio se consiguen integrles inmedits. Ejemplo: cos x = +cosx = + cosx = x + 4 senx + C ) Ls integrles de l form sen k x, cos k x donde k es un número nturl impr, se convierten en integrles inmedits, teniendo en cuent que: sen k x = senx ( sen x ) (k-)/ = senx ( - cos x ) (k-)/ cos k x = cosx ( cos x ) (k-)/ = cosx ( - sen x ) (k-)/ Como k- es un número nturl, l sum que prece dentro del préntesis se puede desrrollr por el inomio de Newton; repitiendo este proceso tnts veces como se necesrio se consiguen integrles inmedits. Ejemplo: sen 3 x = senx sen x = senx (-cos x) = = senx - senx cos x = -cosx + cos3 x 3 + C c) Ls integrles de l form sen n x cos n x, donde n y n son números nturles pres, se convierten en integrles inmedits utilizndo en mos fctores ls trnsformciones del cso ) d) Ls integrles de l form sen k x cos k x, donde k y k son números nturles y l menos uno de ellos es impr, se convierten en integrles inmedits l plicr ls trnsformciones del cso l potenci que se impr. En cso de que mos exponentes sen impres, es indiferente l elección del fctor trnsformr.

8 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 8 e) Ls integrles de l form senmx cosnx, cosmx cosnx, senmx sennx, se convierten en integrles inmedits utilizndo ls siguientes igulddes: senmx cosnx = (sen(mx + nx) + sen(mx - nx)) cosmx cosnx = (cos(mx + nx) + cos(mx - nx)) senmx sennx = (cos(mx - nx) - cos(mx + nx)) Ejemplo: sen3x cosx Teniendo en cuent que sen3x cosx = (sen(3x+x) + sen(3x-x)), se tiene: sen3x cosx = (sen5x + senx) = = sen5x + senx = - 0 cos5x - cosx + C APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres plns Si f(x) 0, x [, ], f(x) represent el áre de l figur pln definid por {(x, y) x, 0 y f(x)} Si f(x) no es positiv en todo [, ], pr clculr el áre de l figur pln limitd por: x =, x =, y = 0, y = f(x) se consider l función módulo, f(x), y será f(x)

9 Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción 9 Cálculo de superficies y volúmenes de revolución Se un función y = f(x): [, ] Si l gráfic de f(x) gir en torno l eje horizontl en el intervlo [, ] se gener un superficie y un volumen de revolución, como muestr l siguiente figur: El áre de l superficie de revolución es: S = π f(x) + f '(x) y el volumen de revolución: V = π f(x) Cálculo de l longitud de un rco de curv Dd l función f: [, ], l integrl definid permite clculr l longitud del rco de curv que determin y = f(x) en [, ] y este vlor es: L = + f '(x)