TEMA 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD.

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1 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli TEMA 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE 4- Líite de u fució e u puto Geerliddes 4- Idetericioes 4- Ideterició del tipo 4- Ideterició del tipo k 4- Ideterició del tipo 44- Ideterició del tipo 4- Otrs idetericioes 4- Cotiuidd de u fució Propieddes 44- Tipo de discotiuiddes 4- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO GENERALIDADES Ituitivete dd u fució f() el líite de f() cudo tiede es el vlor l que se proi ls iágees edite f() de los putos cudo éstos se proi l vlor de Se escribirá f ( ) El cálculo de u líite puede hcerse de fors diferetes: FORMA : Medite u tbl coo e el siguiete ejeplo: Clcul ( 4) : Cudo bs colus de úeros se proi l iso vlor dicho úero será el líite buscdo Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4

2 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli Si ls dos colus de úeros covergiese úeros diferetes o lgu de ls colus i siquier tuviese setido etoces se dirí que o eiste el líite FORMA : Por sustitució direct Lo ás coú es sustituir e l el vlor e el que se está clculdo el líite coo e el siguiete ejeplo: Clcul ( 4) :: ( 4) 4 NOTA: El étodo suele ser el ás geerlizdo uque o siepre es efectivo fíjte e el siguiete ejeplo: EJEMPLO: Clcul : FORMA FORMA Costruyos l tbl de vlores: Hceos el cálculo sustituyedo: LUEGO NO EXISTE LUEGO Pero etoces Cuál es l verdder? Lo cierto es que l for correct es l for Ms delte vereos por qué e este cso o podí plicrse l sustitució direct de l vrible Estudir el líite de u fució e u puto supoe estudir el coportieto de l fució f() e los lrededores del puto es decir derech e izquierd del iso Aprece sí los líites lterles: - El líite por l derech de l fució f() e el puto es el vlor l que se proi f() cudo se proi por l derech Se deot f ( ) - El líite por l izquierd de l fució f() e el puto es el vlor l que se proi f() cudo se proi por l izquierd: Se deot f ( ) RELACIÓN ENTRE LOS CONCEPTOS DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALES: Se cuple el siguiete resultdo: Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4

3 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli TEOREMA: L codició ecesri y suficiete pr que eist el líite de u fució e u puto es que eist los dos líites lterles de l fució e dicho puto y que deás coicid NOTA: Los líites lterles so de vitl iportci pr el cálculo de líites e fucioes defiids trozos o e putos de discotiuidd de u fució (coo er el cso de pr l fució f() pues e ese puto l fució tiee u discotiuidd esecil) Pr clculr lguo de los líites lterles e el cso de utilizr l tbl cd u de ls colus represet los líites lterles (Piéslo!) E el cso de sustituir l icógit por el úero se procede coo e el siguiete ejeplo: EJEMPLO: Clcul f ( ) - < dode f () RESPUESTA: Coo tes se ecioó el líite de u fució e u puto cosiste e estudir el coportieto de l fució e los lrededores de ese puto E el cso cocreto de est fució f() y del puto se observ que l ecució de l fució es diferete bos ldos por lo que debeos decidir qué ecució tor Pr ello bst que etlete se busque u pr de vlores cercos l por l derech (podrí vler o ) deteriádose sí el trozo de l fució e el cul está (e este cso e el trozo { } ) Después so precede del siguiete odo: Se sustituye por e l epresió de l fució f ( ) ( ) E el trozo f() PROPIEDADES DE LOS LÍMITES PROPIEDAD : El líite de u fució e u puto si eiste es úico PROPIEDAD : Si f() es u fució costte (es decir f ( ) k pr culquier vlor de ) etoces f ( ) k R PROPIEDAD : El líite de l fució idetidd e u puto es el vlor de ese puto es decir: Recuerd que l fució idetidd se defie coo I() pr culquier vlor rel f ( ) PROPIIEDAD 4: Dds dos fucioes f() y g() si cosideros y g( ) cuple: - 4: El líite de l su (rest) es l su (rest) de los líites: ( f ( ) ± g( )) f ( ) ± g( ) se - 4: El producto de u fució por u costte se coport bie co respecto los líites es decir: k( f ( )) k f ( ) - 4: El líite del producto es el producto de los líites: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4

4 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli - 44: El líite del cociete es el cociete de los líites siepre que eist el líite del deoidor: ( f ( ) : g( )) f ( ) : g( ) ( siepre que g( ) ) - El líite de u poteci es l poteci de los líites siepre que l bse se positiv: - 4: ( g f ( ) f )( ) g ( ) g ( ) f ( ) g( f ( )) ( siepre que siepre que g() se f ( ) > ) cotiu e f ( ) CONSECUENCIA PRÁCTICA: El uso de ests propieddes perite clculr sisteáticete diferetes tipos de líites: FUNCIONES POLINÓMICAS: P() P( ) es decir e los polioios se sustituye el puto P( ) Si f ( ) es u fució rciol pr culquier tl que Q ( ) Q( ) se cuple que P( ) f ( ) Q( ) 4- INDETERMINACIONES U vez coocid l eisteci de y ( Recuerd que o so úeros!!) y estudido el coportieto de ls opercioes etre estos eleetos y los úeros reles (Visto el curso psdo) eiste u serie de epresioes que puede precer e el cálculo de u líite que so iposibles de deterir es decir que e lguos csos puede tor u cierto vlor y e otros csos otro Ess epresioes recibe el obre de idetericioes so ls siguietes: k - Cd u de ells tiee u er cocret de resolverse que vereos cotiució NOTA: Hy que subryr que ests epresioes solo pued teer setido detro del cálculo de líites Por ejeplo cosiderdo coo u úero ordirio o eiste pues o se puede dividir por (coo se dice e ls etrñbles clses de los peques: No se puede reprtir pr die! ) Si ebrgo e el cálculo de u líite est epresió si tiee setido 4- INDETERMINACIÓN DEL TIPO Est ideterició puede precer e dos ocsioes: COCIENTE DE POLINOMIOS: E este cso hbrá que descopoer e fctores el uerdor y el deoidor y eir los fctores coues que obligtoriete precerá Fíjte: EJEMPLO: Clcul Al clculr el líite del uerdor y el líite del deoidor se obtiee l ideterició Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4 4

5 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli Se ei los fctores coues e este cso - ( )( ) ( ) - Se descopoe e fctores uerdor y deoidor Se sustituye l por el y se oper FUNCIONES IRRACIONALES: Hbrá que ultiplicr y dividir por el cojugdo del uerdor o deoidor (segú esté l ríz cudrd): Fíjte: EJEMPLO: Clcul : SOLUCIÓN: Al clculr el líite del uerdor y del deoidor se obtiee l ideterició ; se procede sí: Multiplico y divido por el cojugdo del uerdor Opero ( ) ( ) ( ) ( ) Opero ( ) ( ) Opero ( ) ( ) ( ) 4- INDETERMINACIÓN DEL TIPO k Est ideterició l resolverse solo puede tor vlores posibles: o o eiste e cuyo cso se utilizrá el síbolo (si sigo) Pr deterir cuál de ls posibiliddes es bst co clculr los líites lterles (que úicete podrá tor los vlores ó ) EJEMPLO: SOLUCIÓN: Al clculr el líite del uerdor y del deoidor se obtiee l ideterició Se estudi los líites lterles: Lo relete itereste es el sigo Pr deterirlo bst co tor u vlor cerco por l izquierd y observr el sigo l operr co el e l fució E este cso: - < - Lo relete itereste es el sigo Pr deterirlo bst co tor u vlor cerco por l izquierd y observr el sigo l operr co el e l fució E este cso: > Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4

6 Profesor: Rf Gozález Jiéez Coo bos líites lterles so diferetes etoces el líite o eiste es decir: 4- INDETERMINACIÓN DEL TIPO Puede presetrse de fors diferetes: FORMA : Aprece l clculr líites de cocietes de polioios Pr resolverlo se plic lo siguiete: > ± < ± ± b b b b b b EJEMPLO: Clcul SOLUCIÓN: Al clculr el líite del uerdor y del deoidor se obtiee que bos so por lo que se obtiee u ideterició del tipo Etoces se procede sí: FORMA : Aprece e cocietes dode el uerdor y el deoidor o so ecesriete polioios Por ejeplo uque se polioios: Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4 Istituto St Eulli Reduzco el uerdor y el deoidor su ooio de yor grdo Aplico el esque Se divide e uerdor y deoidor por l de yor grdo del deoidor Operos Recuerd que

7 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli 44- INDETERMINACIÓN DEL TIPO g() Aprece l clculr líites cudo tiede ifiito de fucioes de l for f() dode f ( ) y g ( ) Est ideterició se resuelve teiedo e cuet que si F ( ) F ( ) ± etoces ± e ± F( ) Pr resolver est ideterició hy que trsforr g() f() e g ( ) F ( ) F( ) sí: f ( ) F ( ) g ( ) g ( ) g ( ) F( ) e NOTAS: Recuerd el coportieto de l fució e : e y e Est for de proceder tbié es válid si l ideterició se preset cudo l vrible tiede solete hy que trsforr el líite e uo e el que l vrible tied ás o eos ifiito EJEMPLO: Clcul ( ) SOLUCIÓN: Al sustituir por se obtiee l ideterició Pr poder plicr est etodologí es ecesrio que trsforeos el líite e uo del tipo Se trsfor e uo del tipo 4- OTRAS INDETERMINACIONES ( ) e Ls idetericioes del tipo - y so fáciles de resolver úicete hy que relizr l operció que prezc detro líite y después clculr ese líite Puede ser que l hcer esto prezc u ideterició de lgú otro tipo; e ese cso es uev ideterició se resolverá segú correspod Se resuelve por el úero e EJEMPLO: Clcul SOLUCIÓN: Aplicdo ls propieddes de los líites el líite de u rest es l rest de los líites Ocurre deás que cd uo de los dos líites so de l for ifiito por lo que el resultdo fil tiee el specto es decir ideterició Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4

8 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli Pr resolverl hbrá que operr priero e l fució Por lo que: Ideterició del tipo Se oper e l fució Se resuelve l uev ideterició 4- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN PROPIEDADES Se dice que u fució f() es cotiu e u puto si se cuple: CONDICIÓN : Eiste f( ) CONDICIÓN : Eiste f() CONDICIÓN : Abos vlores coicide: f ( ) f() Si o se cuple lgu de ests codicioes se dice que f() es discotiu e Adeás utilizdo el cocepto de líite lterl prece relciodo el cocepto de cotiuidd lterl: -U fució f() es cotiu por l izquierd e u puto si y solo si se verific f() f( ) -U fució f() es cotiu por l derech e u puto si y solo si se verific f() f( ) Tbié se puede hblr del cocepto de cotiuidd e u cojuto E este setido prece ls siguietes defiicioes: -U fució f() es cotiu e u itervlo bierto si y solo si es cotiu e cd uo de los putos del itervlo -U fució f() es cotiu e u itervlo cerrdo si y solo si es cotiu e todos y cd uo de los putos del iterior es cotiu por l derech e el etreo izquierdo y es cotiu por l izquierd e el etreo derecho del itervlo PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: Ls fucioes cotius tiee ls siguietes propieddes: Propiedd : Ls fucioes costtes f() k so cotius e todo su doiio Propiedd : L fució idetidd I() es cotiu e todo su doiio Propiedd : Si f() y g() so dos fucioes cotus e u puto etoces: - f ± g k f f g so cotius e f - es cotiu e ecepto si g( ) g Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4 8

9 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli - g f es cotiu e siepre que g() se cotiu e f( ) g - L fució f es cotiu e siepre que f( ) > CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Teiedo e cuet ls propieddes teriores se deduce fácilete l cotiuidd de ls siguietes fucioes: Fucioes poteciles de l for f ( ) Fucioes polióics de l for f ( ) - P() Fucioes rcioles de l for f ( ) dode P() y Q() so fucioes Q() polióics y por ls propieddes teriores cotius e todo su doiio Fucioes rcioles de l for f ( ) Hy que hcer dos disticioes: o Si es pr etoces l fució es cotiu e [ ) que l fi y l cbo es su doiio o Si es ipr etoces es cotiu e todo R 44- TIPO DE DISCONTINUIDADES Tl coo se defiió e u prier oeto ls fucioes cotius teí que cuplirse codicioes Si fllb lgu de ests codicioes etoces hblábos de fucioes discotius Segú l codició que o se cupl tedreos tipos diferetes de discotiuiddes: DISCONTINUIDAD EVITABLE: Est discotiuidd puede presetrse de ers diferetes: Eiste f ( ) y es fiito pero o eiste f( ) f ( ) y es fiito y eiste f( ) pero o coicide NOTA: Recibe este obre porque serí uy fácil corregirl bstrí GRÁFICAMENTE: DISCONTINUIDAD DE SALTO: Los líites lterles eiste pero o coicide f ( ) f ( ) se le deoi slto de l fució o o Al úero Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4 9

10 Profesor: Rf Gozález Jiéez Istituto St Eulli GRÁFICAMENTE: DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO DISCONTINUIDAD ESENCIAL: Alguo de los líites lterles o eiste GRÁFICAMENTE: El esque lógico utilizr e l detecció y clsificció de ls discotiuiddes de u fució es el siguiete: Se cuple l segud codició? SI NO EVITABLE EXISTEN LÍMITES LATERALES? SI NO SON FINITOS? ESENCIAL SI NO SALTO FINITO SALTO INFINITO FIN TEMA Mteátics plicds ls Ciecis Sociles II Te 4