a a - Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura Cálculo II Funciones Riemann integrables Funciones integrables

Transcripción

1 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur 2 Cálculo II Fucioes Riem itegrles Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur F El cálculo de áres de cojutos puede hcerse siedo clculr áres de cojutos que tiee rectos todos sus ldos slvo uo. L igur de l ldo muestr cómo se puede dividir e trozos: uo de ellos, que se h desigdo como F, tiee ldos rectos slvo el de rri. Ese ldo que o es recto estrá deiido de lgu orm, por ejemplo l gráic de u ució. E este cpítulo se estudi u orm de clculr ls áres de cojutos de ese tipo. Se cooce como itegrl de Riem. Se trt de clculr sums de rectágulos pr ecotrr el áre totl como límite de ess sums. El método exhustivo (que proviee de l époc de l greci tigu) es el orige de est ide itegrl como límite de sums rectágulos. L itegrl de Riem permite el cálculo del áre ecerrd por l gráic de u ució e u itervlo, l meos pr u clse muy mpli de ucioes. Más delte se verá cómo hy ucioes que permite hcer estos cálculos y otrs que o. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Fucioes itegrles Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Pr u ució o egtiv : [,] R + itegrr es clculr el áre suycete l gráic B = 2 A = 7 A =. A = Pr ucioes geerles (positivs, egtivs o co prte positiv y prte egtiv) : [,] R l itegrl mide cuát áre hy por ecim del eje X meos cuát áre hy por dejo. E l igur de l izquierd l itegrl mide = 7 2 = 5. Fucioes Riem itegrles

2 Hy ucioes o uls cuy itegrl es egtiv o cero. Por ejemplo, l ució - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur veriic : x [, ] (x) = x = 2, = 2, =. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Itegrció de ucioes costtes. Por deiició, si : x [, ] (x) = c R es u ució costte, l itegrl de e [,] es = c ( ), que es u úmero positivo, egtivo o cero segú se c. Itegrció de ucioes esclods (o simples o costtes trozos). U prtició de [,] es u colecció iit de putos = x < x < x 2 <... < x =. Suele escriirse P = { = x < x < x 2 <... < x = }. U ució esclod (socid es prtició) es u ució que es costte e cd itervlo (x k, x k ) de l prtició, es decir, u ució : x [,] (x) = c k si x (x k, x k ) (el vlor e los extremos puede ser (x k ) = c k o ie (x k ) = c k+ ). Por deiició, l itegrl es c 2 c 3 c = c (x x ) + c 2 (x 2 x ) + + c (x x ) = c k (x k x k ) = k= c k k k= x x x 2 x3 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Se deot por E [,] l cojuto de ucioes esclods e [,]. Es evidete que se trt de u espcio vectoril, e el cul l itegrl E [,] R es u uciol liel. E otrs plrs, si,д E [,] etoces α + βд E [,] y demás Además es u uciol moótoo: (α + βд) = α,д E [,], д + β д. д, dode д sigiic que (x) д(x) pr todo x [,]. Fucioes Riem itegrles 2

3 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Es ácil compror que si,д E [,] etoces i(,д), sup(,д) E [,], dode, por deiició, i(,д)(x) = i( (x),д(x)) y sup(,д)(x) = sup( (x),д(x)). E geerl o hy igu relció etre los vlores ( ) ( д) y ( ) д. Hy ejemplos que muestr que puede drse culquier comprció, meor, myor o igul. Ls ucioes esclods so l se pr el cálculo de itegrles de ucioes más complejs, que y o so esclods pero que puede proximrse e lgú setido por ésts. Fucioes Riem itegrles. Se : [,] R u ució cotd, es decir, existe M > que veriic (x) < M pr todo x [,]. E lo que sigue se sumirá que ls ucioes so cotds, uque veces o se dig expresmete. Al il del tem se verá cómo proceder co ucioes que o so cotds. Se dice que es Riem itegrle o R-itegrle (o itegrle e el setido de Riem) e [,] si pr todo ε > existe ucioes esclods h, k E [, ] tles que ) h k ) (k h) < ε k h Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur ( está ecjd etre ucioes esclods cuy diereci e áre es t pequeñ como se quier.) Ejemplo. Culquier ució esclod e [, ] es Riem itegrle: si es esclod, etoces se elige h = k = que veriic los prtdos ) y ) teriores. Ejemplo. L ució (x) = x es Riem itegrle e [, ]. Es u ejercicio simple compror cómo hy que elegir dos ucioes esclods h k que veriique (k h) < ε pr distitos vlores de ε. E l gráic se muestr cómo hcerlo pr ε = /. De orm - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (x) = x k h similr se hce pr ε = /, etc Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. L ució que vle cero e todos los putos de [, ] slvo (/2) = es R-itegrle. Pr est ució se elige h = y k : x [, ] k(x) = que veriic h k y demás { x resto [ 2 ε 2, 2 + ε 2 (k h) = ] k = ε /2 L mism ide sirve pr pror que so R-itegrles ucioes que so costtes e u itervlo slvo e u ctidd iit de putos e los que l ució tom vlores ritrrios. Más delte se verá lgus clses de ucioes, como ls ucioes moótos o ls ucioes cotius, que so R-itegrles. Si emrgo, hy ucioes secills que o lo so. Fucioes Riem itegrles 3

4 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. L ució de Dirichlet Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur : x [, ] { si x Q si x Q o es R-itegrle e [, ]. Pr comprorlo st oservr que si h y k so ucioes esclods e [, ] y veriic h k etoces dee cumplir h y k. Por tto cumple (k h) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur = y o es R-itegrle, o se puede itegrr e el setido de Riem. Est ució sí es itegrle e u setido más mplio (l itegrl de Leesgue) y su itegrl de Leesgue vle. Por otr prte hy resultdos que muestr tipos de ucioes que so R-itegrles. Es cierto que o so muchs ucioes, pero icluye ls ucioes que so cotius e csi todos los putos. Proposició. Tod ució : [,] R moóto (creciete o decreciete) es R-itegrle. Además k h (k h) = k= = Demostrció. Se creciete (l prue es similr si es decreciete). Al ser moóto e [,] se tiee que está cotd. Se = x < x <... < x = u prtició de [,] co putos igulmete seprdos (equidisttes), es decir, x k x k = ( )/ pr k =,...,. Se deie ls ucioes esclods } h : x [,] h(x) = (x k ) (x (x k, x k ]). k : x [,] k(x) = (x k ) Es evidete que h k, y que es creciete. ( ) (x k ) (x k ) = ( ) (x k ) (x k ) k= ( ) (x ) (x ) + (x 2 ) (x ) (x ) (x ) ( ) () () = y por tto es R-itegrle, y que l itegrl puede hcerse ritrrimete pequeñ. Proposició. Si : [,] R es cotiu, etoces es R-itegrle e [,]. Demostrció. Como es cotiu e [,], que es u cojuto compcto, etoces está cotd. Además, es uiormemete cotiu e [,]. Por tto, ddo ε >, existe δ > tl que x, y [,], x y < δ (x) (y) < ε. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Fucioes Riem itegrles 4

5 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Se u prtició = x < x <... < x = tl que x k x k < δ pr k =, 2,...,. Se cosider ls ucioes esclods } h : x [,] h(x) = mi{ (x) : x [x k, x k ]} = m k ( ) (x [x k, x k ]). k : x [,] k(x) = mx{ (x) : x [x k, x k ]} = M k ( ) Ests ucioes cumple h k. Esto es evidete, y que e cd itervlo [x k, x k ] l ució h es el vlor míimo de y l ució k es el vlor máximo de ; vlores que se lcz por l cotiuidd de. Como M k ( ) y m k ( ) se lcz e dos vlores del itervlo [x k, x k ] (vlores cuy distci etre ellos es meor que δ), plicdo l cotiuidd uiorme de se tiee M k ( ) m k ( ) < ε/( ). Por tto, (k h) = k= y se termi l demostrció. [ ] M k ( ) m k ( ) k < ε k = k= ε ( ) = ε Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Este resultdo prue que ls ucioes elemetles so R-itegrles e los itervlos e los que se cotius. Por ejemplo, l ució (x) = /x es R-itegrle e [ 2, 4]. Y se verá más delte que tmié so R-itegrles ls ucioes cotds y cotius trozos. Si emrgo, hy ucioes que o se puede itegrr, como e el ejemplo terior. L itegrl de Leesgue, que o se v estudir e este curso, permite el cálculo del áre suycete pr tods ls ucioes Riem itegrles y pr muchs más e ls que l itegrl de Riem o ucio. Est itegrl de Leesgue extiede l itegrl de Riem y puede clculr itegrles de ucioes que o so Riem itegrles. Al coicidir ms itegrles e ls ucioes elemetles se hl de l itegrl, ddo eteder que sólo hy u proceso pr el cálculo de itegrles. Teorem. Pr u ució : [,] R cotd, so equivletes - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur ) es R-itegrle e [, ], es decir, pr todo ε > existe ucioes esclods h, k E [,] tles que h k y (k h) < ε. { } { } ) sup h : h E [,], h = i k : k E [,], k E este cso, l úmero rel que prece e el prtdo ) se le llm itegrl de e [,] y se escrie { } { } = sup h : h E [,], h = i k : k E [,], k Cálculo de l itegrl. El vlor de est itegrl se puede hcer utilizdo vrios métodos. El teorem terior dice que es el myor vlor de tods ls itegrles de ucioes esclods que está por dejo de. Tmié es el meor vlor de tods ls itegrles de ucioes esclods que está por ecim de. U ució Riem itegrle tiee l propiedd de que mos procesos llev l mismo úmero. Lógicmete, l elecció de tles ucioes esclods (por dejo de l ució o por ecim de ell) dee ser certd, es decir, lo más cerc posile de l ució. Fucioes Riem itegrles 5

6 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. L ució (x) = x 2 es Riem itegrle e [, ] (ie por ser creciete, ie por ser cotiu). Por tto se puede clculr su itegrl. Si se elige u ució esclod por dejo de, deiid medite l prtició {, /2, }, como se muestr e l igur, Figur (x) = x 2 /2 Figur 2 (x) = x 2 /4 /2 3/4 se otiee u ució esclod cuy itegrl vle /8, y sí x 2 /8 = 25. Figur 3 (x) = x 2 E l igur 2 se muestr u ució esclod que está por dejo de y deiid co cutro escloes, ddos por los putos {, /4, /2, 3/4, }. Su itegrl vle 7/32 (es l sum de áres de esos rectágulos). Por tto x 2 7/32 = Se puede cotiur este proceso, como e l igur 3 e l que se utiliz 8 escloes. Se otiee u ució esclod cuy itegrl es 35/28, y etoces Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur x 2 35/28 = Hciedo más divisioes del itervlo se v oteiedo ucioes esclods cuys itegrles vle 6567/2 = 32835, co u divisió putos del itervlo, y /2 = , co u divisió de putos del itervlo. L itegrl de l ució (x) = x 2 es el myor vlor posile de todos estos que se v oteiedo. Tmié se puede clculr co ucioes esclods por ecim de. De todos los vlores que se oteg, l itegrl de l ució (x) = x 2 es el meor de todos. /2 /4 /2 3/4 Amos procesos (itegrles por deecto o por exceso) llev l mism coclusió cudo l ució es Riem itegrle. E este ejemplo se lleg x 2 = 3. Fucioes Riem itegrles 6

7 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Pr l ució de Dirichlet vist teriormete se otiee { } { } sup h : h E [,], h =, i k : k E [,], k =, y por tto o es u ució Riem itegrle. Ejemplo. L ució que vle cero e todos los putos de [, ], slvo (/2) =, veriic { } { } sup h : h E [,], h = i k : k E [,], k =, y sí =. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Y se verá más delte que pr u ució que se R-itegrle se puede elegir ucioes esclods itermedis, o ecesrimete por dejo o por ecim de, y l itegrl de es el pso l límite de ests itegrles. Al elegir putos de u prtició equidistte = x < x <... < x = se tiee = lim k= (x k ) = lim ( ) (x ) + (x 2 ) (x ). (el áre es el pso l límite del cálculo de l se por l medi de ls lturs). Por comodidd se elige los putos equidisttes, y sí = x < x = x + < x 2 = x + - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur = x + 2 <... < x = x + =. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Pr clculr π se x2 se elige putos de u prtició de [, π] y sí π se x 2 = x < π < 2π <... < 9π < π (π ) se ( ) π 2 ( + se 2π ) 2 ( se 9π ) 2 + se π 2 = Est proximció será poco justd, y que se h utilizdo sólo diez vlores. Mejor π proximció se cosigue eligiedo más putos, por ejemplo,, 2π,..., π, y se tiee π se x 2 (π ) se ( ) π 2 ( + se 2π ) 2 ( se 99π ) 2 + se π 2 = Pr putos ( = ) se otiee el vlor π se x Al ñdir más putos cd vez se v oteiedo más cirs decimles excts, π se x Fucioes Riem itegrles 7

8 Co este método se puede clculr itegrles como e x tg x = Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur 2π π se x x = Tmié se puede clculr el áre de u círculo (cetrdo e el orige co rdio ) de ecució x 2 + y 2 = o el de u elipse de semiejes y de ecució x 2 / 2 + y 2 / 2 =. x 2 + y 2 = A = π x y2 2 = A = π Regl de los trpecios y regl de Simpso. Pr hcer el cálculo de l itegrl, dode es u ució R-itegrle, existe más métodos, como l regl de los trpecios o l regl se Simpso. E ms se elige u prtició = x < x <... < x = de putos equidisttes (x k x k = ( )/). Lógicmete, l ctidd de putos umetrá pr oteer más precisió. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur E l regl de los trpecios, e cd itervlo [x k, x k ] de l prtició se mide el áre del trpecio cuy se es [x k, x k ] y sus dos lturs so (x k ) y (x k ). Este áre es (x k ) + (x k ) 2 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (x k ) x k x k (x k ) L regl de los trpecios cosiste e tomr como proximció de l sum de ess áres de todos los trpecios [ ] 2 (x ) + 2 (x ) + 2 (x 2 ) (x ) + (x ) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur P x k x k x k+ E l regl de Simpso, e cd dos itervlos cosecutivos [x k, x k ] y [x k, x k+ ] se cosider el poliomio P de grdo 2 que ps por los putos (x k, (x k )), (x k, (x k )) y (x k+, (x k+ )). Este poliomio ecierr e [x k, x k+ ] u áre igul 3 [ (x k ) + 4 ( xk + x ) k+ 2 ] + (x k+ ) L regl de Simpso cosiste e tomr como proximció de l sum de ess áres ecerrds por los poliomios de grdo 2, y se otiee (e este proceso se elige pr) [ ] 3 (x ) + 4 (x ) + 2 (x 2 ) + 4 (x 3 ) + 2 (x 4 ) (x ) + (x ) Ver, por ejemplo, Fórmuls de Newto Cotes e lgu pági como Wikipedi. Estos métodos se estudi e Aálisis Numérico y permite proximr ls itegrles coociedo demás l mgitud del error que se comete. Fucioes Riem itegrles 8

9 Sums de Riem y propieddes de l itegrl - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Dds dos prticioes de [,], P = { = x < x <... < x = } y P = { = x < x <... < x = }, se dice que P es más i que P si P P, es decir todos los putos de P está e P. Se escrie tmié P P. Se deotrá por P[,] l cojuto de prticioes de [,]. Dd : [,] R cotd, se llm sum de Riem de reltiv l prtició P l úmero rel S(, P) = (t k ) k = (t k ) k, k= P dode k = x k x k y t k es u puto del itervlo [x k, x k ]. Culquier sum de ese tipo se llm sum de Riem, y hy tts como eleccioes se hg de los putos x k que orm los itervlos de l prtició y de los putos t k que se elij detro de estos itervlos. Si t k se elige como el vlor e el que lcz el míimo e el itervlo [x k, x k ], es decir, si (t k ) = mi{ (x) : x [x k, x k ]} = m k ( ), etoces l sum de Riem recie u omre especil, sum ierior, y su vlor es L(, P) = m k ( ) k, (L es l revitur de lower.) k= m k ( ) k = P E el cso opuesto, si t k se elige como el vlor e el que lcz el máximo e el itervlo [x k, x k ], es decir, (t k ) = mx{ (x) : x [x k, x k ]} = M k ( ), etoces l sum de Riem se llm sum superior, y es U (, P) = M k ( ) k, (U es l revitur de upper.) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur k= M k ( ) k = P Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Se cosider l ució (x) = x 2 e [, ], cuy gráic puede verse l derech. Se trt de l curt prte de u circuereci de rdio cetrd e el orige. Se l prtició P = {x =, x = /3, x 2 = 2/3, x 3 = } ormd por 3 itervlos de igul tmño (todos mide /3 de logitud). Pr clculr l sum ierior L(, P) hy que ecotrr e cd itervlo el puto e el que lcz el míimo: es el puto /3 e [, /3]; el puto 2/3 e [/3, 2/3], y el puto e [2/3, ]. Por tto, /3 2/3 x x x 2 x 3 L(, P) = (/3) (x x ) + (2/3) (x 2 x ) + () (x 3 x 2 ) = ( ) /9 + 4/9 = ( ) L sum superior se cosigue eligiedo e cd itervlo de l prtició el vlor e el que lcz el máximo, y sí U (, P) = () (x x ) + (/3) (x 2 x ) + (2/3) (x 3 x 2 ) = ( + /9 + ) 4/9 = ( ) Fucioes Riem itegrles 9

10 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Culquier sum de Riem que se hg co est prtició estrá compredid etre estos dos vlores. Si se elige los putos t =, t 2 = 5 y t 3 = 87 (cd uo está e uos de los itervlos, uque l elecció es ritrri) etoces S(, P) = ( ) (x x ) + ( 5) (x 2 x ) + ( 87) (x 3 x 2 ) = ( ) Pr u ució culquier, es evidete que, se cul se l elecció de los putos t k de l prtició, se tiee m k ( ) (t k ) M k ( ), y por tto L(, P) S(, P) U (, P). Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur x k x k x k+ Cálculo de L(, P) x k t k x k t k+ x k+ Cálculo de S(, P) x k x k x k+ Cálculo de U (, P) Cd sum de Riem veriic S(, P) [ L(, P), U (, P) ]. Pr cd prtició P P[,] l sum ierior L(, P) correspode l áre que dej ecerrd l myor ució esclod h que está por dejo de, es decir, h. L sum superior U (, P) es el áre de l meor ució esclod k que veriic k. Por tto, - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur sup { L(, P) : P P[,] } { = sup h : h E [,], h i { U (, P) : P P[,] } { = i }, } k : k E [,], k. Cmido etoces itegrles de ucioes esclods por sums de Riem se puede reescriir el resultdo y visto sores ucioes Riem itegrles: Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Teorem. Se : [, ] R cotd. So equivletes ) es R-itegrle e [,], es decir, existe ) Existe u úmero rel tl que pr todo ε > existe u prtició P que veriic S(, P) < ε pr P P c) Pr todo ε > existe u prtició P veriicdo U (, P) L(, P) < ε d) sup { } L(, P) : P P[,] = i { } U (, P) : P P[,] = Este resultdo permite pror l myorí de propieddes de l itegrl de Riem. Fucioes Riem itegrles

11 Proposició. Si,д R[,] y α, β R etoces α + βд R[,] y - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (α + βд) = α + β (R[,] es u espcio vectoril sore el cuerpo R y R[,] R es u uciol liel sore él.) Demostrció. Por u prte, pr cd prtició P P[,] se tiee S(α + βд, P) = αs(, P) + βs(д, P). Como,д R[,] etoces ddo ε > se tiee S(, P) < ε 2 α (los csos α = o β = so triviles.) pr P P, y д. S(д, P) д < ε 2 β pr P P L prtició P P es más i que P y que P. Por tto, si P P P, se tiee ms desigulddes teriores y etoces S(α + βд, P) α β д α S(, P) + β S(д, P) д < ε. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur E coclusió, α + βд R[, ] y su itegrl vle (α + βд) = α Proposició. Si, д R[, ] y д, etoces - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur + β д д. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur (l itegrl es u uciol moótoo.) Demostrció. Como д etoces L(, P) L(д, P) pr culquier prtició P P[, ]. Por tto L(, P) д. E cosecueci, д. Corolrio. Si R[,] y P, P P[,], etoces ) m( ) ( ) L(, P) U (, P ) M( ) ( ), dode m( ) y M( ) so los vlores míimo y máximo de e [, ] ) L(, P) L(, P P ) U (, P P ) U (, P ) (otr orm más de ver que culquier sum ierior es meor que culquier sum superior) Proposició. Se < c <. Etoces y e este cso se tiee R[,] R[,c] y R[c,] = c + c. Fucioes Riem itegrles

12 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Demostrció. Dd culquier prtició P P[,] se cosider l prtició P c = P {c} (ñdirle P el puto c). Etoces Por otr prte, L(, P) L(, P c ) U (, P c ) U (, P). U (, P c ) L(, P c ) = U ( [,c], P [,c] ) L( [,c], P [,c] ) + U ( [c,], P [c,] ) L( [c,], P [c,] ), dode [,c] es l restricció de l itervlo [,c] y P [,c] es l prtició P [,c]. Deiició. Si < se deie = terior puede escriirse como + c y + =. Por tto, pr < c < el teorem c =. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Co este resultdo, culquier ució cotiu (o creciete) e [,c] y e [c,] es R-itegrle e [,]. Esto prue que ls ucioes elemetles trozos so itegrles. Por ejemplo, u ució del tipo es R-itegrle e [, 6]. (x) = x + si x [, 3] 2 si x (3, 5) se x si x [5, 6] Proposició. Si,д R[,] etoces д R[,] uque, e geerl, д es distito de ( ) ( ) д. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Se verá más delte que co ucioes o cotds icluso puede drse el cso,д R[,] pero д R[,] Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Proposició. Si,д R[,] etoces i(,д) R[,] y sup(,д) R[,]. Demostrció. Se trt de ver que U (sup(, д), P) L(sup(, д), P) < ε pr lgu prtició P de [,]. Esto es ácil y que U (sup(,д), P) L(sup(,д), P) U (, P) L(, P) + U (д, P) L(д, P) y st etoces plicr que, д R[, ]. Corolrio. Si R[,] etoces +,, R[,], dode + = sup(, ), = sup(, ). (so ucioes positivs que veriic = + y = + + ). Demostrció. Bst plicr el resultdo terior: si R[,] etoces + R[,] y R[,] y por tto = + + R[,]. Si emrgo, l ució { : x [, ] si x Q si x Q Fucioes Riem itegrles 2

13 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur cumple R[, ] y R[, ]. Corolrio (desiguldd trigulr). Si R[,] etoces. Demostrció. Es u simple cosecueci de ls desigulddes y, y que etoces y. Tmié se puede utilizr el hecho de que = + y sí = = - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur + + =. El omre de desiguldd trigulr viee l cso y que l itegrl es u sum (de Riem) llevd l límite. Est propiedd dice que el vlor soluto de l sum es meor o igul que l sum de vlores solutos, e clr similitud co l desiguldd trigulr de úmeros x + y x + y. Teorem (del vlor medio del cálculo itegrl). Si η [m( ), M( )] que veriic = η( ). R[, ], etoces existe u vlor Si es cotiu e [,] (por tto es cotd y R[,]) etoces existe ξ [,] tl que (ξ ) = η, es decir, Demostrció. Y se h visto que = (ξ ) ( ). Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur m( )( ) M( )( ). Por tto, l ució cotiu д : x [m( ), M( )] x( ) tom vlores meores y myores que. Por el teorem de Bolzo existe η [m( ), M( )] co д(η) =. Si es cotiu etoces lcz todos los vlores compredidos etre m( ) y M( ). Al úmero η = se le llm vlor medio o promedio de e [,]. El teorem segur l existeci de este vlor y demás es u vlor que lcz l ució si ést es cotiu. Ejemplos: ) el promedio de l ució (x) = x 2 e [, ] es [,] = x 2 = 3. Este vlor se lcz pr c = / 3, y que (c) = /3. Fucioes Riem itegrles 3

14 2) el vlor medio de l ució (x) = se x e [, π] es - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur [,π] = π π se x = 2 π. Este vlor se lcz: pr lgú c [, π] se cumple se c = 2/π. 3) l ució que vle e [, ] y e [, 3] tiee u promedio de 2/3. Es u vlor que uc lcz l ució: e igú vlor x se tiee (x) = 2/3. 4) se puede clculr l ltur medi de l semicircuereci superior de rdio cetrd e el orige. Pr ello, st cosiderr l semicircuereci como l gráic de (x) = x 2 e [, ] y promedir es ució e ese itervlo. El vlor medio (l ltur medi e este cso) es 2 x 2 dx = π/ Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur 5) se puede cosiderr el trozo de l práol y = x 2 que está por ecim del eje X y clculr l distci medi l orige. Cd puto (x, y) de ese trozo de l práol está distci d(x, y) = x 2 + y 2 del orige. Además y = x 2 y x. Por tto, se trt de promedir l ució d(x, y) = x 2 + ( x 2 ) 2 e [, ]. Es distci medi es Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Teorems udmetles del cálculo itegrl E este prtdo se estudi resultdos que relcio el cálculo itegrl co el dierecil. No dee coudirse el cálculo de áres co el cálculo de primitivs, uque e lgú resultdo prece decirse todo lo cotrrio. Teorem. Si R[,] y F : x [,] F(x) = etoces se tiee ) F es cotiu e [,]. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur ) Si es cotiu e c [,], etoces F es dierecile e c y se tiee F (c) = (c) (e cd puto c e el que es cotiu, F es dierecile y F (c) = (c).) [E l deiició de F se tiee que F() = =.] Demostrció. ) Se x, y [, ] co x < y. Se veriic y y F(y) F(x) = = x y x, F(x) x M( ) (y x) dode M( ) = M = sup { (x) : x [,]}. Es desiguldd dice que F es cotiu. Es uiormemete cotiu (icluso es lipschitzi) y que pr x, y [,] se cumple F(y) F(x) M x y y st elegir δ = ε/m pr oteer l cotiuidd (o l cotiuidd uiorme). Fucioes Riem itegrles 4

15 ) Si demás es cotiu e c, etoces - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur F(x) F(c) x c = c x c - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur = c x c = η(x c) x c plicdo el teorem del vlor medio del cálculo itegrl, dode η es u vlor itermedio etre m( [x,c] ) y M( [x,c] ). Si x c etoces (x) (c) (por ser cotiu e c) y sí η (c). E resume, F F(x) F(c) (c) = lim = (c), x c x c de dode se otiee que F es dierecile e c y F (c) = (c). Deiició. Se dice que F : [,] R es u primitiv de : [,] R si F es dierecile e [,] y F (x) = (x) pr todo x. Por ejemplo, F(x) = x 2 6 es u primitiv de (x) = 2x e culquier itervlo [,]. Tmié G(x) = x es u primitiv de. El prtdo ) del teorem terior dice que si es cotiu e [,] etoces tiee primitiv, que es F(x) = F(x) = 7 + (co F() = ) F(x) = F() + (co F() = 7) (co F() elegir) Esto dice que u primitiv de es l ució F cuy expresió veriic F(x) F() = ( x [, ]). = η Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. L ució (x) = ( e se x cos e x ) 8 + x 4 tiee primitiv e [5, 2]. Es primitiv es ( ( e se x cos e x ) F(x) = x 4 + log(x2 2) x ) + log(x2 2). x U ució que es cotiu, veriic F(5) =, y F (x) = (x) pr x [5, 2] Si emrgo, hy ucioes o cotius que tiee primitiv. Por ejemplo (como y se h visto e Cálculo I) l ució F(x) = x 2 se x si x si x = Fucioes Riem itegrles 5

16 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur es derivle e todo R, y su derivd (x) = F (x) = 2x se x cos x si x si x = o es cotiu (y que o es cotiu e ). E este ejemplo es o cotiu pero tiee primitiv. E culquier cso pr ser l derivd de lgu ució e u itervlo se dee cumplir el teorem del vlor itermedio de ls derivds. U ució que teg u discotiuidd de slto o puede teer primitiv. Ejemplo. L ució (x) = e x tg x es cotiu e [, ]. Por tto tiee primitiv F, cuy expresió es F(x) = e t tg t dt Est ució o es elemetl y esto es todo lo que se puede decir de ell, de mometo. Se escrie dt pr decir cuál es el rgumeto (l vrile t) de l ució cuy áre se v clculr. L otr vrile x es de l ució F. Ejemplo. Tmié es cotiu e [, ] l ució (x) = x. Su primitiv es Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur F(x) = - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur t dt = x2 2 y que es el áre de u triágulo de se x y ltur x. Ejemplo. L ució (x) = e x2 /2 2π se cooce como ució de desidd de l distriució orml N (, ) de medi y desvició típic. Es u ució simétric cuy áre totl es igul : x Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur + = L ució (de distriució, como se cooce e Estdístic) F(x) = = 2π e t 2 /2 dt o es elemetl. Pr cd x el vlor de F(x) es F(x) = 2 +, y est itegrl es el áre mrcd e l gráic terior. Estos vlores suele precer e tls que permite coocer F(x) pr ciertos x. Como cosecueci de simples rgumetos de simetrí se puede coocer demás F(x) pr x. El teorem terior dice que este proceso F(x) = de «cumulr áres» es posile siempre que se R-itegrle. Además, si es cotiu, se cosigue u primitiv de ell. El siguiete teorem complet este resultdo. Fucioes Riem itegrles 6

17 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Teorem 2 (regl de Brrow). Si R[,] tiee primitiv F e [,], etoces = F() F(). Demostrció. Por hipótesis, F (x) = (x) e cd x [,]. Se P = { = x < x < < x = } u prtició de [,]. Etoces F() F() = F(x ) F(x ) + F(x ) F(x 2 ) + + F(x ) F(x ) = F (t ) x + F (t ) x + + F (t ) x = (t ) x + (t ) x + + (t ) x = S(, P). Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur E l segud iguldd se h utilizdo el teorem del vlor medio, y sí por ejemplo F(x ) F(x ) = F (t )(x x ) = F (t ) x pr lgú t [x, x ]. Similrmete pr el resto de itervlos de l prtició. E l tercer iguldd se utiliz l hipótesis F (t ) = (t ). E totl F() F() es u sum de Riem, y sí L(, P) F() F() = S(, P) U (, P). Por tto, l ir l prtició, se tiee que F() F() =, y que R[,]. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur U cosecueci evidete de est regl de Brrow: y se h prodo que si R[,] y < x < etoces R[, x]. Por tto, e este último itervlo se tiee = F(x) F(), es decir F(x) = F() +. U resume gráico de los teorems udmetles Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur d x (t)dt = (x), dx Ejemplo. L ució prte eter E(x) = [myor úmero etero x] = mx{k Z : k x} e [, 2] es u ució esclod (y sí es R-itegrle) E(x) = si x [, ) si x [, ) si x [, 2) 2 si x = 2 (x)dx = () (). 2 2 Fucioes Riem itegrles 7

18 Se puede clculr l ució F : x [, 2] F(x) = E, que es cotiu. L ució E o tiee primitiv e [, 2] y que tiee discotiuidd de slto, e cmio sí tiee primitiv deiid trozos. Si x [, ) etoces F(x) = E = x. Si x [, ) etoces F(x) = E = E + F(x) = E = E + E = x 2. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur E =. Si x [, 2] etoces 2 2 Otr orm de clculr F es escriiedo e cd trozo l primitiv de E y hlldo ls costtes que vy preciedo pr que F( ) = y F se cotiu (l últim costte C 4 se clcul por cotiuidd): F(x) = x + C si x [, ) C 2 si x [, ) x + C 3 si x [, 2) C 4 si x = 2 Est ució F es cotiu, por tto l ució = G : x [, 2] G(x) = es dierecile. Se puede clculr ácilmete y se otiee x si x [, ) si x [, ) x 2 si x [, 2] F Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur x 2 /2 x /2 si x [, ) G(x) = x /2 si x [, ) x 2 /2 2x si x [, 2] Es u ució que tiee tres trozos, uo prólico l izquierd que coect co u trozo recto (mrcdo co otro color) y co otro prólico l derech. Est ució G o sólo es cotiu; es tmié dierecile y que F es cotiu. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur 2 2 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Se cosider l ució { x si x [, ) (x) = x si x [, 2] pr l cul se otiee F(x) = { x 2 /2 si x [, ) = x 2 /2 x + si x [, 2] 2 2 Fucioes Riem itegrles 8

19 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Pr l ució 2 2 (x) = { x si x [, ) 2 x si x [, 2] es ácil compror que l ució F socid es F(x) = = { x 2 /2 si x [, ) 2x x 2 /2 si x [, 2] (F es dierecile: pesr de estr deiid medite dos trozos prólicos distitos, éstos ecj ie) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Teorem 3 (Leesgue). Se : [,] R u ució cotd. So equivletes ) R[,] ) {x [,] : o es cotiu e x} tiee medid de Leesgue igul El prtdo ) tmie se expres diciedo que es cotiu slvo e los putos de u cojuto de medid (de Leesgue) cero o tmié que es cotiu csi por doquier. Est expresió csi por doquier se suele revir como c.p.d. Tmié se utiliz ls reviturs c.s. (csi siempre),.e. (lmost everywhere), p.p. (presque prtout). Así que el teorem de Leesgue se puede eucir - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur es Riem-itegrle e [,] es cotiu c.p.d. e [,] No se v demostrr este teorem, uque sí se v estudir qué sigiic ser u cojuto de medid de Leesgue cero. Después se verá lgus cosecuecis de este teorem. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Coteido y medid cero (medid de Jord y de Leesgue) Si I R es u itervlo de extremos y, se deie l logitud de I como I =. Por ejemplo, los itervlos (3, 7], [3, 7] y (3, 7) tiee logitud 4. Si = se puede cosiderr I = [, ] = {} como u itervlo de logitud cero. Se dice que u sucojuto cotdo A R tiee coteido (o medid de Jord) cero si pr todo ε > existe itervlos I,..., I tles que A I I y I + + I ε. Co otrs plrs, A puede ser cuierto por u ctidd iit de itervlos cuys sums de logitudes es ritrrimete pequeñ. Por ejemplo, u cojuto ormdo por u sólo puto, A = {5}, tiee coteido cero, y que {5} (5 ε/2, 5 + ε/2) (como ltertiv {5} [5, 5] cuy logitud es [5, 5] =.) El mismo rgumeto sirve pr pror que todo cojuto iito tiee coteido cero. Si A = {x,..., x } se elige I = [x ε/4, x + ε/4], I 2 = [x 2 ε/8, x + ε/8],...así se tiee A I I y Fucioes Riem itegrles 9

20 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur I I = ε/2 + ε/ < ε (como ltertiv A [x, x ] [x, x ] cuy sum de logitudes es cero) Hy cojutos iiitos que tiee coteido cero. Por ejemplo A = {/ : N} tiee coteido cero: todos los elemetos de A, slvo u ctidd iit de ellos, está coteidos e el itervlo [, ε]; el resto, l ser u ctidd iit, tiee coteido cero. Todo cojuto co coteido cero es orzosmete cotdo, y que A I I y est uió es u cojuto cotdo, y que cd itervlo que iterviee es cotdo. L uió iit de cojutos de coteido cero es u cojuto de coteido cero. Los sucojutos de cojutos de coteido cero so cojutos de coteido cero. Además, si A tiee coteido cero etoces su dhereci A tmié tiee coteido cero. Es ácil pror esto, y que e l deiició de coteido cero se puede cosiderr los itervlos I,..., I cerrdos; si o lo so, se cierr y su logitud o vrí. Al ser todos cerrdos, l uió iit de ellos es cerrdo. Por tto (plicdo l propiedd M N M N ) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur A I I A I I. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Como cosecueci de esto último se otiee que el cojuto A = Q [, ] o tiee coteido cero, pues A = [, ]. Si emrgo, hy cojutos grdes co coteido cero. El siguiete ejemplo muestr u cojuto o umerle, co el mismo crdil que el de R, cuyo coteido es cero. Ejemplo: el cojuto terrio de Ctor. Se trt de u cojuto cotdo o umerle cuyo coteido es cero. Puede verse e más sore este cojuto. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Se comiez co C = [, ]. Como resultdo de quitrle C su tercio cetrl ierto, se otiee C = [, /3] [2/3, ]. A este cojuto C se le quit de uevo el tercio cetrl ierto de cd suitervlo suyo, y se tiee C 2 = [, /9] [2/9, /3] [2/3, 7/9] [8/9, ]. Se cotiu sí co l costrucció de C 3,C 4,.... Gráicmete [uque todos está coteidos e el itervlo [, ], se diuj sí pr ver co más clridd qué cojutos so]: Es evidete que C C C 2 C 3... Se llm cojuto de Ctor. C = {C : }. Evidetemete C, por ejemplo, /3, C. Además, C C pr todo =,,... y C está ormdo por u ctidd iit de itervlos cuys logitudes sum C C C 2 C 3 C 4 C = ( ) 2 ( ). 3 Fucioes Riem itegrles 2

21 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Como cosecueci C tiee coteido cero. Este cojuto es compcto y o puede coteer igú itervlo. Además, C es o umerle. Pr comprorlo se escrie los elemetos del itervlo [, ] e se 3. Cd úmero se escrie como x = dode cd cir deciml i es, o 2. Es importte eteder que est escritur de úmeros como expresioes decimles puede o ser úic. Por ejemplo, e se se puede cosiderr = E se 3 u mismo úmero se puede escriir de vris orms: = Otro ejemplo: el úmero 2/3 se escrie e se 3 como = 2. El cojuto C es todo el itervlo [, ], C = { : i =,, 2 pr cd i } El cojuto C está ormdo por los úmeros cuy primer cir deciml es distit de, Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur C = { : } El cojuto C 2 está ormdo por los úmeros cuy primer y segud cir deciml es distit de, C 2 = { :, 2 } Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur etcéter El cojuto de Ctor C so todos los úmeros del itervlo [, ] cuy expresió deciml e se 3 se puede escriir si que coteg igu cir igul. Por ejemplo, /4 escrito e se 3 es y es u elemeto de C. Tmié es verdd que /3 C. Este úmero e se 3 se escrie como y puede escriirse como , u úmero que o cotiee igu cir igul. L mism ide pr todos los demás úmeros. Por ejemplo, /3 C pr todo, y so úmeros que se puede escriir e se 3 si utilizr l cir. E cmio, el úmero (escrito e se 3) x = o es u elemeto de C. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Este cojuto C tiee el mismo crdil que [, ]. Si se escrie [, ] e se 2, cd úmero es x = dode cd cir deciml i es o. L plicció cmir 2 por e cd cir deciml C [, ] (e se 2) es u iyecció etre los elemetos de C y los elemetos de [, ] (escritos e se 2). Deiició. Se dice que A R tiee medid (de Leesgue) cero si pr todo ε > existe itervlos I, I 2,... tles que A I I 2 I 3... y I + I 2 + I < ε. Se dice que A es u cojuto de medid ul. E l deiició y o se exige que l ctidd de itervlos se iit (como e l deiició de coteido cero), puede ser hst umerle. Por tto, es evidete que si A tiee coteido cero etoces A tiee medid cero. Si emrgo, el recíproco o es cierto. Fucioes Riem itegrles 2

22 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Si A es umerle etoces A tiee medid cero. Pr prorlo st escriir A como A = {x, x 2,...} y etoces [ A x ε 4, x + ε ] [ x 2 ε 4 8, x 2 + ε ] [ x 3 ε 8 6, x 3 + ε ]... 6 [ x ε 2 +, x + ε ] 2 + = dode l sum de logitudes de esos itervlos es ε/2+ = ε. El mismo rgumeto sirve pr pror que l uió umerle de cojutos de medid cero es u cojuto de medid cero. Como cosecueci, Q [, ] y N so cojutos de medid cero, y que so umerles. El primero de ellos muestr demás u ejemplo de cojuto cotdo de medid cero que o es de coteido cero. Ejemplo. L ució : x [, ] - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur { si x Q si x Q o es R-itegrle e [, ], su cojuto de discotiuiddes es [, ] que o mide cero. E cmio { { si x 2, } 5 sí es R-itegrle e [, ]. : x [, ] resto El teorem de Leesgue tiee vris cosecuecis. Ahor es ácil pror lgus proposicioes sore ucioes Riem itegrles. Corolrio. Si,д R[,] etoces Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur λ + µд, д,, +,, i(,д), sup(,д) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur so ucioes Riem itegrles. L demostrció es simple. Por ejemplo, es coocido que si y д so cotius e u puto etoces д tmié lo es. E otrs plrs {discotiuiddes de д} {discotiuiddes de } {discotiuiddes de д}. Bst etoces plicr el teorem de Leesgue. Geerlizció de l itegrl Hst hor se h estudido l itegrció (e el setido de Riem) pr ucioes cotds deiids e itervlos compctos. Ahor se trt de quitr ess restriccioes y estudir el cálculo itegrl pr ucioes o cotds o deiids e cojutos más geerles. Fucioes Riem itegrles 22

23 Por ejemplo, l ució : x (, ] (x) = /x R, se puede itegrr? Pr ello se trt de ser si el áre somred de l igur, que es u regió o cotd, es u áre iit. Se cosider l igur hst u ltur, es decir, se cosider l ució o egtiv i(, ). Est ució es cotd y cotiu y sí i(, ) R[, ]. Su itegrl vle i(, ) = / + / - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur x = + log / Este vlor tiede + por lo que el áre de l regió somred es iiit. Esto quiere decir que R[, ]. Deiició. U ució o egtiv : [,] R + (cotd o o) se dice que R[,] ( ) si i(, ) R[,] pr todo N y l sucesió i(, ) coverge. E ese cso se deie = lim i(, ) = sup i(, ) (es u sucesió creciete y su límite y su supremo coicide.) /x Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Pr u ució : [,] R se dice que R[,] si ls ucioes o egtivs + y so Riem itegrles e [,]. E este cso se deie Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur / 2 / x = - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur + Ejemplo. L ució : x (, ] (x) = / x es o egtiv. Pr cd N l ució i(, ) R[, ], pues es cotiu. Se puede clculr su itegrl, i(, ) = / 2 + = + 2 x Por tto l ució (x) = / x veriic R[, ] y demás = 2. ] / 2 x / 2 = = 2. Ejemplo. Pr ls ucioes (x) = /x p se puede compror que R[, ] p <. Fucioes Riem itegrles 23

24 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur El siguiete pso es poder itegrr ucioes e itervlos o cotdos. L ució : x [, + ) (x) = /x R está deiid e u itervlo iiito. Pr cd N se cosider l ució : x [, ] (x) = x. que es R-itegrle por ser cotiu. Su itegrl vle = x = log x] = log log = log + y por tto el áre (o cotd) somred que ecierr l ució es iiit. Se tiee etoces que R[, + ). Deiició. Se dice que u ució o egtiv : [, + ) R + es R-itegrle e [, + ) si pr todo N (co ) > ) l ució : x [, ] (x) = (x) es R-itegrle e [, ] y l sucesió coverge. E este cso se deie ( /x Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur + = lim = sup (es u sucesió creciete y su límite y su supremo coicide.) Pr u ució : [, + ) R se dice que R[, + ) si ls ucioes o egtivs + y so Riem itegrles e [, + ), y se deie + = - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo: l ució (x) = /x 2 es R-itegrle e [, + ), y su itegrl vle + [ /x 2 = lim /x 2 = lim ] x = lim ( ) + =. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur E cmio, д(x) = / x o es R-itegrle e [, + ), y que / x = [ 2 ] x = Ejercicio. Pr qué vlores de p ls ucioes (x) = x p so Riem itegrle e [, + )? Deiició. Se A R u cojuto cotdo, es decir, A está coteido e itervlo [,]. Se dice que A es medile e el setido de Jord, o J-medile, si l ució crcterístic χ A : x [,] { si x A si x A χ A A Fucioes Riem itegrles 24

25 es R-itegrle e [,]. E ese cso, se deie l medid de A como - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur µ(a) = Ejemplo: A = [, 2] (3, 4] {9,, } es medile y µ(a) = 3. Pr u cojuto A R o cotdo, se dice que A es J-medile si A [, ] es J-medile pr todo N y l sucesió ( µ ( A [, ] )) coverge. E ese cso se deie l medid de A como ( ) ( ) µ(a) = lim µ A [, ] = sup µ A [, ] χ A. Ejemplo: A = [, 2] (3, 4] N es medile y µ(a) = 3. Evidetemete, el cojuto de discotiuiddes de χ A es l roter A de A. Así, si A es cotdo, A es J-medile si y sólo si A mide cero. L roter de A siempre es cerrd: A = A A c. Si demás A es cotdo, etoces A es cotdo y cerrdo, por lo que es compcto. Por tto A mide cero si y sólo si tiee coteido cero. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deiició. Se dice : A R es R-itegrle e A, y se escrie R(A), si pr lgú itervlo [,] que coteg A (equivletemete, pr culquier itervlo que coteg A) l ució χ A es R-itegrle e [,]. E ese cso se deie = χ A. L ució χ A está deiid como A - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur χ A A { (x) si x A ( χ A )(x) = si x A. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Se A = {/ : N} [, ) y (x) = x 2. Pr clculr se hce lo siguiete: A ) se cosider u itervlo que coteg A, por ejemplo [ 2, 2]; ) se comprue que χ A es R-itegrle e ese itervlo (que lo es trivilmete); c) por último, A = 2 2 χ A = = /3, y que el áre de sore los putos {/ : N} es cero. 2 2 E l gráic puede verse el specto que tiee l ució χ A. Se trt de l ució que vle x 2 sore los putos de A y cero e el resto. El áre que ecierr se ecuetr sólo e el itervlo [, ], y que uer de él el áre ecerrd es cero. Fucioes Riem itegrles 25