+ 2 =. Dos mil años. obtener sus valores aproximados por medio de la regla ( a b )

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Adolfo Plaza Belmonte
hace 5 años
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1 POTENCIAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS - ECUACIONES EXPONENCIALES RAÍCES PROPIEDADES DE LAS RAÍCES APLICACIÓN EJERCICIOS B.I. EJERCICIOS PSU - LOGARITMOS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS CAMBIO DE BASE - APLICACIONES HISTORIA: Atecedetes históricos señl que fuero los lgerists iloios quiees priero estudiro l resolució de ls ecucioes epoeciles por edio de u tteo iicil seguido de u iterpolció. co estos procediietos trtro de clculr el tiepo ecesrio pr que u ctidd deterid de diero se duplicr l poerl u ts dd de iterés copuesto... Sus tls les idic que o todos los úeros rcioles que figur e ells teí u ríz cudrd tuld. Efretdos este prole, procediero. Dos il ños después, Heró de Alejdrí ( s. II. De C. deducirí est is regl. Result itereste oservr que est proició rzole puede oteerse hoy por edio de l serie ioil de Newto. qued clro que, e ciert for, los iloios dos il ños tes que los griegos, doi y lguos spectos del Álger. oteer sus vlores proidos por edio de l regl ( Se deoi poteci de se rel y epoete etero tod epresió de l for ; R, Z PROPIEDADES Potecis de igul se Multiplicció R ;, Z Se coserv l se y se su los epoetes Divisió : R * ;, Z Se coserv l se y se rest los epoetes Potecis de igul epoete Multiplicció (, R ; Z Divisió :, R ; 0; Z Poteci de u producto (, R ; Z Pr elevr u producto poteci, se elev cd fctor l epoete coú

2 Poteci de u cuociete Z R 0; ;, Poteci de u poteci Z R, ; ( Pr elevr u poteci poteci, se coserv l se y se ultiplic los epoetes Poteci de epoete cero * 0 Z Tod poteci de epoete cero es igul Not: Tod poteci elevd epoete pr es siepre positiv. Not: Tod poteci elevd epoete ipr es positiv si l se lo es y es egtiv si l se lo es < < > > si si Poteci de se Z Poteci de epoete egtivo * 0;, ;, Z R Tod poteci de epoete egtivo es igul l vlor recíproco de l se elevd l iso epoete, pero de sigo positivo. ( ( ( 0 : ( : ( ( ( ( ( z c

3 ECUACIONES EXPONENCIALES Ecució epoecil es quell que tiee l eos u poteci co u o ás icógits e su epoete. Pr resolver u ecució epoecil deeos reducir cd iero u poteci y luego igulr ls ses, plicdo ls propieddes correspodietes. E cosecueci, coo ls potecis so igules, sus epoetes tié lo so, queddo sí plted l ecució resolver. Ejeplo: (0, Iguldo los 9 epoetes iguldd poteci de de ultiplicció ls u de ses poteci potecis POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL POTENCIAS DE LA FORMA ; N, Lo que se lee: Ríz eési de POTENCIAS DE LA FORMA ; 0. Lo que se lee: Ríz eési de elevd Not: El vlor de u ríz e el cojuto de los úeros reles depede del sigo de l ctidd surdicl y del ídice de l ríz. Not: siepre eiste l ríz de u úero rel positivo, culquier se su ídice ( pr o ipr Not: L ríz de u úero rel egtivo, eiste si y solo si su ídice es ipr

4 Not: L ríz de ídice pr de u úero rel egtivo o es u úero rel, es u úero lldo igirio. PROPIEDADES ( Ríz de rdicdo cero 0 0 Es u cosecueci iedit de l defiició de ríz. E efecto 0 0, y que 0 0 ( Ríz de l uidd ( L ultiplicció de ríces de igul ídice es igul l ríz eési del producto de ls ctiddes surdicles., R0, si es pr y, R, si es ipr Tié es vlid pr l ultiplicció de tres o ás ríces de igul ídice. Ejeplo: ( ( ( ( L ríz eési de u producto de dos o ás fctores es igul l producto de ls ríces eésis de cd fctor. ( ( ( c ( d 8 0 ( For típic de u ríz: U ríz está epresd e su for típic cudo se h reducido l áio l ctidd surdicl. 80 Ejeplo: ( ( ( 8 y z 0 ( ( 0 ( 8 y

5 ( Itroducir u coeficiete de u ríz coo fctor de l ctidd surdicl. Pr itroducir u coeficiete detro de u ríz eési, deeos elevr el ( ( ( c ( d coeficiete su eési poteci. ( Divisió de ríces de igul ídice. L divisió de ríces de igul ídice es igul l ríz eési del cuociete de ls ctiddes surdicles. ; 0 Ejercicios: ( y : y ( ( 0 : (8 Ríz de u cuociete. L ríz eési de u cuociete de dos ctiddes, es igul l cuociete de ls ríces eésis de cd u de ells. ; 0 Ejeplo: ( ( ( p p (9 L ríz eési de u ríz eési es equivlete u ríz cuyo ídice es el producto. ( ( ( c ( d

6 RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN Rciolizr u epresió frcciori cosiste e trsforr su deoidor irrciol e u úero rciol Pr rciolizr l frcció, se dee plificr por, y que de est for se elii l ríz del deoidor, queddo este trsfordo e u úero rciol. ( d c ( ( ( ( Pr rciolizr l frcció o ±, se dee plificr por u fctor decudo que fore u producto su por u producto difereci Ejeplo: ( ( ( ( ( ( ( d c

7 Aplicció: E tod fórul o epresió lgeric e que se requier despejr u icógit que prece elevd lgú epoete, se hce ecesrio plicr l rdicció, tl es el cso que se preset e l fórul del iterés copuesto, si se dese coocer l ts de iterés. Ts de iterés copuesto: L fórul pr deterir el oto fil M, co u cpitl iicil C, durte periodos de cpitlizció, u ts de iterés i ( tto por uo es: M C( i ( i M C i M C M i C Est fórul perite clculr l ts de iterés i, coociedo M, C y Not: Es iportte isistir e que i correspode l tto por uo, de odo que pr oteer el tto por cieto, es ecesrio ultiplicr por 00 Ejeplo: U cpitl de $00.000, colocdo iterés copuesto durte eses, se covirtió e $0.0. A qué ts de iterés esul fue colocdo? C $ M $ 0.0 eses i? i M C,0 0,0 i % ,0 Ejercicio: Si l su de $ se h covertido e $.0 después de u ño, co cpitlizció triestrl de itereses. Clculr l ts de iterés ul.

8 EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE ( : A B C ( D ( ( Si es u úero ipr yor que uo, etoces: ( ( ( A B C D 0 ( ( ( A 8 B C 0 D 8 0,0 ( 9,9 8 A B C 8 8 D ( A B C 0 D 8

9 ( (0, 0, A B C D ( ( 0 (0,0 A 0 B 0 C 0 D 0 0 (8 (,90 : (, 0 A, 0 B, 0 C, D, 0 9 (9 Al ultiplicr ( por se otiee: A B C D 0 9

10 (0 L frcció A B C D ( L su de A 0 B C y D y Nigu dels y y teriores equivle : es igul : ( Si 8ª, etoces 8 es igul : A B C 8 D.0 ( Si el áre totl de u cuo es 9 d, etoces su rist ide: A 9 d B 98 d C d D d d 0 ( L su de es igul : A B C D 0

11 ( L epresió ( 8 es equivlete : A B 0 C D No se puede clculr ( El producto ( es : A B C D ( Si l edid del áre de u cudrdo es 9 c, etoces su digol dee edir: A c B c C D,c, c c (8 El vlor de ( es : A B 9 C 9 D Nigu dels Ateriores (9 Los úeros,, c π, escritos e orde creciete es: A,,c B,c, C,,c, D,c, c,,

12 (0 0, 0, 9 A 0, B 0,09 C D 0, 0, 9 0,0 0,00 0, ( :, 0, A 0 B 0 C 0 - D ( Si, el vlor de l epresió : es : 9 A B C D ( Si - y, etoces A B C D

13 ( El vlor de l epresió : 0,,8 es, 9 E D C B A ( : ( 0, A B 9 C D 9 ( 0,0 : 0,00, A 0 - B 0 - C 0-9 D 0-0 ( El vlor de es igul : E D C B A

14 (8 L epresió ( 8 es equivlete : A B 0 C D 0 0 (9 Si ; y - ; z -, etoces el vlor de y z será : A B C 9 D 9 (0 L epresió es equivlete : A B C D ( 08 0, 0, c d e ( ( 0, (, 0, 0, ( ( (0, A - B C D ( - -, cudo - A 0 B 0 C D 8

15 ( ( (0, 8 ( 0, 0 A 00 B 0 C 0 D (0, - 9 ( ( (, pr - y - A B C D 9 ( ( ٠, pr - y - A B C D 09 9 ( ( ( ( A B - C - D Nigu de ls teriores (8 A - B - C 8 D 0

16 (9 0, ( A B 0 C 0 D (0 ( ( ( A 00 B 00 C 0 D 0 Nigu de ls teriores 0 ( A ( :? B C D Nigu de ls teriores ( (0, - : (0, - A 8 B C D

17 ( A, B, C, D, Nigu de ls teriores (, 0 0, 0, 0, 00 0, 0 A 0, B C 0 D ( y (? A y 8 0 B y 8 0 C0 y 0 D y 0 y 0 ( Si 0 etoces 0 A B C D 0

18 8 ( A -80 B C D 0 9 (8 Si 0, etoces A 0 0 B 0 C 0 D 0 0 (9 9 - A B C D (0 8 8 A B 8 C D 8 ( Pr qué vlor de se cuple l siguiete iguldd: A - B C D? 8

19 ( Se Z si N A ( B 9 C 9 D 9 ( 9 ( etoces N esigul, : ( 8 A B C D ( Si y so úeros reles o ulos, etoces ( : ( A B C D ( A 8 B C D 9

20 ( A 9 B C D ( L epresió ( es equivlete : I ( II ( III ( De ests fircioes, es(s0 verdders: A Sólo I B Sólo II C Sólo III D Sólo I y II I, II y III (8 Si es u úero turl, etoces, l epresió: ( ( ( A - B - C - D (9 Si es u úero rel positivo, etoces A - B C 0 D ( ( 0

21 (0 : ( 0, A 8 B C D 8 ( (z - - z A 0z B z C z 8 D0 z ( Al rciolizr l frcció A ( B ( C ( se otiee: D Nigu dels teriores ( Se fir que dos cudriláteros que tiee: I Sus ldos respectivete igules so cogruetes II Sus águlos respectivete proporcioles, so seejtes III Sus ldos respectivete proporcioles, so seejtes. Etoces, de ests fircioes es(so verdder(s: A sólo I B solo II C II y III D Tods Nigu de ls teriores

22 ( Los rectágulos APQR y ABCD so seejtes e l rzó :. etoces sus áres está e l rzó: A : B : C : 9 D 9 : : ( Si ls edids de los ctetos de u triágulo rectágulo está e l rzó : y su áre es c, etoces l hipoteus ide: A B C 0c D0 0 c c c c ( E el triágulo ABC, rectágulo e C, I (p q pq II q p De ests fircioes es(so verdder(s: A Sólo I B Sólo II C Sólo III D I y II I y III c h c e relció co esto se fir que: III p q ( Si el áre de u triágulo equilátero ide, etoces su ldo ide: A B 0 C 00 D 0 0 (8 Si ls edids de los ctetos de u triágulo rectágulo está e l rzó : y su hipoteus es 0, etoces su áre ide: A 0 C D B 0

23 (9 Si, etoces ( A 0 B C D 9 (0 ( A B C D No es u úero rel ( A B C D ( Cuál(es de los siguietes úeros es(so rel(es? A Sólo I B Sólo II C Sólo I y II D Sólo II y III Niguo de ellos ( A B C 0 D 0 I II III 9

24 RESPUESTAS C B D C E A A D A A D B B C A E C 8A 8A 9C 9C 0E 0C Ptricio Figuero Cel.: 8 90 e-il: pfiguero@tetics.cl sitio we:

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