TEMA 2 Números reales*

Transcripción

1 TEMA Núeros reles* Itroducció y propieddes. Vios e el te terior que todo úero rciol tiee u epresió decil fiit o periódic y vicevers. Por tto: Llreos úero irrciol todo úero que teg u epresió decil ifiit y o periódic. Por ejeplo,...,, ,, π,59..., e,78...etc. El cojuto de los irrcioles lo represetreos por l letr I. Si reuios e u iso cojuto, los úeros rcioles y los irrcioles for los úeros reles (Es decir, detro de los reles se ecuetr todos los úeros turles, eteros, rcioles e irrcioles). El cojuto de estos úeros se desig por l letr R. Alguos de ellos so: π, -/,, -5, 0,7,..., etc. Se epres sí: R Q I E el cojuto de los úeros reles se defie l su de úeros reles y el producto de úeros reles. Abs cuple u serie de propieddes que podéis ver e el libro e l pági 7 (Citr e clse lgus pr que se costubre los obres de propieddes que y cooce) Destcr: Si.b 0 etoces 0 o bie b 0 Ej. 5 0 iplic que 0. Represetció de los úeros reles e l rect Los úeros reles se represet gráficete e l rect de l for siguiete: /

2 Desigulddes, vlor bsoluto e itervlos. < b se lee es eor que b ( > b sigific que es yor que b ) b sigific que o bie < b o b > 0 se lee es yor que 0 y sigific evideteete que es positivo. Si < 0, se dice que es egtivo A ests epresioes se ll desigulddes. Not: Gráficete, positivo sigific que está represetdo l derech del 0 e l rect rel y egtivo l izquierd. Ls desigulddes verific ls siguietes propieddes: Destcr est propiedd Propieddes Ejeplos Si <b, +c<b+c Puesto que <, +5<+5 Si <b y b<c, <c Puesto que ½< y <7, ½<7 Si <b y c>0,.c<b.c Puesto que <, /< Si <b y c<0,.c>b.c Puesto que <, - >- Si >b>c ó 0>>b, /</b Puesto que >, /</ Se ll vlor bsoluto de u úero rel, l iso úero si es positivo o cero y su opuesto si es egtivo, es decir, si 0 si < 0 Se ll itervlo bierto (, b) l cojuto de los úeros reles que verific ls desigulddes <<b. Ej. Represet el Itervlo bierto (-, ) Se deoi itervlo seibierto [, b) l cojuto de los úeros reles, tles que <b, y (, b] l cojuto de los úeros reles < b. Se deoi itervlo cerrdo [, b] l cojuto de los úeros reles, tles que b. Se deoi seirrect biert (, ) ó (, ) l cojuto de los úeros reles, tles que < respectivete <, y seirrect cerrd [, ) ó (, ] l cojuto de los úeros reles, respectivete. (, ) se represet tbié por (, + ) y (, ) por (-, ) Not: + se defie coo u úero o perteeciete R que cuple que es yor que culquier úero rel, es decir: < + R Mietrs que - se defie coo u úero rel o perteeciete R que cuple que es eor que culquier úero rel, es decir < R Ej. Represet l seirrect cerrd [, ) 0 5 6

3 Se ll etoro bierto de u úero rel y rdio r>0, l cojuto de los úeros reles tles que -r < < +r, es decir l itervlo (-r, +r). Se ll etoro cerrdo de u úero rel y rdio r > 0, l cojuto de úeros reles tles que -r +r, o l itervlo [-r, +r]. Ej. Represet el etoro cerrdo del puto 0 y rdio Not: Co todo lo dicho R (, + ) Propiedd del vlor bsoluto relciod co ls desigulddes y los etoros: ( r r) r r < < + r es decir, que es u etoro de 0 de rdio r. Ej. < sigific que (,), gráficete sigific: está etre y Potecis de úeros reles. Se u úero rel, y se u úero turl. Etoces se deoi poteci del úero co epoete, l úero: veces... Propieddes de ls potecis: - Multiplicció: l ultiplicció de potecis de bses igules es otr poteci de igul bse, cuyo epoete es l su de los epoetes de los fctores: + 5, L ultiplicció de potecis de epoetes igules es otr poteci de igul epoete, cuy bse es el producto de ls bses:

4 5 ( b), ( ) ( ) 5 ( ) 5 b O l revés: L poteci de u producto es igul l producto de potecis: 5 5 ( b) b, ( ) ( ) ( ) 5 - Divisió: el cociete de potecis de bses igules es otr poteci de l is bse, cuyo epoete es l difereci de los epoetes del dividedo y el divisor: 5, El cociete de potecis de epoetes igules es otr poteci de igul epoete, cuy bse es el cociete de ls bses:, b b 5 5 O l ivers: L poteci de u cociete es igul l cociete de potecis., b b Poteci de u poteci: l poteci de u poteci es otr poteci de igul bse que l poteci iicil, cuyo epoete es el producto de los epoetes: 5 5 ( ), ( 7 ) 7 Not: Tods ls propieddes epresds se puede leer, puesto que so igulddes, de izquierd derech o de derech izquierd. - Poteci de epoete cero: u poteci de epoete cero y bse distit de cero es igul l uidd. 0 Pr clculr, o se puede utilizr l defiició dd tes (ercd e gris), puesto que o tiee setido. Se defie 0 por cohereci teátic y que: Poteci de epoete egtivo: Por rzoes siilres lo terior, u poteci de epoete egtivo se defie coo l uidd dividid por otr poteci de igul bse y de epoete opuesto l terior (positivo): Esto es coherete co lo visto pues ultiplicdo bs potecis, qued: 0 que e efecto es y despejdo quedrí l fórul terior. Ej. 8 Hcer ejercicio de l pági 7 del libro de teorí

5 ( ) ( b b ) Siplifíquese l epresió 6 ( / b ) Solució: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b b 6 ( ) b E el u. plic.: E el u. plic.: b b E el deo.: 9 b b b ( ) 7 b Sol: b 7 b 7 + E el u. plic.: b b 5 6 Ríz de u úero rel. Ríz -ési de u úero rel es otro úero b (si eiste), que elevdo l poteci d coo resultdo. b b El úero es el ídice de l ríz; es el rdicdo; es el sigo rdicl. Ej. 8 puesto que 8 Si o se poe ídice se sobreetiede que es (ríz cudrd) que es el ás usdo. Relció etre potecis y rices: - L poteci -ési de l ríz -ési es igul l rdicdo: ( ) - L ríz -ési de l poteci -ési es igul l bse. Ests propieddes, puede verse que se cuple, co ejeplos, uque eso o lo deuestro (lo que o es uestro objetivo): E efecto: ( 9) () 9 y tbié 9 Por ests dos propieddes se dice que l rdicció y l potecició so operdores iversos, y que lo que uo hce el otro lo deshce. - Todo úero fectdo de epoete frcciorio represet u rdicl que tiee por ídice el deoidor de l frcció y por rdicdo l poteci de 5

6 dicho úero de epoete igul l uerdor de l frcció (tbié se cuple l ivers): Ej. 8 8 Propiedd de ls ríces: El vlor de u ríz o vrí si se ultiplic o se divide por u iso úero el epoete del rdicdo y el ídice de l ríz: p q p q p y Apliccioes de l propiedd terior: q p/ q/ - Siplificció de rdicles. Siplificr u rdicl es escribirlo e l for ás secill, pr lo cul hy que coseguir que el ídice y el epoete se prios etre sí. Esto se r dividiedo el ídice de l ríz y los epoetes del rdicdo por su.c.d. (si es posible, previete hy que descopoer e fctores el rdicdo) Ej.: (Si ás que dividir por dos los ídices) - Reducció de rdicles ídice coú (deoid hoogeeizció de rdicles). Se oper de for siilr l de l reducció de frccioes coú deoidor: ) Se hll el.c.. de los ídices, que será el ídice coú. b) Se divide el ídice coú por cd ídice y el cociete se ultiplic por el epoete del rdicdo. Ej.: Reducir ídice coú los siguietes rdicles: 6, 5,.c..(, 6,, ) Los rdicles teriores se covierte e los siguietes rdicles hoogéeos: 6, 5, Otrs propieddes de ls ríces: - Ríz de u ultiplicció: b b - Ríz de u divisió: b b - Poteci de u ríz: ( ) - Ríz de u ríz: (Ests propieddes ls podéis coprobr ddo vlores uéricos,, y b es decir co ejeplos) 6

7 Not: Ojo! No se cuple que + b + b, coo se puede coprobr ddo vlores uéricos. Not: Ojo! No se cuple que + b + b, coo se puede coprobr ddo vlores uéricos. Etrcció de fctores de u ríz Se procede de l for siguiete: ) Se divide el epoete del rdicdo por el ídice de l ríz. ) El cociete etero de dich divisió se escribe coo epoete del fctor fuer del sigo rdicl. ) El resto de l divisió se escribe coo epoete del fctor detro del sigo rdicl. Ej.: Pr etrer el fctor de 7, se efectú l divisió eter 7 7: cociete 5, resto. 7 5 Por tto, Esto se puede justificr sí: uque e l práctic se plic l regl terior. Ej. 6 ; 8 Ej. 7 9 Itroducció de fctores e u ríz Pr itroducir detro del sigo rdicl u fctor que ultiplic u ríz, se elev el fctor l ídice de l ríz y se ultiplic por el rdicdo que hy detro de l ríz. 5 Ej.: Opercioes co rdicles. - Adició y sustrcció de rdicles.(pr sur y restr rdicles es ecesrio que se seejtes, es decir que teg el iso ídice e el rdicl). Ej.: Multiplicció y divisió de rdicles. (Pr ultiplicr o dividir rdicles es ecesrio reducir ídice coú) Ej.:

8 - Rciolizció de deoidores (Iportte) Se ll rciolizr supriir los rdicles del deoidor de l frcció, dejdo que l frcció teg el iso vlor iicil. ) Si el deoidor est fordo por u eleeto (u ooio): ) Co u rdicl de ídice : Se ultiplic el uerdor y el deoidor por l ríz que prece e el deoidor Ej.: 6 b) Co u rdicl de ídice culquier : E este cso se ultiplic los dos térios de l frcció por l ríz - ési de u epresió cuyo producto por el rdicdo del deoidor se poteci -ési perfect Ej.: ) El deoidor es u bioio co u rdicl de ídice : Se ultiplic el uerdor y el deoidor por el bioio cojugdo del deoidor, el cul se obtiee cbido el sigo cetrl de uo de los térios. Así el cojugdo de ( b ) + es ( b ) + + Ej.: + ( )( + ) Not: Heos utilizdo e el ejercicio terior, l propiedd siguiete que vereos e otro te, ás delte: ( + b) ( b) b que se lee: Su por difereci es igul difereci de cudrdos Hcer ejercicio de l pági 7 del libro de teorí 5 Siplifíquese l epresió Sol: 7 Ecucioes e iecucioes e u vrible. U ecució es u iguldd e l que prece epresioes lgebrics (úeros y letrs llds vribles ligdos por opercioes) que sólo se verific pr vlores específicos o deteridos que se de ls vribles. Resolver u ecució sigific hllr los vlores que, sustituidos e ls vribles llds icógits, verific ls igulddes. Estos vlores se ll solucioes o ríces de l ecució. Cóo resolver u ecució de prier grdo co u icógit? ) Se suprie prétesis (si los hubier) ) Se suprie, los deoidores (si los hubier), ultiplicdo los dos iebros de l iguldd por el íio coú últiplo de los deoidores. ) Se ps los térios que coteg l icógit l prier iebro y los que o, l otro (Trsposició de térios) 8

9 ) Se reduce los térios seejtes. 5) Se despej l icógit, dividiedo bos iebros por el coeficiete de l icógit. Los psos ) y ) puede ser plicdos e el orde cotrrio si es ecesrio, coo se ve e el ejeplo siguiete. Ej.: Multiplicos bos iebros de l iguldd, por que es el.c. de los deoidores: ( ) + ( ) ( + ) Quitos prétesis: Trspoeos térios: Se reduce térios seejtes: 9 Se despej l : 9 U ecució e l que se sustituye el sigo de iguldd por el de yor o eor, se ll iecució. Solució de u iecució es todo úero rel que, sustituido e l icógit, stisfce l desiguldd. Cóo resolver u iecució de prier grdo? Pr resolver u iecució de prier grdo se procede de for á l de ls ecucioes, teiedo e cuet ls siguietes propieddes: - Si los dos iebros de u desiguldd se les su o se les rest l is epresió, se obtiee u uev desiguldd del iso setido. - Si se su iebro iebro dos desigulddes del iso setido, se obtiee u uev desiguldd del iso setido que ls priers. - Si se ultiplic o se divide los dos iebros de u desiguldd por u úero positivo, result u desiguldd del iso setido. - Si se ultiplic o se divide los dos iebros de u desiguldd por u úero egtivo, result u desiguldd de setido cotrrio. Ej.: Resolver l iecució ( +)>5+5 Supresió de prétesis: +6>5+5 Trsposició de térios: -5>5 6 Reduzco térios seejtes: -> - Cbio de sigo (ultiplico bos iebros por ) : < Despejo de l icógit: </ 9

10 Est solució idic que, si e l iecució se sustituye l icógit por culquier úero eor que ½, qued stisfech l desiguldd. Ls solucioes so todos los úeros reles que esté detro del itervlo (-, ½). Otro ejeplo: Resolver 5 7 Coo sbeos por l propiedd de l pági, est desiguldd se puede escribir e dos: Todo l prier: 7 5 qued por tto o lo que es lo iso. Por otro ldo si toos l segud prte de l desiguldd qued 5 7 luego por tto 6. Luego el cojuto de solucioes es el cojuto de vlores copredido etre y 6, es 6,. decir el itervlo cerrdo: [ ] Hcer ejercicio de l pági 7 del libro de teorí. Resuélvse ls iecucioes lieles: ( ) < Sol: < 5 0 ( ) 7 b ( 7 ) + 0 Sol: 0 Ecucioes de segudo grdo. (Este prtdo es de lo ás iportte del te) U ecució es de segudo grdo si el yor epoete de l icógit es. L epresió de u ecució coplet de segudo grdo es: + b + c 0 co 0 Cóo resolver u ecució de segudo grdo? Si es icoplet se puede presetr tres csos: c c ) b 0 qued + c 0 luego por t to ± ) c 0 qued + b 0 por lo que scdo fctor coú l qued b ( + b) 0 luego ó 0 ó + b 0 de dode ) b c 0 qued 0, por lo que 0 luego 0 Si es coplet, es decir tiee l for + b + c 0, co, b y c 0, se utiliz l siguiete forul: b ± b c Ej. 6 0 por lo que 6 luego de dode ± Ej. 5 0 luego ( 5) 0 por tto ls solucioes so: 0 y 5 0

11 Ej luego 5 ± ( 5)... 5 ± ± Resolver ls ecucioes siguietes: (Siplificr priero); 5 0 y Not: E el cso e que < 0, coviee ultiplicr bos iebros por - tes de resolver (equivle cbir el sigo de todos los coeficietes de l ecució) Ej. Resolver L trsforos e y plicos l fórul: ± + 0 ± ± Logritos, ecucioes rítics y epoeciles. Se deoi rito e bse >0 ( ) de u úero >0, l úero que verific, y se escribirá. Es decir: Ej.: 0 0 0, puesto que0 000, puesto que0 6, puesto que si etoces Propieddes de los ritos.

12 Propieddes Ejeplos y 0 y 5 0 ( ) ( ) Si 7, etoces 7 Not: Tl coo se defie el rito de u úero ( > 0 ), está clro que o eiste i el rito de 0, i el rito de u úero egtivo. Es decir: 0 R y ( 5) R Se deoi ecució rític e u vrible u ecució e u vrible, e l que l icógit prece soetid u rito, sí por ejeplo es de este tipo. Ests ecucioes se resuelve provechdo ls propieddes rrib reseñds. Ej.: Resuelve l siguiete ecució: Se deoi ecució epoecil e u vrible u ecució e u + vrible e l que l icógit prece e el epoete, sí por ejeplo, 9 8 es u ecució epoecil. Ej.: Resuelve l siguiete ecució: y 8 ± 8 y 8y y 9 9 Hcer ejercicio 5 de l pági 7. Resuélvse ls siguietes ecucioes ( ) 0 ( ) 0 ( 6 ) Sol : (que o es válid, pues l coprobr sle rito de u úero egtivo que o eiste) ( b). 6 Sol : 0 OJO!: E este tipo de ecucioes hy que coprobr vlidez de ls solucioes, puesto que e ls opercioes iteredis que se hce, veces se itroduce solucioes flss. Eáees de ños teriores:

13 Ju 99 () 9º: L solució de l ecució epoecil verific: ) b) 5 c) 5 Solució: Aplicdo ls propieddes: y qued: + + Hciedo 8 t qued: t + t + t 8 8 Quitdo deoidores: t+ t+ 6t 68 t t 8 Luego, puesto que t : 8 Por tto: L respuest válid es por tto l c) Not: L dificultd de los tres ejercicios de ee siguietes, hce ivible que pued ser propuestos e covoctoris ctules, puesto que se h reducido el tiepo de ee l itd, teiédose el iso úero de ejercicios Ju 0 () 5º: Siste de ecucioes rítics Aplicos ls propied-des de los ritos Aplicos ls propied-des de los ritos (y) + y y (y ) y y (y ) y y (y ) y

14 Si teeos l ecució: y ; sustituios l y e l ecució de rrib y obteeos ( ) 0 0 ( ) 0 y etoces de 0 y 0 y luego ls dos posibles solucioes so ( 0, y 0 ) y y y, y 6 6 Por últio hy que coprobr ls solucioes e el siste origil y se ve que l solució (0, 0) o es válid porque o eiste 0 E cbio l segud sí lo es porque L solució correct, por tto es l B) Ju 0 (t) 6º: L solució (, y ) ( ) ( ) ( ) y+ + y+ 7 8 del siste y 0< ; B) 0 < ; C) < 0; D) 0 A) Solució: Aplicreos propieddes coo: ) ( ) verific:, ) + y ) Trsfordo l prier ecució: ( ) y + + y+ 9 y+ + 6 y+ 9 y y+ ( ) ) ) ). etoces 9y+ + y+ 7 y siplificdo qued: y 7 Trsfordo l segud ecució del siste: y y y 6 y y 5 ) ) Por tto qued l ecució: Por tto el siste origil lo heos reducido l siste siguiete que y o tiee ecucioes epoeciles: y 7 restdo bs ecucioes, desprece l y qued: y 5 y+ y y y+ 0 y y+ 0 Resolviedo est ecució se obtiee u solució doble: y Sustituyedo e l prier ecució el vlor de l y se obtiee l : 7 7+ por tto l solució del siste es y y. L solució correct es l C) puesto que < 0 Septiebre 0 º: Siste de ecucioes rítics. 6 obteeos que

15 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS** º- Sbiedo que 0 0, 000 y 0 0, 77, hll: ) 0 5 b) 0 c) 6 0 d) e) 0 0, 000 Solucioes: 0 ) ,000 0, b) , , 77, 80 Heos plicdo l segud propiedd de los ritos (pág. ) 6 c) , , 77 0, , d) [ ] [ ] [ 0, 77+ 0, ], e) 0 0, , 77+ 0, , 9089 º.- Deterir el vlor de () e ls siguietes igulddes: ) 0, 5 8 b) 5 Solucioes: ) 05, 8 0, ( ) 5

16 b) Defiició de rito º.- Resuelve l siguiete ecució rític: ( 7 9) + ( ) Solució: 0 0 L su de ritos proviee del rito de u producto y 0, luego: ( ) ( ) ( ) ( ) ± 55 6 ; Coprobdo e l ecució cd vlor: - Si qued luego es solució Si ebrgo l sustituir qued: 0 + 0, pero o tiee setido, 7 pues o hy 0 de úero egtivos. º.- Resolver l ecució epoecil : Solució: coo y + qued: º.- Coocido 0 y 0 7, hll 7 (este proble se cooce coo cbio de bse) 7 que es lo que quereos coocer. 0 7 Es decir: luego: 7 6º.- Rciolizr y siplificr: por defiició todo 0 de e bse ) b) c) d) e) + 6

17 Se ll rciolizr quitr rdicles del deoidor. L técic e ), b) y d) es ultiplicr el uerdor y el deoidor, por l ríz que prece e el deoidor. ) b) ( ) d) E c) y e) hy que ultiplicr uerdor y deoidor por el cojugdo del deoidor. El cojugdo de + b es b, luego se plic l fórul c) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b) ( b) b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º.- Resuelve l siguiete iecució (desiguldd): < El.c.. (,), ultiplicdo por bos iebros qued: < ( ) < ( ) < + < + < 9 ultiplicdo por (-) cbi el setido de l desiguldd porque -<0 y qued > 9 * Este te h sido psdo soporte iforático por los luos José Miguel Sáchez y Jesús Ril, bsádose e el libro Mteátics Especiles, de E. Bujlce y otros, editdo por l editoril Sz y Torres y e ls epliccioes dds e ls tutorís preseciles, por el profesor tutor del Cetro de l Ued Alzir-Vleci Frcisco Toás y Vliete, José Luis Lobillo, que los h corregido, copletdo y plido. ** Los ejercicios copleetrios h sido psdos soporte iforático por Igcio Jiéez Sori y José Blsco Slvert, luos del CAD durte el curso