TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS. PROGRESIONES. a 1, a 2, a 3,, a n

Transcripción

1 TEMA 8: UCEIONE DE NÚMERO. PROGREIONE.- UCEIONE DE NÚMERO RACIONALE: U sucesió es u cojuto ordedo de úmeros reles:,,,, - Los úmeros turles se llm ídices. El subídice idic el lugr que el térmio ocup e l sucesió. - Los úmeros rcioles (,,,, ) se llm térmios y so cd uo de los úmeros que form l sucesió. Al térmio geerl, se le llm térmio -ésimo o térmio geerl y os permite clculr culquier térmio de l sucesió, sbiedo el lugr que ocup. No tods ls sucesioes tiee térmio geerl. Por ejemplo, l sucesió de los úmeros primos:,, 5, 7,,, ),, 5, 7, 9,, cd úmero es el terior más. b),, 4, 8, 6,, cd úmero es el terior por. c), 4, 9, 6, 5, cd úmero es el cudrdo del lugr que ocup..- Clcul el térmio 0 de l sucesió El térmio geerl de l sucesió de úmeros pres es:, 4, 6, 8, 0, U sucesió es recurrete cudo cd térmio, después de uo ddo, se obtiee prtir de los teriores. 4.- Ecuetr el térmio geerl de est sucesió y clcul 7 y 8 :,, 5, 7, 9,,. (cd úmero es el terior más ) OPERACIONE CON UCEIONE: ) PRODUCTO DE UNA UCEIÓN POR UN NÚMERO: K ( ) ( K ) b) UMA DE UCEIONE: ( ) + ( b ) ( + b ) ( ) + ( b ) ( + ) + c) PRODUCTO DE UCEIONE: ( ) ( b ) ( b ) ( ),,,... b + ( ) ( ) ( b ) ( + ) ( + ),,, ,,,...

2 .- TIPO DE UCEIONE ucesioes estrictmete crecietes: si cd térmio es myor que el terior. + >, 5, 8,, 4, 7,... ucesioes crecietes: si cd térmio es myor o igul que el terior. +,, 4, 4, 8, 8,... ucesioes estrictmete decrecietes: si cd térmio de l sucesió es meor que el terior. + <, /, /, /4, /5, /6,... ucesioes decrecietes: si cd térmio de l sucesió es meor o igul que el terior. + ucesioes costtes: si todos su térmios so igules, k. + 5, 5, 5, 5,... ucesioes cotds iferiormete: si todos sus térmios so myores o igules que u cierto úmero K, que llmremos COTA INFERIOR de l sucesió. k A l myor de ls cots iferiores se le llm EXTREMO INFERIOR O ÍNFIMO. i el ífimo de u sucesió es uo de sus térmios se le llm MÍNIMO. Tod sucesió cotd iferiormete es creciete. ucesioes cotds superiormete: si todos sus térmios so meores o igules que u cierto úmero K', que llmremos COTA UPERIOR de l sucesió. k A l meor de ls cots superiores se le llm EXTREMO UPERIOR O UPREMO. Ls sucesioes covergetes so ls sucesioes que tiee límite fiito. i el supremo de u sucesió es uo de sus térmios se llm MÁXIMO. Tod sucesió cotd superiormete es moóto decreciete. ucesioes cotds U sucesió se dice cotd si está cotd superior e iferiormete. Es decir si hy u úmero k meor o igul que todos los térmios de l sucesió y otro K' myor o igul que todos los térmios de l sucesió. Por lo que todos los térmios de l sucesió está compredidos etre k y K'. k K' EJEMPLO,,, 4, 5,... b -, -, -, -4, -5,... - Es creciete. Es decreciete. Está cotd iferiormete Está cotd superiormete Cots iferiores:, 0, -,... Cots superiores: -, 0,,... El míimo es. El máximo es -. No está cotd superiormete. No está cotd iferiormete. c, /, 4/, 5/4,..., + / Es decreciete. Está cotd superiormete Cots superiores:,, 4,... El máximo es. Está cotd iferiormete Cots iferiores:, 0, -,... El ífimo es. d, -4, 8, -6,,..., (-) - No es moóto. No está cotd

3 4.- PROGREIONE ARITMÉTICA: Es u sucesió e l que cd térmio (meos el º) se obtiee prtir del terior sumádoles u úmero fijo d, llmdo difereci de l progresió. El térmio geerl de u progresió ritmétic es: (si coocemos el er térmio) ( ) d + ) Ecuetr el térmio geerl de l sucesió:, 5, 7, 9,, + ( ) + d *(i coocemos el vlor que ocup culquier otro térmio de l progresió). ( k ) d + si K< k b)hll el 4 prtir de 8: 4 ( ) d UMA DE TÉRMINO DE UNA PROGREIÓN ARTIMÉTICA: L sum de los térmios equidisttes de los extremos es igul l sum de los extremos: L sum ( + ) de los primeros térmios de u progresió ritmétic es: Hll l sum de ls 6 primeros térmios de l siguiete sucesió: 5, 8,, 4, 7, 0, ( 5 + 0) PROGREIONE GEOMÉTRICA: Es u sucesió de úmeros tles que cd uo de ellos (meos el º) se obtiee multiplicdo el terior por u º fijo r, llmdo rzó de l progresió. e cumple que 4... r r i coocemos el er térmio El térmio geerl es: Podemos hllr el térmio geerl si coocemos el vlor que ocup culquier otro térmio de l progresió. r k k Hll el térmio geerl de l sucesió:, -8,, -8, 8 r 4 ( 4)

4 7.- UMA DE LO TÉRMINO DE UNA PROGREIÓN GEOMÉTRICA: i multiplicmos por r, r + ( r ) r ( r ) r r r Clcul l sum de los 0 primeros térmios de l progresió: -, -, -4, -8, -6, - ( ) r 0 0 (04 ) 8.- UMA DE LO TÉRMINO EN PROGREIONE DECRECIENTE: Existe progresioes cuy rzó está etre - y : (- < r < ), como por ejemplo:,,, r Etoces: Clcul l sum de los térmios de l progresió,,, ) r : 0,, 0 0 0, 9.- PRODUCTO DE LO TÉRMINO EN PROGREIONE GEOMÉTRICA: El producto de los térmios equidisttes de los extremos es igul l producto de los extremos. ( ) ( - ) ( - )..,, 4, 8, 6,, Por lo tto: P ( ) Hll el producto de los 0 primeros térmios de u progresió de rzó r y cuyo er térmio es : P ( ) ( ) 0 r 9 0 0

5 0.- OTRO TIPO DE UCEIONE: Tmbié os podemos ecotrr co sucesioes cuyos térmios so úmeros próximos cudrdos perfectos. ) 5, 0, 7, 6, 7, 50,... +, +, 4 +, 5 +, 6 +, 7 +,... Hllmos el térmio geerl y le summos. ( + ) + b) 6,, 8, 7, 8, 5,... +, +, 4 +, 5 +, 6 +, 7 +,... ( + ) + c), 8, 5, 4, 5, 48,... -, -, 4 -, 5 -, 6 -, 7 -,... ( + ) - d), 7, 4,, 4, 47,... -, -, 4 -, 5 -, 6 -, 7 -,... ( + ) - i los térmios de l sucesió cmbi cosecutivmete de sigo. - i los térmios impres so egtivos y los pres positivos: Multiplicmos por (-). -4, 9, -6, 5, -6, 49,... (-) ( + ) - i los térmios impres so positivos y los pres egtivos: Multiplicmos por (-) -. 4, -9, 6, -5, 6, -49,... (-) - ( + )