UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA

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1 UNIDAD. LA INTEGRAL DEFINIDA Propósitos: Itroducir el cocepto de itegrl defiid como u fució-áre pr costruir su sigificdo. Relcior los coceptos de derivd e itegrl e l formulció del teorem Fudmetl del Cálculo. Secció. Situcioes que se represet medite áres. Medite el trjo que relices e ést secció, pretedemos que logres los siguietes predizjes: Asocir el áre jo u curv co l solució u situció dd. Clculr el áre jo l gráfic de fucioes costtes lieles, uiliádose de l figur geométric respectiv. Oteer l fució-áre, que proporcio el áre jo l gráfic de u fució costte o liel e itervlos de l form [, ], [, ], [, ]. Relcio l tiderivd de u fució co l fució áre socid. Ejemplo. Luis le pregutó su migo Ju: Si mejé u velocidd costte de 8 kilómetros por hor durte hors, qué distci recorrí? Ju le cotestó que 4 kilómetros. Clro, dijo Luis, pero quiero que lo resuelvs utilizdo u gráfic. Ju trzó u diujó como el que sigue sádose e él le eplicó Luis l solució. v t ) Qué represet el segmeto de rect horizotl que prece e l gráfic? ) Cómo quedrá represetdo e l gráfic el resultdo correspodiete l distci recorrid? c) Determi l represetció gráfic l distci recorrid, si Muel mejó durte: (i) 4 hors; (ii) hors; (iii) 6 hors; (iv) hors. d) Qué distci recorrió de l segud l tercer hor cuál es su represetció gráfic? e) Ecuetr u represetció gráfic l distci recorrid del tiempo t =, l tiempo t =. f) Estlece l fució, s(t), que relcio l distci recorrid s el tiempo trscurrido t. Solució. ) Represet l gráfic de l fució v(t) e el itervlo [, ]. ) Cómo el áre compredid por l gráfic de v(t), el eje el itervlo [, ]. c) A cotiució se represet gráficmete ls solucioes: 4

2 (i) 4 hors (ii) hors (iii) 6 hors (iv) hors. v v v v t t t t 4 6 d) Recorrió 8 kilómetros. Su represetció gráfic es: v 8 t 4 e) L distci recorrid del tiempo t =, l tiempo t = es: 8 8. Su represetció gráfic es: v 8 f) s(t) = 8t. t Ejemplo. Determi el resultdo de l itegrl d. ) Escrie l fució f() que se está itegrdo. ) Determi el áre ecerrd por l grfic de l fució el eje e el itervlo [,]? Solució. ) f() =. ) El áre es igul u su represetció gráfic es: f() = Ejemplo. Ecuetr Solució. cd = c u cd, sí como su represetció gráfic.. Su represetció gráfic es: f() = c 4

3 E muchs ocsioes se omite u (uiddes cudrds), porque se soreetiede que si clculmos áres tedremos ese tipo de uiddes. Ejemplo 4. Determi Solució. cd. Trz su represetció gráfic. cd = ( ) c. Su represetció gráfic es. f() = c Ejemplo. Determi 4d. Tmié ecuétrl como el áre jo l gráfic del l fució que se está itegrdo el eje, e el itervlo [,]. Solució. 4d = (() () ) = 8. Gráficmete: f() = 4 A=()/ =8 Ejemplo 6. Comprue gráficmete que: c ) d = ) cd = c) cd = c c = c( ) Solució. () () (c) f() = f() = c c c f() = c De los icisos teriores, podemos oservr dos propieddes de ls itegrles: cd = c d = f( ) d = f( ) d f( ) d 4

4 Ejemplo 8. Comprue gráficmete, relizdo los cálculos de ls áres respectivs, que: ( + 4)d = Solució. d + 4d = ( ) 4() 7. + = = +4 9 f() = 4 4 g() = 4 Lo terior muestr otr propiedd que se cumple e tods ls itegrles: ( f ( ) + g( )) d = f ( ) d + g( ) d Hemos oteido que el resultdo de u itegrl lo podemos iterpretr como el áre jo l gráfic de l fució el eje e el itervlo ddo. Es posile firmr que si desemos determir el áre compredid por l gráfic de u fució, digmos f(), el eje, e el itervlo [,], l podemos escriir como f ( ) d, l cul su vez se puede represetr como: f() El áre de l regió somred es el resultdo de l itegrl. Clro que coceir l itegrl como el áre jo u curv es sólo u de ls distits forms e que ést se puede iterpretr. A cotiució trtremos est ide, pr lo cul vmos trjr co vrios ejemplos que os será de utilidd. Ejercicios Determi el resultdo de cd u de ls siguietes itegrles, pr lo cul te pedimos, que determies l fució que se está itegrdo trces su gráfic respectiv, e l que idiques el resultdo somredo el áre respectiv. 44

5 . 9d.. (7 + )d. 7 ( + )d Secció. L itegrl Defiid. E ést secció, pretedemos que logres los siguietes predizjes: Iterpretr el áre jo u curv de l form f() =. Recoocer l proimció uméric como u método geerl pr clculr el áre jo u curv. Asocir el método de proimció uméric pr clculr u áre co u proceso ifiito. Alizr el comportmieto del proceso ifiito socido l proimció uméric pr coocer si tiee u vlor límite cuál es éste. Aproim el áre jo u curv utilizdo sums de áres. Ejemplo 9. Determir el áre jo l curv d. Solució. Primero vmos resolver el prolem de mer proimd, pues es eperieci os servirá pr hcerlo de mer ect. Deemos de ecotrr el áre jo l curv f() = e el itervlo [,]. Pr hcerlo se costumr iscriir o circuscriir rectágulos, como muestr ls figurs. f() = Rectágulos circuscritos f() = Rectágulos iscritos 4 = 4 = Como podrás ver cudo circuscriimos rectágulos hrá u eceso e el cálculo del áre jo l curv, cudo iscriimos u fltte, l cul se costumr llmrlo defecto. E uestr figur el itervlo [,], quedrá sudividido e suitervlos, cuos etremos so:,,, 4. Tto el eceso como el defecto, e el cálculo de áres, so el error que tedremos l determirls de es form. Si el úmero de itervlos umet, el error dismiue. E l figur de jo ilustrmos lo terior. Rectágulos circuscritos f() = f() = Rectágulos iscritos 4

6 Pr determir el áre proimd deemos sumr ls áres de cd uo de los rectágulos, pr lo cul es ecesrio cotr co el vlor de l se l ltur de cd uo de ellos. Pr determir l se del primero, segudo, tercero curto deemos clculr: -, -, -, 4 -, respectivmete. E geerl, pr clculr l se del k-ésimo rectágulo deemos determir l difereci: k - k-. A estos chos de los rectágulos se les costumr deotr como: = -, = -, = -, 4 = 4 -,..., k = k - k- L ltur del primero, segudo, tercero, curto,..., rectágulo circuscrito se determi clculdo f( ), f( ), f( ) f( 4 ),..., respectivmete. E geerl pr determir l ltur del k-ésimo rectágulo circuscrito se clcul f( k ). Así, pr determir el áre de rectágulos circuscritos, deemos determir l siguiete sum: A( ) = f( ) + f( ) + f( ) f( ) E mtemátics este tipo de sums se costumr escriir utilizdo l otció sigm, de l cul te dmos vrios ejemplos: k = i = i = i = k 4 = i = i ( 4) + ( 4) + ( 4) + (4 4) + ( 4) ( 4) = ( i 4) El áre de los rectágulos circuscritos, se puede escriir como: k k k = A( ) = f( ) = f( ) + f( ) + f( ) f( ) U vez estlecido lo terior determiremos, de mer proimd, el áre jo l curv de l fució f() = e el itervlo [,] circuscriiedo ocho rectágulos del mismo cho. Pr hcerlo strá relizr l siguiete sum: i = 46

7 8 k k 8 8 k = A(8) = f( ) = f( ) + f( ) + f( ) f( ) d e dode el cho de cd rectágulo será igul /8, porque el itervlo [,] tiee de cho uo lo hemos sudividido e ocho prtes igules. Así pues: k = k k- = /8, pr k =,,..., 8. Por lo terior como =,,=/8, = /8, = /8,..., 8 = 8/8, podemos cocluir que k = k/8. Psemos hor determir l ltur f( k ) de cd uo de los rectágulos. L fució que teemos elev l cudrdo l vrile idepediete, por lo que: f( ) = =, 8 Resumiedo: f( ) = =, 8 f( ) = =,..., 8 k f( k) = k = k 8 A(8) = f( k) k = = k= k= = = = ( 4 ) = = ( ) k d A(8) = f( k) k = = =.9847 k= k= Es clro que coforme el úmero de rectágulos umet, l proimció mejor, llegdo l situció límite cudo tiede ifiito, e dode el eceso tiede cero por lo tto se cumple que: k d= lim A ( ) = lim f( k) k = lim k= k= = = lim = = lim ( ) Como hrás otdo el cho de cd rectágulo es k = / (k =,,,..., ), resultdo que se otiee l dividir e prtes igules el itervlo [,]. Oserv que pr cocluir el prolem os hce flt coocer el resultdo de l sum de los cudrdos, es decir i = i = ( ) + ( ) + =? = 47

8 A cotiució rimos u prétesis pr determirl. Primero recordemos lo que hizo el iño Guss cudo su mestr, por ltoso, lo mdo su sieto sumr , es decir, los primeros cie úmeros eteros positivos. E meos de u miuto regreso Guss co su mestr co l sum relizd, lo cul ovimete l sorpredió. Al pregutrle su mestr cómo l hí relizdo t rápido Guss cotesto: Sumé +, + 99, + 98 me di cuet que cd sum d. Como e totl so sums, el resultdo es () = 6. Nosotros seguiremos ls ides del igeioso iño Guss pr sumr: i = i = ( ) + ( ) + Si summos el primero el último, el segudo el peúltimo, etc., oteemos e cd cso +. Y como eiste / térmios de ese tipo, e totl otedremos: ( + ) i = ( ) + ( ) + = i = Al resultdo sí oteido se le puede ojetr que si es impr, o tedremos / térmios. Est ojeció se puede superr sumdo dos veces l mism sumtori, colocdo u de ells del úmero mor l meor. i = i = i = (-) + (-) + i = + (-) + (-) i = (+) + (+) + (+) + +(+) + (+)+ (+) = (+). i = L sum térmio térmio: co, co, etc., os result térmios de vlor + por el otro ldo dos veces l sumtori uscd, por lo tto: ( + ) i = ( ) + ( ) + = i = Los úmeros que se otiee cudo =,,,..., so coocidos como úmeros trigulres. Por qué? Ajo te mostrmos l rzó. i = i = i =, i =, i = i = Los primeros cico úmeros trigulres Se cuet que cudo el fmoso mtemático F. Guss (777-8) er u iño su mestr le dejo sumr los úmeros eteros del l, lo cul hizo e uos segudos. 48

9 4 i = i =, i = i = Pr oteer, de mer secill k= k = k, hcemos lo siguiete: = + = = = = = = Si hcer el cálculo, sádoos e lo terior, podemos supoer que el siguiete resultdo es correcto: = No es difícil llegr l coclusió, de que e geerl ( ) + ( ) + + = ( ) + ( ) + Filmete, co se e que i = ( + ) i =, podemos estlecer que: k= k= k k ( ) + ( ) + k= k= + = = = k= ( ) + ( ) + ( + ) k k= k k = k = + ( + ) ( + )(+ ) = = 6 Después de este pequeño prétesis, podemos cotiur co l solució ect de uestro prolem: k d= lim A ( ) = lim f( k) k = lim k= k= = = lim ( ) 49

10 = lim ( + )(+ ) = lim 6 = lim = lim = + + = 6 ( ) Resumiedo: d = Grcis este resultdo podemos ver que cudo circuscriimos 8 rectágulos os ecedemos e: = = Ejemplo. Determi el áre jo l curv represetd por l circuscriiedo rectágulos del mismo cho. d, Solució. Circuscriimos rectágulos del mismo cho e el itervlo [,4], por lo que el cho de cd rectágulo será k = 4/. Los etremos de los itervlos será: =, = 4/, = 8/, = /, 4 = 6/,..., k = 4k/,..., = 4/, por lo que ls lturs estrá determids por: f( ) = =,..., 4 4 f( ) = =, 8 f( ) = =, 4k f( k) = k =. L itegrl quedrá como sigue: 4k 4 d= lim f( k) k = lim k= k= = 4() 4 4() 4 4() 4 4( ) 4 = lim = lim ( )

11 4 d = = lim 6 = lim = lim = Ejemplo. Determi el áre jo l curv circuscriiedo rectágulos del mismo cho, represetd por l d. Solució. Al circuscriir rectágulos del mismo cho e el itervlo [,], el cho de cd uo de ellos será k = /, co k =,,,...,. Los etremos e el eje de los rectágulos será: k = k/, co k =,,,...,. Por lo que ls lturs estrá dds por: f( k ) = k = (k/). Así pues dich itegrl quedrá como sigue: k d= lim f( k) k = lim k= k= = d = () () 4() ( ) = lim = lim ( ) + + = lim 6 = lim = lim = + +

12 Ejercicios Siguiedo ls ides que hemos visto hst quí o te será difícil demostrr que:. d =. c d = c ( ) Co se e todo lo terior estás e codicioes de drle sigificdo l siguiete defiició: Si f es u fució defiid cotiu e el itervlo [,], el áre jo l curv f e ese itervlo es: f( ) d = lim f( k) k k = e dode represet el úmero de itervlos del mismo cho e los que se h dividido el itervlo [,], f( k ) l ltur del k-ésimo rectágulo k su cho. L iterpretció de l itegrl como áre jo l curv tiee el prolem de que cudo clculmos, por ejemplo el áre jo l curv = 4 e el itervlo [,] os d: ( ) ( 4) d = d 4d = 4 = ( 4()) = 4 Como ie semos, o eiste áres egtivs, por lo que el resultdo de 4 uiddes cudrds o tiee setido. Si oservmos l gráfic, podemos eteder lo que est ocurriedo. = 4 (,) (,-4) El áre que hemos somredo tiee 4 uiddes cudrds. Por lo que podemos iterpretr que l itegrl ( 4) d os proporcio el áre que se ecuetr etre l gráfic de l curv el eje, cotd por los etremos = =.

13 Así pues, deemos teer cuiddo cudo iterpretmos l itegrl como el áre jo u curv o rect, porque puede ocurrir csos como los siguietes cudo estemos trjdo co f ( ) d f() f() f() + + Ejercicios. Clcul u proimció del áre jo l curv de l fució f() =, e el itervlo [,], circuscriiedo 4 rectágulos.. Circuscriiedo cico rectágulos del mismo cho, determi l proimció correspodiete : d k= k =. Sigue complet los siguietes psos pr ecotrr el resultdo de k. Primero oserv lo siguiete: = + 9 = = = = = = Ahor, si relizr los cálculos, iduciedo el resultdo ecuetr: = Comprue tu resultdo hciedo los cálculos. E geerl tedremos que: ( ) + ( ) ( ) + ( ) + =

14 Si o te es posile ecotrr el resultdo terior, revis los úmeros trigulres. Así pues, llegmos l siguiete resultdo: Y filmete que: k= k= k= k= k= k k = k k= k = k ( + ) = = ( + ) k ( + ) = 8 4. Determi pso pso, circuscriiedo rectágulos, l resultdo hciedo el cálculo co l fórmul d =. d. Comprue tu. Ecuetr el resultdo de ( ) d, trz su represetció gráfic eplic por qué d el resultdo que ecotrste. Secció. El Teorem Fudmetl del Cálculo. E ést secció, pretedemos que logres los siguietes predizjes: Vlorr ls vetjs de l eisteci de u tiderivd pr ecotrr l itegrl defiid. Compreder l iterrelció que se estlece e el Teorem Fudmetl del Cálculo. Aplicr el Teorem Fudmetl del Cálculo. Clculr el áre etre dos curvs. A cotiució presetmos el Teorem fudmetl del Cálculo: Si f es u fució cotiu e el itervlo [,] F ( ) = f(), etoces f ( ) d = F ( ) F ( ) F() es coocid como u primitiv o tiderivd de f(). Este teorem estlece l relció que eiste etre el cálculo itegrl el diferecil, que l itegrció l derivció so procesos iversos. Si u fució f() es itegrd cotiució derivd, otedremos uevmete f(), vicevers, slvo u costte, tl como lo hemos visto. 4

15 Co se es este teorem, podemos verificr ls itegrles, o tiderivds, que determiemos, pues l derivr F(), deemos oteer f(), o ie si coocemos l derivd de u fució, semos que su itegrl será l fució origil. t Si d = F ( t ), F ( t) dee ser igul. Qué fucioes cumple que su o derivd se igul? Cumple: F() =, F() = +, F() = - 8, e geerl F() = + c, por lo que los distitos vlores que puede tomr F() sólo difiere e u costte. Es importte hcer otr que ls propieddes que ecotrmos cudo iterpretmos l itegrl como el áre jo u curv, so válids e geerl, es decir ls siguietes so propieddes de l itegrl: cf ( ) d = c f ( ) d f( ) d = f( ) d f( ) d ( f ( ) + g( )) d = f ( ) d + g( ) d Y cutro fórmuls: d = ( ) + + d = d = d=, e dode Comprue que: t. se d = -cost + o t. ed= ( e t + c)- (e + c) = e t o Ejercicios 4

16 . ( + ) d= Ejemplo. Clcul el áre de l regió compredid por l gráfic de l fució f() = +, el eje ls rects = =. Solució. E l gráfic te mostrmos el áre que se dese ecotrr. Pr determirl hcemos lo siguiete: ( + ) d = ( + + c) ( ) ( ) = ( + + c) ( = ( + + c) ( + + c) = 4 c) Es importte oservr e el ejemplo terior que ls costtes de itegrció filmete se ccel, por lo que o se costumr escriirls cudo se trj co itegrles defiids. Ejemplo. Determi el áre de l regió compredid por ls gráfics de ls fucioes f() = g() =. Solució. Ajo teemos l represetció gráfic del prolem. El áre de l regió compredid por ls dos curvs se ecuetr somred. f() = f() g() = Pr determir los putos de itersecció de ls gráfics de f g, deemos determir los putos e que so igules f() g(), es decir, teemos que resolver l ecució: = Los vlores que stisfce l ecució so = =, por lo que los putos de itersecció so: (,) (,4). El áre que estmos uscdo se ecuetr hciedo lo siguiete: 6

17 8 g( ) d f ( ) d = ( g( ) f ( )) d = ( ) d = ( ) = (4 ) = 4 Ejemplo 4. Determi el áre de l regió determid por ls gráfic de l fució = +, co l de l fució = +. Solució. Primero determiemos los putos de itersecció de ls dos curvs, pr lo cul resolvemos el sistem por igulció. + = +, =, = ( ), de dode, ls solucioes so: =, o =. Así pues ls curvs se itersect e = e =, como se muestr e l figur. = + = + Después, clculmos l itegrl (( + ) ( + )) d = ( ) d = ( ) = ( ) =. Determi d. 4. Ecuetr d. 4. Clcul ( + ) d. 4. Demuestr que t Ejercicios (4 ) d =.. Si l cos d = F( t), etoces qué es igul F( π 4 ). t t Si l f( ) d = e e, etoces qué es igul f(). 7. Determi el áre ecerrd por el eje ls gráfics de f() = g() = +6 7

18 8. Comprue que el áre ecerrd por ls gráfics de ls fucioes f() = g() = es /. Te sugerimos trzr ls gráfics correspodietes. 9. Ecuetr el áre ecerrd por el eje, ls gráfics de ls fucioes = =. Clcul el áre de l regió ecerrd por l gráfic de l fució f() = 4 el eje.. Pr cd cso, escrie l o ls itegrles medite ls cules determirís el áre somred: ) ) c) f() f() g() c. Ecuetr el áre de l regió ecerrd por ls gráfics de ls fucioes: ) = = ) = + = c) = 4 = f() g() - Biliogrfí. All B. Cruse Millie Lehm. Leccioes de Cálculo. Fodo de Cultur Eductivo Ieromerico, Méico 987. Leccioes, 4, 6.. Jmes Stewrt, Cálculo. Coceptos Cotetos. Thomso, Méico, 999. Seccioes.,.,..4.. Lrso Hostetler Edwrds, Cálculo. McGrw Hill, Méico, 999. Seccioes.,