Sucesiones de Números Reales

Transcripción

1 Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u cierto orde, por lo que medite est correspodeci obteemos cojutos ordedos de ifiitos úmeros reles. { } A( ),,,... A los úmeros turles que idic l posició de cd elemeto, se les llm ídices y los úmeros reles, térmios de l sucesió. A l epresió que os idic el vlor de cd térmio e fució de su ídice se le llm térmio geerl. Ejemplo: Clculmos los primeros térmios de l sucesió de térmio geerl 4 Los tres primeros térmios será:

2 ; ; E lgus sucesioes los térmios se cerc pultimete u cierto úmero rel, del que lleg estr t próimos como se quier. Dicho úmero, que defiiremos cotiució, recibe el ombre de límite de l sucesió. A.. Límite de u sucesió. Sucesioes covergetes U sucesió de úmeros reles { } tiee por límite el úmero rel, cudo pr todo úmero rel positivo ε eiste u úmero turl, tl que pr todo m se verific que < ε. Escribiremos m lim ε > 0 / < ε m Diremos tmbié que l sucesió tiede hci. No import que hy térmios myores o meores que el límite, lo que debe ocurrir es que prtir de u ídice m ls diferecis etre los térmios sucesivos y el límite se meores que culquier vlor previmete fijdo ε. U propiedd importte que se deduce de l defiició que cbmos de dr es l siguiete: si u sucesió tiee límite este es úico. A ls sucesioes co límite se les llm covergetes. Ejemplo: Comprobmos que tiee límite l sucesió de térmio geerl Efectivmete m m m m m m < ε m > m ε Pr que se cumpl l codició de límite bst tomr >. ε m

3 L sucesió de úmeros reles ( ) tiee límite ifiito si pr culquier vlor que fijemos A se puede coseguir que todos los térmios prtir de uo ddo se myores que A, si más que dr vlores t grdes como se ecesrio. Escribiremos lim A> 0 / > A m Diremos tmbié que l sucesió tiede ifiito. A.. Sucesioes moótos y cotds A... Sucesioes moótos. U sucesió { } es moóto creciete cudo cd térmio es myor o igul que el terior, es decir m De l mism form, u sucesió será moóto decreciete cudo cd térmio es meor o igul que el terior, es decir U sucesió { } es estrictmete creciete si es moóto creciete y todos sus térmios so distitos, es decir < Es estrictmete decreciete cudo es moóto decreciete y todos sus térmios so distitos, es decir > A... Sucesioes cotds. U sucesió { } está cotd superiormete si todos los térmios so meores o igules que u úmero rel k, es decir k

4 4 A k se le llm cot superior de l sucesió. Culquier úmero rel myor que k es tmbié cot superior de l sucesió. U sucesió { } está cotd iferiormete si todos los térmios so myores o igules que u úmero rel h, es decir h A h se le llm cot iferior de l sucesió. Culquier úmero rel meor que h es tmbié cot iferior de l sucesió. Se dice que u sucesió está cotd si tiee cot superior e iferior. Ejemplos: ) Sucesió moóto creciete: b) Sucesió moóto decreciete: 4 { },,,... c) Sucesió cotd superiormete { },... 4,, 4 { }, 5, 9,... L sucesió está cotd superiormete pues es u cot superior. d) Sucesió cotd iferiormete { }, 4, 6,... L sucesió está cotd iferiormete pues es u cot iferior. A... U sucesió moóto y cotd: el úmero e. U ejemplo de prticulr iterés lo costituye l sucesió de térmio geerl

5 5 Sus primeros térmios so 9,, 4 64, 7 65, , 5 Est sucesió es estrictmete creciete y está cotd superiormete. Tiee como límite u úmero irrciol, coocido como e, cuys primers cifrs so e El úmero e es l bse de los logritmos eperios. A.4. Opercioes co límites. Cálculo de límites A.4.. Opercioes. Si y b so dos sucesioes que tiee límite fiito lim ; lim b b se verific que: ) El límite de l sum es l sum de los límites: lim ( b ) b b) El límite de l sucesió opuest es el opuesto del límite de l sucesió: lim ( ) c) El límite de l difereci es l difereci de los límites: lim ( b ) b d) Producto por k: El límite de k es el producto de k por el límite de : lim ( k ) k lim

6 6 e) El límite del producto es el producto de los límites: lim ( b ) b f) El límite de l ivers es el iverso del límite (siempre que éste o se ulo): lim, b 0 b b g) El límite del cociete es el cociete de los límites (siempre que el del deomidor o se ulo): lim b b, b 0 h) El límite de l poteci de epoete b es l poteci b del límite, siempre que éste se positivo: b b ( ), 0 lim > i) El límite del vlor bsoluto es el vlor bsoluto del límite lim Ejemplo: Hllr el lim sbiedo que b y 5 b 7. Clculmos primero los límites de y b lim lim lim 7 7 lim Como lim y lim b 7, plicdo ls propieddes de los límites, se tiee que lim. b 7

7 7 A.4.. Idetermicioes. E el clculo de limites de sucesioes so frecuetes ls idetermicioes, es decir que l epresió tome u form idetermid de uo de los tipos siguietes Form de ctur e lguos csos prticulres: ) Cociete de poliomios: Suele dr lugr u idetermició del tipo. E este cso l idetermició desprece dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máim de que hy e el deomidor. b) Rdicles: L difereci de rdicles puede dr lugr u idetermició del tipo. E este cso, pr resolverl hy que multiplicr y dividir por l epresió rdicl cojugd. A.5. Progresió ritmétic y geométric A.5.. Progresió ritmétic. U progresió ritmétic es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se obtiee sumdo u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm difereci de l progresió ritmétic y se desig co l letr d. Pr clculr u térmio culquier de l progresió ritmétic utilizmos el térmio geerl ( ) d y sustituyedo por el ídice del térmio que queremos determir obteemos el vlor de ese térmio. L rest de dos térmios de u mism progresió ritmétic es igul l rest de sus ídices multiplicdo por l difereci d. Por l tto coociedo dos térmios de u progresió ritmétic coocemos tmbié l difereci d. q d q p p

8 8 L sum de los k primeros térmios de u progresió ritmétic coicide co el producto del úmero k de térmios por l semisum del primero y el último. ( k ) Sk k Ejemplo: Ls eddes de 6 hermos form u progresió ritmétic de difereci ños. Si el meor de ellos tiee u ño, clculr l sum de sus eddes. L edd del myor será y l sum de ls eddes de los seis A.5.. Progresió geométric. 6 (6 ) ( ) ( ) 6 S U progresió geométric es u sucesió de úmeros reles e l que cd térmio se obtiee multiplicdo por u úmero fijo l terior. A dicho úmero se le llm rzó y se desig por l letr r. El termio geerl de u progresió geométric es r y su rzó ddos dos térmios coocidos de l progresió será: r q p q p Ejemplo: Cosideremos l siguiete situció: Los ciclists A y B se prepr pr u competició. El ciclist A comiez co 000 metros, y todos los dís greg 000 metros más, e tto que el B empiez co 00 metros y cd dí duplic lo hecho el dí terior. Cuátos metros recorre cd uo el décimo dí?

9 9 El ciclist A umet el recorrido segú u progresió ritmétic, es decir ( ) d 000 (0 ) E cmbio el B umet su recorrido segú u progresió geométric, por lo tto b 0 b r L sum de los k primeros térmios de u progresió geométric se clcul medite l formul siguiete: S k k r r y rzó de l progresió geométric. k so los térmios primero y último, respectivmete, y r es l Si lo que queremos es determir el límite de l sum de los térmios de u progresió geométric decreciete ( 0 < r < ) cudo el úmero de térmios tiede ifiito estudimos r lim S lim r Teiedo e cuet l epresió de y que que 0 < r <, result lim lim r 0 y por tto el límite de S ps ser lim S r r

10 Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es, pues 5 cotd? lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es, pues L sucesió tiee cot iferior y superior, por lo que está cotd.. Hllr el térmio geerl, el límite (si lo tiee) y clsificr l siguiete sucesió: 4, 5 7, 9 0,... 7 E el umerdor vemos que l difereci d etre dos térmios es, por tto se trt de u progresió ritmétic de l form

11 ( ). Como 4, el térmio geerl del umerdor será 4. Siguiedo el mismo rzomieto pr el deomidor obteemos b 4. Etoces l sucesió cosiderd tiee como térmio geerl: c 4 Su límite será: / 0 lim lim 4 4 / L sucesió es covergete de límite 4.. Hllr, pr l sucesió, 5, 4 7, ) El térmio que ocup el lugr ; b) su límite y c) el térmio de l sucesió prtir del cul l difereci co el límite es, e vlor bsoluto, meor que /00. ) El térmio geerl es será:, por tto el que ocup el lugr () () b) Pr clculr el límite dividimos primero los dos sumdos del umerdor etre el deomidor lim lim 0 c) Impoemos l codició:

12 < < < 00 > 00 > 50 < 00 Por tto prtir de 50, l difereci co el límite es meor que / Clcul L lim lim lim lim lim 5. Hllr el y lim sbiedo que b 5 b. Clculmos primero los límites de y b. E mbos csos teemos u idetermició del tipo por lo que dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máim de que hy e el deomidor se simplific l epresió. lim lim lim lim lim lim 5 Como lim y lim b 5, plicdo ls propieddes de los límites se tiee que lim. b 5 6. Clcul L lim.

13 4 Teemos u cociete de poliomios elevdo otro, cd uo de los cules produce u idetermició del tipo. Clculmos por seprdo los límites de l bse y del epoete: lim lim lim lim lim lim Por ls propieddes de los límites, L será igul Clcul ( ) L lim. Aprece u idetermició del tipo. Multiplicmos y dividimos por l epresió rdicl cojugd: ( ) ( ) 0 lim lim lim lim L 8. Clcul ( ) - L lim. Como e e ejercicio terior, multiplicmos y dividimos por el cojugdo: ( ) ( ) ( ) L lim lim lim lim

14 5 Hemos obteido u epresió idetermid del tipo. Dividimos umerdor y deomidor etre y tommos límites: 0 L lim Hllr el límite de l sucesió cuyo térmio geerl es. Detro del corchete os qued u epresió de l form que tiede l úmero e cudo m. Por tto m m, lim lim lim e 0. Sbiedo que l difereci e u progresió ritmétic es y el térmio vigésimo vle 8, hll el primer térmio y l sum de los 0 primeros. Despejdo e l fórmul del térmio geerl co 0 obteemos: 0 9d 8 9 ( ) 9 L sum de los 0 primeros será: 0 S 0 0 (9 8)0 0. U r quiere cruzr u chrco de metros. L r es cpz de sltr metro e el primer slto, pero se v csdo por lo que cd slto es más pequeño que el terior, segú l relció L L r, siedo r <. Si e el

15 6 curto slto vz /8, verigu l rzó y si l r coseguirá llegr l otr orill. Despejmos l rzó de l fórmul del térmio geerl r r r Pr obteer l distci máim que l r es cpz de recorrer sltdo, clculmos l sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric decreciete, de rzó r / : lim S r Por tto l r o cosigue cruzr el chrco, pues ecesitrí u tiempo ifiito.

16 7 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). Hll el térmio geerl de ls siguietes sucesioes ),,, b), 5, 0, 7, 6, 7... c),, 5, 7, 9. Determi si ls siguietes sucesioes está cotds. ) b) b 5 c) c 6. E l sucesió de térmio geerl, hll u térmio prtir del cul los siguietes diste de meos de u milésim. 4. Defiimos l sucesió cuyo térmio geerl tiee l siguiete epresió: si es impr si es pr Es u sucesió moóto? Coverge? 5. Dds ls sucesioes cuyos térmios geerles so, b y c, clculr los siguietes límites: ) lim ( ) b b) lim ( ) c c) lim ( c ) d) lim ( b ) c e) lim ( ) b f) lim ( b c )

17 8 6. Clcul los siguietes límites: ) lim d) lim 5 b) lim c) 7 75 lim e) lim ( ) f) lim ( 7 ) 7. Demuestr que l sucesió 4 7 tiee por límite Comprueb que ls sucesioes de térmio geerl ( ) y b ( ) crece de límite. 9. Hll el límite de ls siguietes sucesioes cudo tiede ifiito. ) b) b 7 0. E u progresió ritmétic el primer térmio es 7, el último es 5 y l sum 48. Clcul l difereci y el úmero de térmios de l progresió.. Hll los águlos de u triágulo rectágulo sbiedo que está e progresió ritmétic.. Clcul l difereci de u progresió ritmétic e l que el tercer térmio es 4 y l sum de los ocho primeros es 4.. Clcul l rzó de u progresió geométric si se cooce y 4. 4

18 9 4. Hll el primer térmio y l rzó de u progresió geométric, sbiedo que el tercer térmio es y el seto es Hll l sum de los térmios de l progresió ilimitd siguiete.,,, 9,... 7

19 0 Solucioes los ejercicios propuestos. 5 ) c) ( ) ( ) b). ) Sí; por ejemplo etre y. b) Sí; por ejemplo etre 0 y /5. c) Sí; por ejemplo ete / y 4/9.. A prtir de 50, iclusive. 4. No. No ) b) c) d) e) f) 0 ) b) / c) d) e) 0 f) 7. Pr culquier ε > 0 bst co tomr 8. ) { } 0,,0,,0... b) { } 0,,0,, ε >. 49ε 9. ) e b) 7 e 0., d.. o o o α 0, β 60, γ 90.. d 4 /.. r / ; r /. 5. S /.

20 Apédice B Algus fucioes elemetles B.. Fució poteci -ésim U fució poteci -ésim es u fució de l form f ( ) dode l bse es u vrible y el epoete u úmero turl. Es l form más secill de ls fucioes poliómics f ( )... 0 Ls fucioes poteci -ésim está defiids pr todo úmero rel, por lo que su domiio es. So cotius e todo su domiio. El recorrido de ls fucioes poteci -ésim será: -El itervlo [ 0, ) si es pr. -Todo si es impr. E u fució poliómic f ( )... 0 el térmio de myor grdo es el que determi su comportmieto e el ifiito. Esto se debe que, si > m, l fució crece más rápido que l m fució, pr >. Su comportmieto e el ifiito depede de si es pr o impr y del sigo de : pr lim lim ± ± f ( ) f ( ) si si > 0 < 0

21 < > ± ± ± 0 si ) ( lim 0 si ) ( lim impr f f Se represet cotiució dos ejemplos de fució poteci -ésim. Fig. B.. Fució y Fig. B.. Fució y B.. Biomio de Newto Es l poteci -ésim de l sum de dos úmeros reles. Su epresió desrrolld es l siguiete: i i b b i b b b ) ( Los coeficietes m se deomi úmeros combitorios y se clcul del siguiete modo: )! (!! m m m Ejemplo: 5 ) (4 ) ( )! (6! 6! 6. Clculdo de l mism form los demás coeficietes, obteemos: ) ( b b b b b b b b b b b b b

22 Propieddes de los úmeros combitorios I., 0 II. m m III. m m Ests tres propieddes se reflej e el triágulo de Trtgli o de Pscl, formdo por los úmeros combitorios. Vemos que se cumple:. Los etremos de cd fil vle (propiedd I).. El triágulo es simétrico (propiedd II).. Cd úmero es sum del que tiee ecim y el que está l izquierd de este (propiedd III). B. Fució epoecil. Fució logrítmic U fució epoecil es u fució de l form f ( ), dode l bse es u úmero rel positivo y el epoete es u vrible. E tods ls fucioes epoeciles se verific f ( 0), pues 0 pr culquier, por lo que tods ps por el puto (0,). El domiio de l fució epoecil es todo y su recorrido es el 0,. Ls fucioes epoeciles so cotius e todo. itervlo ( ) El crecimieto y decrecimieto de ls fucioes epoeciles depede del vlor de : Si > l fució epoecil es creciete e todo. Si 0 < < l fució epoecil es decreciete e todo. El comportmieto e el ifiito tmbié depede del vlor de l bse: > lim 0, lim < lim, lim 0 U fució epoecil de especil importci es y e.

23 4 Represetmos dos ejemplos de fució epoecil, de bses myor y meor que respectivmete. Fig. B.. Fució y Fig. B.4. Fució y ( ) Trs hber visto ls crcterístics priciples de ls fucioes poteci - ésim y epoecil, recordmos ls opercioes priciples reltivs este tipo de fucioes. ) El producto de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l sum de epoetes. m m b) El cociete de potecis de l mism bse es igul l bse elevd l difereci de epoetes. m m c) El producto de potecis de igul epoete es igul l producto de ls bses elevdo l epoete. b ( b) d) El cociete de potecis de igul epoete es igul l cociete de ls bses elevdo l epoete. b b e) L poteci de u poteci es igul l bse elevd l producto de epoetes. m m ( )

24 5 Ls ríces se puede cosiderr potecis de epoete frcciorio. Aplicádoles ls misms regls obteemos: ) L ríz del producto de dos úmeros es igul l producto de ls ríces de los úmeros. b b b) L ríz del cociete de dos úmeros es igul l cociete de ls ríces de los úmeros. b b c) Pr clculr l ríz de l ríz de u úmero se multiplic los ídices. m m El logritmo e bse de u úmero es el epoete l que hy que y elevr l bse pr obteer dicho úmero; es decir : log y. U fució logrítmic es u fució de l form f ( ) log, dode es u úmero rel positivo y distito de. E tod fució logrítmic se verific f ( ) 0, pues l ser 0 etoces log 0, pr culquier. Así pues, tods ps por el puto (,0). L epresió y log es equivlete y, por lo que l fució logrítmic es l ivers de l fució epoecil. Por ello sus represetcioes gráfics so simétrics co respecto l rect y. El domiio de l fució logrítmic f ( ) log es ( 0, ) y su recorrido es todo. Ls fucioes logrítmics so cotius e ( 0, ). El crecimieto y decrecimieto de ls fucioes logrítmics depede, como e ls epoeciles, del vlor de. Si >, f ( ) log es creciete e ( 0, ). Además l fució será positiv pr los vlores de myores que, y egtiv pr los vlores de meores que. Si 0 < <, f ( ) log es decreciete e ( 0, ). L fució será egtiv pr los vlores de myores que, y positiv pr los vlores de meores que.

25 6 Su comportmieto e el ifiito tmbié depede de. > lim log < lim log Represetmos cotiució dos ejemplos de fució logrítmic, el logritmo eperio o turl y el logritmo e u bse meor que. Fig. B.5. Fució y l Fig. B.6. Fució y log Como hemos hecho e ls fucioes poteci -ésim y epoecil, recordmos ls opercioes priciples reltivs los logritmos. ) El logritmo de u producto de dos úmeros es l sum de los logritmos de los úmeros. log ( y) log log y b) El logritmo de u cociete de dos úmeros es l difereci de los logritmos de los úmeros. log log log y y c) El logritmo de u poteci de es el producto del epoete por el logritmo de. log log d) El logritmo de u ríz de es el logritmo de dividido etre el ídice. log log log

26 7 B.. Fucioes trigoométrics y sus iverss Ls fucioes trigoométrics so periódics de período π, lo cul sigific que sus vlores se repite cudo l vrible se icremet e π, es decir f( π ) f( ), Ls fucioes trigoométrics básics so seo, coseo, tgete y sus iverss rco seo, rco coseo y rco tgete. Fució seo, y se. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ]. -Es cotiu e todo su domiio. -Es periódic de período π. -No eiste el límite de se cudo tiede ±. -Es u fució impr: se( ) se. -Represetció: Fig. B.7. Fució y se Fució coseo, y cos. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ]. -Es cotiu e todo su domiio. -Es periódic de período π. -No eiste el límite de cos cudo tiede ±. -Es u fució pr: cos ( ) cos. -Represetció: Fig. B.8. Fució y cos

27 8 Fució tgete, y t. Crcterístics priciples: -Su domiio es. -Su recorrido es. π -Es cotiu e todo su domiio, ecepto e los putos πk : k Z. -Es periódic de período π. π -Ls rects kπ, k so sítots verticles. -Es u fució impr: t( ) t. -Represetció: Fig. B.9. Fució y t Ls fucioes seo, coseo, tgete o so iyectivs, es decir tiee l mism imge pr distitos vlores de l vrible. Pr que eist sus fucioes iverss, ls defiimos sólo e ciertos itervlos. Fució rco seo, y rcse. Crcterístics priciples: -Su domiio es el itervlo [, ]. π -Su recorrido es el itervlo, π. -Es cotiu e todo su domiio. -Es creciete e todo su domiio. -Represetció: Fig. B.0. Fució y rcse Fució rco coseo, -Su domiio es el itervlo [ ] -Su recorrido es el itervlo [ 0,π ]. y rccos. Crcterístics priciples:,.

28 9 -Es cotiu e todo su domiio. -Es decreciete e todo su domiio. -Represetció: Fig. B.. Fució y rccos Fució rco tgete, y rct( ). Crcterístics priciples: -Su domiio es. π π -Su recorrido es el itervlo,. -Es cotiu e todo su domiio. -Es creciete e todo su domiio. π π - lim rct y lim rct. -Represetció: Fig. B.. Fució y rct Eiste diverss relcioes etre ls fucioes trigoométrics seo, coseo y tgete. Etre ls más utilizds se ecuetr: ) se cos b. b) se( ± b) se cos b± cos se b. Cso prticulr: se se cos. c) cos( ± b) cos cos b se se b. Cso prticulr: cos cos se.

29 0 d) e) g) se ( ± b) t ± t b t( ± b). cos ( ± b) t t b t Cso prticulr: t. t cos se. cos cos. π h) se cos. π i) cos se. B.4. Fucioes hiperbólics Ls fucioes hiperbólics se defie prtir de ( ) e. f e e Seo hiperbólico seh. -Su domiio es. -Su recorrido es. -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto l orige. -Es creciete e todo su domiio. - lim seh y lim seh. -Es u fució impr: seh( ) seh( ). -Represetció: Fig. B.. Fució y seh

30 e e Coseo hiperbólico cosh. -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo [, ). -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto OY co u míimo e el orige. - lim cosh lim cosh. -Es u fució pr: cosh( ) cos h( ). -Represetció: Fig. B.4. Fució y cosh seh e e Tgete hiperbólic th. cosh e e -Su domiio es. -Su recorrido es el itervlo (,). -Es cotiu e todo su domiio. -Es simétric respecto l orige. -Es creciete e todo su domiio. - lim th y lim th. -Es u fució impr: th( ) th( ). -Represetció: Fig. B.5. Fució y t h Como ocurre e ls trigoométrics, eiste diverss relcioes etre ls fucioes hiperbólics. Etre ls más utilizds se ecuetr: ) cosh seh.

31 b) seh( ± b) seh cosh b± cosh seh b. Cso prticulr: seh seh cosh. c) cosh( ± b) cosh cosh b± seh seh b. Cso prticulr: cosh cosh seh. d) seh ( ± b) th ± th b th( ± b). cosh ( ± b) ± th th b th Cso prticulr: th. th

32 Apédice B Algus fucioes elemetles Ejercicios resueltos. Escribe el térmio e 5 que prece l desrrollr 9 ( ). 9 ( ) es l sum de todos los térmios de l form i i i 9 9 co i etre 0 y 9; 5 prece pr i4, y el correspodiete térmio es Clcul l sum de todos los úmeros combitorios i Sbemos que i i b b i b b b ) ( Si b quedrá

33 0 0 ( ) i Luego l sum de los úmeros combitorios vle. Hll el domiio de l fució y se.. Como sbemos que u ríz cudrd sólo está defiid si el rdicdo es myor o igul 0, etoces y se estrá defiid si y se 0 se 0 Puesto que se, l fució dd está defiid pr todo úmero rel. 4. Hll el domiio de l fució y l( 6) Como los logritmos sólo está defiidos pr vlores positivos de l vrible, y l( 6) está defiid si y sólo si 6 > 0 Es decir, pr (, 4) ( 4, ). > 4 ó < 4 5. Hllr cos α, secα, cosecα y cotα si α rcse ( ). α rcse ( ) se / ; etoces cos se sec cos 5 cosec se 5

34 cos cot se 5 6. Resolver 6. Se trt de u ecució epoecil. Epresmos el segudo miembro como poteci de e igulmos los epoetes Epres el logritmo log ( ) ( ) como u sum o rest de logritmos. ( ) ( ) log log log( ) log( ) log( ) [ ( ) ] log( ) 8. Clculr l L lim. 9. Clculr Cudo su logritmo eperio tmbié lo hce, por lo prece u idetermició del tipo que se puede elimir directmete plicdo l regl de L Hopitl. Pr ello derivmos el umerdor y deomidor, ( l ) ' L lim lim lim 0 ' se lim π cos ( ) Tto el umerdor como el deomidor se ul e π por lo 0 que prece u idetermició del tipo que se puede elimir 0 plicdo l regl de L Hopitl.

35 4 ( ) ( ) se cos se cos ) se ( 0 cos lim ' cos ' se lim π π π π π π L 0. Demostrr ls siguietes relcioes: ) e cosh seh. e e e e e cosh seh b) seh cosh ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ) ( cosh cosh 4 4 ) ( seh seh e e e e e e e e e e e e e e e e Etoces 4 4 seh cosh e e e e

36 5 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). Si clculr los úmeros combitorios, ecuetr los que hce que se cumpl. 9 9 y ) 4 y y 4 b) 6. Ecuetr y b pr que l gráfic de l fució f ( ) b pse por los putos (, ) y (, ).. Clcul los siguietes límites: ) lim ( ) 5 b) lim 4. Ecuetr el recorrido de ls siguietes fucioes: ) f ( ) 4 b) g ( ) 5. Clcul los siguietes límites: e ) lim b) lim log c) lim log 6. Hll el domiio de ls siguietes fucioes: ) b) f ( ) l g( ) log e

37 Resolver Resolver ( ) 9. Resolver l( 4) l( 5) l Resolver log ( 44) 0.. Usdo ls propieddes de los logritmos, simplific ls siguietes epresioes. 4 ) l(4t ) l b) l t l( t ) c) l( 9) l. Hll el domiio de ls siguietes fucioes: ) cosec se b) cot t π. Sbiedo que α, π tα y cosecα. y que rcsec( 5) α, hll seα, cosα, se 4. Clculr lim Ddo seh 4 hll los vlores del coseo y l tgete hiperbólics.

38 7 Solucioes los ejercicios propuestos. ) 4 y 0 b) 5 y. b. ) b) 5 / 4. ) [ 4, ) b) [ 0, ) 5. ) b) l 4 c) l 6. ) ( 0, ) b) (, ) 7. / 8. / 9. / ) lt b) l( t ) c) l( ). Ambs eiste e todo ecepto el cojuto de putos e que se ul el se, que es { kπ, k } 5. se α cosα tα cosecα / cosh ; th 5

39 Apédice C Números Reles y Complejos C.. Los úmeros reles Supoemos coocido el cojuto de los úmeros reles. Vmos defiir y estudir e lguos coceptos como relcioes de orde, itervlos, cots y vlor bsoluto. C... Relcioes de orde. Se el cojuto de los úmeros reles. Decimos que etre los elemetos de u subcojuto suyo S eiste u relció de orde si y sólo si se cumple ls siguietes propieddes: ) Refleiv:, S b) Atisimétric: b, b b,, b S c) Trsitiv: b, b c c,, b, c S Coocemos distitos subcojutos de, por ejemplo los úmeros turles, los eteros, los rcioles y los reles. E todos ellos está defiid l relció de orde. E : < < <... E : < < 0 < < <... i i E : i j i j j j

40 Propieddes de l relció de orde e. ) Es comptible co l sum pues se cumple b c b c, c S es decir, si e u desiguldd summos el mismo úmero los dos miembros, l desiguldd o vrí. b) Es comptible co el producto pues se cumple c > 0, b c b c es decir, si e u desiguldd multiplicmos por el mismo úmero positivo los dos miembros, l desiguldd o vrí. c) Otrs propieddes: C... Itervlos. b, c d c b d 0 0 b b c< 0, b c b c Los itervlos so subcojutos de l rect rel. Los hy de tres tipos: - Itervlo bierto: ( b, ) r / < r< b } - Itervlo cerrdo: [ b, ] { r / r b} { - Itervlo semibierto (o semicerrdo): puede serlo por l derech o por l izquierd [ b, ) { r / r< b} ( b, ] { r / < r b}

41 Ejemplo: (, ] idic el cojuto de todos los úmeros reles meores o igules que. A su vez, (, ) es el cojuto de todos los úmeros reles myores que. C... Cots. Supremo e ífimo. Máimo y míimo. Decimos que M es cot superior del cojuto D si M pr todo del cojuto. A l meor de ls cots superiores de D se l deomi supremo. Si el supremo perteece l cojuto se le llm máimo o último elemeto. Aálogmete, decimos que m es cot iferior del cojuto D si m pr todo del cojuto. A l myor de ls cots iferiores de D se l deomi ífimo. Si el ífimo perteece l cojuto se le llm míimo o primer elemeto. u cot iferior es y el ífimo es, que o perteece l itervlo, l ser éste bierto, por lo que o eiste míimo. El 7 es l meor de ls cots superiores, es decir el supremo. Como perteece l itervlo, es tmbié el máimo. Ejemplo: E el itervlo (,7] C..4 Vlor bsoluto y prte eter. El vlor bsoluto de u úmero es el vlor que tiee prescidiedo del sigo. Coicide co el úmero si es positivo y co su opuesto si es egtivo. Por tto si 0 si < 0 Propieddes: ) 0 b) c) b b d) b b L prte eter de u úmero, es el vlor del myor etero meor o igul. Se represet por E() o bie por []. L prte eter de cumple: E ( ) p Z / p < p

42 4 C.. Los úmeros complejos Como hemos hecho e, supoemos coocido el cojuto de los úmeros complejos y vmos estudir lguos spectos de estos úmeros, sí como ls opercioes básics etre ellos. C.. Uidd imgiri. Form biómic de u úmero complejo. Represetció e el plo. Pr dr solució l ecució 0 se defie l uidd imgiri i. U úmero complejo, escrito e form biómic, es u epresió de l form bi, dode y b so úmeros reles. El úmero es l prte rel del úmero complejo. A b le llmmos prte imgiri. Escribimos Re( z) z bi Im( z) b Si 0, el úmero z es imgirio puro. Si b 0, z es u úmero rel. Ejemplo: el úmero complejo π i tiee como prte rel y como prte imgiri π. π i es u úmero imgirio puro. Pr represetr los úmeros complejos e uos ejes de coordeds se represet e el eje de bsciss l prte rel y e el de ordeds l imgiri. Al puto A de coordeds (, b) se le llm fijo del úmero complejo bi. Así cd complejo le hcemos correspoder u puto e el plo y recíprocmete. C.. Cojugdo de u úmero complejo. Módulo. Argumeto. Se el úmero complejo z bi, cuyo fijo es el puto A, de b,, del plo. Se llm cojugdo de z l úmero complejo z que tiee l mism prte rel y l prte imgiri cmbid de sigo coordeds ( ) Se llm módulo de z l úmero rel z bi z bi z b

43 5 Es fácil ver que el módulo de u complejo coicide co el de su cojugdo. ( ) z b b z Se llm rgumeto de z l águlo que form el semieje positivo de bsciss co l rect que ue el orige de coordeds O co el fijo A de z. El rgumeto de z cumple b cosα ; se α, z z π < α π E l siguiete figur se represet u complejo y su cojugdo, sí como ls prtes rel e imgiri de cd uo, sus módulos y su rgumetos. Eje imgirio b z z O α α z Eje rel -b z C.. Opercioes co úmeros complejos ) Sum (difereci): se sum (rest) prtes reles etre sí y prtes imgiris etre sí ( bi) ± (c di) ± c (b ± d)i b) Producto: se reliz plicdo l propiedd distributiv del producto respecto de l sum y teiedo e cuet que i ( bi)(c di) c bd i d i bci c bd (d bc)i

44 6 c) Divisió: se obtiee multiplicdo umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor bi c di ( bi)( c di) ( c di)( c di) c bd c d ( bc d ) i c bd c d bc d c d i d) Poteci: se clcul desrrolldo l poteci del biomio ( bi) y teiedo e cuet ls potecis del úmero i. i i i i 4 i i i i ( ) i i i ( i) i i Observmos que los vlores de ls potecis de i se repite de cutro e cutro. Así, pr clculr potecis de i dividiremos el epoete etre 4 y clculremos l poteci del úmero i que tiee por epoete el resto de l divisió. ( i) Ejemplo: Clculr. i E primer lugr desrrollmos el umerdor: ( i) i i i 8 i 6( ) i i Ahor multiplicmos umerdor y deomidor por el cojugdo de éste: ( i) i i i ( i)( i) ( i)( i) i ( ) i i 9 i 9 i Pr potecis de orde más elevdo podemos utilizr los coeficietes del biomio de Newto. C..4 Teorem fudmetl del álgebr. El teorem fudmetl del álgebr estblece que culquier poliomio de 0 coeficietes reles y grdo, P ( )... 0, posee ríces complejs. Se cumple tmbié que si u úmero complejo es ríz del poliomio, etoces su cojugdo tmbié lo es.

45 7 Ejemplo: Clculr ls ríces del poliomio P ( ) Es lgu de ells rel? Segú el teorem, cd ríz complej v compñd de su cojugd por lo que el úmero de ríces complejs de u poliomio es siempre pr. El poliomio que estmos cosiderdo es de grdo, por lo que tiee ríces. Como debe teer u úmero pr de ríces complejs, l meos tedrá u rel. Probdo co ±, ±..., obteemos que es ríz de P () y dividiedo result P( ) Hlldo hor ls ríces del cociete 0 ± ± i Etoces ls ríces del poliomio so, i, i.

46 Apédice C Números Reles y Complejos Ejercicios resueltos. Hll los úmeros reles que cumple l codició. Si 0 : 0. No eiste solució. Si < 0 :.. Hll todos los úmeros r tles que r < 4. ) Si r 0 : r 0 r 5 r r 0 r < 4 r, r < 4 r < 5 b) Si < 0 r : r ( r ) terior, obteemos. Procediedo como e el prtdo r,. Los úmeros que stisfce l codició estrá e lguo de los dos 5 itervlos, luego perteecerá su uió. Solució: r,.. Resolver l iecució >.

47 ) > 0 ( > ). Al multiplicr mbos miembros por ( ), positivo, se mtiee el setido de l desiguldd. Etoces < > ( ) > 0 y 0 < 0 ( ) < 0 > 0 y < 0 L primer opció o tiee solució. L segud d como resultdo (0,) que cumple l hipótesis hech, >. b) < 0 ( < ). Al multiplicr mbos miembros, por ( ) egtivo, cmbi el setido de l desiguldd. Etoces, > 0 ( ) < > 0 ( ) > 0 0 y 0 > 0 y < De l primer opció result (, ) y de l segud (, 0). Los vlores de que cumple lgu de ls opcioes perteecerá l uió de los itervlos, luego (, 0) (, ). Además debe cumplirse l hipótesis <. Luego os qued (, ). E cosecueci, los vlores de que cumple l iecució estrá e el itervlo (, ) (0, ). 4. Clculr: ( i) ( 8 5i) 8 i 5i i ( 4i)( 5 i) 5 i 0i 4i 5 4 9i 9 9i ( i)( i) 4 9i 4 9 < 0 0i i ( 0 0i)( i) ( i)( i) 60 0i 90i 0i 9 i 90 70i 0 9 7i i 654 i 4 56 i

48 5. Clcul de modo que i i se: ) rel; b) imgirio puro. Clculmos el cociete ( )( ) ( )( ) i i i i i i i i i ) Pr que se u úmero rel l prte imgiri de ser ul. Por tto 0 b) Pr que se imgirio puro l prte rel h de ser ul. Por tto 0 6. Clcul e y pr que ( ) ( ) i i y i 4 7. ( ) ( ) i y i y i ) ( El complejo terior debe ser igul i 4 7 por lo que iguldo prtes reles y prtes imgiris, result: y y 7. Resuelve l siguiete ecució 0 5. i ± ± ± ± 8. Hll, pr el complejo i 4 4, módulo, cojugdo e iverso. Módulo: r Cojugdo: i 4 4 Iverso: ( )( ) i i i i i i

49 4 9. Clcul e y de mer que ( i)( yi) ( i ). Desrrollmos el producto de complejos i yi y yi i y ( y ) ( )( ) i Igulmos cotiució prtes reles e imgiris etre sí y resolvemos el sistem de ecucioes. y y y y y y ± y y Pr cd uo de los vlores de y obtedremos u solució. Si y. Si y Resuelve l ecució ± ± i Se. Etoces ( bi) b bi bi. b 0 ) b bi i b De b 0 result ± b. Si b, l segud codició se covierte e que o tiee setido pues es u úmero rel. L otr opció es b, de dode dos de ls cutro solucioes será b ± i ±.. Etoces b) Qued por resolver b bi i, pr lo cul podemos repetir el proceso del prtdo ). Pero por el Teorem Fudmetl del Álgebr sbemos que eiste e totl cutro solucioes. Como ls dos y clculds so complejs o cojugds etre sí, ls dos resttes será ls cojugds de ls teriores. i i Por tto ls cutro solucioes so ± y ±.

50 5 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). E los siguietes cojutos, determir el supremo y el ífimo, idicdo si coicide co el máimo o míimo respectivmete. ) A siedo b) B { / 5 6 < 0} siedo C 0, c) ( ). Hll los úmeros reles que cumple ls siguietes codicioes: ) 4 5 b) π 0. Resuelve ls iecucioes: ) 5 4 b) < 4. Hll el módulo, cojugdo e iverso de cd uo de los siguietes complejos. ) 4 i b) 5i 5. Clcul ls siguietes opercioes co complejos: ) ( 5 7i ) (5 7i) b) ( i ) ( i) c) ( 5i ) ( 4i) d) ( 5i ) ( 5i) e) ( i) : ( 4 i) f) ( i) : ( i) g) (i i) 6. Clcul ls siguietes potecis:

51 6 65 ) i b) ( i ) c) i 6 d) ( i ) 7 7 i i e) i 7. Ddo u úmero complejo z, ) cuáto vle z z? b) Si z z es u úmero rel, qué se puede firmr sobre z? 8. Hll pr que el cociete ( i) : ( i) puro. se u úmero imgirio 9. Ddos los úmeros complejos mi y i, hll los vlores que debe teer m y pr que el producto de quellos se igul 8 4i. 0. Comprueb que los úmeros complejos i y i verific l ecució Hll tods ls solucioes reles y complejs de ls ecucioes: ) 7 b) c) L sum de dos úmeros complejos es 6, el módulo del primero es y el del segudo 5. Hll estos complejos.. Hll los úmeros complejos tles que su cudrdo es igul su cojugdo (hy cutro solucioes).

52 7 Solucioes los ejercicios propuestos. ) Sup (A). A o tiee máimo. If (B) /. Coicide co el míimo. b) Sup (B). B o tiee máimo. If (B). B o tiee míimo. c) Sup (C). C o tiee máimo. If (C) 0. C o tiee míimo. 9. ) Dos solucioes: ; b) Dos solucioes: π ;. ) (, 9] [, ) b), ) z 4 i; z 4 i; z i b) z 5i; z 5i; z i ) 0 8 e) i 7 7 b) i f) i c) 4 i g) 8i d) 9 ) i d) i b) i e) c) ) Re( z ). b) Que es ulo. 4

53 8 9. Dos solucioes: m ; y m ;. ) ± 7 b) ± i c) ± 6 5i.. Dos solucioes: i, 4 i y i, 4 i. z 0, z, z i, z i

54 APÉNDICE D Errores de opercioes más frecuetes E el Apédice B se h recorddo ls priciples opercioes referetes potecis, ríces, logritmos y fucioes trigoométrics. A cotiució se recuerd lgus de ells e ls que se desliz errores co ciert frecueci. Acompñdo l fórmul se idic u regl brevid fácil de recordr. D.. Potecis ) Poteci de u producto: producto de potecis ( b) b b) Poteci de u cociete: cociete de potecis b b c) Producto de potecis de igul bse: se sum epoetes m m b) Cociete de potecis de igul bse: se rest epoetes m m e) Poteci de poteci: se multiplic epoetes m m ( )

55 D.. Ríces ) Ríz de u producto: producto de ríces b b b) Ríz de u cociete: cociete de ríces b b c) Ríz de u ríz: se multiplic los ídices m m D.. Logritmos ) Logritmo de u producto: sum de logritmos. log ( y) log log y b) Logritmo de u cociete: difereci de logritmos. log y log log y c) Logritmo de u poteci: el epoete sle del logritmo multiplicdo. log log d) Logritmo de u riz: el ídice sle del logritmo dividiedo. log log log

56 D.4. Relcioes trigoométrics básics ) se cos b) se se cos c) cos cos se d) e) cos se cos cos

57 Apédice D Errores de opercioes más frecuetes Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil) 4 5. Simplific l siguiete epresió ( ) ( ). Verddero o flso. 4 ) b) c) m m d) e) m m. Verddero o flso. l ) l l d) l l l 4 b) 7l l e) l ( l ) c) l l l( ) 4. Verddero o flso. ) l log ( ) l d) log b) log ( ) log e) log ( ) c) logb log log b

58 5. Verddero o flso. ) se se d) se cos b) cos cos se e) c) se cos 6. Verddero o flso. cos cos ) ( e ) e b) e e c) ( e ) e 7. Verddero o flso. d) e) ( e ) ( e ) e e 5 e 5 ) d) b b b) e) y y y c) 6 8. Simplific ls siguietes epresioes ddo el resultdo e form de poteci de epoete frcciorio. ) b) c) ( ) ( 5 ) Escribe log log ( ) 4log como u solo logritmo.

59 Solucioes los ejercicios propuestos ) F m ( m) d) F b) V e) F c) F ) F l l l d) V b) V e) F c) F l l l ) V d) V b) V e) V c) V m m l l 5. ) F se se cos d) F se cos b) V e) V c) V 6. ) V d) V b) F c) F e e ( e ) e e) F e e 5 e 5 7. ) F d) F b b y b) V e) F y y c) F 8

60 ) b) c) log

61 Tem Ls Fucioes y sus Gráfics..- Defiició de Fució y Coceptos Relciodos Es muy frecuete, e geometrí, e físic, e ecoomí, etc., hblr de cierts mgitudes que depede del vlor de otrs. Por ejemplo, el áre de u cudrdo depede de l logitud de su ldo, el espcio recorrido por u móvil e u tiempo determido depede de su velocidd, el úmero de vets de u producto depede de su precio, etc. Ests situcioes se describe mtemáticmete medite fucioes. Si X e Y so dos cojutos y D u subcojuto de X, u fució (o plicció) f de Dd X e Y es u relció o correspodeci que cd elemeto 0 D le sig u úico elemeto de Y que se deotrá por f () y se llm imge por f del elemeto. Pr idicr u fució se escribirá Suele decirse que es l "vrible idepediete" y que y es l "vrible depediete" pues su vlor se obtiee como cosecueci del que se le sige l. Al cojuto D se le llm domiio, cmpo de defiició o cmpo de eisteci de f. Se idic tmbié por D (f). Al cojuto f (D) {f ()0Y / 0D} se le llm imge o recorrido de f. Se llm gráfic de l fució l cojuto de los pres ordedos {(, f ())0 X Y / 0D } Si X Y ú se llm fució rel de vrible rel. Se trtrá, por tto, de u plicció f : D d ú 6 ú. L form más simple de describir u fució es medite u epresió o fórmul mtemátic como, por ejemplo,. Est fució está defiid pr culquier úmero rel, es decir, su domiio es D ú. Tom vlores myores o igules que cero por trtrse de u cudrdo, por lo que f (D) [0, 4). Su gráfic será el cojuto de pres ordedos de l form (, ) que costituye l prábol: Tem ()

62 TIPOS DE FUNCIONES: Se llm fucioes lgebrics quélls que puede epresrse e térmios de u úmero fiito de sums, diferecis, productos, cocietes y ríces. Por ejemplo es lgebric. Ls fucioes lgebrics más comues so ls fucioes poliómics de l form, dode el etero positivo es el grdo de l fució poliómic, y ls fucioes rcioles (epresbles como cocietes de poliomios). Ls fucioes que o so lgebrics se llm trscedetes. Es decir, so fucioes trscedetes ls trigoométrics, logrítmics y epoeciles. Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que f es: Creciete e u subcojuto Ad D si ddos Decreciete e u subcojuto Ad D si ddos Creciete e u puto Decreciete e u puto Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que: f preset u míimo locl e f preset u máimo locl e E mbos csos se dirá que l fució posee u etremo reltivo e el puto de bscis, es 0 decir e el puto del plo (, f ( ) ) 0 0 Se hblrá de etremos bsolutos cudo l fució lcce su meor vlor (míimo bsoluto)o su myor vlor (máimo bsoluto). Dd u fució f, rel de vrible rel, se dirá que: Tem ()

63 f está cotd iferiormete e u domiio D si f está cotd superiormete e u domiio D si f está cotd e u domiio D, si lo está iferior y superiormete. Puede epresrse tmbié si, porque...- Opercioes co Fucioes. Composició de Fucioes Se f y g dos fucioes co el mismo domiio D d ú. Pr cd 0D de defie l sum, difereci y producto de f y g medite ls epresioes: De l mism form, pr cd tl que se defie el cociete como Se hblrá de l composició de dos fucioes f y g cudo ls slids de f se usds como etrds de g. Si X, Y, Z so cojutos, f u fució co domiio D (f)d X e Y y g u fució co domiio D(g) d Y e Z. Supoiedo que l imge de f está coteid e el domiio de g, es decir, I (f)d D(g), se defie l composició de ls fucioes f y g, y se represet por gbf, como l fució de D (f) e Z que sig cd elemeto 0 D (f) el elemeto del cojuto Z, g [f()]. L composició de fucioes es socitiv, es decir, hb(gbf) (hbg)bf siempre que se trte de tres fucioes que pued compoerse. Pero coviee señlr que o es comuttiv, porque e pricipio l eisteci de gbf o implic l de fbg; pero u cudo mbs composicioes eist, o tiee por qué ser igules. Así, por ejemplo, pr ls fucioes y se tedrí : Se llm fució idetidd l que sig cd elemeto él mismo. Es evidete que Tem ()

64 l compoerl co culquier otr fució o l lter. Es decir, l fució idetidd es el elemeto eutro de l composició de fucioes. Si dd u fució f, eiste otr fució que l compoerl co ell d como resultdo - l fució idetidd, se le llm fució ivers de f, represetádose por f. Es importte distiguir etre l fució ivers (ivers pr l composició) de l ivers pr el producto, que serí u fució que l multiplicrl co l fució dd, resultse el elemeto eutro pr el producto ( l fució costte que sig cd el úmero rel ). Por ejemplo, pr l - fució f () si su fució ivers es f () rc si, mietrs que l ivers pr el producto es cosec porque si cosec...- Gráfic de u Fució L represetció más complet de u fució puede obteerse dibujdo su gráfic e u sistem de dos coordeds. Tomdo el eje O pr represetr l vrible idepediete (origiles), y el eje Oy pr l vrible depediete (imágees), los putos de coordeds (,f()) costituirá u curv e dicho sistem que será l gráfic de l fució. No tods ls curvs represet u fució. Pr que sí se es ecesrio que stisfg el test de l verticl: U curv represet u fució si culquier rect prlel l eje O y cort l gráfic lo sumo e u puto (cd origil tiee u sol imge). E este cso, el domiio estrá costituido por los vlores de e los que l verticl cort l gráfic. Por ejemplo, l rect de ecució describe u fució y lo mismo ocurre co l prábol de ecució : e e m Tm Tm m e e Te Tem (4)

65 Si embrgo, o ocurre lo mismo pr l circufereci dd por prábol de ecució cuys gráfics so: y l Pr obteer l represetció gráfic de u fució deberá seguirse us puts que se describirá más delte e el Tem 4. Defiició.- Se dice que f es u fució pr y su gráfic simétric respecto del eje Oy si verific: ) ) Se dice que f es u fució impr y su gráfic simétric respecto del orige si verific: ) ) Tem (5)

66 Tem Ls Fucioes y sus Gráfics Ejercicios Resueltos Ejercicio Hll domiio e imge de ls fucioes y Solució: Como o está defiido si, es decir, si El recorrido o imge será el cojuto de todos los reles positivos icluído el cero. L fució está defiid tto pr los como pr los, luego. E l porció del domiio, l fució se comport como y pr los, el vlor de es positivo y, por tto, el recorrido de l fució es. Ests coclusioes puede visulizrse e ls gráfics siguietes: Ejercicio Cuáles so los itervlos de crecimieto y decrecimieto de ls fucioes del ejercicio terior? Preset lgú etremo locl? Solució: L fució es creciete e todo su domiio, es decir, e. El míimo se lcz e el puto y el máimo o se lcz porque crece idefiidmete. Puede decirse tmbié que está cotd iferior pero o superiormete. L fució es decreciete e y creciete e. No tiee máimo, y el míimo coicide co el de l fució. Not: E el Tem 4 se estudi l crcterizció del crecimieto/decrecimieto de u fució Ejercicios T ()

67 por el sigo de su derivd. Tmbié se d criterios pr el estudio de los etremos locles. Ejercicio Sbiedo que, hll el domiio de l fució Solució: Si sigific que por lo que deberá ser ó, lo que es lo mismo,. L primer prte de l desiguldd se verific siempre que y l segud pr culquier vlor de. Luego Ejercicio 4 Observdo l siguiete gráfic, que correspode l fució itervlos de crecimieto y decrecimieto y los etremos., idic los Solució: Crece e Decrece e Máimo locl e el puto de coordeds Míimo locl e el puto de coordeds -4-6 Ejercicio 5 Preset l fució lgú etremo e? Solució: L fució puede epresrse como, co lo que si tomrá el myor vlor posible (e culquier otro cso l 5 se le restrí u ctidd positiv). Luego el puto (0, 5) es u máimo bsoluto. Ejercicios T ()

68 Ejercicio 6 Estudi l cotció de ls fucioes ) b) c) Solució: ) o está cotd i iferior i superiormete. Como se puede observr e l gráfic, si y si b) está cotd iferiormete porque. Pero o está cotd superiormete, porque si c) está cotd, es decir, iferior y superiormete porque: Ejercicios T ()

69 Ejercicio 7 Comprueb que ls fucioes y so iverss. Solució: Se verá que l compoerls se obtiee l fució idetidd: Ejercicio 8 Dd l fució hll su ivers, si eiste. Solució: será Si o, lo que es lo mismo,. Por tto, l ivers Ejercicio 9 Idic si ls siguietes fucioes so pres, impres o igu de ls dos coss: ) b) c) Solució: ), luego es impr y su gráfic simétric respecto l orige. b) luego es pr y su gráfic simétric respecto l eje Oy. c), por tto o es pr i impr porque o coicide co l fució origil i co su opuest. Su gráfic o preset simetrís. Ejercicio 0 Preset lgu simetrí l fució? Ejercicios T (4)

70 Solució: Como gráfic simétric co respecto l orige de coordeds., l fució es impr y su Ejercicios Propuestos (Ls solucioes se ecuetr l fil).- Dd l fució, clcul:.- Hll el domiio de.- Estudi ls posibles simetrís de ls fucioes ) b) 4.- Demuestr que es u fució pr y que es impr. 5.- Determi el domiio de l fució 6.- Hll los vlores de y b pr los que verific 7.- Se ls fucioes ) Determi ls fucioes compuests b) Epres e fució de f, g y h ls fucioes. 8.- Hll l fució ivers de cd u de ls siguietes fucioes: 9.- Estudi ls simetrís, itervlos de crecimieto y decrecimieto y cotció de l fució cuy gráfic es: Ejercicios T (5)

71 Epres l fució como sum de u fució pr y otr impr. Solucioes: ) impr b) pr 5.- (-, 0) c (0, ) y b ) b) Es impr, decrece e (-4, 0)c (0, 4) y o está cotd iferior i superiormete. 0.- Ejercicios T (6)

72 Tem Límites de Fucioes..- Defiició de Límite Ide de límite de u fució e u puto: Se l fució. Si tiede, qué vlor se proim? Costruyedo - u tbl de vlores próimos, teriores (6 ) y posteriores (6 ): f () f () Luego, cudo se proim tto por l derech como por l izquierd, los vlores de se cerc cd vez más 4. Est ide se suele epresr sí: (límite lterl por l izquierd) (límite lterl por l derech) Cudo estos límites lterles eiste y so igules se dice que eiste el límite e ese puto y se escribe Dd l fució vlores que tom l fució cerc de ese vlor:, uque o está defiid e puede clculrse los f () ? Se observ que medid que los origiles se proim, tto pr vlores meores como myores que, ls imágees se cerc. Podrí decirse que el límite es l. Tem ()

73 Límites Fiitos Ituitivmete, u úmero rel l es el Límite Fiito de u fució f e u puto y 0 se escribe si pr los vlores de l vrible cercos l puto l fució f, 0 que o tiee por qué estr defiid e, tom vlores f() que se v proimdo l vlor 0 de l. Es decir, l es el límite de f e si se puede hcer que como se quier" (meor que u g ddo) si más que hcer Formlmete, se escribirá: 0 se "t pequeño "suficietemete pequeño". Límites Lterles Cudo se cumple l defiició de límite pr vlores de cercos l puto pero 0 teriores se hblrá del Límite por l Izquierd que se deotrá por decir: 0. Es Aálogmete se hblrí de Límite por l Derech si se cumple l defiició de límite pr vlores de cercos l puto pero posteriores, escribiedo: 0 0 Se deduce de ls defiicioes, que si coicide los límites por l izquierd y por l derech e u puto, l fució tiee límite e ese puto. Este resultdo proporcio u método práctico pr decidir sobre l eisteci de u límite. E el ejemplo terior, pr l fució se observb, medite l tbl de vlores, que tto el límite por l izquierd como por l derech coicidí. L defiició de límite se puede geerlizr pr hblr de límite ifiito de u fució e u puto y pr hblr de límite e el ifiito. Límites Ifiitos Se dirá que 4 es límite de u fució e el puto y se escribirá 0 si, medid que os cercmos l puto los vlores de l fució se hce t grdes como 0 Tem ()

74 quermos, es decir: Se dirá que -4 es límite de u fució e el puto y se escribirá 0 si, medid que os cercmos l puto los vlores de l fució se hce t pequeños 0 como quermos, es decir: y se escribirá E geerl, se dirá que u fució tiee límite 4 (si precisr el sigo) e el puto, 0 quermos, es decir: si los vlores bsolutos de l fució se hce t grdes como Cudo f preset e u puto u límite ifiito, se dirá que l rect de ecució 0 es u ASINTOTA VERTICAL de l gráfic de l fució. (Vése Tem 4) Límites e el Ifiito Se dirá que l el es límite de u fució e 4 y se escribirá si se puede hcer que los vlores de l fució se cerque l pr vlores de suficietemete grdes, es decir: Se dirá que l es el límite de u fució e -4 y se escribirá si se puede hcer que los vlores de l fució se cerque l pr vlores de suficietemete pequeños, es decir: Cudo f preset e u límite l e el ifiito, se dirá que l rect de ecució es u ASINTOTA HORIZONTAL de l gráfic de l fució. (Vése Tem 4) Tem ()

75 Límites Ifiitos e el Ifiito Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que. Se dice que si pr culquier k positivo, se puede ecotrr u H positivo tl que...- Propieddes y Opercioes Propieddes:.- Si eiste etoces es úico..- Si u fució f tiee límite fiito e u puto, está cotd e u etoro de ese puto. Es decir, si, etoces *> 0 tl que f está cotd e ( -*, *) Si u fució f tiee límite distito de cero e u puto, etoces eiste u etoro del puto e el que los vlores que tom l fució tiee el mismo sigo que el límite. 4.- U fució compredid etre otrs dos fucioes co el mismo límite, tmbié tiee ese límite. Es decir,si f, g, h so tres fucioes tles que ( ) y, etoces eiste el. (U ejemplo práctico de plicció de est propiedd se ve e el ejercicio resuelto º ). Opercioes co Límites: Si eiste el y eiste el, etoces: - eiste el y vle - eiste el y vle - eiste el y vle siempre que - eiste el y vle - eiste el y vle Tem (4)

76 ..-Ifiitésimos e Ifiitos Se dirá que u fució f es u Ifiitésimo e u puto si. 0 Desde el puto de vist ituitivo, u ifiitésimo es u fució que se proim cero tto como se quier, si más que proimr l puto. 0 Por ejemplo, l fució es u ifiitésimo e el 0 y es u ifiitésimo e el. Se dirá que u fució f es u Ifiito e u puto si 0 Desde el puto de vist ituitivo, u ifiito es u fució que crece (decrece) tto como se quier, si más que proimr l puto. 0 Por ejemplo, l fució es u ifiito e el. es u ifiito e el 0 y l fució dd por Propieddes:.- Si f es u ifiitésimo e u puto y g está cotd e u etoro de, etoces su 0 0 producto f g es es u ifiitésimo e. 0.- Si f es u ifiito e y g está cotd e u etoro de, etoces su sum f g es es 0 0 u ifiito e. 0.- L fució f es u ifiito e si y sólo si es u ifiitésimo e Cálculo de Límites Secillos. Idetermicioes. Teiedo e cuet ls propieddes reltivs ls opercioes, y dos límites obvios: ( fució costte) y, puede cocluirse que si P() es u poliomio,. E geerl, si f es u fució cotiu, tmbié se verific que (Vése Tem ). Al operr lgebricmete co límites se preset siete csos de idetermició e los que el límite resultte o qued determido por los límites de ls fucioes que iterviee e l operció, sio que depede demás de cómo ésts tied sus límites, pudiedo icluso o eistir. Se idicrá ests idetermicioes o límites idetermidos por los símbolos: Tem (5)

77 ) Idetermició : E gr prte de los csos bst relizr ls opercioes idicds. Ejemplo:. Operdo qued: 4 E otros csos, sobre todo e los que iterviee rdicles, bst multiplicr y dividir por l epresió rdicl cojugd. Ejemplo: 0 b) Idetermició : E gr prte de los csos bst relizr ls opercioes idicds. Ejemplo: - c) Idetermició : Cudo solo prece fucioes rcioles, bst descompoer fctorilmete el umerdor y el deomidor. Ejemplo: Si iterviee rdicles, se multiplic y divide por l epresió rdicl cojugd. Ejemplo: d) Idetermició : E muchos csos bst dividir el umerdor y el deomidor por l myor poteci de l vrible, tto si ls epresioes so rcioles como rdicles. Tem (6)

78 Ejemplo: 4 E el cso más simple que es el de ls fucioes rcioles (cocietes de poliomios) se puede resumir e tres csos: - Grdo del umerdor myor que el del deomidor, límite ifiito. - Grdo del umerdor meor que el del deomidor, límite cero. - Grdos igules, el límite coicide co el cociete de los coeficietes priciples. e) Idetermicioes : Pr resolver estos límites deberá teerse e cuet que, de dode result que. Asi se trsform e u producto. E el cso de l idetermició, o se si tmbié es cierto que Ejemplo: e E el tem 4 se estudirá l regl de L Hôpitl-Beroulli que permitirá, utilizdo ls derivds de ls fucioes que iterviee e el límite, l resolució de culquier de los 7 csos de idetermició. Tem (7)

79 Tem Límites de Fucioes Ejercicios Resueltos Ejercicio Demuestr, plicdo l defiició de límite, que Solució: si y sólo si Pero Puede tomrse pr simplificr los cálculos, y co se tiee y. Etoces. Tomdo míimo, qued demostrdo que cudo. Ejercicio Demuestr, plicdo l defiició de límite, que Solució: Pero,. Por otr prte, si será, de dode Bst tomr por tto, o lo que es lo mismo,. De est form se cosigue que si, etoces Ejercicios T ()

80 Ejercicio Demuestr que Solució: Se probrá utilizdo l propiedd 4 del prtdo.. E l figur puede observrse que : áre triágulo OAB < áre sector OAB < áre triágulo OAC Si es l medid e rdies del rco AB y el rdio es OA, result: Etoces pr todo Y por tto. Multiplicdo por se obtiee desiguldd ést que teiedo e cuet que tods ls fucioes que iterviee so pres, es válid pr todo el por ser. Ejercicio 4 Eiste el límite de cudo tiede? Solució: Clculdo los límites lterles: y Puede cocluirse, por tto que eiste el límite y vle E l gráfic puede observrse ls dos prtes diferetes que costituye l fució, l izquierd del u rect y su derech u prábol, pero e el tom el mismo vlor Ejercicios T ()

81 Ejercicio 5 Estudi l eisteci del Solució: Teiedo e cuet que, se tiee: Los límites lterles eiste, pero como o so igules se cocluye que o eiste el límite. Ejercicio 6 Resuelve los siguietes límites: ) b) c) Solució: ) 5 b) c) 0 Ejercicio 7 Clcul el vlor de pr que 4 Ejercicios T ()

82 Solució: Y pr que Ejercicio 8 Hll ls sítots horizotles y verticles de Solució: Como es u sítot horizotl Y por ser so sítots verticles. Ejercicio 9 Clcul el Solució: Al igul que pr l difereci de cudrdos se tiee que difereci de cubos es. Por tto:, pr l Ejercicio 0 Pr qué vlores del prámetro eiste el siedo Solució: Hlldo los límites lterles: y Por tto, el límite eiste y vle pr culquier vlor del prámetro. Ejercicios T (4)

83 Ejercicios Propuestos (Ls solucioes se ecuetr l fil).- Sbiedo que, clcul.- Po u ejemplo de u fució que verifique y.- Clcul los siguietes límites, si eiste: ) b) 4.- Defiiedo l fució "prte eter" E() myor úmero etero meor o igul que, demuestr que o eiste el. 5.- Eiste el? 6.- Demuestr, plicdo l defiició de límite, que 7.- Co qué proimidd se debe tomr pr que se ecuetre u distci de meor que ) 0.0 b) 0.00? 8.- Idic l idetermició que preset y resuelve los siguietes límites e el ifiito: ) b) 9.- Comprueb que 0.- Hll ls sítots horizotles y verticles de Ejercicios T (5)

84 Solucioes:.-.- Por ejemplo,.- ) / b) / 4.- El límite o eiste por ser distitos los límites lterles. 5.- El límite o eiste por ser distitos los límites lterles. 7.- ) b) ) / b) 0.- y0,, - Ejercicios T (6)

85 Tem Cotiuidd..- Defiició de Cotiuidd U fució se dice cotiu e u puto de su domiio, si eiste el límite de l fució y coicide co el vlor de l fució e dicho puto. Es decir: f es cotiu e u puto si : 0 Se dirá cotiu por l izquierd cudo el vlor de l fució e el puto coicid co el límite por l izquierd, y cotiu por l derech cudo se igules el vlor de l fució y el límite por l derech. Es evidete que u fució será cotiu e u puto cudo lo se l vez por l derech y por l izquierd. Se dirá cotiu e u itervlo bierto (, b) cudo es cotiu e cd puto de dicho itervlo y cotiu e u itervlo cerrdo [, b] si demás de ser cotiu e el bierto (, b) es cotiu por l derech e y por l izquierd e b. So fucioes cotius ls poliómics, ls rcioles (ecepto e los ceros del deomidor), ls fucioes trigoométrics, ls epoeciles, ls logrítmics,... y ls composicioes de élls...- Opercioes y Composició de Fucioes Cotius Como l cotiuidd llev cosigo l eisteci de límite fiito de u fució e u puto, tods ls propieddes de límites fiitos puede cocluirse pr fucioes cotius. Por tto, si f y g so dos fucioes cotiu e u puto, etoces: 0 es cotiu e 0 es cotiu e 0 Tem ()

86 es cotiu e siempre que 0 es cotiu e 0 Si es cotiu e y es cotiu e etoces l fució 0, compuest es cotiu e Tipos de Discotiuiddes Cudo u fució o se cotiu e u puto, se dirá discotiu e dicho puto. Puede presetrse los siguietes tipos de discotiuiddes: Discotiuidd Evitble: l fució tiee límite e el puto, pero éste o coicide co el vlor de l fució, bie por ser distito o por o estr defiido. Se llm evitble porque bstrí drle ese vlor del límite pr que hubiese cotiuidd. Por ejemplo, l fució o está defiid e, pero eiste el (vése el ejercicio del Tem ). Si se defie, se trt de u fució cotiu. Discotiuidd de Primer Especie: eiste los límites lterles, pero o so distitos, e cuyo cso se llm Discotiuidd de Slto (el Slto es l difereci etre los límites lterles, pudiedo ser fiito o ifiito) o so ifiitos del mismo sigo que es llmd Discotiuidd Ifiit. Cudo l meos uo de los límites lterles es ifiito se le puede llmr tmbié Discotiuidd Asitótic. Ejemplos: ) preset u discotiuidd de slto fiito e porque el límite por l izquierd vle y el límite por l derech es igul 5. El slto es 5-. ) preset u discotiuidd de slto ifiito e porque el límite por l izquierd vle y el límite por l derech es igul 4. El slto es 4. ) Tmbié preset discotiuidd de slto ifiito l fució e porque los límites lterles so ifiitos de sigos cotrrios. Tem ()

87 4) L fució, e, preset discotiuidd ifiit porque los límites lterles so ifiitos del mismo sigo. Discotiuidd de Segud Especie: se produce cudo o eiste l meos uo de los límites lterles. Por ejemplo, preset e u discotiuidd de este tipo. Cudo l vrible se proim l cero l fució oscil idefiidmete tomdo ifiits veces todos los vlores compredidos etre - y, por tto o eiste el límite..4.- Teorems sobre cotiuidd Teorem de Coservcio del Sigo: Si f es cotiu e u puto y su vlor es positivo (egtivo) e ese puto, tmbié será positivo (egtivo) e u etoro del puto. Teorem de Bolzo: Si f es u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b], y tom vlores de sigo cotrrio e los etremos del itervlo, debe ulrse e lgú puto iterior del itervlo. Es decir: Gráficmete, puede observrse que pr psr del semiplo iferior l superior ( o l cotrrio) si que el trzo pierd cotiuidd, ecesrimete debe cortrse l eje l meos u vez: Tem ()

88 Teorem de Bolzo-Weierstrss : Si f es u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b], lcz u máimo y u míimo e dicho itervlo. Teorem de Drbou: Si f es u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b], lcz todos los vlores compredidos etre el míimo y el máimo de f e [, b]. Es decir, si m y M so, respectivmete, el míimo y el máimo de f e [, b], ddo u vlor c tl que m < c < M, etoces deberá eistir l meos u " 0 [, b] tl que c f (" ) Tem (4)

89 Tem Cotiuidd Ejercicios Resueltos Ejercicio Estudi l cotiuidd de l fució Solució: L fució puede epresrse como Pr represetrl bst cosiderr dos rcos de prábol: Es evidete l cotiuidd e E el puto, se tiee: y Por tto, f es cotiu por l derech e, pero o es cotiu presetdo u discotiuidd de slto, co slto (difereci etre los límites lterles) igul. Ejercicio Estudi l cotiuidd de l fució Solució: L fució preset e (dode o está defiid) u discotiuidd de slto ifiito por ser los límites lterles ifiitos de sigos cotrrios: y E, se tiee que y, luego Ejercicios T ()

90 solo se tiee cotiuidd por l derech. L discotiuidd es de slto fiito. Por tto, l fució es cotiu e. Ejercicio Hll los vlores de los prámetros y b que hce cotiu e ú l fució: Solució: Por l propi defiició l fució y es cotiu e. Pr que se cotiu e y e e debe coicidir los límites lterles, es decir: E, debe ser Y e, De mbos resultdos se cocluye que los vlores buscdos so Ejercicio 4 Ls fucioes y, o está defiids e el puto. Qué discotiuidd preset e? Puede defiirse e 0 de mer que se cotius e ú? Solució: preset e u discotiuidd de segud especie porque o eiste iguo de los límites lterles. Por tto, será cotiu e siedo imposible mplir su domiio l 0. Como el y, y que eiste el límite, puede defiirse l fució sigádole ese vlor, es decir, cosiguiedo sí hcerl cotiu e ú. Ejercicios T ()

91 Ejercicio 5 Qué tipo de discotiuidd preset e l fució? Solució: Teiedo e cuet que l proimros l cero se tiee vlores egtivos su izquierd y positivos su derech, los límites lterles de so y, por tto y. Se trt de u discotiuidd de slto ifiito (límites lterles diferetes y uo de ellos es 4) Ejercicio 6 Represet l gráfic de l fució [-, ]?. Cumple el teorem de Bolzo e el itervlo Solució: Auque tom vlores de sigos cotrrios e los etremos del itervlo, o cumple el teorem de Bolzo por o ser cotiu e el puto Ejercicio 7 Eiste lgú úmero rel igul su cubo meos u uidd? Solució: El úmero buscdo debe stisfcer l ecució. Cosiderdo, por ser cotiu e ú y e prticulr e [, ], como y, por el teorem de Bolzo se cocluye que debe eistir u úmero tl que, es decir, tl que. Ejercicios T ()

92 Ejercicio 8 Aplic el Teorem de Bolzo pr probr que ls gráfics de y se cort e lgú puto y loclízlo proimdmete. Solució: Que ls gráfics de y se corte, sigific que debe eistir u puto e el que coicid, es decir e el que. Se trt de ecotrr u itervlo [, b] e el que l fució se cotiu y tome vlores de sigos cotrrios e los etremos. Eso ocurre tomdo y b porque, demás de l cotiuidd, y. Not: Pr logrr u proimció mejor puede subdividirse el itervlo [, ] e dos prtes igules [,.5] y [.5, ]. Elegir quel itervlo e el que l fució tome vlores de sigos cotrrios e los etremos, y repetir el proceso ls veces que se quier. Ejercicio 9 Dd l fució defiid por positivo y meor que, que verific que., demuestr que eiste u vlor Solució: Como, y es cotiu e el itervlo [0, ], por el teorem de los vlores itermedios, debe lczr culquier vlor compredido etre - y. E prticulr, debe eistir u vlor. Ejercicio 0 L fució es cotiu e el itervlo (, 6], pero si embrgo o lcz u máimo e dicho itervlo. Cotrdice el teorem de Bolzo-Weierstrss? Solució: No lo cotrdice puesto que el itervlo dode l fució es cotiu o es cerrdo. Ejercicios T (4)

93 Ejercicios Propuestos (Ls solucioes se ecuetr l fil).- Dd l fució defiid e, defie pr que se cotiu e.- Tiee l fució máimo y míimo e el itervlo [0, 5]? Y e el itervlo [-, ]?.- Dds ls fucioes y, comprueb que so cotius e ú. 4.- Estudi e l cotiuidd de Determi pr que se cotiu e. 5.- Si f y g so ls fucioes y, demuestr que. Cotrdice este resultdo l propiedd sobre l cotiuidd de l fució compuest? 6.- Estudi l cotiuidd de l fució 7.- Es cotiu e l fució? 8.- Demuestr que es cotiu e ú. Ejercicios T (5)

94 9.- Aplicdo el Teorem de Bolzo, comprueb que l ecució tiee u ríz rel. 0.- Tiee l fució etremos reltivos e ú? Y e el itervlo [, 5]?.- Es mplible ú el domiio de l fució?.- Escribe u ejemplo de u fució que presete e u discotiuidd evitble, e u discotiuidd de slto ifiito, y que se cotiu e ú-{0,}..- Qué tipo de discotiuidd preset e l fució? Podrís defiir pr que fuese cotiu e ú? 4.- Tiee l ecució lgu ríz compredid etre y? 5.- Eiste lgú vlor de " pr el que se cotiu e (0, 4)? Solucioes:.-.- preset u máimo e el puto (0, ) y u míimo e (5, /6) ; o preset etremos e [-, ] porque o es cotiu e - 0 (-, ). 4.- Pr que se cotiu e debe ser. E es cotiu por l derech pero o lo es por l izquierd. Por tto, o es cotiu. Preset discotiuidd de slto fiito. E es cotiu. 5.- No cotrdice el resultdo porque g o es cotiu e. 6.- Cotiu e ú - {-}. E preset discotiuidd evitble. 7.- Sí es cotiu. Ejercicios T (6)

95 0.- E ú tiee míimo e (0, 0) y o tiee máimo. E el itervlo cerrdo [, 5], como cosecueci del Teorem de Bolzo-Weierstrss, míimo e el puto (, 4) y máimo e el puto (5, 5)..- No, porque e preset discotiuidd o evitble..-.- Preset u discotiuidd ifiit (límites lterles ifiitos del mismo sigo), co lo que el domiio o serí mplible. 4.- Etre y tiee u ríz. 5.- Sí, por ejemplo " -. Ejercicios T (7)

96 Tem 4 Derivció 4. Defiicioes y propieddes básics Defiició 4.. Dd u fució f : D R R, diremosquef es derivble e u puto 0 D, si eiste el límite siguiete, que deotremos f 0 ( 0 ) o df d 0 : f 0 f() f( 0 ) ( 0 ) : lim 0 0 lim 0 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 h) f( 0 ) lim h 0 h f () lim lim h 0 h 0 f (). El límite f 0 ( 0 ) se deomi derivd, respecto de, de l fució f e el puto 0. Ejemplo 4.. Dd l fució f () l, suderivdeuputo será: f 0 f(h) f() l(h) l l () lim h 0 lim h h 0 lim h h h 0 h l( lim h ) h 0 lim h h 0 l h limh 0 l h h h lim h 0 l h h l i hlim h 0 h h l e Ejemplo 4.. E el cso de f () si: f 0 f(h) f() () lim h 0 h lim h 0 si(h) si h Y, recorddo que si si b cos b lim h 0 si(h) si h lim h 0 cos h si h h lim h 0 cos h si h h si b lim h 0 cos h si lim h h 0 h cos si Y que, segú se vió e el tem (Ejercicios resueltos):lim 0.

97 TEMA 4 Ddo que l derivd es u límite, igul que eiste límites lterles eiste derivds lterles: Defiició 4.. Dd u fució f : D R R,diremosquee 0 D dmite: derivd lterl por l derech, que deotmos f 0 () ó f 0 0 : 0 f 0 ( f( 0 h) f( 0 ) 0 ) : lim h 0 h h>0 derivd lterl por l izquierd, que deotmos f 0 ( 0 ) ó f 0 () : 0 f 0 ( f( 0 h) f( 0 ) 0 ):lim h 0 h h>0 Como e el cso de los límites lterles, l eisteci de derivd implic l eisteci, e iguldd, de ls derivds lterles. Recíprocmete si eiste y coicide ls derivds lterles, eiste l derivd y coicide co ells. E cso de que lgu de ls derivds lterles o eist, o e cso de que se distits, o eiste l derivd. Igul que o eiste el límite, si los límites lterles so distitos o lguo de ellos o eiste. Teorem 4.. Dd l fució f : D R R, teemos: f derivble e D f cotiu e. Not 4.. El recíproco del teorem precedete es flso, como puede verse, por ejemplo, co l fució f () :, eelputo 0: 4 y lim 0 f () lim 0 lim h 0 0h 0 lim h 0 0 h lim 0 lim 0 f () Límites que coicide co f (0), es decir f es cotiu e 0, pero:

98 4. f 0 (0 ) lim h 0 h>0 f 0 (0 ) lim h 0 h>0 f(0h) f(0) h f(0 h) f(0) h lim h 0 h>0 lim h 0 h>0 h 0 h h 0 h limh 0 h>0 lim h 0 h>0 h h h h Ls derivds lterles so diferetes, por lo que f o es derivble e Iterpretció geométric de l derivd Supuesto que l curv represetd e l figur correspode l fució de ecució y f (), cosideremos los putos: P (, f ()), A (, f () f ()) Como podemos ver, cosiderdo el triágulo AP B: f() AB tα, PB pero, cudo 0, elputoa tiede coicidir co el puto P,demer que l cuerd AP ps ser l tgete l curv e P y, e el límite, el águlo α ps coicidir co el águlo β, sí f 0 f () lim 0 lim t α tβ 0 Por tto l derivd de u fució e u puto es, uméricmete, igul l vlor de l tgete trigoométric del águlo formdo, co el setido positivo del eje OX, porltgetegeométric lcurvcorrespodiete, e el puto ddo. E los putos e que l curv dmite dos tgetes distits, l derivd o eiste, pues tedrí dos derivds distits, u por cd tgete. A ëf{} P β α ë B 4. Derivds de ls opercioes co fucioes Teorem 4.. Dds dos fucioes f,g : X R R, derivbleseu puto X, co derivds respectivs f 0 (),g 0 () e tl puto, se verific:

99 4 TEMA 4 i. f g es derivble e, siedo(f g) 0 () f 0 ()g 0 (). ii. Dd u costte λ R, λf es derivble e y (λf) 0 () λf 0 (). iii. f g es derivble e, siedo(f g) 0 () ³ f 0 () g ()f () g 0 (). iv. f 0 es derivble e si g() 6 0,siedo f g g () f 0 ()g() f()g 0 (). (g()) 4.4 Derivds de fucioes elemetles Veremos lgus, ls derivds de ls fucioes cos, t, cot, sec, csc, se deduce de l derivd de l fució si. Teorem 4.4. Se verific: i. f () cte f 0 () 0 ii. f () f 0 () iii. f () si f 0 () cos iv. f () l f 0 (). 4.5 Regl de l cde (Derivd de l fució de fució) Dd u fució g (f), elquef su vez es fució de otr vrible, se trt de dr u regl que permit derivr g respecto de. Por ejemplo si queremos derivr l fució y l, co respecto, podemos cosiderr ls fucioes f f () siguiete teorem d u regl pr clculr dy d : Teorem 4.5. (Regl de l cde)ddslsfucioes: f : A R R, derivblee A, cof (A) B g : B R R, derivble e y f () B L fució compuest g f, es derivble e ; siedo: dg(f()) d E el ejemplo precedete será: f (g f) 0 () g 0 (f ()) f 0 () dg df df d dy dg (f ()) dg d d df df d d l f df ( ) 4 4,yg g (f) lf, el d d ( ) Como cosecueci imedit de este teorem, result ls regls usules de derivció:

100 4.6 5 f () cos si π f 0 () cos π π 0 cos π si f () u () f 0 () u () u 0 () f () lu () f 0 () u0 () u() f () u(),siedo costte: l f () u () l f 0 () f() u 0 ()l f 0 () u() l u 0 () f () siu () f 0 () cosu () u 0 (). 4.6 Derivddelfucióivers Recordemos que, tl como se defiió e el tem reltivo fucioes y cotiuidd, dd u fució f : A R R co f (A) :B R, diremos que f dmite u ivers f : B A, sif f (y) y, y B es decir f f B,yf f (), A, of f A, dode A,y B, represet ls fucioes idetidd de A y B respectivmete, es decir A (), A, y B (y) y, y B. A f f El siguiete teorem d u regl de derivció de l fució ivers de u dd: Teorem 4.6. Dd u fució moóto f :[, b] [c, d] f ([, b]), verificdo: i. Es derivble e [, b] ii. Admite ivers g Etoces g es derivble e [c, d], siedo: g 0 (y) y f 0 () f 0 (g(y)) f () [c, d]. Debe teerse cuiddo co ls vribles que utiliz f y g: Ejemplo 4.6. Clculr l derivd de y rcsi Se g () rcsi, esliversdef (y) siy, sí plicdo el resultdo terior será: B

101 6 TEMA 4 g 0 () obie: f 0 (y) g0 () cos y Pero l derivd g 0 (), debe drse e fució de, sí que: g 0 () cos y si y E csos como el precedete, puede utilizrse otro método: Dd y rccos, teemos: cos y, derivdo, de cuerdo co l regl de l cde: si y y 0,portto: y 0 si y cos y De todo lo terior podemos deducir u tbl de derivds: fució f () u () l u () u() si u () cos u () t u () cot u () sec u () csc u () rcsi u () rccos u () rct u () fució derivd f 0 () u () u 0 () u 0 () u() u() l u 0 () cos u () u 0 () si u () u 0 () [ t u ()] u 0 () sec u () u 0 () [ cot u ()] u 0 () csc u () u 0 () sec u () t u () u 0 () csc u () cot u () u 0 () u0 () u () u0 () u () u 0 () u () 4.7 Teorems de vlor medio. Apliccioes 4.7. Teorems de vlor medio Defiició 4.7. Dd u fució f : X R R diremos que 0 X es u puto crítico ( veces estciorio) silfucióf es derivble e 0 y f 0 ( 0 )0. Teorem 4.7. Dd u fució f :[, b] R R, verificdo: i. f cotiu e [, b] ii. f derivble e (, b) E ests codicioes si f tiee u etremo (máimo o míimo), locl e 0 (, b) etoces 0 es u puto crítico de f, esdecirf 0 ( 0 )0.

102 4.7 7 Adverteci 4.7. El recíproco del terior o es cierto, como podemos ver co l fució: f () : 5 0 4, suderivdf 0 () se ul pr dode f o tiee etremo y Teorem 4.7. (De Rolle): Dd u fució f :[, b] R R, tlque i. f cotiu e [, b] ii. f derivble e (, b) iii. f () f (b) E ests codicioes eiste l meos u c (, b), tlquef 0 (c) 0. Gráficmete este teorem segur, de cuerdo co l iterpretció geométric de l derivd, que l curv represettiv de l fució dd, tiee l meos u puto e el que l tgete es prlel OX : c b Teorem 4.7. (Del vlor medio, odelosicremetos fiitos de Lgrge): Dd u fució f :[, b] R R, tlque i. f cotiu e [, b] ii. f derivble e (, b)

103 8 TEMA 4 E ests codicioes eiste u c (, b), tlque f 0 (c) f (b) f (). b Así e ls hipótesis del teorem, podemos escribir: f (b) f () f 0 (c)(b ), o bie poiedo, b h, c θh co θ (0, ): f ( h) f () hf 0 ( θh) o f f 0 ( θ ) Queeslfórmul de los icremetos fiitos de Lgrge. Est propiedd tiee u iterpretció gráfic: eiste u c (, b), tl que l tgete l curv, represetd por f (), eelputo(c, f (c)), es prlel l cuerd que ue (, f ()), co(b, f (b)) {c,f{c}õ f{h}_f{} c b h Teorem (Del vlor medio geerlizdo de Cuchy) Dds dos fucioes f,g :[, b] R R, tles que: i. f,g cotius e [, b] ii. f,g derivbles e (, b), cog 0 () 6 0 (, b) E ests codicioes eiste u c (, b), tlque f 0 (c) g 0 (c) f (b) f () g (b) g (). 4.8 Aplicció l estudio de límites idetermidos Teorem 4.8. (regl de L Hôpitl-Beroulli): Dds dos fucioes f,g :(, b) R R, tles que: i. f,g derivbles e (, b), cog 0 () 6 0 (, b)

104 4.8 9 ½. lim f () lim g () 0 ii. Se verific u de ls codicioes:. lim f () lim g () E tl cso será lim f() lim g() f 0 () g 0 () lim f 0 () g 0 () L. El resultdo sigue siedo válido si se reemplz lim L, siempre que eist el por lim El resultdo terior permite resolver directmete ls idetermicioes de tipo,o 0. Otrs forms de idetermició se estudiro e l secció 0.4, de etre ls resolubles usdo l regl de l Hôpitl-Beroulli, teemos: -Cso0 : lim f () 0, lim g (), Podemos poer: f() lim f () g () lim, que deotdo G (),result: g() g() f() lim f () g () lim, y estmos e l form 0: G() 0 E los csos sìguietes utilizmos l trsformció, vist y e.4: lim f () g() lim e l f()g() lim e g()lf() lim g()lf() e -Cso0 0 : lim f () 0, lim g () 0, l trsformció meciod l trsform e e 0,ddoque: lim f () g() e lim g()lf() e 0 ( ) Co lo que estmos e el cso terior -Cso 0 : lim f (), lim g () 0, est form qued: lim f () g() e lim g()lf() e 0 -Cso : lim f (), lim g (), est form puede resolverse como l terior: lim f () g() e lim g()lf() e 0 O bie tl como se idicó e.4, co l trsformció lim f () g() lim e g()[f() ] Ejemplo 4.8. Clculr lim ( 4) l ( ) Es del cso 0 : lim ( l( ) 4) l ( ) lim 4 Aplicdo l regl de L Hôpitl: lim ( 4) ( ) lim lim ( 4) ( ) lim ( 4) lim ( 4) ( )

105 0 TEMA 4 Ejemplo 4.8. Clculr lim [l ( )] ( 4) Es del cso 0 : lim [l ( )] 4) ( lim e 4) ( l[l( )] lim e Aplicdo l regl de L Hôpitl: l[l( )] l( ) ( ) l( ) lim lim lim 4 ( 4) ( 4) l[l( )] 4 ( lim 4) lim ( ) () ( ) l( ) lim ( ) l( ) ( )() Por tto lim l[l( )] 4 l( ) 0 0. Esimportterecordr,queellímite pedido o es este, sio lim [l ( )] ( 4) lim e lim [l ( )] ( 4) e 0. Ejemplo 4.8. Clculr lim ( ) l( ) Es del cso : lim e ) [l( )]( lim e 4) ( l( ) lim e Aplicdo l regl de L Hôpitl: l( ) 4 4 ) l[l( )] 4, sí que: l( ) 4 ( lim e lim e 4) lim e ( ( ) lim e ( ) () lim e ( )() e 0. ( ) 4.9 Determició de etremos locles Vimos que si u fució derivble e u puto, tieeuetremoe, su derivd e tl puto es ul, es decir es u puto crítico. U fució puede teer etremo e u puto 0, y o ser derivble e él, por ejemplo y e el puto Criterio de l primer derivd Teorem 4.9. Dd u fució f :[ 0 h, 0 h] R R, cotiu e [ 0 h, 0 h] yderivblee( 0 h, 0 ) ( 0, 0 h). E tl cso: i. Si < 0 f 0 () > 0 y > 0 f 0 () < 0: f tiee máimo locl e 0. ii. Si < 0 f 0 () < 0 y > 0 f 0 () > 0:f tiee míimo locl e 0.

106 4.9 Defiició 4.9. Diremos que u fució f : I R R, es de clse C k e I, lo que se deot f C k (I), si l fució y sus derivds de orde meor o igul que k, socotiusei Criterio de l segud derivd Teorem 4.9. Dd u fució f :[ 0 h, 0 h] R R, tl que: i. f C ([ 0 h, 0 h]). ii. f 0 ( 0 )0 E ests codicioes:. f 00 ( 0 ) > 0 f tiee míimo locl e 0.. f 00 ( 0 ) < 0 f tiee máimo locl e Cso de l segud derivd ul Cosiderdo u fució f de clse C, cso de teer etremo e u puto 0, deberá ser f 0 ( 0 ) 0, supogmos demás que f 00 ( 0 ) 0, o más geerlmete que f (k ( 0 )0, k<, co lo que el criterio precedete o decide sobre l eisteci de etremo. El siguiete teorem d u criterio bsdo e el orde de l primer derivd o ul e 0 : Teorem 4.9. Dd u fució f : D R R, verificdo: i f es de clse C e u etoro [ 0 h, 0 h] de u puto 0 D ii. f (k ( 0 )0, k< iii. f ( ( 0 ) 6 0 E ests codicioes: ½. f. si es pr y ( ( 0 ) > 0 tiee míimo locl e 0 b. f ( () < 0 tiee máimo locl e 0. si es impr y ½. f ( ( 0 ) > 0 f es creciete e 0 b. f ( () < 0 f es decreciete e 0 E relidd este criterio icluye los dos teriores. Ejemplo 4.9. Determir los etremos de y 4 5 y 0, que se ul pr 0y y 00 4,pr 0vle, por lo que hy u míimo e (0, 5) Pero pr,seul. y 000 4, que pr,vle, por lo que l ser l primer derivd o ul (pr ), de orde impr, y positiv, l fució crece e.

107 TEMA Asítots Defiició 4.0. Diremos que u rect es u sítot de u curv de ecució y f () si l distci etre u puto de l curv, y l rect tiede cero, cudo l distci etre tl puto de l curv y (0, 0), tiede ifiito. Hy tres tipos de sítots:. sítots horizotles: f tiee u sítot horizotl y b si lim ± f () b 6 b. sítots verticles: f tiee u sítot verticl 6 si lim f () c. sítots oblícus: f tiee u sítot oblícu y m si l distci etre est rect y (, f ()) tiedecerolteder ± Teorem 4.0. (Determició de ls sítots oblícus): Si y : m (0 6 m 6,6 ) es u sítot oblícu de l curv represetd por f () etoces: f () m lim, lim f () m

108 4. f() ym Adverteci 4.0. Suele decirse, que u curv que dmite sítot horizotl o dmite sítot oblícu, esto es cierto co mtices: si hy sítot horizotl co o hy sítot oblícu co, pero puede hberl co, lo mismo puede decirse si hy sítot horizotl co. Ver por ejemplo el ejercicio resuelto o Cocvidd Defiició 4.. Diremos que u curv es cócv hci rrib, (o cove hci bjo), etoro de u puto 0 si, etoro de 0 l curv está situd por ecim de l tgete l curv e 0. De mer álog se defie l cocvidd hci bjo. Cudo, por el cotrrio, e u semietoro de 0 l curv está por ecim, y e otro por debjo de l tgete, diremos que e 0 hy u puto de ifleió. Ejemplo 4.. E l figur djut, l curv tiee u cocvidd de tipo e 0 :

109 4 TEMA 4 B P f() yf(ü)f»(ü)(-ü) ü Teorem 4.. Dd l ecució y f (), de u curv. Si etoro de u puto 0 l fució f es de clse C,y: i. f 00 () > 0 e tl etoro l curv es cócv hci ls YY positivs. ii. f 00 () < 0 e tl etoro l curv es cócv hci ls YY egtivs. iii. f 00 () cmbi de sigo l psr de vlores meores que 0 vlores myores que 0,e 0 l curv tiee u puto de ifleió. 4.. Cso de l segud derivd ul Teorem 4.. Dd l ecució de u curv y f (). Sietorode u puto 0, se verific que f es de clse C e tl etoro, co f 00 ( 0 ) f 000 ( 0 )... f ( ( 0 )0, f ( ( 0 ) 6 0: i. cso de ser pr:. si f ( () > 0 l curv es cócv hci ls YY positivs etoro de 0.. si f ( () < 0 l curv es cócv hci ls YY egtivs etoro de 0. ii. cso de ser impr, l curv tiee u puto de ifleió e 0 siedo:. creciete si f ( ( 0 ) > 0. decreciete si f ( ( 0 ) < 0. Ejemplo 4.. E el ejemplo terior (4.9.), lfucióy 4 5 y 0, y 00 4 ( ) ( ), esegtive(, ), porloquees cócvhcibjo, y cócv hci rrib,e (, ) (, ), y 00 se ul y. y 000 4, que pr,vle, por lo que l ser l primer derivd o ul (pr ), de orde impr, y positiv, l fució crece e,

110 4. 5 liverse, es egtiv por lo que decrece, hbiedo puto de ifleió e mbos csos, como se preci e l figur

111 Tem 4 Derivció Ejercicios resueltos Derivció Ejercicio Estudir l cotiuidd y derivbilidd de l fució: ½ f () si ( ) e el puto. 4 si > Solució: Estudiemos primero los límites lterles e : f ( )lim h 0 f ( h) lim h 0 ( h) lim h 0 44h h 4 f ( )lim h 0 f ( h) lim h 0 ( h ) h 4 lim h 0 h h 4 4 Por tto f ( )f( )f(), y l fució es cotiu e Derivds lterles e : f 0 ( f( h) f() ) lim h 0 h lim h 0 4h 4 f 0 ( f(h) f() )lim h 0 h lim h 0 h 4 lim h 0 ( h) 4 h lim h 0 4h h h lim h 0 (h ) h 4 ( 4) h lim h 0 h h h Ls derivds lterles so distiits por lo que l fució crece de derivd e, esto sigific que hy dos tgetes distits e el puto (, 4)

112 TEMA Ejercicio Clculr l derivd de y.sesupoe>0. Solució: Tomdo logritmos eperios e mbos miembros: l y l Derivdo mbos miembros respecto de, teiedo e cuet l regl de l cde, que os dice que l ser y fució de : y 0 y l l Despejdo y 0 : y 0 (l) y Filmete reemplzdo el vlor de y: y 0 ( l ) Ejercicio U epidemi, l cbo de t dís de su iicio, ifect u úmero de persos ddo por p 0t 00t. Cuts persos ifect el 5 o dí? Solució: dp El úmero de persos ifectdo por dí vedrá ddo por: 60t 00, dt por lo que e el dí t 5, el úmero de ifectdos será persos. Ejercicio 4 L curv de ecució y 6,psporlosputos P (, 0) y Q (4, 6),SielsegmetoPQse desplz prlelmete sí mismo, cort l curv e vrios putos, o e iguo; si l cort e u úico puto cul es?

113 4.0 Solució: Podrí soluciorse determido l ecució de l rect PQ, resolver el sistem de dos ecucioes formdo por est ecució y l de l curv, e igulr ls posibles solucioes. Otr posibilidd es usr el teorem de vlor medio de Lgrge, que segur que l tgete e u puto de l curv, es prlel l cuerd que ue los etremos del rco e cuestió: Si P (, 0), yq (4, 6) so los etremos del rco de curv, el teorem firm que l bscis c del puto meciodo, verific f 0 (c) f(4) f() 4 q 6 0 6y, ddo que f 0 (), f 0 (c) c 6 6 c 4.94, elputobuscdoes(.94, 5.6) Ejercicio 5 Medite l derivció de l fució ivers, hllr l derivd de y rccos Solució: y f () rccos cos y cosy cosy Por tto y f () es l fució ivers de g (y) cosy, síquesi g 0 (y) será f 0 () f 0 () g 0 (y) g 0 (f()) obie:y0 siy cos y r ³ q ( ) q.

114 4 TEMA 4 Represetció gráfic de fucioes y optimizció. Ejercicio q 6 Determir los etremos, si los hy, de l fució f () ( ) Solució: f () q( ) ( ) f 0 () ( ) Est derivd uc se ul, y e useci de putos críticos, debe estudirse el comportmieto de l derivd, e toro los putos de discotiuidd de l derivd, e este cso. f 0 ( f(h) f() )lim q h 0 h lim h 0 h lim h 0 (h ) h lim h 0 h h f 0 ( f( h) f() )lim h 0 lim ( h ) h h 0 lim h h h 0 q h lim h 0 h Así est fució crece de derivd e por lo que: f 0 () ( ) si 6. Pero tes del puto de discotiuidd, es decir pr <: < h, (h >0), y f 0 ( h) h h h > 0 Después del puto de discotiuidd, es decir pr >: > h, (h >0), y f 0 ( h) h h h < 0 Por tto f crece tes de, y decrece co >, por lo que, siedo cotiu e, podemos segurr que f tiee u máimo e y Ejercicio 7 Determirlosetremosdelfucióf () 4 e, supuesto que eist, o usr el criterio de l derivd.

115 4.0 5 Solució: f está defiid y es derivble, pr todo. Losposiblesetremoscorrespodevloresqueull derivd: f 0 () 4 e 4 e e (4 ) Por tto puede hber etremos e 4, y 0 f 00 () e (4 ) e (4 ) e e ( 8 ) f 00 (0) 0, f 00 (4) 6e ( 4) > 0 Así hy u míimo e (4, 56e ). Respecto de 0so uls tods ls derivds e ls que prece, como fctor, co epoete > 0: f 000 () e ( 8 ) e ( 8 ) e ( 8) e [ ( 8 ) ( 8 8 )] e (4 6 ) f iv () e (4 6 ) e (4 6 ) e ( 6 4 ) e [4 6 ( )] e [ ] Result que f iv (0) 4e >0, por tto hy u míimo e (0, 0), cos que er de esperr y que 4 e 0 Ejercicio 8 Determir ls dimesioes del coo de volume míimo circuscrito u esfer de rdio R. Solució: A l h O R B D r C El volume del coo es v πr h. Los triágulos AOB y ADC so semejtes, l relció de semejz: DC AD, puede escribirse r h OB AB R OA OB ó r q h ó r R ( AD OD) h co ello r Rh R R (h R),y R h hr

116 6 TEMA 4 v π R h h πr h hr Etremos de v: v 0 πr h h hr h (h hr) (h R)h πr (h hr) v 0 0 h (h 4R) h ½ 0 4R h (h 6R hr) πr (h hr) h (h 4R) (h hr) Ddo que, evidetemete h>0, debe ecluirse h 0, y el sigo de v 0 depede de h 4R: Pr h<4r v 0 < 0, porloquev decrece Pr h>4r v 0 > 0, porloquev crece Portto,usdoelcriteriodelprimerderivd,eh 4R hy u míimo. h 4R r R4R 6R 8R R R, Co ello el volume del coo será v πr h ³ doble del volume de l esfer. 4πR π (R )(4R) 8πR, que es el Ejercicio 9 U servicio de correos cept pquetes, e form de prlelepípedo, codició de que l sum de l logitud y el doble de l sum de chur y ltur, se de u máimo de 8 cm. Supoiedo igul chur que ltur Cuáles debe ser ls dimesioes del pquete pr que teg l máim cpcidd? Solució: Si l cpcidd, o volume del pquete es v, lchur y l logitud y, tedremos: v y,demásdebeser8 y, por tto: v (8 ) 8. Determició del máimo de v: v , v 0 0 0ó 6 L solució 0está ecluíd (o hbrí cj), pr 6,ddoque v teemos v 00 (6) < 0, que efectivmete correspode u máimo, co y Elvolumemáimo permitido e ls codicioes dds es cm Ejercicio 0 Estudir cotiuidd, putos de corte co los ejes, sítots, e itervlos de mootoí de l fució de ecució f () ( )e e Solució: Se trt de u fució cotiu, y derivble, e todo R {0}. Es posible que se discotiu e 0,cosquesedebeverificr estudido los límites lterles: lim 0 f () lim h 0 f (h) lim h 0 (h )e h e h 0

117 4.0 7 lim 0 f () lim h 0 f ( h) lim h 0 ( h )e h e h lim h 0 h e h h lim h 0 e h Así que efectivmete es discotiu e 0, por tto tmpoco será derivble e tl puto. Putos de corte co los ejes: cort OX e Asítots: Es clro que hy u sítot verticl e 0 lim f () lim ( )e e e lim e Esto sigific que o hy sítot horizotl pr >0. ( )e lim f () lim f ( ) lim e lim lim e lim e 0 e Así pues hy u sítot horizotl y 0,e m lim f() lim e e ( )e e lim lim ( )e (e ) lim f () lim ( )e e lim ( )e (e ) lim e e lim e e e Por tto hy sítot oblícu (e ): y Debe quedr clro que el hecho de hber sítot horizotl imposibilit l eisteci de sítot oblícu, pero sólo por el ldo dode hy sítot horizotl, e este cso l hy e, y o puede hber sítot oblícu por este ldo; pero o e, porloquesícbesítotoblícuporeste ldo. Cortes de l curv y ( )e co ls sítots: (, 0), (0, ) y e (0, ), ½ y ( )e e y ( )e ( ) e ( ) e e,y0 Posició respecto de l sítot oblícu: ( )e ( ) ( )(e ) e e L orded de l curv es myor que l de l sítot pr > L orded de l curv es meor que l de l sítot pr < Itervlos de mootoí: y 0 e (e ) e ( ) e (e ) > 0 R { }, y l fució es (e ) (e ) siempre creciete. L curv viee dd por l gráfic siguiete:

118 8 TEMA 4 Ejercicio Estudir y represetr gráficmete f () ( )e Solució: Domiio R {0} lim 0 f () lim h 0 (h )e h lim 0 f () lim h 0 ( h )e h h limh 0 0 e h De lo terior result que hy u sítot verticl e 0 Asítots horizotles: lim f () lim ( )e e 0 lim f () lim ( )e lim ( )e lim e Asítots oblícus: ()e m lim lim e ³ lim ( )e lim e e e lim e lim e Así y es u sítot oblícu ()e m lim Queeslmismm que tes. f 0 () d d ( )e ( )e lim e lim e lim e e e ( ) e ( )( ) L fució crece e (, ) (, ) y decrece e (, ), ycomoes cotiu e todo el domiio, hy máimo e y míimo e. f 00 () d e ( ) d 4 e ( ) e ( ) e ( ) e 5 4

119 4.0 9 () < 0 pr < 5 co- f 00 () > 0 pr > 5 cvidd cocvidd, f y

120 0 TEMA 4 Ejercicios propuestos Lssolucioesseecuetrlfil Derivció. Hllr por medio de l defiició de derivd, l derivd de y. Hllr ls derivds lterles de y q e.. Hllr l derivd de y l(l(l)) supuesto >0. 4. Comprobr que, siedo u, u, v, v, fucioes de, lderivdde y u u v v es y0 u0 u 0 v v u u v 0 v 0. Este resultdo es válido pr determites de orde rbitrrio (fiito). 5. Dr l ecució de l rect tgete l curv de ecució y e el puto (, 4). e 6. Clculr: lim e 0 cos ( ) si 7. Clculr: lim 0 8. Clculr: lim π si π t 9. Clculr: lim 0,co>0 0. Hllr l derivd de y supuesto costte y >0.. Medite l derivció de l fució ivers, hllr l derivd de y rct Represetció gráfic de fucioes y optimizció.. Dr ls dimesioes del cilidro recto, de volume máimo, iscrito e u esfer de rdio R. Dr ls dimesioes del cilidro recto de volume máimo iscrito e u coo circulr de ltur h, yrdior. 4. U brco h de remotr u distci d e u rio, si l velocidd de l corriete es u, y el cosumo de combustible es directmete proporciol l tiempo empledo y l cubo de u; determir l velocidd v, del brco, que implic el míimo gsto de combustible.

121 Se pretede costruir u cmpo de deportes, cuyo perímetro se u pist de 400 m. Si el cmpo h de teer form de rectágulo co u semicírculo dosdo cd uo de los ldos meores Co qué dimesioes se cosigue el cmpo de myor superficie? 6. Se permite ocupr uo o dos terreos, e cso de ser dos uo cudrdo y otro circulr, seprdos; co l codició de que l cerc que limite el cojuto de los dos teg u logitud l dd. Cules so ls dimesioes que d máim y míim superficiedeterreo? Estudir y represetr gráficmete ls curvs cuys ecucioes se d cotiució: 7. y y q ( ) q 9. y 0. y Solucioes los ejercicios propuestos. y y 0 ( ) q q 5 y0 ( ),gráfic: l l(l ) y 44(l)( )

122 TEMA 4 0. l l. 4. Altur R, rdio de l bse R. Altur h r,rdio 4. v u 5. Ldos del rectágulo 00m., rdio de semicírculo 00m π 6. Máimo: u círculo de rdio l l, míimo: círculo de rdio cudrdo de ldo l π4 π,y π s

123 Tem 5 Itegrció Idefiid 5. Primitiv de u fució. Regls básics E este tem estudiremos lo que podrímos llmr el problem iverso de l derivció, es decir, dd u fució f hllr otr F tl que F f. Defiició 5.. Se f :[, b] IR IR. Diremos que F :[, b] IR IR es u primitiv de f e [, b] sif es derivble e [, b] yf () f() pr todo [, b]. Ejemplo 5.. Se f(), F (). pr todo, por lo que F es u primitiv de f. Clrmete F () f() Es evidete que si dos fucioes se difereci e u costte (por ejemplo, F () se y F () se 5), su derivd será l mism (e este cso, f() cos ), por lo que tto F como F so primitivs de f. Tmbié es cierto el recíproco, es decir, ls primitivs de u fució se difereci e u costte: Teorem 5.. Se F u primitiv de f e [, b]. F es otr primitiv de f e [, b] si y sólo si F F es costte e [, b]. Este resultdo os permite estblecer l siguiete defiició: Defiició 5.. Al cojuto de tods ls primitivs de f e [, b] sele deomi itegrl idefiid de f e [, b] y se represet por f()d.

124 TEMA 5. Dicho de otr form f()d {F/F es u primitiv de f e [, b]} y si teemos e cuet que dos primitivs culesquier de f se difereci e u costte, el cojuto terior se suele escribir f()d F ()C dode F es u primitiv culquier de f y C u costte rbitrri. Teiedo e cuet ls defiicioes de primitiv e itegrl idefiid se deduce fácilmete el siguiete resultdo, que poe de mifiesto l lielidd de l itegrl idefiid: Teorem 5.. Se f y g dos fucioes co primitiv e el itervlo [, b] y se α, β dos úmeros reles culesquier. Se verific que [αf()βg()] d α f()d β g()d El teorem terior debe iterpretrse como sigue: pr obteer tods ls primitivs de αf βg debo clculr u primitiv de f y multiplicrl por α, tmbié debo clculr u primitiv de g y multiplicrl por β, sumr ls fucioes sí obteids y ñdirle u costte rbitrri. Veámoslo e u ejemplo: Ejemplo 5.. [ cos 4] d cos d 4 d se 4 C se C 5. Itegrles imedits Etedemos por itegrles imedits lgus itegrles secills que puede verificrse directmete derivdo, como por ejemplo: {F () se F () cos } cos d se C

125 5.. El cocepto de itegrl imedit es subjetivo, pero suele cosiderrse como tles ls que se obtiee prtir de l derivció de ls fucioes elemetles y sus combicioes más secills. Ests itegrles será ecesrio mejrls co soltur, y que culquier método de itegrció termi coduciedo u o vris itegrles imedits. A cotiució presetmos u tbl de itegrles imedits: α d α α C (α IR,α ), d l C, d l C ( IR,>0), e d e C, se d cos C, cos d se C, t d l cos C, cot d l se C, sec d t C, csc d cot C, d d rcse C, rcsec C, cosh d seh C, d rct C, seh d cosh C, th d l(cosh )C, d d cosh th C, seh coth C, d l C rg seh C, d l C rg cosh C, d l C rg th C. Tbl 5.: Tbl de itegrles imedits

126 4 TEMA Itegrció por prtes. Itegrció por cmbio de vrible E est secció veremos dos de los métodos más utilizdos l hor de clculr primitivs: l itegrció por prtes ylitegrció por cmbio de vrible. El método de itegrció por prtes cosiste e plicr l regl de derivció de u producto l ivers, y sí se tiee que d d (u()v()) u ()v()u()v () u()v () d d (u()v()) u ()v() u()v ()d u()v() u ()v()d Este método será útil cudo l itegrl u ()v()d se más fácil de clculr que l itegrl u()v ()d. Teiedo e cuet l otció du u ()d y dv v ()d, elmétodo terior se suele escribir de l siguiete form más fácil de recordr: udv uv vdu Vemos u pr de ejemplos: Ejemplo 5.. l d l d l C { }} { u l du d dv d v Ejemplo 5.. se d cos cos d cos se C { }} { u du d dv se d v cos

127 5.. 5 El método de itegrció por cmbio de vrible se bs e observr como fect u cmbio de vrible l derivd de u fució. Así, si l fució F () le plicmos el cmbio de vrible φ(t), obteemos G(t) F (φ(t)) y, plicdo l regl de l cde: F () f() G (t) f(φ(t))φ (t) de lo que deducimos el siguiete teorem: Teorem 5.. Se f :[, b] IR u fució cotiu y cosideremos el cmbio de vrible φ(t) co φ :[c, d] [, b] co derivd cotiu. E ese cso teemos que f()d f(φ(t))φ (t)dt El teorem terior es fácil de recordr si utilizmos l siguiete regl: si el cmbio es φ(t) etoces d/dt φ (t) y, por tto, d φ (t)dt, por lo que f()d f(φ(t))φ (t)dt. Vemos u pr de ejemplos: Ejemplo 5.. E l tbl de itegrles imedits (tbl 5.) hbímos visto que d rct C Vemos como podemos utilizr el cmbio de vrible pr clculr d b dode, b IR,>0,b>0. E efecto, teemos que d I b (/ )d (b / ) y hciedo el cmbio de vrible b t t b d b dt obteemos I (/b)dt dt t b t b rct t C b rct ( b d ( b ) C )

128 6 TEMA 5. Ejemplo 5..4 Clculemos hor I se 7 cos d Observemos que si cosidermos el cmbio se t, o os hce flt despejr e fució de t pr derivr, y que se t d dt (se ) d d y por tto cos dt d cos d dt I se 7 cos d t 7 dt 8 t8 C se8 8 C 5.4 Itegrció de fucioes rcioles. Descomposició e sum de frccioes simples Defiició 5.4. L fució f() P () dode P () yq() so dos poliomios de, se llm fució rciol y l correspodiete Q() itegrl f() d P () Q() d se deomi itegrl rciol o itegrl de u fució rciol. El método pr resolver este tipo de itegrles se bs e escribir l fució rciol P ()/Q() como sum de lo que llmremos frccioes simples, pero pr ello previmete hbremos de coseguir que P () y Q() o teg fctores e comú y que grdo(p ()) < grdo(q()). Co ese objetivo relizmos los siguietes psos:. Escribimos P ()/Q() e su form irreducible, es decir, fctorizmos P () y Q() y elimimos sus fctores e comú.

129 Ejemplo ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). Si grdo(p ()) grdo(q()) se procede efectur l divisió, obteiédose u poliomio más u fució rciol e l que el umerdor (el resto de l divisió) es de meor grdo que el deomidor, es decir P () Q() C()R() Q() dode C() es el cociete de l divisió, R() el resto y, por tto, grdo(r()) < grdo(q()). Ejemplo Trs relizr estos dos psos l itegrl de l fució rciol es P () Q() d C() d R() Q() d y, puesto que l itegrl de u poliomio es imedit, podemos cetrros e el cso de que l fució rciol se y u frcció irreducible y el umerdor de meor grdo que el deomidor. Defiició 5.4. Se deomi frccioes simples ls fucioes rcioles de l form A r, A ( r), A B ( α) β, A B [( α) β ] Teorem 5.4. Dd u fució rciol irreducible co coeficietes reles P ()/Q() tl que grdo(p ()) < grdo(q()), si ls ríces reles del deomidor so r,...,r k y ls ríces complejs (que prece por pres de

130 8 TEMA 5. ríces cojugds) so α ± iβ,...,α l ± iβ l, co multipliciddes respectivs m,...,m k y,..., l, es decir, eiste c IR (c 0) tl que Q() c ( r ) m ( r k ) m k [( α ) β ] [( α l ) β l ] l etoces l fució rciol P ()/Q() puede escribirse de modo úico como sum de frccioes simples: P () Q() A A r ( r ) A m ( r ) m B B r k ( r k ) B mk ( r k ) m k C D ( α ) β E F ( α l ) βl C D [( α ) β] C D [( α ) β] E F C l D l [( α l ) βl ] [( α l ) βl ] l Observció 5.4. El teorem terior sigific que, l hor de escribir P ()/Q() como sum de frccioes simples, por cd ríz rel r de multiplicidd k de Q() 0señde los sumdos de l form A r A ( r) A k ( r) k y por cd pr de ríces complejs cojugds α ± βi de multiplicidd k de Q() 0 se ñde los sumdos A B ( α) β A B [( α) β ] A k B k [( α) β ] k Observció 5.4. Los coeficietes A,...,D l del teorem 5.4. se clcul del siguiete modo: se reduce l iguldd de frccioes u comú deomidor y, multiplicdo l iguldd por él, obteemos u iguldd de poliomios. Como dos poliomios so igules si todos sus coeficietes so igules, bst igulr los coeficietes pr obteer u sistem liel e el que ls icógits so ls costtes determir y todo se reduce, por tto, resolver el sistem liel. Ejemplo 5.4. Vemos como escribir l fució rciol

131 como sum de frccioes simples. fució rciol obteemos que Si fctorizmos el deomidor de l 5 4 ( ) ( )( ) Como el deomidor o tiee igú fctor e comú co el umerdor (es fácil de comprobr por simple sustitució de ls ríces) y el grdo del umerdor es meor que el grdo del deomidor, psmos plicr el teorem 5.4., que os dice que A B ( ) C D E (5.) Multiplicdo l iguldd terior por 5 4 obteemos 5 4 A( )( )( )B( )( ) C( ) ( )(D E)( ) ( ) (A C D) 4 (B C D E) (B C D E) (B C D E) ( A B C E) de dode se deduce que los coeficietes A, B, C, D, E so solució del sistem y por tto teemos que A C D 5 B C D E 0 B C D E B C D E A B C E A,B,C,D,E Sustituyedo hor e (5.) obteemos ( ) co lo que y hemos obteido l fució rciol epresd como sum de frccioes simples.

132 0 TEMA 5. Pr plicr lo visto hst hor e el cálculo de l itegrl de u fució rciol os flt sber itegrr ls frccioes simples. Vemos como hcerlo. L itegrl de l frcció simple de l form A/( r) es csi imedit: A A r d du A l u C A l r C u {}}{ u r du d y del mismo modo l itegrl de A/( r) (pr ) es: A ( r) d A u du { }} { u r du d Au du A u C A ( )( r) C L itegrl de l frcció simple (A B)/[( α) β ] se obtiee del siguiete modo: [ ] A B ( α) β d A( α) ( α) β Aα B d ( α) β A( α) ( α) β d Aα B d (5.) ( α) β y puesto que teemos que (hciedo el cmbio u ( α) β ) A( α) ( α) β d A l ( α) β C (5.) y tmbié que (hciedo hor el cmbio u ( α)/β) AαB Aα B ( α) β d β ( ) d Aα B ( ) α rct C α β β β (5.4) bst hor co sustituir (5.) y (5.4) e (5.) pr obteer A B ( α) β d A l ( α) β Aα B ( ) α rct C β β

133 5.4. T solo os qued por clculr l primitiv de l frcció simple de l form (AB)/[( α) β ]. Es el cso más lborioso y o se supoe coocido por los lumos que ccede l Uiversidd, por lo que lo cosidermos opciol y lo dejmos pr l secció 5.5 co el úico áimo de completr l eposició de est secció. Aplicdo lo visto hst el mometo (si icluimos lo epuesto e l secció 5.5) podemos clculr l itegrl de culquier fució rciol. Veámoslo co el siguiete ejemplo. Ejemplo Clculemos I d (5.5) Pr resolver (5.5) primero debemos hcer l divisió etre el poliomio del umerdor y el del deomidor, obteiedo por lo que, si sustituimos e (5.5) obteemos ( I ) d d d (5.6) Pr resolver l itegrl de (5.6) debemos primero clculr ls ríces del poliomio del deomidor, y obteemos 5 4 4( ) ( )( ) de lo que deducimos que eiste costtes A, B, C, D, E tles que A B ( ) C D E Pr clculr ls ríces del poliomio y fctorizrlo utilizmos, por ejemplo, el método de Ruffii.

134 TEMA 5. Multiplicdo l iguldd terior por obteemos A( )( )( ) B( )( )C( ) ( ) (D E)( ) ( ) (A C D) 4 ( A B 4C D E) ( A B 5C E) ( A B 4C 4D) ( A B 4C 4E) porloquea, B, C, D, E so solució del sistem A C D 4 A B 4C D E A B 5C E A B 4C 4D A B 4C 4E 8 es decir A,B 4,C,D,E Así teemos que ( ) y sustituyedo e (5.6) obteemos I [ 4 ( ) ] d d 4 ( ) d d d

135 5.5. y utilizdo ls epresioes que hemos visto pr ls itegrles de frccioes simples I l 4 ( ) l l rct C 5.5 Itegrles de fucioes rcioles: Cso de ríces complejs múltiples Recordmos que est secció es opciol por o icluirse etre los coocimietos previos l cceso l Uiversidd. Pr itegrr l frcció simple (A B)/[( α) β ] teemos e cuet que [ A B [( α) β ] d A( α) [( α) β ] A( α) [( α) β ] d Aα B [( α) β ] d ] Aα B [( α) β ] y como pr l primer de ls itegrles del último miembro de l iguldd teemos que (hciedo el cmbio de vrible u ( α) β ) obteemos A( α) [( α) β ] d A ( )[( α) β ] C A B [( α) β ] d A ( )[( α) β ] d (Aα B) [( α) β ] L itegrl que qued pediete d I [( α) β ] puede clculrse del siguiete modo: d

136 4 TEMA 5. I d [( α) β ] ( α) β ( α) β [( α) β ] β d [( α) β ] β d ( α) d (5.7) [( α) β ] dode l primer de ls itegrles e l últim iguldd es ectmete l mism que l de iicio (multiplicd por u costte) pero co el deomidor elevdo e lugr de, es decir, es I multiplicd por u costte, y l segud de ls itegrles se resuelve por prtes, obteiedo de ese modo u α du d ( α)d dv v [( α) β ] ( )[( α) β ] }{{} ( α) [( α) β ] d α ( )[( α) β ] d d ( )[( α) β ] α ( )[( α) β ] ( ) I (5.8) y sustituyedo (5.8) e (5.7) obteemos I α β ( )[( α) β ] ( )β I es Este método cocluye cudo llegmos hst I, que como y hemos visto I d [( α) β ] ( α β rct β ) C Observció 5.5. El método epuesto quí pr el cálculo de l primitiv de u frcció simple cuyo deomidor tiee ríces complejs múltiples puede hcerse de form más simple medite l plicció del método de Hermite. L eplicció de este método es más propi de u primer curso uiversitrio, por lo que o lo epodremos quí.

137 Ejemplo 5.5. Clculemos I d (5.9) Puesto que el poliomio del umerdor e (5.9) es y de meor grdo que el del deomidor, el siguiete pso es fctorizr el poliomio del deomidor y obteemos ( )( ) que o tiee ríces e comú co el poliomio del umerdor. Así, eiste costtes A, B, C, D, E tles que A B C D E ( ) y multiplicdo por obteemos 4 5A( ) (B C)( )( ) (D E)( ) (A B) 4 ( B C) (4A B C D) ( 6B C D E) (4A 6C E) porloquea, B, C, D, E so solució del sistem A B B C 0 4A B C D 6B C D E 4A 6C E 5 es decir A,B 0,C 0,D 4,E Por tto teemos que ( )

138 6 TEMA 5. y sustituyedo e (5.9) obteemos I d 4 ( ) d 4 l d (5.0) ( ) Pr resolver est últim itegrl hcemos como hemos visto tes e el cso geerl de este tipo de frcció simple: 4 ( ) d 4 ( ) d ( ) d d ( ) d ( ) d ( ) rct y est últim itegrl se resuelve por prtes, de modo que si tommos u du d dv d v ( ) ( ) d (5.) ( ) obtedremos ( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) rct C (5.) Filmete, si sustituimos hor (5.) e (5.) y éste su vez e (5.0), obteemos I l ( ) rct [ ( ) ( )] rct C l 8 4( ) ( ) 4 rct C

139 Tem 5 Itegrció Idefiid Ejercicios resueltos Ejercicio Clculr l itegrl l d Solució: Resolvemos l itegrl por prtes. Si hcemos u l y dv d, etoces u l du d dv d v y por tto l d l d l Ejercicio Clculr l itegrl rct d d l 4 C Solució: Como e el ejercicio terior, est itegrl se resuelve por prtes. Hciedo u rct y dv d, obteemos u rct du d dv d v

140 TEMA 5. y e cosecueci rct d rct d rct l C Not: L itegrl /( ) d se clcul de form imedit derivdo l o bie medite el método de cmbio de vrible, de modo que si hcemos w, etoces dw dy, por tto, d Ejercicio Clculr l itegrl w dw l w C l C cos se d Solució: Est itegrl podemos resolverl medite el método de cmbio de vrible. Si hcemos u se etoces du cos d, y obteemos cos se d du u l u C l se C Ejercicio 4 Clculr l itegrl (cos cos cos 5) se d Solució: Podemos resolver est itegrl por el método de cmbio de vrible. Hciedo el cmbio de vrible t cos teemos dt se dy, por tto, (cos cos cos 5) se d ( ) t 4 cos4 4 4 t t 5t cos C cos Ejercicio 5 Comprobr que ls fucioes 5 cos C (t t t 5) dt f() l, g() rg seh se difereci e u costte.

141 Solució: De l tbl 5. de itegrles imedits sbemos que f () g () por lo que tto f como g so primitivs de u mism fució y, por tto (vése teorem 5..), se difereci e u costte. Ejercicio 6 Clculr l itegrl 4 d Solució: Es l itegrl de u fució rciol, por lo que e primer lugr clculmos ls ríces de 4 0. Obteemos que y so ls ríces del deomidor, sí que eiste A y B tles que 4 Multiplicdo por 4 obteemos Por tto A B A( ) B( ) (A B) ( A B) A B 0, A B y, e cosecueci, A / yb /. Así obteemos que y por tto 4 d 4 ( ) ( ) ( ) d ( ) d l l C l C l C

142 4 TEMA 5. Ejercicio 7 Clculr l itegrl 9 d Solució: Si hcemos el cmbio de vrible u 9, bst co derivr u pr obteer du 4 dy, e cosecueci, 9 d u / du (9 ) / C Ejercicio 8 Clculr l itegrl [ ] u/ C d Solució: Es l itegrl de u fució rciol. El primer pso es clculr ls ríces de Aplicdo, por ejemplo, el método de Ruffii, observmos que es ríz doble y ríz simple, queddo como resto, por lo que obteemos que ( ) ( )( ) Sbemos, por tto, que B ( ) C D E A Multiplicdo hor por obteemos A( )( )( ) B( )( )C( ) ( ) (D E)( ) ( ) (A C D) 4 ( 9A B 6C 4D E) (8A 6B 5C 5D 4E) ( 6A B 4C D 5E) (4A 4B C E)

143 De est últim ecució deducimos que ls costtes A, B, C, D, E stisfce el sistem A C D 4 9A B 6C 4D E 0 8A 6B 5C 5D 4E 7 6A B 4C D 5E 4A 4B C E Este sistem tiee por solució A,B, C, D4,E, por lo que sustituyedo e ls epresioes teriores, y teiedo e cuet ls propieddes de l itegrl, obteemos d d ( ) d 4 d d (5.) Ls itegrles pedietes so imedits y se obtiee d l C, ( ) d C, y d l C, 4 d d l / d (/) d l / / ( /) d l / rct( /)C 5

144 6 TEMA 5. Sustituyedo ests epresioes e (5.) y teiedo e cuet que l l l obteemos que d l l / rct( /)C Ejercicio 9 Clculr l itegrl cos ( se )( se ) d Solució: Pr resolver est itegrl e primer lugr relizmos el cmbio de vrible t se. Así teemos dt cos d, por lo que cos ( se )( se ) d dt ( t )( t) dt Est últim es l itegrl de u fució rciol. L escribimos como sum de frccioes simples: ( t )( t) At B t C t Multiplicdo por ( t )( t) obteemos (At B)( t)c( t )(C A)t (A B)t (B C) porloquea, B y C so solució del sistem C A 0, A B 0, B C cuy solució es A B C /

145 7 E cosecueci obteemos que dt ( t )( t) dt t t dt t dt t 4 t dt t dt t dt 4 l t rct t l t C Ahor sólo flt deshcer el cmbio de vrible t se, y obteemos Ejercicio 0 Clculr l itegrl cos ( se )( se ) d 4 l se rct(se ) l se C e se d Solució: Resolveremos est itegrl por prtes. Si hcemos u se y dv e d, etoces u se du cos d dv e d v e y por tto e se d e se e cos d (5.) Aplicdo de uevo l itegrció por prtes e l segud itegrl, dode tommos u cos du se d dv e d v e obteemos e cos d e cos e se d (5.) Si hor sustituimos (5.) e (5.) obteemos e se d e se e cos e se d

146 8 TEMA 5. de dode deducimos que e se d e se e cos C por lo que filmete result que e se d e (se cos )C

147 9 Ejercicios propuestos Ls solucioes se ecuetr l fil. Ejercicio Clculr l itegrl Ejercicio Clculr l itegrl Ejercicio Clculr l itegrl l d cos d rct d Ejercicio 4 Clculr l itegrl Ejercicio 5 Clculr l itegrl Ejercicio 6 Clculr l itegrl Ejercicio 7 Clculr l itegrl ( 4) d e 6 e d d d Ejercicio 8 Clculr l itegrl ( 5)( )(4 ) d

148 0 TEMA 5. Ejercicio 9 Clculr l itegrl (l ) 4 d Ejercicio 0 Clculr l itegrl t t t d Solucioes de los ejercicios propuestos:. l d 9 l C. cos d se cos 6 se 6 cos C rct d (rct ) C ( 4) d rct( 4)C e ( e ) d rcse C 6 e ( ) d l 4 rct 4 C d ( ) C d l 5 ( 5)( )(4 ) l rct( ( ) ) rct C (l ) 4 d (l ) 4 4(l ) (l ) 4 l 4 C 0. t t t d l t C t