Teoría Tema 5 Integral definida. Área encerrada por una curva

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1 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 1/16 Teorí Tem 5 Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv Ídice de coteido El prolem del cálculo del áre...2 Propieddes de l itegrl defiid...3 Defiició forml de l Itegrl de Riem. Sum superior e iferior...7 Teorem fudmetl del cálculo itegrl. Regl de Brrow...12 Ejemplo de cálculo de áre co l regl de Brrow...15

2 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 2/16 El prolem del cálculo del áre El cálculo itegrl tuvo su orige e l resolució l pregut sore el áre de u superficie limitd por curvs. Cudo el recito cotdo es u polígoo de ldos rectos, usmos fórmuls ie coocids: áre de u triágulo, de u rectágulo, etc. Pero cudo o teemos u polígoo, sio fucioes que se cort, el suto se complic. L fució f ( ) ecierr u áre A co eje OX y rects verticles =2, =4 Si f () es positiv e el itervlo [,], l itegrl f ()d recie el omre el áre ecerrd por l curv de f () co el eje OX etre los límites de itegrció = y =. Áre= Si f () es egtiv e el itervlo [, ], el vlor soluto de l itegrl f ( )d coicide co el áre ecerrd por l curv de etre los límites de itegrció = y =. f () co el eje OX Áre= f ()d= L epresió f ()d se deomi itegrl defiid de f () e [,].

3 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 3/16 Propieddes de l itegrl defiid Se f () u fució cotiu e el itervlo cerrdo [,] y c [,]. L itegrl defiid co límite iferior y límite superior cumple: c f ()d= f ()d+ c Es decir: si c está etre los límites y podemos romper l itegrl defiid como sum de dos itegrles. Si f () es positiv e el itervlo [, ], l itegrl defiid f ()d coicide co el áre ecerrd por l curv de f () co el eje OX etre los límites de itegrció = y =. f ( )d coicide co áre ecerrd por f ( ), eje OX y límites de itegrció Ojo! Pr poder plicr est propiedd es fudmetl que l fució esté por ecim del eje de sciss. Si está por dejo deemos plicr el vlor soluto pr oteer u vlor positivo del áre. Si f () es egtiv e el itervlo [, ], el vlor soluto de l itegrl defiid f ()d coicide co el áre ecerrd por l curv de OX etre los límites de itegrció = y =. f () co el eje

4 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 4/16 f ( ) d coicide co áre ecerrd por f ( ), eje OX y límites de itegrció Si los etremos del itervlo [, ] coicide ==> = cosiderd es cero: ==> el áre de l regió f ()d=0 Si cmimos el orde de los límites de itegrció, l itegrl defiid cmi de sigo: f ()d= f ()d L itegrl defiid de l sum de fucioes f () y g ( ) es l sum de ls itegrles defiids: ( f ()+ g())d= + g( )d L itegrl del producto de k R por l fució l itegrl de f () : f () es igul l producto de k R por k f ()d=k

5 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 5/16 Si f () y g( ) so dos fucioes positivs e el itervlo [, ], tles que f () g( ), [,] (es decir, l gráfic de f () siempre permece por ecim de l gráfic de g( ) ), se cumple: f ( )d g ( )d Es decir, el áre ecerrd por f () sore el eje OX es myor que el áre ecerrd por g( ) sore el eje OX. Por lo geerl, dmitiremos que tod fució f ( ) cotiu e [, ] es itegrle e [,]. Y tmié dmitiremos que f () posee u vlor c [, ] que stisfce l siguiete relció coocid como Teorem de l medi: f ()d= f (c)( ) L iterpretció geométric del Teorem de l medi os dice que eiste u vlor c [, ] tl que el áre del rectágulo cuy se mide y cuy ltur mide f (c) es igul l áre del recito cuy medid os d l itegrl defiid. Teorem de l medi

6 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 6/16 Trs ests propieddes de l itegrl defiid, l pregut que se os plte es stte evidete: Cómo demoios clculo uméricmete f ()d? Eiste u defiició forml de itegrl defiid, álog ls que vimos e su dí pr el cocepto de límite, de cotiuidd o de derivilidd. Vmos estudirl, pr psr luego u método más práctico de operr trvés del Teorem fudmetl del cálculo itegrl y de l regl de Brrow.

7 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 7/16 Defiició forml de l Itegrl de Riem. Sum superior e iferior Se f () u fució o egtiv y cotiu e el itervlo cerrdo [, ]. L gráfic de l fució, el eje de sciss y l rects verticles = y = determi u recito cerrdo de áre A. Si f () es u rect, este recito cerrdo tedrá form de triágulo o de rectágulo. Y el áre será fácil de oteer co ls fórmuls elemetles del áre. Pero si f () es u curv o rectilíe, l cos se complic. Áre ecerrd por l gráfic f () co el eje horizotl e el itervlo [,] Podemos proimr el vlor del áre de l siguiete form. Vmos tomr u prtició del itervlo [, ]. U prtició o es más que u cojuto fiitos de vlores P={ 0, 1, 2,..., }, dode = 0 < 1 < 2 <...< =. Semos que tod fució cotiu e u itervlo cerrdo está cotd e dicho itervlo. Recuerd que l meor de ls cots superiores se llm supremo y el myor de ls cots iferiores se llm ífimo. Así, todos los itervlos [ 0, 1 ], [ 1, 2 ],...,[ 1, ] tedrá su correspodiete supremo y ífimo. Fíjte que l ser f () cotiu e todos los itervlos [ 0, 1 ],[ 1, 2 ],...,[ 1, ], el supremo coicide co el máimo y el ífimo co el míimo (Teorem de Bolzo- Weierstrss).

8 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 8/16 Tedremos itervlos [ 0, 1 ], [ 1, 2 ],...,[ 1, ]. Siedo l chur de cd itervlo l difereci: Δ i = i i 1 Δ 1 = 1 0, Δ 2 = 2 1,..., Δ = 1 El supremo que tom l fució e cd itervlo lo llmremos: E i =supremo { f ( )/ [ i 1 i ]} El ífimo que tom l fució e cd itervlo lo llmremos: e i =ífimo { f ( )/ [ i 1 i ]} Si multiplicmos l chur de u itervlo por su ífimo, tedremos el áre del rectágulo correspodiete. L sum de todos estos rectágulos se llm sum iferior y es u proimció l áre ecerrd por l fució. S ( f,p )=e 1 Δ 1 +e 2 Δ e Δ = e i Δ i Ejemplo de Sum iferior, que proim por defecto el áre ecerrd por l fució

9 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 9/16 Si multiplicmos l chur de u itervlo por su supremo, tedremos el áre del rectágulo correspodiete. L sum de todos estos rectágulos se llm sum superior y es otr proimció l áre ecerrd por l fució. S ( f,p )=E 1 Δ 1 + E 2 Δ E Δ = E i Δ i L sum iferior proim el áre A por defecto. Y l sum superior por eceso. Es decir. S ( f,p ) A S ( f, P) Cuto más fi se l prtició P, mejor será l proimció, y que ms sumtoris se cercrá cd vez más l vlor ecto del áre. Si el itervlo de prtid es [,], su chur es. Si tommos u prtició que divide [, ] e itervlos de igul chur, l chur de cd uo de estos itervlos será: Δ i = i i 1 = E el cso límite de ls dos sumtoris covergerá l vlor úico del áre ese áre se defie como l itegrl defiid: A. Y lim S ( f, P)=lim =lim e i Δ i = f ()d=lim S ( f, P )=lim f (ϕ i )Δ i, ϕ i [ i 1, i ] i =1 E i Δ i Est es l defiició de fució f () itegrle segú Riem, o R-itegrle, sore el itervlo [, ]. Culquier fució cotd [, ] es R-itegrle. O tmié podemos decir que culquier fució cotiu e [, ] es R-itegrle. Si Si f ()>0 e [,] = A f ()<0 e [,] = A

10 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 10/16 Ejemplo de defiició forml de itegrl de Riem Demostrr que el áre ecerrd por u rect horizotl f ()=k e el itervlo [, ] es igul A=k ( ) (fórmul del áre de u rectágulo: se por ltur). S ( f,p )= S ( f,p )= S ( f,p )=k( ) e i Δ i = k Δ i Al ser l fució costte e i =k k Δ i =k Δ i =k ( i i 1 )=k [( 1 )+( 2 1 )+...+( 1 )] i =1 De igul form se demuestr: S ( f,p )=k( ) Por lo tto: lim S ( f, P)=k ( )=lim S ( f, P) =k ( )=A c.q.d. Co l defiició forml de itegrl estmos e disposició de demostrr, por ejemplo, el teorem de l medi que eucimos e el prtdo terior. f ( )d= f (c)( ) E efecto. Si l fució f () es cotd e [,], eistirá u vlor e igul l ífimo de tod l fució e el itervlo y eistirá u vlor E igul l supremo de tod l fució e el itervlo. De est form: [,],e f () E e d E d e d E d

11 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 11/16 E el ejemplo resuelto tes, l itegrl defiid de u rect horizotl f ()=k e [, ] es k ( ). Si k =1 l itegrl defiid será ( ). e( ) f ( )d E ( ) e 1 f ()d E Si llmmos μ= 1 μ( )= De l defiició forml de itegrl =lim f (ϕ i )Δ i, ϕ i [ i 1, i ] semos que l itegrl de f () se otiee prtir de vlores f (ϕ i ) que cumple ϕ i [ i 1, i ]. Por lo tto podemos firmr que μ= f (c) tl que c [, ]. Y cocluimos: f (c)( )=, c [, ] c.q.d. Co l defiició forml de itegrl ocurre lo mismo que co l defiició forml de derivd o l defiició forml de límite. Cudo ls fucioes se complic, ls defiicioes formles so difíciles de operr. Por eso uscmos métodos más prácticos. Pr ello vmos estudir, e el siguiete prtdo, el teorem fudmetl del cálculo itegrl y l regl de Brrow.

12 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 12/16 Teorem fudmetl del cálculo itegrl. Regl de Brrow Teorem fudmetl del cálculo itegrl Si f ( ) es u fució positiv y cotiu e [, ], l fució defiid por A( )= es u primitiv de f () e [,] y cumple l siguiete iguldd: A ' ()= f (), [,] A( ) coicide co el vlor del áre ecerrd por l curv f () co el eje OX y los límites de itegrció,. L epresió l itegrl defiid como f ()d se cooce como itegrl defiid de f (). Si = defiimos f ()d. El vlor del áre f ()d depede de l form de l curv geerd por f () y del itervlo [, ]. Es decir, el resultdo fil o depede de l vrile. E l defiició del teorem fudmetl del cálculo itegrl hemos cosiderdo <. Si tuviérmos < se defie l siguiete iguldd: f ()d= f ()d Si e u itegrl defiid se itercmi los límites de itegrció, l itegrl defiid cmi de sigo. Si <, llmremos límite de itegrció iferior l vlor y límite de itegrció superior l vlor.

13 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 13/16 Demostrció del Teorem fudmetl del cálculo itegrl. Se [, ] u puto ritrrio del itervlo. Se A( )= derivle y f () u fució cotiu e ese itervlo. u fució L fució A( ) soci cd puto [, ] el áre del recito limitdo por l gráfic y el eje horizotl etre los vlores de scis y. Por l defiició forml de derivd por l derech: A ' ( + A(+h) A( ) )=lim h 0 h + =lim h 0 + +h f ()d h f ()d + 1 =lim h h 0 h + f ()d Si plicmos el teorem de l medi, eucido y demostrdo e prtdos teriores: +h f ()d= f (c)(+h ), c [, +h] +h = f (c) h Llevmos este resultdo l epresió de A ' ( + ) : + A ' ( + 1 )=lim h h 0 h + f ()d=lim 1 h 0 h + f (c) h=lim h 0 + f (c)= f ( ) Dode hemos plicdo que si si c [, +h],h 0 + c y que el itervlo [, +h] coverge u úico puto f (c) f (). Si rzomos de mer álog co l derivd por l izquierd : A ' ( )= f () Como ls derivds lterles coicide, uestr fució es derivle y cumple: A ' ( + )=A ' ( )= f () A() es derivle y A' ()= f ( ) [,] c.q.d.

14 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 14/16 Regl o Corolrio de Brrow Se f () u fució cotiu e [, ] y se F ( ) u primitiv de f ( ) e [,]. Etoces se cumple: Demostrció de l regl de Brrow Si f ()d=[f ()] =F () F () f () es cotiu e [, ], por el teorem fudmetl del cálculo itegrl, semos que A( )= y que A( ) es u primitiv de f () e [,]. Por lo tto A ' ()= f (), [,] y A( ) os iform del áre ecerrd Si F ( ) es primitiv de f () ==> F ' ()= f ( ). Teemos dos primitivs de f (). L primitiv F ( ) y l primitiv A( ) que os iform del áre ecerrd. Ams primitivs se distigue e solo u costte. A( )=F ()+ costte Pr = A( )=F ()+ costte Recordmos que A( )=. Por ls propieddes de l itegrl defiid: A( =)=A()= A( )=F () F () =0 0=F ()+ costte costte= F () Est iguldd se cumple pr culquier vlor [, ]. E prticulr pr = : A( =)= A()=F () F () Y de l defiició de itegrl defiid: A( )= Iguldo los dos resultdos oteidos pr A()= A() demostrmos el corolrio de Brrow. f ()d=f () F () c.q.d.

15 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 15/16 Ejemplo de cálculo de áre co l regl de Brrow Oteer el áre ecerrd por f ( )=l( ) co el eje de sciss e el itervlo [ 1 10,5]. Al represetr gráficmete l curv, vemos que prte de l curv está por dejo del eje de sciss y prte por ecim. Y el corte co el eje OX se produce e =1. El áre totl A uscd será (segú otció de l gráfic superior): A= A 1 + A 2 A 1 Áre desde = hst =1 A = 1 l( )d A 2 Áre desde =1 hst =5 A 2 = l()d 1 Por lo tto, deemos oteer u primitiv de e cd trmo de áre defiid. f ()=l( ) y plicr l regl de Brrow l ()d= l() +C Dode hemos plicdo el método de itegrció por prtes.

16 Colegio Mrist L Imculd de Grd Profesor Diel Prtl Grcí Asigtur: Mtemátics Ciecis 2ºBchillerto Teorí Tem 5: Itegrl defiid. Áre ecerrd por u curv pági 16/16 Al sustituir e l itegrl defiid o es ecesrio que usemos l costte C, y que ést ccel l plicr l regl de Brrow. 1 A 1 = l( )d= [ l( ) ] 1 1 = [(1 l(1) 1) ( l ( 1 10 ) 1 10 )] A 2 = l()d=[ l( ) ] 5 1 =[(5 l (5) 5) (1 l(1) 1)] 1 Opermos (recuerd que el logritmo de u cociete es l difereci del logritmo del umerdor meos el logritmo del deomidor). A 1 = [(0 1) ( 1 10 l (10) 1 10 )]= l(10) 1 10 = l(10) A 2 =[(5 l(5) 5)+1]=5 l(5) 4 Por lo tto: A= A 1 + A 2 A= l (10)+5 l(5) 4= l(10)+5 l(5) A 4,72 u2 10