posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
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- Belén Salas Coronel
- hace 6 años
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1 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios ATEÁTIAS BÁSIAS TEOREA DEL BINOIO ONEPTO DEL TEOREA DEL BINOIO El teore del ioio, tié lldo ioio de Newto, epres l eési poteci de u ioio coo u polioio. El desrrollo del ioio ( ) posee sigulr iportci que prece co uch frecueci e teátics posee diverss pliccioes e otrs áres del coociieto. FÓRULA GENERAL DEL BINOIO Se u ioio de l for ( ). Si este ioio se le ultiplic sucesivete por si iso se otiee ls siguietes potecis: De lo terior, se preci que: ) El desrrollo de ( ) ( ) ( )( ) veces ( ) ( )( )( ) veces ( ) ( ) ( ) veces ( ) ( ) ( ) 0 0 veces ( ) ( ) ( ) 0 veces ( ) tiee térios ) Ls potecis de epiez co e el prier tério v disiuedo e cd tério, hst cero e el últio c) Ls potecis de epiez co epoete cero e el prier tério v uetdo e uo co cd tério, hst e el últio. d) Pr cd tério l su de los epoetes de es. e) El coeficiete del prier tério es uo el del segudo es. f) El coeficiete de u tério culquier es igul l producto del coeficiete del tério terior por el epoete de dividido etre el úero que idic el orde de ese tério. g) Los térios que equidist de los etreos tiee coeficietes igules.
2 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios Ejeplo. 0 0 es 0 0 Aplicdo ls cosidercioes epuests e los icisos pr el cso geerl se tiee: ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Ahor, si se itroduce l otció fctoril, l fórul del ioio puede escriirse sí: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Ejeplo. Oteer el desrrollo de ( ) Solució. Hciedo Aplicdo l fórul se tiee: ( ) ( ) ( ) ( ) EL R-ÉSIO TERINO DEL DESARROLLO BINOIAL E el desrrollo ioil: ( ) ( )( ) ( ) ( ) si se decide llr u terio culquier del desrrollo coo r-ésio terio, etoces se ecuetr que: El epoete del tério del ioio es: r r r El deoidor del coeficiete es: ( r ) r El epoete del tério del ioio es: El uerdor del coeficiete es:
3 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios E cosecueci el r-ésio terio de l epsió de ( ( )( ) ( r ) ( r ) ) es: r r Ejeplo. Ecotrr el quito tério del desrrollo ( ) Solució.,,, r, plicdo l epresió: ( ) 9,7 TEOREA DEL BINOIO EXPRESADO A TRAVÉS DE OBINAIONES El desrrollo de l epresió ( ) tié se puede oteer plicdo l teorí del álisis coitorio. Si se ultiplic el ioio por si iso de for reiterd se otiee: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Puede oservrse que el úero de térios o sudos de ( ) es ocho es el dole que el de ( ), que los térios se otiee ñdiedo l fil de los cutro u o u. Por su prte, el úero de térios de ( ) es, que se ñde l fil de cd uo de los ocho térios de ( ) u o u. De for siilr, pr oteer ( ), se procederí de l is er, prtiedo de otedrí térios. se Por ejeplo, los térios del desrrollo ( ) puede oteerse trvés de u digr de árol: () () () ()
4 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios Si se su los térios de cd colu, se otiee respectivete los desrrollos pr,. d tério se otiee de l colu terior ñdiedo l fil l letr o l letr. oo ls letrs que prece está ultiplicdo etre sí, l secueci (por ejeplo) o es otr cos que, por tto, es igul ls secuecis,. Lo que se tiee que ecotrr es cuáts veces prece, cuáts, cuáts, cuáts, cuáts? A fi de deterir esto, se plicrá el cocepto de coicioes tes epuesto. oo se defiiero, ls coicioes de p eleetos todos de q e q, so ls posiles fors de hcer rreglos de q eleetos, escogiédolos de u cojuto de p eleetos, co p q <, de odo que dos de esos rreglos so distitos sólo si tiee lgú eleeto diferete (es decir, si tiee los isos q eleetos, uque esté colocdos e diferete orde, se cosider el iso grupo). Por ejeplo, pr clculr, se dee forr grupos de dos eleetos, escogiédolos de etre cutro eleetos ddos. Supoiedo que los eleetos está uerdos del l. Etoces los grupos de dos eleetos será: {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}. Regresdo l desrrollo de, los térios co dos puede teerls situds e los lugres º º, º º, º º, º º, º º, º º (o h distició etre el cso º º el cso º º). Por tto el tério co dos del desrrollo de, es decir, el tério, prece u úero de veces igul l úero. De igul odo, los térios de co u prece u úero de veces igul. Siguiedo el iso rzoieto se tiee que: De cuerdo lo terior, se puede llegr u geerlizció del desrrollo del ioio: 0 que e for codesd se puede escriir coo: 0 k k k k que es el teore del ioio epresdo trvés de coicioes.
5 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios Pr ecotrr el r-ésio tério del desrrollo se plic l siguiete epresió: Ejeplo. r Aplicdo el ioio de Newto desrrollr Solució: ( ) Ejeplo. r k k k 0k 0 0 ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) 0 r 0 Oteer el curto tério de l epresió 0 Solució. Sustituedo 0, r : ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( 8) 7 7 ( ) 0 ( 7 ) TRIÁNGULO DE PASAL El triágulo de Pscl es u esque trigulr de úeros e cuo vértice h u uo que correspode. E el segudo regló h dos úeros uo que correspoderá los coeficietes de 0 ( ) respectivete. L fil siguiete se otiee sudo los dos úeros ieditos él e l fil precedete luego se le greg u uo cd etreo de l fil. Después, se efectú u relció etre los úeros del triágulo de Pscl l su de ls potecis de, de for que los coeficietes se sig e el iso orde e que prece. Gráficete esto es:
6 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por ejeplo, pr ecotrr los coeficietes del desrrollo correspodiete, tl coo se uestr e l siguiete figur:, se le plic los fctores de l fil Ejeplo. Aplicr el triágulo de Pscl pr desrrollr Solució. Aplicdo los coeficietes respectivos se tiee: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 9 8, 80, 0, 7770, 9, 8, TEOREA DEL BINOIO ON EXPONENTES NEGATIVOS O FRAIONARIOS L fórul geerl pr desrrollr el ioio ( epoete se frcciorio o egtivo, siepre que se cupl que ) tié es plicle e el cso de que el > > 0.
7 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios 7 Pr el cso de que el epoete se frcciorio, el desrrollo preset l siguiete for: Por su prte, si el epoete es egtivo, el desrrollo posee l siguiete for: Nótese coo e este cso, los sigos de los térios se lter. Se preci coo pr os csos, el desrrollo posee u úero ifiito de térios. Ejeplo. Oteer los seis prieros térios del desrrollo Solució ,, ,,, Ejeplo. Oteer los siete prieros térios del desrrollo Solució ÁLULO DE RAÍES POR EDIO DEL BINOIO U de ls pliccioes que tiee el desrrollo del ioio es que puede etrerse ríces cosiderdo que. Esto es:
8 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pr clculr l ríz eési de u úero culquier, se descopoe el úero e dos sudos, de for tl que el priero se l or poteci perfect del orde de l ríz posteriorete se epres coo fctor coú. Ejeplos. lculr de for proid ls siguietes ríces: ) 0 Solució. 0 ( ) ( )( ) ( ) ) 0 Solució ( ) ( )( ) ( ) (.0779).88 Nótese coo los térios cd vez so ás pequeños, sí que pr fies prácticos, st co clculr los priero cutro térios pr teer u proició rzole de l ríz uscd. ) 0 Solució. 0 ( ) ( )
9 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios INTERÉS SIPLE E INTERÉS OPUESTO U iterés es u eeficio que se otiee l prestr u ctidd de diero, cpitl, durte u cierto tiepo. Es decir, el iterés es l difereci etre el oto fil el cpitl iicil. Se ll ts de iterés o rédito l tto por cieto l que está ivertido u cpitl e u uidd de tiepo (por lo geerl se to coo uidd de tiepo el ño). L ts ul de iterés se represet por i se epres coo u porcetje (%, por ejeplo) o coo su equivlete e for decil (0.0). E los cálculos orlete se utiliz est últi epresió, uque l iforció se trsit e for de tto por cieto. Iterés siple es el que se otiee cudo los itereses producidos, durte todo el tiepo que dure u iversió, se dee úicete l cpitl iicil (los itereses se retir). Iterés copuesto es el que se otiee cudo l cpitl se le su periódicete (e geerl, los periodos so ules) los itereses producidos. Así, l fil de cd periodo, el cpitl que se tiee es el cpitl terior ás los itereses producidos por ese cpitl e dicho periodo (los itereses se reivierte). Fórul del iterés siple El iterés o rédito R que produce u cpitl es directete proporciol l cpitl iicil, l tiepo t (e ños) l ts de iterés i (e decil) : R i t Ejeplos. ) lculr cuáto sciede el iterés siple producido por u cpitl de $0,000 ivertido durte ños u ts del % ul. Solució $, 000 R 0, ) lculr el iterés siple producido por $0,000 durte 90 dís u ts de iterés ul del %. Solució El ño crio posee 0 dís, sí que: R 0,000( 0.0) $ 0 ) Al co de u ño, u co h igresdo e u cuet de horro, e cocepto de itereses $,00. L ts de iterés de es cuet de horro es del %. uál es el sldo edio (cpitl) de dich cuet e ese ño? Solució. Sustituedo:,00 ( 0.0) Despejdo el cpitl:,00 ( 0.0) 0,000 ) U présto de $0,000 se covierte l co de u ño e $8,000. uál es l ts de iterés cord? Solució. Los itereses h scedido : $ 8,000 $0,000 $8, 000 Sustituedo: 8,000 0,000( i) 9
10 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios Despejdo l ts de iterés: i 8,000 0, % ) U cpitl de $0,000 ivertido u ts de iterés del % durte u cierto tiepo, h supuesto uos itereses de $9,000. uáto tiepo h estdo ivertido? Solució. Sustituedo: 9,000 0,000( 0.0)( t) Despejdo el tiepo: Fórul del iterés copuesto 9,000 t ños 8 eses ( 0,000)( 0.0) Se u cpitl ivertido durte ños u ts i de iterés copuesto por cd ño. Durte el prier ño el cpitl produce u iterés ( i) i Después del segudo ño, el oto fil i, por tto, el oto fil será: produce u iterés ( i) i ( i i ) será: i i i i i i i i, por lo tto, el oto Prosiguiedo de for álog, se puede cocluir que l co de ños el cpitl iicil, ivertido e l odlidd de iterés copuesto se covertirá e u oto fil ( i) Nótese coo es u cso prticulr del teore del ioio. Auque l fórul del iterés copuesto se dedujo pr u ts de iterés ul durte ños, es tié válid si los periodos de coversió (cpitlizció), so seestres, triestres, dís, etc., sólo que se tiee que covertir éstos ños. Por ejeplo: Si los periodos de coversió so seestrles, l epresió es: Si los periodos de coversió so cutriestrles, l epresió es: Si los periodos de coversió so triestrles, l epresió es: L ts de iterés se ecuetr despejdo de : i i i i, esto es: ( ) i i i El cpitl iicil se hll despejdo e l fórul origil, esto es: 0
11 Fcultd de otdurí Adiistrció. UNA Teore del ioio Autor: Dr. José uel Becerr Espios ( i) Por su prte, el tiepo de iversió tié se otiee despejdo e l fórul origil, utilizdo ls propieddes de los logritos, esto es: ( i) log log log ( i) log0 log log Ejeplos. 0 log 0 log 0 ( i) log0 log 0 log ( i) ) Deterir el oto que se otedrá de u cpitl de $0,000 después de ños u ts de iterés copuesto ul del %. Solució. ( 00. ) , (. ) $ 9, ,. ) lculr l ts de iterés copuesto ul que se h plicdo u cpitl de $90,000 pr que l fil de ños se h covertido e $,000. Solució., 000 i % 90000, ) U cierto cpitl ivertido durte 8 ños u ts de iterés copuesto ul del % se h covertido e $ 000,000. lculr el cpitl iicil, siedo que los itereses se h pgdo seestrlete. Solució. i De l epresió se despej : '000, ,9. 8 i 0. ) U perso solicitó u présto crio de $0,000 pr coprr u utoóvil u ts de %. Si o se efectuó igú pgo, clculr el tiepo que trscurrió pr que su deud se trsforr e $70,000. Solució. log log0 log070000, log00000, ños log ( i) log ( 0. ) 0 0
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