LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Transcripción

1 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c giic que tom vlores cd vez más próimos c. Se lee tiede c. Por ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u secueci de úmeros cd vez más próimos. Escribimos. c giic que tom vlores cd vez más próimos c, pero meores que c. Se lee tiede c por l izquierd. Por ejemplo, l secueci: ;,;,8;,9;,99; Está ormd por úmeros meores que y cd vez más próimos. Escribimos. c giic que tom vlores cd vez más próimos c, pero myores que c. Se lee tiede c por l derech. Por ejemplo, l secueci: ;,;,;,;,; Escribiremos. Si c, etoces tom vlores vribles. Como cosecueci l ució tmbié tom vlores vribles. El comportmieto de cudo c, se epres sí: límite de cudo tiede c por l izquierd c c culquier vlor, por grde que se. Cudo c, tom vlores cd vez más grdes, llegdo superr,9,99 c Cudo c, tom vlores cd vez más egtivos.,9, L Cudo c, tom vlores cd vez más próimos l úmero L. c,9,99,8,98

2 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. límite de cudo tiede c por l derech c El giicdo es milr l del y los comportmietos que puede drse so idéticos los que hemos visto pr c. c límite de cudo tiede c c Es el comportmieto de l ució cudo se proim c, importr es por l derech o por l izquierd. Si L, decimos que L. c c Aálogmete, cudo los dos límites lterles so + ó -. Si los dos límites lterles o tom el mismo vlor, se dice que o eiste el. c c LÍMITES EN EL INFINITO Pr epresr que tom vlores cd vez más grdes, poemos +. Se lee tiede más iiito. Por ejemplo, tom los vlores,,,,, decimos que +. límite de cudo tiede más-iiito Cudo +, los vlores de crece cd vez más. Cudo +, los vlores de so cd vez más egtivos. L Cudo +, los vlores de so cd vez más próimos u úmero L.,87,9987, o eiste Cudo +, los vlores de i crece i decrece ideiidmete, i se cerc cd vez más igú úmero. Ls ucioes trigoométrics preset este comportmieto.

3 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. límite de cudo tiede meos-iiito El giicdo es milr l del y los comportmietos que puede drse so idéticos los que hemos visto pr +. LÍMITES: CASOS POSIBLES Límites iiitos cudo tiede u úmero iito : Límites iitos e el iiito: L Límites iiitos e el iiito: L

4 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Se y g dos ucioes tles que eist vlor rel o, etoces: y g y c u úmero rel, puede ser u PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES g g Sum Adició Opuest g g Diereci g g Producto Multiplicció g g c g c g c c g Ivers Cociete Producto por u úmero Costte g g Multiplicció por u úmero Compuest Compoció g Idetidd Poteci Potecició Ests relcioes so cierts empre que teg setido ls opercioes deiids co úmeros reles o ls deiids l ñdir los elemetos + y -. E cso cotrrio o es poble obteer el límite del primer miembro prtir de los límites del segudo. Cudo esto ocurre se dice que el cálculo del límite o está determido o es idetermido. Est epreó, o giic que el límite o eist o o se pued determir, o que l plicció direct de los teorems tl y como está eucidos es impoble. Los csos de idetermició so los guietes: Rcioles k/, /,, -, / Epoeciles,, Si l clculr u límite se preset lguo de estos csos, coviee trsormr l epreó de l ució e otr equivlete l que sí pued plicrse los teorems de los límites.

5 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. CÁLCULO DE LÍMITES A trvés de ls correspodietes gráics, result ácil compreder los límites más secillos: FUNCIÓN CONSTANTE: =K FUNCIÓN IDENTIDAD: = K K ; K K ; K K ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL, є N, ; ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO, - є Z, co ; ; co ; ; ;

6 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. FUNCIÓN EXPONENCIAL, >,, >, < < ; ; ; ; FUNCIÓN LOGARÍTMICA log, > log, >, log, < < log log co ; log ; log log log co ; log ; log Cálculo de límites de u ució e u puto. El límite de u costte, e culquier puto, es ell mism: k k. El límite de u ució poliómic, =P, cudo, coicide co P. P P 8. El límite de u cociete de poliomios, =P/Q, cudo, coicide P/Q P y Q. P P Q Q

7 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. 7. Idetermició L idetermició / de ucioes rcioles desprece descompoiedo e ctores el umerdor y el deomidor y mpliicdo. b L idetermició / de ucioes co rdicles desprece multiplicdo y dividiedo l ució por l epreó rdicl cojugd.. Idetermició k/ El cso k/, k, o suele tomrse como idetermido y que el límite, eiste, es empre + ó -. Se clcul los límites lterles; so igules, l ució tiee límite + ó -; e cso cotrrio o eiste el límite. límite el eiste No K. L idetermició - de ucioes rcioles desprece eectudo l operció y reduciedo l diereci u úic epreó. 7. L idetermició se resuelve trsormádols e ls de tipo /. Ejemplos: 7 9 ite el eiste No K lím

8 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. 8 Cálculo de límites e el iiito. El límite de u poliomio cudo es ó - segú que el go del coeiciete del térmio de myor grdo se potivo o egtivo. Ejemplos: b c. Idetermició d 8 o eiste L idetermició desprece dividiedo umerdor y deomidor por l myor poteci de. Podemos dr l guiete regl pr hllr límites + de ucioes rcioles: P Q b m P Q b gr do gr do gr do de de de P P P gr do gr do gr do de de de Q Q Q Tmbié podemos resolverlos tomdo úicmete los térmios de myor grdo tto del umerdor como del deomidor. b m b Ejemplos 7 m

9 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. 9. L idetermició - L idetermició - de ucioes co rdicles desprece multiplicdo y dividiedo l ució por l epreó rdicl cojugd. b L idetermició - de ucioes rcioles desprece eectudo l operció y reduciedo l diereci u úic epreó.. L idetermició se resuelve trsormádol e u del tipo.. Límites cudo - Se clculrá el límite cudo de l epreó que resulte de cmbir por e l ució. Ejemplos: El úmero e Se. Cuál es el límite de est ució cudo? Clculremos lguos térmios:

10 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. X,,78,79,7887,7889 Auque cd térmio clculdo es myor que los teriores, el crecimieto es t leto que es rzoble pesr que es covergete. Su límite es u úmero irrciol y se le ombr co l letr e: e=,788 L epreó del prétes tiede y el epoete tiede. El úmero e prece empre que tegmos u idetermició del tipo. Si como es. y g, etoces: g e g, tto es u úmero rel e e e e ASÍNTOTAS e e e Si, R, l rect =, es u sítot verticl. Pr determir tiede más o meos iiiito, e =, hbrí que clculr los límites lterles y sí determimos l poció de l curv respecto l sítot. E ls ucioes rcioles se busc e los vlores de que so ríces del deomidor. Si b, br, l rect y = b es u sítot horizotl. Cálculo de sítots oblicus: Por ser u sítot oblícu tedrá por ecució y = m +, dode m idic l pediete de l rect y l orded e el orige. m y m,. Los vlores de m y se obtiee clculdo los guietes límites: m y m Pr estudir l poció de l gráic respecto de ls sítots oblicus y horizotles clculmos los límites cudo de l diereci etre l ució y l sítot. Si el resultdo es potivo, l ució está ecim de l sítot, y es egtivo, está debjo. Si u ució tiee u sítot horizotl, etoces o tiee sítot oblicu.

11 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. Ejemplos: L sítot verticl de l ució es l rect = L sítot horizotl de l ució es l rect y Poció de l gráic respecto de l sítot: L gráic está debjo L gráic está ecim L sítot oblicu de l ució 8 es l rect y=- 8 8 m 8 Poció de l gráic respecto de l sítot: 8 L gráic está debjo 8 L gráic está ecim

12 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. Observcioes práctics cerc de ls sítots horizotles y verticles: - Ls ucioes poliómics tiee rms iiits, pero o tiee sítots horizotles y tmpoco verticles. - Ls rccioes lgebrics tiee sítot horizotl el umerdor y el deomidor tiee el mismo grdo. E ese cso, es l mism sítot por l izquierd que por l derech. - Ls rccioes lgebrics tiee tts sítots verticles como ríces teg el deomidor, slvo que el umerdor teg lgu de ess ríces; e tl cso coviee, previmete, mpliicr l rcció. - Ls epreoes co rdicles puede teer dos sítots horizotles. - E geerl, ls sítots verticles so propis de epreoes que «se hce iiits» pr vlores iitos de. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cotiuidd de u ució e u puto: L ide ituitiv de cotiuidd implic u vrició suve de l ució, sltos bruscos que romp l gráic de l mism. U ució y = es cotiu e u puto = se cumple ls tres codicioes guietes: L ució está deiid e = ; es decir, eiste. b Eiste el límite de l ució e =. c Los dos vlores teriores coicide, es decir,. Si u ució o es cotiu e u puto =, se dice que es discotiu e dicho puto. Algus rzoes por ls que u ució puede ser discotiu e u puto so ls guietes: L cotiuidd o discotiuidd de u ució e u puto eige estr deiid l ució e él. Por ejemplo, l ució = / o es cotiu o discotiu e = y que o está deiid. Si embrgo, vmos hblr de discotiuidd e ese puto. Si os restrigimos los vlores que tom u ució l derech del puto = o l izquierd, se hbl de cotiuidd por l derech o cotiuidd por l izquierd. Discotiuiddes U ució tiee u discotiuidd evitble e u puto cudo eiste límite e él y o coicide co el vlor de l ució e el mismo o o está deiid. El vlor que deberímos dr l ució e dicho puto pr que uer cotiu e él, se llm verddero vlor de l ució e el mismo.

13 el blog de mte de id: Límites y cotiuidd. M I pág. U ució tiee u discotiuidd ievitble e u puto cudo eiste los límites lterles e él y so distitos. El vlor se llm slto de l ució e ese puto, y puede ser iito, es u úmero rel, o iiito. Ejemplos: Qué sucede e =? ; luego eiste. b = ; luego l ució está deiid e =. c Los dos vlores teriores o coicide. Por tto, l ució tiee u discotiuidd evitble e =. Pr que l ució uer cotiu e =, deberí ser =. Podemos redeiir l ució ddo l ució el vlor e =. Qué vlor debemos dr l ució e = pr que se cotiu? L ució o está deiid e =. Vemos cuál es el límite de l ució e = : deberí ser =. Coderemos l ució go de deiid por: g Pr que l ució uer cotiu e =, Qué sucede e =? g y g. Los límites lterles o coicide. Luego l ució tiee u discotiuidd ievitble e el puto = de slto. Fucioes cotius U ució es cotiu e u itervlo cudo lo es e todos y cd uo de los putos del itervlo. Se dice que u ució es cotiu cudo lo es e todos y cd uo de los putos de su domiio de deiició. Ls opercioes co ucioes cotius e = d como resultdo otr ució cotiu e él, empre que teg setido l operció. Etoces: tods ls ucioes elemetles poliómics, rcioles, epoeciles y trigoométrics so cotius e todos los putos dode está deiids. Ls ucioes deiids trozos será cotius e los putos de uió lo so, y cd ució es cotiu e su trozo correspodiete.