UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR

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1 CEPREUNF CICLO REGULAR SEMANA 06 Curso: teátic TEMA: FACTORIZACION MCM MCD- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA-REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. Solució:. Se u polioio o costte co coeficietes reles. Si eiste polioios o costtes, co coeficietes reles tles que etoces decios que es fctorizle e el cojuto de los úeros reles Ejeplo: Coo X X X ( X ), etoces decios que X ( X ) es u fctorizció de X X Not: Se u polioio o costte co coeficietes reles; si o eiste polioios o costtes co coeficietes reles tles que, etoces decios que o es fctorizle e el cojuto de los úeros reles. Fctorizció de Trioios por étodo del sp siple solo pr trioios de l for X el trioio se descopoe: X C ; e l que 1º tério: e dos fctores que de resultdo l prier tério. º tério: e dos fctores que de resultdo l tercer tério. - Puesto que el usr el étodo del sp; de l siguiete er (ejeplo): te resulte el segudo tério: 8 - -: Etoces los descopoeos: Fctorizció por fctor coú L fctorizció de polioios por fctor coú cosiste ásicete e l plicció de l propiedd distriutiv de l ultiplicció co respecto l dició. Ejeplo: Fctorice: - Filete foros l fctorizció: (4-)(+1) c) Trioio de l for ++c; Se difereci del trioio cudrdo perfecto porque el prier tério puede teer por coeficiete u úero diferete de 1. Pr resolverlo: - Sipleete todo el trioio por el coeficiete del prier tério, covirtiédose e u trioio de l for: ++c Solució: se divide por el iso coeficiete; fctorizos el tério del uerdor se siplific del deoidor. * Polioio prio o irreductile: Se le ll l polioio que o puede descopoerse. Fctorizció por grupció Ddo u polioio e el cul o eiste u fctor coú o costte todos los sudos que lo copoe, e lguos csos es posile oteer l fctorizció de dicho polioio, relizdo u "grupció coveiete" de quellos sudos que posee u fctor coú. Ejeplo: Fctorice: * Trioio por su rest (quit po): E este cso se itet trsforr u epresió (ioio o trioio). E otrs plrs este étodo se s e lo siguiete: Si u epresió; se le su se le rest u is epresió, l epresió iicil o vrí. Ejeplo: - Resolviedo est epresió; os quedrí: cudrdos; result: Epledo sp dole: - Aplicdo l difereci de DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis 1

2 CEPREUNF CICLO REGULAR Este étodo sirve pr fctorizr epresioes de l siguiete for: - Los fctores coues co su eos epoete so: = 6 ; siedo este el M.C.D * Ejeplo: E este cso coteplos el polioio co 0 pr plicr pr el sp dole. * MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M): E vrios úeros epresioes lgerics es l siguiete: - Al igul que el terior; se fctoriz ésts epresioes el M.C.M se for co los fctores coues o coues su or epoete. CUESTIONARIO Respuest: (4 + + )( + ) Epledo el étodo de los divisores ioios: E este étodo, pr fctorizr u polioio que se supoe result de ultiplicr etre sí vrios ioios de l for ±, ±, ±c, etc., se usc sus divisores, plicdo l propiedd del residuo de l divisió, se idic el producto de todos los fctores sí hlldos. - Si el polioio tiee coo prier coeficiete l uidd, los posiles ceros, estrá ddos por los divisores del tério idepediete co su dole sigo. * Procediieto pr fctorizr: 1º Deterir los ceros del polioio. º Luego; deeos deducir el fctor que d lugr l cero del polioio, edite el siguiete teore de l divisiilidd lgeric: Si el polioio P(X) se ul pr = ó P() = 0, etoces dicho tedrá u fctor (-). º Filete el otro fctor lo deterios usdo el étodo de RufiI, que se h de epler tts veces coo ceros teg el polioio, por lo geerl se recoied llevrlo hst u cociete decudo (curto grdo; pr poder plicr el sp dole que es secillo de fctorizr). * MAXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D): E vris epresioes lgerics; es l siguiete: - Priero se fctoriz ests epresioes el M.C.D estrá fordo por los fctores coues, elevdos su eor epoete. Ejeplo: * Hllr el M.C.D de 4 ; Priero descopoeos los coeficietes: Luego: 4 => 18 => 4 => 18 => 0=> 1. Uo de los fctores de: 1 pr = ; se covierte e: ) ) c) 7 d) 9 e) 1. L su de coeficietes de uo de los fctores lieles de : P(, ) ) ) 4 c) 6 d) 8 e) 10, es:. Hllr u fctor de: P 6 X X X 10 ) (X+1) ) (X-1) c)x- d) X- e) X 4. Cuátos fctores lieles? Cotiee l epresió: 4 E X X X 1 ) ) 4 c) 6 d) 8 e) 10. Señle u fctor de: p(,, z) z z 8 ) X-Y+Z-4 ) X+Y+Z+4 c) X-Y-Z-4 d) X+Y+Z e) X+Y El coeficiete de u tério liel de uo de los fctores prios de: P 4 X X X es? ) ) - c) 1 d) -1 e) - 7. Hllr l su de los fctores del MCM de ls epresioes: p( ) Q X X X R X X X X ) 4X+ ) 4X- c) X+4 d) X-4 e) X 8. Hllr el MCD de : => 4 DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis

3 CEPREUNF CICLO REGULAR A X X X 4 X X X X TEOREMA DE THALES Tres o ás rects prlels deteri sore dos o ás rects sectes segetos cus logitudes so proporcioles. ) X+1 ) X-1 c) X+ d) X+ e) X- AC // MN L1 // L // L 9. Hllr el T.I del cociete que result de dividir el MCM etre el MCD de: A X X 6 X X 19 0 M A N C L 1 L L )-1 ) - c) - d) -4 e) Hllr: (+); siedo que el MCD de: P Q X X X X X ; es ) ) 4 c) d) 6 e) 7 : ( ) 11. El MCM de dos polioios M ( N es: ( X es : ( X X 4X X ) 9) X ) su MCD Hllr u fctor repetido del producto del MCM ) X+ ) X- c) X+4 d) X-4 e)x+ MC TEOREMA DE MENELAO s A c D s : sec te TEOREMA DE LA ISECTRIZ INTERIOR c c c A C 1. Cuál o es u fctor de: (1 ) ( ) ) 1+ ) 1+X c) -1 d) X-1 e) +X 1. U fctor de: ( 1) ) 1- ) +1 c) + d) - e)? 1 es? 14. Cuátos fctores lieles preset l epresió? P (W Z) (X Y )(W Z) (W,X,Y,Z) 4 TEOREMA DE LA ISECTRIZ EXTERIOR c c Oservció: I: isectriz Iterior E: isectriz Eterior (X Y ) SEMEJANZA DE TRIANGULOS N ) 1 )4 c) 16 d) e)1 q c A C M DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis c E I Q

4 90º IIC 180º 180º IIIC 70º Se Cos IIC IIIC c k q REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE A l coprció etre los vlores de ls rzoes trigooétrics de u águlo de culquier edid co respecto otr cuo águlo es gudo, se deoi reducció l prier cudrte. Se preset los siguietes csos de reducció l prier cudrte: PRIMER CASO: Reducció pr águlos positivos eores de u vuelt. 90º Co 180º 70º Co 60º Pr el uso de ests regls práctics dee teer e cuet los dos spectos siguietes: Priero respecto : l edid del águlo se dee cosiderr coo u águlo gudo, uque o lo se. Segudo respecto l sigo: el sigo + ó que dee elegirse pr el segudo iero depede del cudrte suido pr el águlo reducir del operdor trigooétrico, pr ello o olvidr que se dee cosiderr águlo gudo. Y u 90º Cos 180º Cos Negtivo porque el coseo de u 90º IC X 70º IVC 60º r su ejor etediieto, seguidete citos lguos ejeplos: Positivo porque el seo de del IIC es positivo del IIIC es egtivo SEGUNDO CASO: Ls rzoes trigooétrics de u águlo o se lter porque se le sue o reste l águlo culquier últiplo de 60º ó. UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR º k.. ; k Z Ejeplos: 1 Se70º Se 60º 0º Se0º Sec100º Sec 460º 60º Sec60º E el cso se presetse rzoes trigooétrics fectdo últiplos de, coo so: Se, Cos, T, etc 6 4 Se sugiere que proced de l for siguiete: Quitrle todos los últiplos de que tiee dicho últiplo; pr ello divid el uerdor etre el dole del deoidor, esto es: 77 Pr Se PROPIEDADES se divide 77 1 Residuo reeplz l Se Se 6 6 Si 180º s supleetrios se verific: Se Se Cot Cot Cos Cos Sec Sec T T Csc Csc Si 60º, se verific: Se Se Cot Cot Cos Cos Sec Sec T T Csc Csc TERCER CASO: Idetiddes pr el rco Se Cos T Cot Sec Csc Se Cos T Cot Sec Csc PROPIEDADES k Z k k+1 Co DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis 4

5 CEPREUNF CICLO REGULAR CUESTIONARIO 1. Del gráfico, clculr. Si L1 // L // L // L 4. 60º 70º M Se A Cos A Cos A Cos ) ) - c) 1 d) 0 e) -1 ) 1 ) c) d) 4 e) A + 6. Del gráfico. Clculr. ) 6 ) c) 4 d) e) 4 R +1 L 1 L L L 4 O 9. Clculr cos0º. Ctg00º. csc1º Sec1º. se00º. tg0º ) - 1 ) ½ c) 10. Clculr d) 1 e) tg 10º. se 1º. sec 10º R Csc 10º. cos º. ctg 10º ) 1 ) - 1 c) d) - e). Clculr si: RC DO 9. D ) C ) 4 c) d) e) 1 R 4. Clcule el vlor de: Cot10º Cot80º Cot0º E Sec10º Cotº Cot6º ) ) c) d) 0 e). Reduzc l siguiete epresió: T Se Se c Cot M Cos ct7 Cos Cot O Efectur Se T 6 ) ½ ) 1 c) ½ d) e) 1. Si tg (1º - ) = Clculr Ctg (4 ) / ) - 1 ) 1 c) d) e) 1. Siplificr E 1 cos40º 1 se60º 1 cos160º 1 se40º ) 1 ) - 1 c) / d) / e) / ) 0 ) 1 c) -1 d) e) - 6. Siedo ; Z, reduzc l siguiete epresió: M Se Se Se. ) -1 ) 1 c) 0 d) e) - 7. Deterie el sigo de M, N E siedo respectivete: M Se Cos T N Cot Sec 0º T0º 9 E Se 670º Cos 6180º ) (-)(-)(-) ) (+)(+)(-) c) (+)(-)(+) d) (+)(+)(+) e) (-)(-)(+) 8. Si A so águlos supleetrios, reduzc l siguiete epresió: DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis

6 CEPREUNF CICLO REGULAR DOCENTE: Sdovl, Hugo Aleis 6