1. CONJUNTOS DE NÚMEROS

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1 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM CONJUNTOS DE NÚMEROS 1.1. NÚMEROS REALES Culquier úmero rciol tiee u expresió deciml fiit o periódic y vicevers, es decir, culquier expresió deciml fiit o periódic es u úmero rciol: } p Q = q : p, q Z y q 0 = úmeros cuy expresió deciml es fiit o periódic} Pero existe otros úmeros cuy expresió deciml es ifiit o periódic: π e e 2 3, π que form el cojuto de los úmeros irrcioles: I = úmeros cuy expresió deciml es ifiit o periódic} y que es disjuto co el terior: Q I = Defiició El cojuto R de los úmeros reles es l uió de los cojutos de úmeros rcioles e irrcioles: R = Q I Su represetció gráfic sore u rect d lugr l rect rel: 2 e π A cd úmero rel le correspode u puto de l rect rel y vicevers, cd puto de l rect rel correspode u úmero rel Orde e l rect rel Ddos dos úmeros reles, R se dice que <, que se lee es meor que, si es positivo, es decir: < es positivo L relció < es equivlete >, que se lee es myor que. Ls siguietes propieddes del orde so fáciles de compror: 1. Tricotomí: Pr cd, R ocurre u y sólo u de ls firmcioes: < o = o > 2. Trsitiv: < y < c = < c 3. Adició: < + c < + c c < c si c > 0 4. Producto: < c > c si c < 0 5. Divisió: > 0 > 0 y < 0 < 0 6. Desidd: Etre cd dos úmeros reles distitos hy ifiitos úmeros rcioles e ifiitos úmeros irrcioles. L relció de orde, que se lee es meor o igul que, está defiid por: es positivo o cero So equivletes y. Si e ls propieddes teriores se cmi los símolos < y > por y, respectivmete, se sigue cumpliedo 2, 3 y 4, y tmié 5 si se ñde l codició y soreetedid) de que 0.

2 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Itervlos Se llm itervlos cojutos de úmeros reles formdos por todos quellos que está compredidos etre dos ddos, llmdos extremos del itervlo. U list complet de los distitos itervlos, co su defiició cojutist y represetció gráfic el puto hueco idic que o perteece l cojuto y el lleo que sí perteece), se puede ver e l siguiete tl: cerrdo [, ] = x R : x } ierto, ) = x R : < x < } semiierto o semicerrdo [, ) = x R : x < } semiierto o semicerrdo, ] = x R : < x } ifiito cerrdo [, + ) = x R : x } ifiito ierto, + ) = x R : x > } ifiito cerrdo, ] = x R : x } ifiito ierto, ) = x R : x < } rect rel, + ) = R Vlor soluto El vlor soluto de u úmero rel, que se represet, es dicho úmero cudo es myor o igul que cero, y su opuesto cudo es egtivo. Otrs forms de defiir el vlor soluto so: si 0 = = mx, } = 2 si < 0 Por ejemplo: 3 = 3 5 = 5) = 5 3 = mx 3, 3} = 3 0 = 0 1, 3 = 1, 3 5 = 5) 2 = 25 = 5 Iterpretció geométric: Sore l rect rel, l distci de u úmero l orige cero) es su vlor soluto, y l distci etre dos úmeros reles es el vlor soluto de su difereci: d, 0) = d, ) = Teiedo e cuet l iterpretció geométric, es fácil compror u ue prte de ls siguietes propieddes del vlor soluto: 1. = 2. Si 0: x = x = ±. E prticulr: x = 0 x = Si 0: x < < x < x, ) x x x [, ] 4. Si 0: x > x > o x < x, ), + ) x x o x x, ] [, + ) 5. x > x > mx, } x > y x > x x mx, } x y x

3 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM = 7. = 8. Si 0: = 9. Desiguldd trigulr: ± + L demostrció pr l sum se otiee como sigue: = + ) + + = sumdo 3) y, prtir de est, se otiee pr l difereci: = + ) + = ± L demostrció pr l difereci se otiee como sigue: = ) + + = = ) 9) = ) + + = 9) = 5) y, prtir de est, se otiee pr l sum: Ejemplos + = ) = Trsform ls siguietes expresioes e otrs equivletes si vlores solutos: Solució: 1. x + x + x 2. x + 2 x 1 1. Se distigue los csos e que x es positivo y egtivo: x 0 = x + x + x = x + x + x = x + 2x = x + 2 x = x + 2x = 3x x < 0 = x + x + x = x + x x = x + 0 = x L expresió si vlores solutos es: x + x + x = 3x si x 0 x si x < 0 2. L expresió x + 2 cmi de sigo e x = 2, siedo egtiv si x < 2 y positiv si x 2, mietrs que l expresió x 1 cmi de sigo e x = 1, siedo egtiv si x < 1 y positiv si x 1. Teiedo e cuet esto, hy que distiguir tres csos: x < 2 = x + 2 x 1 = x + 2) [ x 1)] = x 2 + x 1 = 3 2 x < 1 = x + 2 x 1 = x + 2) [ x 1)] = x x 1 = 2x + 1 x 1 = x + 2 x 1 = x + 2) x 1) = x + 2 x + 1 = 3 L expresió si vlores solutos es: 3 si x < 2 x + 2 x 1 = 2x + 1 si 2 x < 1 3 si x 1

4 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Etoros Se llm etoro ierto de cetro R y rdio r > 0 l itervlo ierto: r, + r) = x : r < x < + r} = x : r < x < r} = x : x < r} que está formdo por todos los úmeros reles cuy distci es meor que r: r r + r Aálogmete, se llm etoro cerrdo de cetro R y rdio r > 0 l itervlo cerrdo: [ r, + r] = x : r x + r} = x : r x r} = x : x r} que está formdo por todos los úmeros reles cuy distci es meor o igul que r: r r + r Propiedd de los itervlos ecjdos Culquier fmili de itervlos cerrdos ecjdos cuys logitudes tiede cero itersec e u úico puto: [1, 1 ] [ 2, 2 ] [ 3, 3 ]... [, ]... lim ) = 0 = [, ] = x} es decir, existe u úico úmero rel x que perteece todos los itervlos. Oservció: L propiedd de los itervlos ecjdos o es ciert, e geerl, pr itervlos o cerrdos. Por ejemplo: = Cojutos cotdos 0, 1 ) = =1 =1 0, 1 ] = U cojuto A R está cotdo superiormete si existe u úmero rel M, llmdo cot superior, tl que M pr culquier A. L meor de ls cots superiores se llm supremo y, si perteece l cojuto A, máximo. U cojuto A R está cotdo iferiormete si existe u úmero rel m, llmdo cot iferior, tl que m pr culquier A. L myor de ls cots iferiores se llm ífimo y, si perteece l cojuto A, míimo. Se dice que u cojuto A R está cotdo cudo lo está superior e iferiormete, es decir, cudo existe m y M tles que m M pr culquier A Ejemplos 1. El cojuto A = 1, 3] está cotdo siedo: Cots iferiores: 1, 3, 7,... Ífimo: 1 Míimo: o hy Cots superiores: 3, 5, π,... Supremo: 3 Máximo: 3 2. El cojuto B =, 2) está cotdo superiormete pero o lo está iferiormete, siedo: Cots superiores: 2, 5, 7,... Supremo: 2 Máximo: o hy E cosecueci, el cojuto B o está cotdo.

5 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Iecucioes. Cojutos defiidos por iecucioes L solució de u iecució es, e geerl, u cojuto de úmeros reles. E mtemátics prece co frecueci cojutos de úmeros reles defiidos medite iecucioes o desigulddes Ejemplos Resuelve ls siguietes iecucioes expresdo sus solucioes medite itervlos: 1. x 2 + 3x x + 3) 5 x 1)x 4) 2 < 0 4. x + 3) 5 x 4) 2 < x + 3 > 5 x 1 x x x 2 < 7 Solució: 1. Se represet gráficmete l práol socid, y = x 2 + 3x 4, que es u práol co sus rms hci rri el coeficiete de segudo grdo es = 1 > 0) y que cort l eje de sciss e los putos: x 2 + 3x 4 = 0 = x = 3± = 4 y De l gráfic se deduce que: x 2 + 3x 4 0 x, 4] [1, + ) 4 O 1 x Por tto, es solució culquier úmero rel x, 4] [1, + ). 2. Puesto que ls potecis pres so positivs y el sigo de ls impres coicide co el sigo de l se, l iecució es equivlete : x + 3) 5 x 1)x 4) 2 < 0 x + 3)x 1) < 0 que es l iecució socid l práol y = x + 3)x 1), cuys rms v hci rri y cort l eje de sciss e los putos x = 3 y x = 1, de dode se deduce que: x + 3)x 1) < 0 3 < x < 1 x 3, 1) Por tto, su solució es culquier úmero rel x 3, 1). 3. Puesto que el sigo de u cociete etre dos úmeros o ulos) coicide co el sigo de su producto: x + 3) 5 x 4) 2 x 1 < 0 x + 3) 5 x 4) 2 x 1) < 0 y est iecució es l resuelt e el ejemplo terior cuy solució es culquier úmero rel x 3, 1). 4. Usdo ls propieddes del vlor soluto y de ls desigulddes: x x x x 3 Distiguiedo los csos e que x es positivo o egtivo: 1 x 1 x 3, si x x 3, si x < 0 1 x 3, si x 0 3 x 1, si x < 0 Por tto, su solució es culquier úmero rel x [ 3, 1] [1, 3].

6 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Usdo ls propieddes del vlor soluto y de ls desigulddes: 2x + 3 > 5 2x > 2 x > 1 2x + 3 > 5 ó 2x + 3 < 5 2x < 8 x < 4 x, 4) 1, + ) 6. Puesto que x + 1 cmi de sigo e x = 1 y x 2 cmi de sigo e x = 2, pr quitr los vlores solutos se distigue tres csos: Si x < 1: x x 2 = x+1) x 2) = 2x+1 < 7 2x < 6 x > 3 x 3, 1) Si 1 x < 2: Si x 2: x x 2 = x + 1) x 2) = 3 < 7 x [ 1, 2) x x 2 = x + 1) + x 2) = 2x 1 < 7 2x < 8 x < 4 x [2, 4) Uiedo estos itervlos, 3, 1) [ 1, 2) [2, 4) = 3, 4), se otiee l solució que es culquier úmero rel x 3, 4), es decir, que verifique: 3 < x < 4. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Pr cd u de ls siguietes sucesioes de itervlos, liz si se cumple ls hipótesis de l propiedd de los itervlos ecjdos y clcul l itersecció: 1 ) I =, 1 ) [ ) I = 0, 1 ) c) I = 0, 1 ) [ 1 d) I =, 2 ] e) I = [, + ) 2. Clcul: ) =2 [ 1 + 1, 2 1 ] ) =1 [ 2 1, ] c) = , ) 3. Clcul, si existe, cots superiores e iferiores, supremo e ífimo, y máximo y míimo, de los siguietes cojutos: ) 1, 0.9, 1.1, 0.99, 1.11,...} ) x R : x 2 + x 1 < 0 } } 1 c) + 1) : N 4. Demuestr que pr todo x R se cumple que: 0 < 1 x x 2 x Resuelve ls siguietes iecucioes, represetdo su solució e l rect rel: ) 0 < x 3 < 5 c) x + 2) 2 9 e) x x 1 > 8 g) x + 3 x 1 < 2 ) 3x d) 2x + 5 > 3x + 1 f) x x 1 < 3 h) x 2 2x x 0

7 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM. 7 CUESTIONES 1. Cotest rzodmete si so cierts o flss ls siguietes firmcioes: ) No es posile ecotrr u úmero irrciol del que se coozc tods sus cifrs decimles. ) L sum de u úmero rciol co otro irrciol es irrciol. c) L sum de dos úmeros irrcioles es irrciol. d) El producto de dos úmeros irrcioles es irrciol. e) El cudrdo de u úmero irrciol puede ser rciol. f) Si x < y etoces 1 x > 1 y. g) Etre cd dos úmeros reles distitos hy ifiitos úmeros rcioles e ifiitos úmeros irrcioles. 2. Ecuetr u úmero irrciol del que se coozc tods sus cifrs decimles. 3. Ecuetr u úmero tl que su cudrdo se irrciol y su cuo rciol. Puede ser rciol dicho úmero? 4. Ecuetr dos úmeros irrcioles tles que se rcioles su sum y su producto. 5. Ecuetr dos úmeros rcioles y otros dos irrcioles etre 2 y Ddos dos úmeros rcioles, Q, <, ecuetr u úmero irrciol x I tl que < x <. 7. Ecuetr, pr dd uo de los itervlos: [ I = 1 2, ] 20 J =, ) 5 K = [ 7 13 ), 5 ) El myor y el meor úmero turl del itervlo. ) El myor y el meor úmero etero del itervlo. c) El myor y el meor úmero rciol del itervlo. d) El myor y el meor úmero irrciol del itervlo. e) El myor y el meor úmero rel del itervlo. 8. Se x e y dos úmeros reles positivos distitos tles que su producto y su cociete so rcioles. H de ser x e y rcioles? 9. Orde, cudo x > 1 y cudo 0 < x < 1, los siguietes úmeros reles: 1, x, x, x 2, 1 x, 1 x y 1 x 2. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos persos que d l mism velocidd prte e el mismo istte de u puto P de u circufereci de 1 km de diámetro. Mietrs que u de ells recorre si prr l circufereci e el setido cotrrio ls gujs del reloj, l otr recorre el diámetro P Q e uo y otro setidos. Cuádo volverá ecotrrse? 2. Trsform ls siguietes expresioes e otrs equivletes que o coteg vlores solutos: x 1 ) x + x 1 c) e) x x g) x 2 3x 4 x + 8 ) x x x d) x 1 f) x x 2 h) x 1 x 2

8 Águed Mt y Miguel Reyes, Dpto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM Clcul: ), ) =1 ) =1 2 1, ) c) =1 [ 1 + 1, ) 4. Clcul, si existe, cots superiores e iferiores, supremo e ífimo, y máximo y míimo, de los siguietes cojutos: ) 2, 2.2, 2.22, 2.222,...} c) x R : x 2 + x } } 1 e) : N ) ±0.9, ±0.99, ±0.999,...} d) x R : x 2 + x 1 0 } } 1 f) : Z \ 0} 5. Demuestr que pr todo x R se cumple que: 1 x x 1 6. Demuestr que si x 1 etoces: x 3 + x 2 3x Resuelve ls siguietes ecucioes: ) x 2 + x 6 = 2 ) x 1 x 2 + x + 1 = 0 c) x 1 = x 4 8. Resuelve ls siguietes iecucioes, represetdo su solució e l rect rel: ) x3 + 3x 2 + 2x x 2 > 0 5x + 6 c) 9 2x < 1 e) x + 1 < x 3 g) x x 1 < 6 ) x + 4 < 2 d) x 1) 2 4 f) 2x 1 < x + 3 h) x + 3 x 1 < 2 9. Prue que, pr culesquier, R, se cumple que: Usdo l fórmul oteid e el prolem terior, prue que si 0, etoces: + 2 es decir, que l medi ritmétic de dos úmeros positivos es myor o igul que su medi geométric, y que mos vlores está compredidos etre ellos. 11. Si x > 0, determi cuál de ls siguietes expresioes es myor: x x+1 ó x+1 x+2.