OPCIÓN A. c) (1 punto)

Transcripción

1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OICILES DE GRDO Curso / MTERI MTEMTICS II. se de Modlidd OPCIÓN Ejercicio. Clificció ái putos. Sbiedo que, utilizdo ls propieddes de los deterites, clculr ) ( puto) El deterite de l triz b) ( puto) c) ( puto). () ii i (i) (ii) Si todos los térios de u líe (fil ó colu) de u deterite tiee u fctor coú, este se sc coo fctor del deterite k k k k b. ii c. iii ii { } iv ii (iii) Si u líe (fil ó colu) de u deterite se le su o rest u lie prlel ultiplicd por culquier úero, el deterite o vri. (iv) Sí se itercbi l posició de dos líes (fils ó colus), el deterite cbi de sigo.

2 Ejercicio. Clificció ái putos. Dd l rect z r el puto P (,, ), se pide ) ( puto) Hllr l distci del puto P l rect r. b) ( putos) Hllr ls coordeds del puto P siétrico de P respecto de l rect r.. L distci de u puto u rect se puede clculr de vris fors, e este cso, teiedo e cuet el prtdo b, lo ás práctico es clculr l distci de P su proecció sobre r (M). d( P r) d( P M) L proecció de u puto sobre u rect se puede clculr por producto esclr. Se busc u puto M de l rect r que co el puto P fore u vector perpediculr l vector de direcció de l rect. r r PM d r PM o d r Si M es u puto de l rect r, sus copoetes se puede epresr co ls ecucioes prétrics de r. λ M r λ M ( λ, λ, λ) z λ r r PM p ( λ, λ, λ) (,, ) ( λ, λ, λ) r PM o d r ( λ, λ, λ) (,, ) λ λ λ o 8 λ λ λ 8 λ λ Coocido el vlor de λ, se clcul ls coordeds de M l copoetes del vector PM. M,,,, PM,,,, L distci de P r es el ódulo de PM PM b. El siétrico de P respecto de r se clcul teiedo e cuet que M es el puto edio de PP '. p ' p p ' p M z p z' p De ls coordeds de M se despej ls coordeds de P. ' p p P' ' p p P ',, z' z p p

3 Ejercicio. Clificció ái putos. Hllr ) ( puto) 8 Lí b) ( puto) Lí ( ). () 8 8 i 8 ( ii) Lí Lí Lí ( ) 8 ( ii) 8 Lí 8 8 Lí 8 Lí (i) ( b) b b b (ii) Lí( f ) Lí f R b. Lí( ) ( )? Lí f ( ) Lí f g Lí g plicdo l trsforció del úero e Ideterició del úero e. ± Lí g e ± [ ( f ) ] 8 ( ) Lí Lí 8 8 Lí Lí( ) e e e Ejercicio. Clificció ái putos. f L, dode L sigific logrito eperio, se pide Dd l fució ) ( puto) Deterir el doiio de defiició de f() ls sítots verticles de su gráfic. b) ( puto) Estudir los itervlos de creciieto decreciieto de f(). Por ser u fució logrític, el rgueto del logrito debe ser or que cero. [ ] { R / > } D f > < < > < > e ( ) ( ) > (, ) ( ) ( ) > (, ) D[ f ] (,) ( ) ( ) < (,) D[ f ] (, ) ( ) ( ) > (, ) D[ f ] > D [ f ] (, ) (, )

4 sítots verticles. Los posibles putos de sítot verticl so los putos ecluidos del doiio, coo e este cso lo que se eclue es u itervlo, los posibles putos so los etreos del itervlo ( ; ). Pr que u fució teg u sítot verticl e u puto, se debe cuplir Lí f Coprobos si se cuple e ± Lí L ( ) L ( ) ( ) ) L Lí L ( ) L ( ) L Cudo ; sítot verticl Cudo ; sítot verticl b. L ootoí de u fució está socid l sigo de l derivd - Si f >, l fució es creciete f <, l fució es decreciete f - Si ( L ( ) ( ) Pr estudir el sigo se fctoriz l epresió se tiee e cuet el doiio. < ( ), < < f decreciete < f ( )( ) > ( ), > > f creciete ( )( ) > Not El estudio del sigo se puede hcer gráficete sobre l rect rel.

5 OPCIÓN B Ejercicio. Clificció ái putos. Dds ls fucioes, se pide ) (puto) Dibujr ls gráfics de ls dos fucioes idetificdo el recito cotdo por ells. b) (puto) Clculr el áre de dicho recito cotdo. c) (puto) Hllr el volue del cuerpo de revolució obteido l hcer girr lrededor del eje OX el recito cotdo por l gráfic de el eje OX.. Prábol biert hci. (, ) - Cortes co OX( ) ± (, ) - Cortes co OY( ) (, ) Máio de l prábol. ució liel, dos vlores perit (,) trzrl (, ) Vértices del recito. Putos de itersecció de ls dos fucioes. 8, ;, Estos dtos se llev uos ejes se represet ls dos fucioes el recito deteri. b. Áre. Deliitd por ls gráfics de ls fucioes por los vértices. Áre ( ( ) ) d ( 8) d ( ) 8( ) 8 8 u c. El volue geerdo l hcer rotr el áre bjo l curv lrededor del eje OX viee dd por l epresió b π π π V OX f d d d 8 π 8 d π 8 π8 π8 π8 π u

6 Ejercicio. Clificció ái putos. Ddos el plo π z l rect z r se pide ) ( puto) Clculr los vlores de pr los que l rect r está coteid e el plo π. b) ( puto) Pr el vlor, hllr el puto (o los putos) que perteece l rect perpediculr π que ps por P(/,, /), que dist (o dist) uiddes de π. c) ( puto) Pr el vlor, hll el seo del águlo que for r π.. Pr que l rect r este coteid e π, el vector de direcció de l rect debe ser perpediculr l vector orl del plo. r r r π d r o (,, ) (,, ) o b. Se busc los putos de l rect s que dist uiddes del plo π, siedo s l rect perpediculr l plo que ps por. Por ser s perpediculr π, el vector de direcció de s coicide co el vector orl del plo π. π z Ls ecucioes prétrics de s se obtiee co el puto P co el vector orl del plo que es prlelo l rect. λ P,, s r r λ r ds π (,,) (,, ) z λ Ls copoetes de culquier puto de l rect s, icluidos cuplirá ls ecucioes prétrics de l rect. λ, λ, λ d El práetro se deteri co l distci del puto l plo λ ( λ) λ λ λ 8λ ( π) ( ) λ λ λ λ ± λ ± ± Si λ,,,, Si ' λ π,,,, c. El seo del águlo que for r π se obtiee por plicció del producto esclr. r r d r o (,, ) o (,,) ( ) 8 se r - π r r d (,, ) (,,) r 8 8

7 Ejercicio. Clificció ái putos. Se cosider el siste de ecucioes z z z se pide ) ( puto) Discutir el siste segú los vlores de. b) ( puto) Resolver el siste pr el cso de.. l siste lo describe ls trices de coeficietes () plid (*). * rg * rg * ; Si el, rg rg *. Siste coptible deterido. Se discute el tipo de solució pr los vlores del práetro que ul el deterite de l triz de coeficietes. Discusió. i. Si. rg * rg. Siste coptible deterido. ii. Si. 8 z z z E E z z z rg <. rg. Pr estudir el rgo de l triz plid, se prte del eor de orde dos distito de cero terior se estudi sus eores orldos. De los dos eores orldos, uo es de deterite de l triz de coeficietes, que pr / es ulo, por lo tto soo os qued poe estudir el eor fordo por l ª, º ª colu. rg rg * 8. Siste icoptible b. Pr. Siste coptible deterido. z z z. Crer { } z

8 8 Ejercicio. Clificció ái putos. Dd l triz estudir pr que vlores de tiee ivers clculrl siepre que se posible. Pr que u triz teg ivers su deterite debe ser distito de cero. Clculo de l ivers dj dj dj t t