Capítulo 2 REPASO DE NÚMEROS - NÚMEROS REALES

Transcripción

1 Cpítulo REPASO DE NÚMEROS - NÚMEROS REALES Este ódulo tiee por objeto recordr y clrificr ls propieddes de ls opercioes e los cojutos uéricos que se cosider iprescidibles pr seguir delte. Al filizr el iso el luo debe ser cpz de: ) Idetificr los distitos tipos de úeros b) Aplicr correctete ls propieddes de ls opercioes. Coeceos NÚMEROS NATURALES: (N) Este cojuto de úeros, que es de crdil ifiito, prece coo su obre lo idic e for turl, ás precisete cudo el hobre ecesitó cotr objetos, por ejeplo: Los dís de l se so 7 Este cojuto, sibolizdo co l letr N, tiee coo eleetos N= { 0,1,,...,0,1,...15,153,... } y est sucesió cotiú idefiidete. Co los turles tbié se puede expresr ordeietos, por ejeplo: Si se orde los plets prtir del sol, l Tierr es el tercero y Mrte es el curto. Adeás dds dos coleccioes de objetos se puede coprr sus ctiddes L tierr tiee eos stélites que Júpiter Surge ls siguietes preguts: N tiee prier eleeto?, Cuál es? Tiee últio eleeto? Cosidereos ls dos opercioes fudetles e N, su y producto, y veos sus propieddes: 1) L su de dos úeros turles es u úero turl ) El 0 es tl que sudo co culquier otro úero o lo odific 3) Si se cosider 3 úeros turles l su de los dos prieros s el tercero result igul que si l priero se le su l su de los otros dos 4) L su de úeros turles es couttiv Ejercicios 1) Expresr sibólicete ls 4 propieddes teriorete eucids ) Eucir ls propieddes del producto de úeros turles, e leguje corriete y sibólicete 3) Cuál es l propiedd que elz l su y el producto de turles? Defiirl Orde Usul Ddos y b ε N se cuple : < b, > b ó = b 1

2 NÚMEROS ENTEROS :(Z) E Nl rest sólo está defiid si el iuedo es yor o igul l sustredo. Pr que dich operció o se t restrigid se creó el cojuto de eteros egtivos (otdo por - N) Pr ello pr cd ε N se itroduce el opuesto de, otdo - tl que + (-) = 0 Etoces Z=N U (-N) Los úeros egtivos se cosider eores que 0 e el orde usul de los eteros. A los turles se los ll eteros positivos, siedo yores o igules que 0 Iportte Cudo u úero se siboliz co letrs, por ejeplo, l preseci de u sigo - te el iso o sigific que es egtivo sio que es el opuesto de Ejercicios 1) Eucir ls propieddes de l su y el producto de úeros eteros ) Hllr todos los úeros ivertibles de Z Regl de los sigos Es POSITIVO el producto de dos eteros positivos o egtivos. Es NEGATIVO el producto de u positivo y u egtivo (E culquier orde) (+).(+) = + (+).(-) = - (-).(-) = + (-).(+) = - Ley de Mootoí Si, b y c Z y b + c b+ c Ejercicio: Probr l ley de Mootoí, justificdo clrete los psos seguidos

3 Núeros Pres e Ipres Detro del cojuto de los eteros se distigue dos subcojutos cuy uió copoe Z, ellos so el cojuto de los úeros pres y el cojuto de los úeros ipres. DEFINICIÓN: U úero etero es pr si y sólo si existe u etero k tl que = k DEFINICIÓN U úero etero es ipr si y sólo si es el siguiete de u úero pr. Por lo tto si es ipr se cuple que = k + 1, co k Z Divisibilidd Se, b Z Decios que b divide si existe u etero k tl que = k b Ejercicios 1) Hllr los divisores del 0. ) Justificdo clrete cd pso probr que + b = + c b= c 3) Íde ) + b= 0 b= Otro cocepto iportte e l teorí de Eteros es el de Núero Prio DEFINICIÓN U úero etero se dice prio si tiee exctete 4 divisores: L uidd, el propio úero y sus respectivos opuestos. 3

4 Ejercicios 1) Se A = { 0,1,,3, 4,5,6,7,8,9} Hllr los eleetos prios de A. Justificr. ) Si u úero es prio Qué se puede decir de su opuesto? 3) Hllr l descoposició e prios del úero 340 NÚMEROS RACIONALES :(Q) L operció de dividir o es siepre posible e el cojuto Z de los úeros eteros. Veos: Puede efecturse 1: 4 pues existe u etero, e este cso el etero 3, tl que 4. 3 = 1. No ocurre lo iso co 4: 1 ó - 3: 7, por lo tto est iposibilidd os coduce plir Z defiiedo u cojuto e el que l divisió se relizble e dicho cojuto. Vos defiir hor forlete este uevo cojuto que se deoi cojuto de los úeros rcioles y se siboliz co l letr Q. Q = { /,, ε Z y 0} Los úeros rcioles puede surse, restrse, ultiplicrse y dividirse y el resultdo es u úero rciol. E Q se defie l su y el producto de for que ls propieddes de ests opercioes se coserv: Ddos: c c d + bc y se defie l su + = b d b d bd c c. y el producto. = b d bd. Se dice que Ejeplos 9 3 b c y d es equivlete -3 so equivletes si y sólo si d = bc ,, So equivletes. 4

5 U operció etre rcioles o se odific si reeplzos uo de ellos por otro que se equivlete. L su tiee ls siguietes propieddes ) Ley de cierre b) Asocitiv c) Couttiv d) Existeci del eutro e) Existeci del opuesto. El producto tiee ls siguietes propieddes ) Ley de cierre b) Asocitiv c) Couttiv d) Existeci del eutro e) Existeci del iverso pr todo eleeto o ulo Y por supuesto que existe u propiedd que elz ls dos leyes de coposicioes iters y es l propiedd distributiv. Ejercicio 1) Eucir cd u de ls propieddes teriores sibólicete. ) Hllr el error e el siguiete cálculo: = + 6 pués =. Etoces = 6 y luego ( ) = 3( ) =3 3 3 Orde e Q Ddos c b d se dice: b es eor o igul que c d y se ot c b d si y sólo si d bc b es yor o igul que c d y se ot c si y sólo si d bc b d 5

6 Ejercicios 1) Order de eor yor ) Se - 4 < < ,3,, 1,,,, ) Hllr ε Z tl que se cupl lo terior b) Íde si ε Q 3) Probr que etre dos úeros rcioles distitos, hy otro rciol. NÚMEROS IRRACIONALES: (I) Si u úero o es decil excto o decil periódico, o represet u úero rciol.este tipo de úeros se ll irrcioles, o se, so quellos que o puede expresrse coo cociete de dos eteros co 0 Etre los ás coocidos figur, 3, π. NÚMEROS REALES :( R) Se ll úeros reles quellos úeros que so rcioles o irrcioles.al cojuto de todos ellos lo otreos co R. Sobre R defiios dos opercioes: Su (+) y Producto (.) de l er usul y u relció < de orde. Aliceos ls propieddes de cd u de ells. Propieddes de l su 1) L su es couttiv ) L su es socitiv. 3) Existe el eleeto eutro de l su 4) Todo úero rel tiee opuesto 6

7 Ejercicios: 1) Escribir sibólicete ls 4 propieddes teriores. ) Probr ls siguietes igulddes, resltdo ls propieddes utilizds. ) (-) = b) Si pr u ε R es + b = b b = 0 Propieddes de l ultiplicció 5) L ultiplicció es couttiv 6) L ultiplicció es socitiv 7) Existe el eleeto eutro de l ultiplicció. 8) Todo úero rel distito de cero tiee iverso Ejercicio Expresr sibólicete ls propieddes 5) 8) 9) Propiedd Distributiv Si, b, c ε R,. (b+c)=.b +.c Ejercicio 1) Probr que si 0 y b = c b = c ) b = 0 = 0 ó b = 0 3) (-1) = - Resltr ls propieddes utilizds Propieddes de orde 10) Pr todo ε R, se cuple que: < 0, = 0 ó > 0 11) Si, b ε R, > 0, b > 0 b > 0 1) Pr todo, b ε R, si < b b < 0 Ejercicios 1) Ddos, b y c ε R.Probr: ) > b + c > b + c b) > b y c > 0 c > b c c) > b y c > 0 c < b c 7

8 ) Pr todo, b ε R co > 0 y b > 0, >b <=>. > b. b Poteci de u úero rel y expoete etero Recordeos que si ε R y ε N, 0, etoces = veces Por coveció si 0, - 1 = Y que. = = = 1. Y l regl de ls potecis de igul bse sigue siedo válid. Ahor ls recordreos. Propiedd de ls potecis Se, b ε R y ε Z. (.b) =.b (:b) = : b Es decir: L poteci es distributiv respecto l producto y l cociete. Result uy siple sistetizr el producto, cociete y poteci, de potecis de igul bse.. = + - : = co 0 ( ) =. Luego hor surge l siguiete pregut, l poteci es distributiv respecto de l su? L respuest es NO Veos 8

9 ( + 3) = 5 = = + = 3 Luego ( + b ) +b Ejercicios 1) E los siguietes cálculos se h coetido errores l plicr propieddes. Idicr dichos errores y corregirlos ) b) c) (.. ) = ( ) = (5 ) : (5 ) = 5 : 5 = (7 ) 7.7 = = 7 = ( 7) = (7 ) d) ( 7 14) + 5 = 1 ) Aplicdo ls propieddes de l poteci probr que: ) 1 3 ( ) : (3 + ) = b) ( 10. ) : ( ) = 1000 c) 1.( ) = 3 3) Clculr ) b) 3 3 (1 ).( ) 3 4 =... 1 ( 1):( ) : + 11 = ) Respoder y justificr ) < < 5 < < ( 5) b) 3< ( 3) ( ) 1 1 < < < 3 3 9

10 Rdicció DEFINICIÓN: Se b ε R y ε N, >1, existe u úero c tl que c =b y este úero c es lldo l ríz -ési de b c = b c = b Ejeplos 3 ( ) 64 = 4 pues -4 = 64 3 ( ) ( ) 36 =± 6 pues 6 = 6 = 36 Veos hor si existe lgu restricció pr l rdicció e R. Supogos que se dese clculr 9 o se buscr u úero b ε R tl que b= 9 b = 9 3 ( ) 64 = 4 pues 4 = 64 3 ( ) ( ) 64 =± 8 pues 8 = -8 =64 Tl úero o existe pues es positivo. b E cosecueci, si se trbj e R: existe si y es ipr ó 0 y es pr Etoces: Si es ipr el resultdo es úico. Si es pr y el rdicdo es positivo el resultdo o es úico Ejeplos 3 3 ( ) ( ) ( ) 64 = 4 pues 4 = =± 8 pues 8 = -8 =64 Propieddes de l rdicció b. =. b : b = : b 10

11 Ddos b, tles que existe y b se cuple Respecto de l su y l rest ± b ± b Aliceos hor l siguiete pregut: Es siepre posible siplificr u ríz? Veos u ejeplo: 6 ( ) 6 8 = 64 =± ( ) ( ) = 8 = 8 = L respuest es NO siepre es posible siplificr u ríz: Si l bse de l poteci del rdicdo es egtiv veos que se pierde u solució Qué sucede cudo el ídice de l ríz y el expoete so igules? Si es ipr 4 = 64 = ( 4) = 64 = 4 El resultdo es l bse de l poteci Si es pr = 16 =± ( ) = 16 =± El resultdo es l bse de l poteci y su opuesto. Pr evitr est bigüedd se debe teer e cuet el vlor ritético de l ríz. El vlor ritético de l ríz -ési de O se: Ríz Aritétic: es: si es ipr y si es pr Si es ipr Si es pr = = E prticulr 7 = 11

12 Rciolizció de deoidores E uchs cuestioes e que se preset frccioes cuyo deoidor es u expresió irrciol, coviee trsforrls e otrs equivletes de deoidor rciol. Est rciolizció se logr siepre, ultiplicdo uerdor y deoidor de l frcció por u expresió irrciol coveiete. Si ebrgo, es t coplicd l frcció obteid que sólo e csos uy secillos tiee utilidd práctic. Se rcioliz el deoidor de tod expresió del tipo A ± b ó bie A ± c ultiplicdo los dos térios por l expresió cojugd b ó bie c respectivete Ejercicios A) Clculr 3 3 1) )( 1+ 5) 0 3) ( ) B) So corrects ls igulddes? 1) 50 = 5. ) 1 = ) 64 =. C) Rciolizr los deoidores 1) 4 ) ) 3 7 1

13 D) Hllr el error e ls siguietes deostrcioes 1) = Deostrció: ( ) ( ) = = = )b b = 1 Deostrció: ( ) ( ) ( ) b 1= 1 b b 1 = 1 b b 1= 1 b b+ b 1= b+ 1 b b 1= 1 b 1+ 1= 1+ 1 b= b= 1 E) Teiedo e cuet l propiedd + b, etoces b b (Deostrrl) Order 1). y 5 )3+. y ) y ) + 3 y 16 F) Respoder V ó F y justificr Si b, 1) ( b. ) =. b )( + b) = +. b. + b 3)( b) = b 13

14 4) = b b 5)( + b).( b) = b Supuests defiids ls ríces 6) + b = + b 7) b. =. b Potecis de expoete rciol Vos hor ver que sigificdo heos de tribuir l síbolo, siedo u úero rciol. Defiireos est operció de odo que coicid co l y coocid e el cso =1 y que stisfg ls iss regls de cálculo pr potecis ordiris 1) Sbeos que si, es Por lo tto dreos h h. hk ( ) k = tl sigificdo que se k ( ) = = =, o se Lo cul tiee setido e el cpo rel pr < 0 sólo si es ipr. ) Si 0, pr que subsist l ley de ultiplicció de potecis de igul bse sudo los expoetes, heos de tribuir 0, pr que se =. = = 1 3) Por l is rzó co 0, Luego 0 h de ser tl que ultiplicdo por, resulte = 1 1 = Co ests 3 covecioes se evit el uso de rdicles, co l vetj que el cálculo co ls potecis sí geerlizds sigue ls iss leyes que cudo los expoetes so úeros turles 14

15 Ejercicios Siplificr 1) ) 3) 4) b. b. b 3 3 c. c c b + b +. b 15