LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e

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1 José A. Jiméez Nieto LÍMITES DE SUCESIONES. EL NÚMERO e. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN... Aproximció l cocepto de límite. Vmos cercros l cocepto de límite hlldo lguos térmios de distits sucesioes co l yud de l clculdor. Sucesió de térmio geerl 8 Los térmios de est sucesió se v cercdo l úmero rel (ls diferecis etre los térmios de l sucesió y so cd vez meores). El límite de l sucesió es. Sucesió de térmio geerl 9. Los térmios de est sucesió se hce cd vez myores y sobreps culquier úmero rel por grde que se. L sucesió o tiee límite rel. Sucesió de térmio geerl Est sucesió tiee por límite, pues sus térmios se v cercdo (sus diferecis co él so cd vez meores). Primer proximció l ide de límite U sucesió ( ) tiee por límite el úmero rel cudo, medid que tom vlores cd vez myores, los térmios de l sucesió se proxim cd vez más l úmero. Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e

2 José A. Jiméez Nieto.. Cocepto de límite. L ide de proximció vist e el epígrfe terior es muy imprecis. Iteres que los térmios de l sucesió se cerque l vlor del límite «tto como se quier». Vemos, co el siguiete ejemplo, que quiere decir esto. L sucesió de térmio geerl tiee por límite. Hemos visto que ls diferecis etre los térmios de l sucesió y su límite se v hciedo cd vez meores. Por tto, si fijmos u úmero muy pequeño, por ejemplo u milésim, deberá verificrse que prtir de u. cierto térmio todos los siguietes difier de su límite meos que u milésim. Como todos su térmios so ligermete myores que (,, 8, ), hbrá que ver cuádo se hce meor que.. <. < >. Esto sigific que y todos los térmios siguietes difiere de meos que l ctidd que hemos prefijdo. E efecto: <,...8 <. U sucesió ( ) tiee límite cudo ls diferecis etre los térmios y el vlor del límite se hce t pequeñs como quermos si más que drle vlores t grdes como se ecesrio., etc... Defiició de límite. Retomemos el ejemplo terior y fijemos hor u úmero ú meor, como.. <. < >.. A prtir del térmio. los siguietes difiere de meos que :.. <,. <, etc Así pues, se cul se el úmero que fijemos, siempre podremos ecotrr u térmio prtir del cul se meor que ese úmero. Co est ide estblecemos l siguiete defiició de límite. U sucesió de úmeros reles ( ) tiee por límite el úmero rel (tmbié se dice que es u sucesió covergete hci ) y se simboliz por, cudo ddo u úmero rel r positivo, por pequeño que se, existe u térmio de l sucesió tl que todos los siguietes él verific: - < r Averigu prtir de qué térmio de l sucesió todos los siguietes difiere de su límite meor que /.,,,, 9, < < > 9 El térmio y todos los siguietes difiere de meos que /. Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e

3 José A. Jiméez Nieto ( ) ( ) L sucesió de térmio geerl tiee por límite. A prtir de qué térmio se verific que todos los siguietes difiere del límite meos que u milésim? 6,,,,,.( ) < ( ) ( ) <. ( ) < > > '98 <. Luego prtir del térmio se verific que todos los siguietes difiere del límite meos de u milésim. Demuestr que tod sucesió costte es covergete. Se k u úmero rel y cosideremos l sucesió costte k : k, k, k, Ddo culquier úmero rel positivo r, se verific que k k k < r Por tto, tod sucesió costte es covergete, siedo k. U cso prticulr de sucesioes covergetes so ls llmds sucesioes uls, que so quells cuyo límite es. k k k Por ejemplo, si k es u úmero rel culquier, so sucesioes uls,,,..., pues fácilmete podemos comprobr que.... k k k k E geerl, si P() es u poliomio e, l sucesió es ul: P() k P( ). EJERCICIOS. Dds ls siguietes sucesioes de térmio geerl: ) b) b Ecuetr el vlor l que sus térmios se v proximdo.. E l sucesió de térmio geerl hll u térmio prtir del cul todos los siguietes difier de meos que u milésim. Igul e meos que /.. Dd l sucesió de térmio geerl ecuetr el vlor l que sus térmios se v proximdo. A prtir de qué térmio, él y todos los siguietes difiere de ese vlor meos que? 9. E l sucesió,,,,... hll u térmio prtir del cul todos los siguietes difier de meos que 9 u cetésim.. E l sucesió de térmio geerl hll u térmio prtir del cul todos los siguietes difier de su límite meos que. Compruéblo co lguos térmios. 6. Prueb que ls sucesioes de térmio geerl ( ) y b ( ) crece de límite. Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e

4 José A. Jiméez Nieto. SUCESIONES DIVERGENTES. No hy u úmero rel que se el myor de todos (de existir, l sumrle uo se tedrí su vez otro úmero rel que serí myor que el terior). Y álogmete, tmpoco existe u úmero rel que se el meor de todos. Pr lgus cuestioes, e cmbio, serí deseble dispoer de símbolos que, uque o se úmeros reles, permit mejr ess ides. A estos uevos símbolos los llmremos más ifiito () y meos ifiito (-): es myor que culquier úmero rel. - es meor que culquier úmero rel. L ide gráfic es l siguiete: Cosideremos l sucesió de térmio geerl :,,,,, Sus térmios se hce cd vez myores, de mer que por grde que se u úmero rel k que fijemos, se puede coseguir ecotrr térmios que se myores que él. Por ejemplo, si tommos k.: >. > Así, prtir del térmio. se verific que >.. Por ejemplo,.., 6.., Diremos etoces que l sucesió ( ) tiede más ifiito. U sucesió de úmeros reles ( ) tiede más ifiito y se simboliz por, si ddo u úmero rel k, por grde que se, existe u térmio de l sucesió tl que todos los siguietes él so myores que k. Se hor l sucesió de térmio geerl :, 8,,,.., Sus térmios se v hciedo cd vez meores, de modo que por pequeño que se u úmero rel k que fijemos, se puede coseguir ecotrr térmios que se meores que él. Por ejemplo, tomemos k.: <. >. > Por tto, prtir del térmio se verific que <.. Por ejemplo,.68,., Se dice etoces que l sucesió ( ) tiede meos ifiito. U sucesió de úmeros reles ( ) tiede meos ifiito y se simboliz por -, si ddo u úmero rel k, por pequeño que se, existe u térmio de l sucesió tl que todos los siguietes él so meores que k. Ls sucesioes que tiee por límite o - se llm sucesioes divergetes. Ddo k. y l sucesió de térmio geerl, verigu prtir de qué térmio de l mism todos los siguietes so myores que k. Compruéblo co lguos térmios posteriores.,,,,., >. > 99 > 9 > A prtir del térmio se cumple l codició exigid:.6,., Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e

5 José A. Jiméez Nieto Ls sucesioes (), ( ), ( ), so sucesioes divergetes, pues E geerl, si P() k k k k es u poliomio e, se tiee que: P ( ) si si k k > < EJERCICIOS. Ddo k., verigu prtir de qué térmio de l sucesió todos los siguietes so myores que k. 8. Ddo k., verigu prtir de qué térmio de l sucesió todos los siguietes so meores 8 que k. 9. Ddo k.8, verigu prtir de qué térmio de l sucesió,,,, todos los siguietes so myores que k.. OPERACIONES CON y -. Es posible demás, e bsttes csos, efectur opercioes etre estos dos uevos elemetos y los úmeros reles. A cotiució se idic los resultdos de ests opercioes. Pr comprederls, te presete que el símbolo idic úmeros cd vez myores, y úmeros cd vez meores. Se u úmero rel: Sum y rest Producto y cociete ( ± ) ± ( ± ) m ( ± ) ± > ± ± ( ± ) m < ± m ± culquier que se. Opercioes co y - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ± ) ± ( ) ( ± ) m Si embrgo, hy csos e los que l operció co estos uevos símbolos plte problems, como veremos e el siguiete epígrfe. L sucesió de térmio geerl tiee por límite, y l sucesió b tiede. Estudi si l sucesió (c ) ( ) (b ) es covergete. c : c, c 6, c 8,, c,, c., Est sucesió tiee por límite, pues ddo por ejemplo r :. c < >. >. Luego prtir de c todos los térmios siguietes difiere del límite meos que u milésim, por tto (c ) es u sucesió covergete, siedo c. Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e

6 José A. Jiméez Nieto. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. Se ( ) y (b ) sucesioes covergetes co límites fiitos y b b. A prtir de l defiició de límite se puede demostrr ls siguietes propieddes. El límite del producto de u úmero rel k por u sucesió es igul l producto del úmero por el límite de l sucesió. (k ) k k El límite de l sucesió sum (rest) es igul l sum (rest) de los límites. ( b ) b b El límite de l sucesió producto es igul l producto de los límites. ( b ) b b El límite de l sucesió cociete es igul l cociete de los límites, si el límite del deomidor es distito de cero. si b b Ł b ł b b Hll el límite de ls siguiete sucesioes. ) b) ) b) EJERCICIOS. Clcul los siguietes límites. ) ( ) b) c) ( ) d) 6 e) f) g) ) h) i) [ ( )] j) ( k) ( ) l) (8 ). LÍMITES INDETERMINADOS. CÁLCULO DE LÍMITES. Hy csos e los que l efectur opercioes co límites de sucesioes prece ls llmds expresioes idetermids. Por ejemplo, dds ls sucesioes de térmio geerl y b co b, si trtmos de hlr el límite de l sucesió cociete, deberí teder, por tto, u expresió de l form, que b llmremos expresió idetermid. Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e 6

7 José A. Jiméez Nieto Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e E este cso, hcemos desprecer l idetermició clculdo directmete el límite de l sucesió cociete: b Por tto, e este ejemplo l sucesió cociete tiee límite rel, es decir, es covergete, si serlo ls sucesioes del umerdor y del deomidor. Ls expresioes idetermids que puede precer l efectur opercioes co sucesioes so: : Expoeciles Rcioles : ) 6) ) ) ) ) ) - Si l trtr de clculr el límite de u sucesió prece u cso de idetermició, hbrá que seguir otro cmio pr hllrlo. Vemos u procedimieto pr el cálculo de límites de sucesioes e ls que el térmio geerl es u cociete de poliomios e. El poliomio umerdor y el poliomio deomidor tiede ifiito, por lo que el límite del cociete es u idetermició del tipo. Pr que desprezc dich idetermició, se divide el umerdor y el deomidor por l máxim poteci de que hy e el deomidor. Por ejemplo: Se y b. Clcul, b y ( b ). b ) ( ) ( b b. Al precer est idetermició, lo hllmos directmete: ) ( b EJERCICIOS. Dds ls sucesioes de térmio geerl y b, clcul: ) b) b c) ( b ) d) ( b ) e) ( b ) f) ( : b )

8 José A. Jiméez Nieto. Dds ls sucesioes de térmio geerl y b, clcul: ) b) b c) ( b ) d) ( b ) e) ( b ) f) ( : b ). Clcul los siguietes límites. ) b). Clcul los siguietes límites. ( ) ( ) ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) c) d). Dds ls sucesioes, b y c de límites, b y c, clcul los siguietes límites, idicdo cudo se ecesrio que tipo de expresioes idetermids prece. ) ( b ) b) ( b ) c) ( c ) d) ( c ) e) (b c ) f) (b c ) g) ( b ) h) ( c ) i) (b c ) j) (b : ) k) ( : c ) l) ( : b ) 6. A l vist de los ejercicios relizdos, serís cpz de dr l expresió geerl del límite del cociete de dos poliomios culesquier segú se sus grdos? ( ). Clcul. 8. Clcul los siguietes límites. ) 8 b) c) 6. EL NÚMERO e. E muchs pliccioes de ls mtemátics prece l sucesió cuyo térmio geerl es. Pr itetr verigur el límite de est sucesió utilizmos u uev propiedd de los límites: El límite de u sucesió de l form b ( ) es igul l límite de l bse elevdo l límite del expoete: b b ( ) ( ) que, como hemos visto, es u expre- Aplicdo est propiedd dich sucesió se obtiee que sió idetermid. Hllemos lguos térmios de l mism co l clculdor: Y clculemos tmbié lguos térmios de ídice bstte grde: Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e 8

9 José A. Jiméez Nieto A l vist de estos vlores observmos dos propieddes de l sucesió: Cd térmio de l sucesió es meor o igul que el siguiete: se trt de u sucesió moóto creciete. Todos los vlores que se h hlldo está etre y. Se puede probr que est sucesió está cotd superior es iferiormete, es decir, se trt de u sucesió cotd. No obstte, pr sber si u sucesió es covergete existe u resultdo muy importte que relcio l covergeci co l mootoí y l cotció de ls sucesioes. Teorem sobre mootoí y cotció de sucesioes Tod sucesió moóto creciete y cotd superiormete es covergete. Tod sucesió moóto decreciete y cotd iferiormete es covergete. Como hemos visto teriormete, l sucesió E cosecueci: es moóto creciete y está cotd superiormete. L sucesió Ł es covergete, y su límite se le llm úmero e: ł e Ł ł so: El úmero e es u úmero irrciol, es decir, co ifiits cifrs decimles o periódics. Sus primers cifrs e Su importci e mtemátics sólo es comprble co el úmero π. Al igul que éste, el úmero e es trscedete, es decir, o es solució de igu ecució poliómic de l form x x x, co coeficietes eteros. Si embrgo, l cotrrio que π, e o tiee u iterpretció geométric secill. Aprece e los cálculos bcrios y de iterés compuesto; es l bse de los logritmos eperios o turles y es omipresete e el álisis mtemático. Clcul los límites: ) b) ) e b) e e 6.. Límites del úmero e: idetermicioes del tipo.. Se puede de- Si ( ) y (b ) so sucesioes tles que y b, etoces mostrr que: ( ) b [ b ( -)] e ( b ) Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e 9

10 José A. Jiméez Nieto Mtemátics o ESO Límites de sucesioes. El úmero e e e e e EJERCICIOS 9. Clcul los siguietes límites. ) b). Clcul los siguietes límites. ) b) c). Clcul los siguietes límites. ) b) c) d). Clcul los siguietes límites. ) b) c) d). Dd l sucesió de térmio geerl, es de l form del úmero e? Rzo l respuest. Eres cpz de hllr su límite?