LOS NÚMEROS REALES. La estructura del conjunto de los números reales es: Naturales Enteros { } { }

Transcripción

1 LOS NÚMEROS RELES L estructur del cojuto de los úeros reles es: Nturles N Eteros ( ) ( ) ( Z) : Rcioles Q : Núeros Reles R : Negtivos Frccioes Irrcioles() I N Eteros positivos ás el cero 0,1, 2, 3,... Z I Q { } { } { Eteros positivos y egtivos ás el cero} {..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,...} { Eteros y deciles liitdos ó iliitdos periódicos} ( ) /, Z { 2, π, úero úreo,... { Núeros deciles iliitdos o periódicos} } OPERCIONES CON NÚMEROS RELES E el cojuto R vos relizr ls cutro opercioes ásics de l ritétic: su, rest, producto y cociete. Elegireos ls letrs,, c,... pr represetr los úeros y poder geerlizr los cálculos que hgos, estrtegi pliete utilizd e álger. Propieddes de l su L su de úeros reles verific ls propieddes siguietes: 1. socitiv: + ( + c) ( + ) + c 2. Couttiv: Eleeto ulo (lldo cero): Eleeto opuesto (desigdo por ): + ( ) ( ) + 0 Oserv que el opuesto es el úero ddo: ( ) Cosecuecis 1. L rest de los úeros reles,, se defie coo l su del iuedo ás el opuesto del sustredo: + ( ) 2. U resultdo itereste, que ecotrrás e últiples ejercicios, es que pr hllr el opuesto de u su st co cir el sigo cd uo de los sudos que prece (se dice que l quitr u prétesis, si l precede el sigo eos, hy que cir el sigo de todos los úeros que está e su iterior): ( + + c +...) c Ests propieddes de l su jueg u ppel priordil e l siplificció de igulddes y e l resolució de ecucioes. E cocreto, l propiedd del opuesto os perite trspsr u eleeto de l iguldd de u iero otro de l is sipleete co cir el sigo de eleeto e l cuestió. De est cosecueci puede deducirse que si + c +, etoces c. Está es l propiedd siplifictiv de l su. 1

2 Propieddes del producto L ultiplicció de úeros reles se expres de diferetes odos, todos ellos pr siplificr l otció. sí, se poe idistitete: c 1. socitiv: ( ) ( )c 2. Couttiv: 3. Eleeto uidd (1): Eleeto iverso (represetdo por 1/): 1, 0 El iverso de se deot tié por -1 : 1 1 El cero o tiee iverso y por eso o está defiid l divisió por 0: 0? : 0 0 Cosecuecis 1. L divisió de dos úeros reles se defie coo el producto del dividedo por el iverso del divisor: 1 : El opuesto de es ( 1), es decir, el opuesto de u úero puede oteerse ultiplicdo el úero por El opuesto de u producto es: ( ) ( ) ( ) Es decir, se otiee cido de sigo uo solo de los fctores. L propiedd del iverso es uy útil e l resolució de ecucioes. Grcis ell se justific l coocid regl de psr u fctor de u iero de l iguldd l otro coo divisor, y vicevers. 3. Coo cosecueci, se deduce l propiedd siplifictiv del producto: Si c etoces c, 0. Propiedd distriutiv ( + c d) + c d Oserv que est igul vist de derech izquierd o es sio el coocido proceso de scr fctor coú. Regls de los sigos Producto 1. ( )( ) 2. ( ) ( ) ( ) Cociete Ests ors se euci del siguiete odo: 1. El producto o cociete de úeros de igul sigo es siepre positivo. 2. El producto o cociete de úeros de sigo cotrrio es siepre egtivo. 2

3 RECT REL. ORDEN EN EL CONJUNTO R l hcer l represetció de los úeros reles sore l rect, o sólo heos coseguido visulizrlos, tié lo heos ordedo, teiedo úeros yores cuto ás vzos hci l derech de es rect: todo úero situdo l derech de otro es yor que él. sí, por ejeplo, result que culquier úero positivo es yor que culquier úero egtivo. lgericete el orde se expres edite el síolo <: < se lee eor que, y sigific que l difereci - es positiv. > se lee yor que, y, oviete, es equivlete <. Decir que x es positivo equivle escriir x > 0. álogete, x egtivo equivle x < 0. Frecueteete se utiliz los síolos (eor o igul) y (yor o igul) pr plir l relció etre los úeros l iguldd. Propieddes del orde L relció de orde estlecid tiee coo propieddes ás destcds ls siguietes: 1. Si < y < c, etoces < c (trsitividd). 2. Si <, etoces + c < + c. Si se su (o rest) u ctidd c los dos ieros de u desiguldd, ést se tiee. 3. Si teeos que < y ultiplicos los dos ieros por u úero positivo, l desiguldd perece; pero si el úero es egtivo, l desiguldd ci de setido: < c < c si c > 0 < c > c si INTERVLOS c < 0 Uos sucojutos de l rect rel especilete itereste, por su pli utilizció, so los lldos itervlos. Existe distitos tipos: Itervlo ierto (, ) { x R < x < }: desig todos los úeros etre y, excluidos los extreos y. Itervlo cerrdo [, ] { x R x }: íde, pero icluyedo y. Itervlo sei-ierto (sei-cerrdo) (, ] { x R < x }: icluyedo, [, ) { x R x < }: íde, pero excluyedo e Itervlos ifiitos. - (, ) { x R / x < } Núeros eores que, excluido. 3

4 - (, ] { x R / x } Núeros eores que, icluido. - (, ) { x R / x > } + Núeros yores que, excluido. - [, ) { x R / x } + Núeros yores que, icluido. VLOR BSOLUTO El ejo de los úeros reles plte, e ueross ocsioes, el cálculo de l distci etre ellos. Pr hcer esto se utiliz u operdor, lldo vlor soluto y siolizdo por dos rys verticles prlels, que defiireos del siguiete odo: si el úero es positivo ( > 0), y si es egtivo ( < 0). De odo que el vlor soluto de culquier úero siepre es positivo, es decir, el vlor soluto covierte todo úero e positivo. Propieddes del vlor soluto 1. Núeros opuestos tiee igul vlor soluto: 2. El vlor soluto de u producto es el producto de los vlores solutos de cd fctor: 3. El vlor soluto de u su es eor o igul que l su de los vlores solutos de los sudos (desiguldd trigulr). + + L iguldd se d cudo y teg el iso sigo; e todos los deás csos es eor.. Si < k, etoces k < < k Distci Se defie l distci etre dos úeros reles y, que deotreos por d(, ), coo el vlor soluto de l difereci de esos úeros: d, ( ) De est er se segur que l distci se positiv, coo correspode el crácter de es edid (ls distcis siepre so positivs), y su gitud qued estid por l difereci. cero: Oserv que el vlor soluto de u úero es igul l distci del úero ( 0, ) d(,0) 0 d

5 ENTORNOS U etoro es u itervlo defiido por el puto cetrl () y el rdio (R) o distci del cetro los extreos, puede ser ierto (o icluye los extreos) o cerrdo (icluye los extreos). Etoro cerrdo: E [, R] [ R, + R] { x R / R x + R} Otr for de desigr los etoros es edite l otció vlor soluto. E, R x [ ] R L solució de l iecució x R, defie el itervlo [ R, +R]. ( ) : x + R : x + R : x R : x [ R, + ) ( + ): x R : x + R : x (, + R] x R : ± ( x ) R : : x + Etoro ierto: E (, R) ( R, + R) { x R / R < x < + R} [ R, R] Medite l otció vlor soluto. E (, R) x < R L solució de l iecució x < R, defie el itervlo ( R, +R). ( ) : x + < R : x < + R : x > R : x ( R, + ) ( + ): x < R : x < + R : x (, + R) x < R : ± ( x ) < R : : x + ( R, R) Etoro reducido: Es u etoro de u puto que excluye el vlor cetrl. Puede ser cerrdo o ierto. - Cerrdo: E [, R] [ R, + R] { } { x R / x : R x + R} E, R R, + R x R / x : R < x < + R - ierto: ( ) ( ) { } { } L otció vlor soluto perite defiir itervlos ifiitos: : x + R : x + R : x R : x, R x R : ± ( x ) R : + : x R : x + R : x + R, + ( ) ( ] ( ) [ ) x (, R] [ + R, + )

6 RDICLES L ríz cudrd de u úero, positivo, es, si y solo si 2., > 0 2 deás: ±, ( ) 2 pues 2 álogete, se defie l ríz eési de u úero : N ó 16 2 ( 2) ( 2) 32 Si es pr, l ríz eési tiee dos ríces opuests: y - - deás, sólo ést defiid pr los reles positivos. Si es ipr, existe u sol ríz, del iso sigo que teg. Poteci rciol 1 1 ( ) y E geerl,, es decir, u rdicl se puede poer coo u poteci de expoete frcciorio e el que su deoidor es el ídice de l ríz y su uerdor el expoete del rdicdo. L expresió de u rdicl e for de poteci fcilit ls opercioes, pues el ejo de potecis es ás secillo. deás, perite l siplificció de rdicles. OPERCIONES CON RDICLES Producto de rdicles Podeos distiguir dos csos: i. Rdicles de igul ídice El producto de rdicles de igul ídice es otro rdicl del iso ídice y cuyo rdicdo es el producto de los rdicles. ii. Producto de rdicles de ídice distito Se reduce los rdicles ídice coú y posteriorete se ultiplic. 1 1 Cociete de rdicles Coo e el producto, se os puede presetr dos csos. i. Cociete de rdicles de igul ídice El cociete de rdicles del iso ídice es otro rdicl que coserv el ídice coú y tiee por rdicdo el cociete de rdicdos. 1 1 : 1 6

7 ii. Cocietes de rdicles co distito ídice Se Reducios ídice coú y dividios: Ls igulddes del producto y del cociete de rdicles vists e setido cotrrio. peritir extrer fctores que se hll tto e el uerdor coo e el deoidor. Poteci de rdicles Si h de clculrse l poteci de u rdicl puede procederse: Ríz de u rdicl ( ) ( 1 ) L ríz de u rdicl es otro rdicl de ídice el producto de ídices y co el iso rdicdo Su de rdicles Solo puede surse rdicles seejtes, es decir, rdicles co igul ídice e igul rdicdo. Por ejeplo, 3 y - 3 o y so seejtes, y puede surse y restrse scdo fctor coú ( 3) ( 1 ) 3 3 ( ( 1+ ) 3 3 Rciolizció de deoidores L preseci de rdicles e el deoidor de ls frccioes, y se uérics o lgerics, collev u coplicció diciol e l técic opertori, dificultdo, e geerl, su reducció coú deoidor, su siplificció, etc. Por tto, suele resultr provechoso eliir ls ríces que pued precer e es posició. Tl proceso se ll rciolizció de deoidores. i. Cso 1. Pr coseguir eliir el rdicl, ultiplicos el uerdor y deoidor por : 2 ii. Cso 2. + Se ultiplicr uerdor y deoidor por l expresió cojugd del deoidor ( ): + ( ) ( + )( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 7