22 CAPÍTULO 2: POTENCIAS Y RAÍCES. Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas: 3º A de ESO 1. OPERACIONES CON POTENCIAS

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1 CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES. Mteátics orietds ls eseñzs plicds: º A de ESO. OPERACIONES CON POTENCIAS Recuerd que l poteci de bse u úero turl y epoete turl es u producto de fctores igules l bse: =... fctores... ( > 0) El fctor que se repite es l bse y el úero de veces que se repite es el epoete. Al resultdo se le ll poteci. Y cooces ls propieddes de ls opercioes co potecis, que vos repsr. E este cpítulo vereos que si el epoete o si l bse es u úero egtivo o frcciorio, ess propieddes se tiee... Producto de potecis Co l is bse El producto de potecis de l is bse es otr poteci co l is bse y de = () = pr () = ipr 0 = 0 epoete, l su de los epoetes: b b b p = b ++p = () () () () = () +(-) + +(-) = () = /() = /- Co el iso epoete El producto de potecis co el iso epoete es otr poteci cuy bse se clcul ultiplicdo ls bses, elevd l iso epoete: b c = ( b c) () () () () = [() () () ()] = (+0) = 00.. Cociete de potecis Co l is bse El cociete etre dos poteci de l is bse es otr poteci co l is bse y su epoete se clcul restdo los epoetes: c : c = c - () : () = () = () Co el iso epoete Pr dividir potecis co el iso epoete, se divide ls bses y el resultdo se elev l iso epoete: b b 8 : = (8/) = () : () = (/) Recuerd: 0 = Potecis de epoete etero egtivo U poteci de bse rel 0, y epoete turl < 0 es el iverso de l is co epoete positivo: L epresió puede ser el resultdo de dividir dos potecis de l is bse, y que: : y = y si < y (y) < 0. : 8 = 8 = = /.. Poteci de u producto L poteci de u producto puede clculrse relizdo priero el producto y elevdo el resultdo dich poteci o bie, elevdo cd uo de los fctores dich poteci y relizdo después el producto: ( b c d) = b c d [() (+) ()] = (+0) = +000 = () (+) () = (8) (+) ()= Poteci de u cociete L poteci de u cociete puede clculrse efectudo priero el cociete y elevdo el resultdo dich poteci, o bie elevr dividedo y divisor l poteci y después efectur el cociete: ( : b) = : b [( ) : ()] = (/) = (,) = +, = () : () = : =, Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

2 .. Poteci de otr poteci Al elevr u poteci otr poteci obteeos u poteci co l is bse y cuyo epoete es el producto de los epoetes: ((d) ) = d ((-) ) = (-) = (-) 8 Actividdes resuelts Se cuet que el ivetor del jedrez se lo ostró l rey Shirh de l Idi, que se etusisó tto que le ofreció reglrle lo que quisier. El ivetor pidió u gro de trigo pr l prier csill, dos pr l segud, pr l tercer, y sí duplicdo l ctidd e cd csill. Cuátos gros de trigo hbrí que poer e l últi csill, e l? Observos que el úero de gros de trigo de l csill es - por lo que debeos clculr. Clculos =. Luego: ( ) = = (( ) ) = 8 = = ((( ) ) ) = ( 8 ) = = = (((( ) ) ) ) = ( ) = = = 999 ((((( ) ) ) ) ) = ( ) = = = 8009 Y hor, pr clculr podeos dividir potecis de l is bse: = / = gros de trigo, u úero eore y difícil de ejr. Pr clculr el úero totl de gros de trigo observos que l su de gros hst l csill es por lo que etoces debeos clculr, que estido 00 gros por kg d poco ás de billoes de T y eso correspode l producció udil de 8 ños. Iposible que el rey tuvier tto trigo!. Deteri el sigo de ls potecis: ) () 9 b) () c) () d) (8). Epres e for de u úic poteci: ) () () () () b) () () () () (). Epres e for de poteci: ) () () () (). Epres e for de poteci: ) (8) 9 : (8) b) () : (). Epres e for de poteci: ) (+) : () b) () 8 : ( 8) 8. Epres e for de poteci: ) (() ) b) (() ). POTENCIA DE BASE RACIONAL L poteci de u úero rciol es otro úero rciol cuyo uerdor y deoidor qued elevdos dich poteci: b b.. Potecis de bse rciol y epoete egtivo El resultdo de elevr u úero rciol u poteci egtiv es otr poteci cuy bse es el úero rciol iverso, elevdo l iso epoete, positivo: b b (/9) = (9/).. Producto de potecis de bse rciol Se tiee ls propieddes de ls potecis de bse u úero turl. Co l is bse El resultdo de ultiplicr potecis co l is bse es otr poteci co l is bse y epoete l su de los epoetes: (/b) (/b) (/b) p = (/b) ++p (/) (/) (/) - (/) = (/) ++(-)+ = (/) Co el iso epoete El resultdo de ultiplicr potecis co el iso epoete es otr poteci cuy bse es el producto de ls bses, elevd l iso epoete: (/b) (c/d) (e/f) = [(/b) (c/d) (e/f)] (/) (/) (/) = [(/) (/) (/)] = (/0) = (/0) Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

3 . Clcul: ) (/) b) (/) c)(/) d) (/) 8. Epres coo úic poteci: ) (/) (/) ((/) 8 b) (/8) (/8) (/8) 9. Epres coo úic poteci: ) (/) (/) (/) b) (/) (/8) (/).. Cociete de potecis de bse rciol Co l is bse El resultdo de dividir potecis co l is bse es otr poteci co l is bse y el epoete l difereci de los epoetes: (/b) : (/b) = (/b) (/) : (/) = (/) = (/) Co el iso epoete El resultdo de dividir potecis co el iso epoete es otr poteci cuy bse es el cociete de ls bses, elevd l iso epoete: (/b) : (c/d) = [(/b) : (c/d)] (/) : (/8) = [(/) : (/8)] = (/8) = (/) = (/).. Opercioes cobids co potecis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) ( ) ( ) 0 Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF 0 0. Clcul: ) (/) : (/) b) (/8) : (/8). Clcul: ) (/) : (/9) b) () : (-/9). Clcul: ) ( ) b) 8 8 ( ) = 0.. NOTACIÓN CIENTÍFICA.. Epresioes e otció cietífic U úero epresdo e otció cietífic está fordo por u úero decil cuy prte eter está etre y 9, ultiplicdo por0, siedo u úero etero positivo o egtivo. 0 siedo 9 Si el epoete es positivo se utiliz pr epresr úeros grdes y si el epoete es egtivo pr epresr úeros pequeños =, 0 0, =, 0 Actividdes resuelts E l leyed del jedrez utilizos úeros uy grdes. Si o os iteres tt proició sio hceros u ide úicete de los grdes que so, podeos usr l otció cietífic. U proició pr el úero de gros de trigo de l csill es 9 0 8, co lo que os hceos u ide ejor de lo eore que es que co el úero: que d u poco de reo. Escribe e otció cietífic:, y =, 0 = 999 = 0 9 = 8009 =, Opercioes co otció cietífic Su o difereci Pr relizr sus y rests, co epresioes e otció cietífic, se trsfor cd epresió decil de er que se igule los epoetes de 0 e cd uo de los térios

4 Pr clculr 0 8 +, 0, 0 epresos todos los sudos co l is poteci de 0, eligiedo l eor, e este cso 0 : , 0 Scos fctor coú: 0 (000 +,) = 0, 0 =,0 0 8 Producto El producto de epresioes e otció cietífic es el resultdo de ultiplicr los úeros deciles y sur los epoetes de bse 0., 0, 0 = (,,) 0 + =, 0 Cociete El cociete de dos epresioes e otció cietífic es el resultdo de dividir los úeros deciles y restr los epoetes de bse 0., 0 9 : 0 = (, : ) 0 9 =, 0 Actividdes resuelts Pr hcer el cociete pr clculr dividiedo etre e otció cietífic: = / =,8 0 9 / = 0,9 0 9 = Us l clculdor Ls clculdors utiliz l otció cietífic. Muchs clculdors pr escribir escribe 9e+8.. Utiliz tu clculdor pr obteer, y y observ cóo d el resultdo.. Utiliz l clculdor pr obteer tu edd e segudos e otció cietífic.. Efectú ls opercioes e otció cietífic: ) 0,000 +, 0 b) , 0 + 8, 0. Efectú ls opercioes e otció cietífic: ) (, 0 ) (, 0 ) b) (, 0 8 ) ( 0 ) (, 0 ). Efectú ls opercioes e otció cietífic: ) ( 0 8 ) : (, 0 ) b) (, 0 ) ( 0 ) : (, 0 ) 8. Se esti que el volue del gu de los océos es de k y el volue de gu dulce es de k. Escribe ess ctiddes e otció cietífic y clcul l proporció de gu dulce. 9. Se sbe que e u átoo de hidrógeo el úcleo costituye el 99 % de l s, y que l s de u electró es proidete de 9,09 0 kg. Qué s tiee el úcleo de u átoo de hidrógeo? (Recuerd: U átoo de hidrógeo está fordo por el úcleo, co u protó, y por u úico electró) 0. A Ju le h hecho u álisis de sgre y tiee illoes de glóbulos rojos e cd. Escribe e otció cietífic el úero proido de glóbulos rojos que tiee Ju estido que tiee litros de sgre.. RADICALES.. Rdicles de ídice culquier L ríz eési de u úero es u úero que l elevrlo, d coo resultdo. =. L ríz cudrd de u úero rel o egtivo es u úico úero o egtivo que elevdo l cudrdo os de :, 0, 0. Observció No cofuds resolver u ecució, = 9, que tiee dos ríces, y, co clculr u ríz, coo 9 que es úicete. Recuerd: = ídice de l ríz = rdicdo = ríz Observ que o eiste e el cpo rel. Nigú úero rel l elevrlo l cudrdo d u úero egtivo. Sólo podeos clculr ríces de epoete pr de úeros positivos. Si ebrgo =, pues ( ) ( ) ( ) Igi que lío t horrible serí clculr si el resultdo pudier ser: + + =, o bie, = 0, o bie + =, o bie + = =. Actividdes resuelts Cuáto ide el ldo de u hbitció cudrd ebldosd co bldoss de cudrds de c de ldo? Cd ldo tedrá = bldoss, que ide c, luego edirá = 00 c = de lrgo. E u depósito cúbico cbe 000 cubos de d, cuáto ide su rist? Y si cbe cubos? Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

5 Clculos 000 = 0. L rist ide 0 d. Clculos hor =. L rist ide d porque =. Clcul ; 8 ; ; 000. Ls ríces de rdicdo egtivo e ídice ipr, si eiste: = ; 8 = ; = ; 000 = 0... Potecis de epoete frcciorio Se defie coo : Por tto, l poteci del rdicdo. / = = puede epresrse e for de rdicl, de er que será el ídice de l ríz y el epoete = Ls propieddes de ls potecis de epoete frcciorio coicide co ls de ls potecis de epoete u úero turl. Actividdes resuelts Siplific los rdicles 0, usdo potecis de epoete frcciorio. Escribios el rdicl coo poteci de epoete frcciorio y siplificos ls frccioes: 0 Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF 8. Clcul 8 y 000 fctorizdo previete los rdicdos Clcul 0, ; y.. Etrcció de fctores de u rdicl Teeos 8 = co >, pr etrer fctores de l ríz relizos el cociete: dividido etre tiee de cociete p y de resto r: = p + r. El resultdo es 0 0, = pr r p pr = Si >, = = p r. p r. = = =. Clcul tods ls solucioes: ) b) 8 c) 0000 d) e). Epres e for de rdicl: ) () / b) 8 / c) /. Etre los fctores posibles e cd rdicl: ) b b) c) 9

6 .. Opercioes co rdicles Coo los rdicles se puede escribir coo potecis, tiee ls propieddes que y cooces de ls potecis.... Ríz de u producto L ríz de u producto es igul l producto de ls ríces de los fctores: y z y z 8 = 8 = =... Ríz de u cociete L ríz de u cociete es igul l cociete de l ríz del dividedo y l ríz del divisor: y y =... Ríz de u ríz L ríz de u ríz es igul otr ríz co el iso rdicdo y cuyo ídice es el producto de los ídices... Opercioes cobids / y / = y y. Epres e for de producto o de cociete: ) b b) c). Epres e for de úic ríz: ) 8 b). Epres e for de poteci: ). Siplific l epresió: ) b) b) Recuerd Hy opercioes co rdicles que NO está peritids. 0 = 00 = que es distito de: + = 8 + =. d) y Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

7 8 Producto y cociete de potecis Poteci de u producto y de u cociete Poteci de otr poteci Poteci de bse rciol Poteci de epoete egtivo Notció cietífic: opercioes Rdicles: ríces de ídice culquier Potecis de epoete rciol Etrcció de fctores de u rdicl Opercioes co rdicles RESUMEN POTENCIAS Y RAÍCES E el producto de potecis co l is bse se su los epoetes. E el cociete se rest los epoetes Co el iso epoete: E el producto, se ultiplic ls bses y se elev el resultdo l iso epoete. E el cociete se divide ls bses y se elev el resultdo l iso epoete L poteci de u producto es igul l producto de cd uo de los fctores elevdos dich poteci ( b c d) = b c d L poteci de u cociete es igul l cociete del dividedo y el divisor elevdos dich poteci: c : c = c - 0 siedo 9. + pr grdes úeros pr pequeños úeros Ejeplos () () = () : = = () : () =( /) ( ) = (/) = /() ((d) ) = d (() ) = () (/b) = /b (/) = / = / 8 = /8 9 ; ; ; 8 ; U poteci co epoete rciol puede epresrse e for de ríz cuyo ídice es el deoidor del epoete y el rdicdo qued elevdo l uerdor del epoete: Si = c+ r etoces y z y z ; c r =, 0 8 0, = / = y y 8 = = EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Potecis. Epres e for de úic poteci: ) ( -) () b) () () 8 () c) () () d) () () ( ) e) (9) f) (8) : () g) ( ) : () h) () : (). Epres e for de úic poteci: ) () b) [() : (-)] ( ) () c) [ () ] : [() 8 () ] 9 9 : 9 Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

8 9 d) () (0) : () :. Epres e for de poteci de epoete positivo: () b) (9) c) () : () 9 d) () () : (). Epres e for de úic poteci: (() ) b) ((-) - ) c) ((-) ) d) (() ) /. Epres e for de úic poteci: (/) b) ( /9) c) (/) d) (/). Epres e for de úic poteci: ) (/) ( /) (/) b) (/) (/) (/) c) (/) : (/) d) ( /9) : (/9) e) ((/) ) f) ((/) ). Epres e for de úic poteci: ) ( /) (/) (/9) (/) (/) (/) (/) (/) b) ((/) ) / ( /) / c) ( /) / (/) / ( /) / (/8) : (/) 8. Epres e for de otció cietífic: ) b) 800 c) d) 0,00000 e) f) 0, g) 0,009 h) 0, Busc iforció epresd e otció cietífic sobre: ) L distci etre l Tierr y l Lu b) Uidd de s tóic c) K que correspode u ño luz d) U gúgol d) L logitud de od de los ryos cósicos 0. Reliz ls opercioes y epres el resultdo e otció cietífic: ) 0 +, 0, 0 0 b), 0, c) 0, 0 d),8 0 : 0 8. L estrell Sirio está uos 8, ños luz de uestro plet. Epres e etros, edite otció cietífic l distci que recorrerí u ve espcil que relizr u tryecto de id y vuelt Sirio. (Recuerd: U ño luz, l logitud que recorre l luz e u ño, es proidete igul 9, 0 k ( ,8 k co ás proició)). L s de u electró e reposo se esti e 9, 0 - kg, l de u protó es de, 0 kg, y l de u eutró, 0 kg. Clcul l s de u átoo de crboo (C ) fordo por seis protoes, seis electroes y + = 8 eutroes. (El C es u isótopo que tiee dos eutroes ás que el crboo orl y que se utiliz pr dtr).. Clcul y epres e otció cietífic: ) 0, , 0, 0 b) 0,8 0 0 c) 0 0 +, 0 d) 0 (,) 0 +, 0, 0, 0, 0 0. Epres el resultdo de est operció e otció cietífic: ) b) 0,0 0 0, 0. Se esti que eiste 0 illoes de bcteris e u gro de tierr. Epres e otció cietífic de for proid el úero de bcteris que eiste e uos cioes que está descrgdo 0 toelds étrics de re e u ply.. Si = 0000; y = 0,0008; z =, 0 : Clcul y epres e otció cietífic ) y b) + y 0 c) y. Arquíedes, e su trtdo El rerio cuet u er pr epresr úeros uy grdes, coo el úero de gros de re que hy e tod l Tierr. Vos estirlos hor por otro procediieto. Estios cuátos gros de re ecesitos pr teer u gro de re. Te prece que 0 gros de re. Se esti que l s de l Tierr es de: M T = g = 98 0 g Clcul de for proid el úero de gros de re que hy e tod l Tierr. 8. Veos e Iteret que l s de Mrte es de 9E kg, que l s de Júpiter es de,898e kg, y que l s de l Tierr es de,9e kg. ) Clcul cuáts veces cbrí l Tierr e el plet Júpiter. b) Clcul l relció etre l s de l Tierr y l de Mrte. Ríces 9. Clcul: ) 00 b) 0, 008 c) d) e) 0, 9 0. Clcul: ), 0 b) 0, 0000 c) 0000, 0 d). Epres e for de ríz: ) () / b) / c) () / d) () / Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF

9 0. Epres e for de poteci: ) b). Etre los fctores posibles de estos rdicles: ( ) c) ) 0 b) 9 c) y d). Etre los fctores posibles de estos rdicles: b c b) ). Siplific: ) c) : 8 b) c) 8 0 d) y 8 y d) ( 0) d) Mteátics orietds ls eseñzs plicds. º A de ESO. Cpítulo : Potecis y ríces Revisor: Sergio Herádez Ilustrcioes: Bco de Iágees de INTEF :. Epres e for de producto: ) 0 b) c) 8 9 d) 8 b c. Epres e for de cociete: ) b) c) 9 d) 8. Epres e for de úic ríz: ) 8 b) 0 c) 9000 d) 9. Siplific ls opercioes: ) 0. Siplific ls opercioes: ) b) : b). Siplific ls opercioes: ) : c) 0 c) 8 : d) 0 : ( ) ( ) b) 0 d) : AUTOEVALUACIÓN. El resultdo de ls opercioes siguietes es: () (-) - () y () : () ) y b) / y c) / y. El resultdo de ls opercioes siguietes es: () () () y (-8) : () ) (0) y () b) 0 y (8/) c) 0 y (). El resultdo de ls opercioes siguietes es: (() ) ; (() ) y (() / ) ) () ; () y () 8/ b) ; () y c) () ; () y (). El resultdo de ls opercioes siguietes es: (8) - ; () - y (0 ) - ) /; / y /0 0 b)/8 ; - / y /0 0. El resultdo de ls opercioes siguietes es: ( /) ; (-/) - y (- /) ) / ; / y - / b) / ; y /. El resultdo de ls opercioes siguietes es: (/) (/) (/) - ) b) / c) / d) (/) (/). Ls epresioes, 0 8 y 0, correspode : ) y 9, 0-0 b) y 9, 0-0 c) y 9, El resultdo de est operció es: (0, , 0 - ), 0 ), b) 0, c) 0, d) 0, 9. El resultdo de ls opercioes siguietes es: ; y ),, b),, c),, 0. Ls siguietes epresioes correspode : () / ; () / y () / ) ; y c) c) ( ) : ( ) b) ; y. El resultdo de etrer fctores de estos rdicles es: y ) ( ) y b) ( ) y 0 0 c) ( ). Ls opercioes siguietes : y 8 puede epresrse: ) y 9 8 b) y 8 c) y 9 8 ; y y (-) (-)